第一章(行列式)

1、 稱稱D= 為一個三階行列式為一個三階行列式.則方程組有唯一確定的解則方程組有唯一確定的解類似地，記類似地，記則當則當時時,問題：上述問題：上述n元一次方程組的解是否有類似結論？元一次方程組的解是否有類似結論？是否可定義是否可定義n階行列式階行列式來表示？來表示？引入記號引入記號D=稱為稱為n階行列式（階行列式（n-order determinant ）, 記作記作特點：特點： n 行行 n 列；列；共共n2個元素；個元素；表示這元素表示這元素在在第第i行第行第j列列D=|aij| nn或或D=det(aij) nn 由低階行列式定義高階行列式，遞歸即可定由低階行列式定義高階行列式，遞歸即可定

2、義三階，義三階，n階行列式，即階行列式，即此外，若定義一階行列式此外，若定義一階行列式1111aa, 那么，二階行列式那么，二階行列式 （不要與絕對值記號混淆）（不要與絕對值記號混淆） D=定義定義2 假設假設n- -1階行列式已定義，定義階行列式已定義，定義n階行列式階行列式=其中其中為元素為元素的代數余子式的代數余子式( ).1jn 注：此定義稱為注：此定義稱為n階行列式按第一行的展開式階行列式按第一行的展開式=注：對注：對n階行列式：階行列式：（1）n!項代數和，正負號項項代數和，正負號項各一半各一半， 每一項都是取自每一項都是取自不同行不同列不同行不同列 n個元素的乘積；個元素的乘積；

3、 （2）二階、三階行列式對角線法則的定義）二階、三階行列式對角線法則的定義 與此定義吻合，但與此定義吻合，但四階以上四階以上行列式行列式 對角線法則不再成立對角線法則不再成立. 例例1 計算計算下三角行列式下三角行列式D=分析：分析：D=特別地，特別地，對角行列式對角行列式D=30054102D65703421 解：解：1 11 4102410D3( 1)570( 5 )( 1)657421342 + 51312705732 (1 )214257674(1 )4232 466. .111221221112131112111211121321222321222122212223313233313

4、2313233000000aaaabbbaaccbbbDbbbaaccbbbbbbccbbb證明證明11122122111211121321222122233132313233000000aaaaccbbbDccbbbccbbb() 22211 212111213111112131112222122232121222332313233313132330000001aacbbbcbbbaacbbbcbbbcbbbcbbb().1112131112131112112212212122232122232122313233313233bbbbbbaaa aa abbbbbbaabbbbbb定理定理1

5、n階行列式階行列式ijn nDa 等于它的任意等于它的任意一行（列）的各元素與其對應的代數余一行（列）的各元素與其對應的代數余子式的乘積之和，即子式的乘積之和，即D=i=1,2,或或D=j=1,2,注：該定理又稱為行列式按某行（列）的注：該定理又稱為行列式按某行（列）的 展開定理展開定理.例例 計算行列式計算行列式2 2231 ( 1)1.11 轉置轉置.將將D和和DT分別按第一行和第一列展開，得分別按第一行和第一列展開，得二階行列式結論顯然成立二階行列式結論顯然成立. 假設對假設對 n-1 階行列式結論成立，則階行列式結論成立，則212j 12j 12nnn1 j1j1j1jj 1j 12n

6、nj 1nj 1nnaaaaDa Aa ( 1),aaaa 2131n1nn2 j 13 j 1nj 1TT1 j1j1j1jj 1j 12 j 13 j 1nj 12n3nnnaaaaaaDa Aa ( 1).aaaaaa D= =如：如：注：此性質同樣可用數學歸納法證明注：此性質同樣可用數學歸納法證明.ijrrijcc記號，行對換：記號，行對換：列對換：列對換：思考：思考：如：如：=231=+12如：如：如：如：記號：第記號：第i行的行的 倍加到第倍加到第j行上：行上： rj+kri 第第i列的列的 倍加到第倍加到第j列上：列上： cj+kcir3+kr1j11i 11211i 2ijnn

7、 1nnn22njnaaaaaaDaa,aaaa i 1i 2ini 1i 2i11121n1n 1n 2nnnaaaDaaaaaaaaa 證明：證明： 設設顯然，顯然，D與與D1第第j行元素具有相同的代數余子式行元素具有相同的代數余子式 .將將D1按第按第j行展開，則行展開，則1i1j1i2j2injn0Da Aa Aa A , 其中ij. j11i 11211i 2ijnn 1nnn22njnaaaaaaDaa,aaaa i 1i 2ini 1i 2i11121n1n 1n 2nnnaaaDaaaaaaaaa i1i1i2i2inina Aa Aa A , D =nijkjj 1D, i=

8、k,a A0, ik. nijiki 1D, j=k,a A0, jk. 設設12341200D,10301004 （1）計算）計算D的值；的值；（2）計算）計算11213141AAAA ;12223242AAAA ;（3）計算）計算11121314AAAA ;分析：分析：121314rrrrrr1234200012001200 D=48.1030103010041004 （1）（2）11213141AAAA12223242AAAA11213141AAAA1111 1121112131431141aaaAAAaA1222112131431242aaaAAAaA8D4 . 0 構造輔助行列式構造輔助行列式111111200D10301004 而而1213141rr211rr31rr411110002341111200D2412.23410301004 12341200D10301004 （3）求求11121314AAAA ;111213141 A2 A3 A4 A ,11121314AAAA ,111213141 A1 A1 A1 A ,小結：小結：二階、三階行列式定義及對角線法則；二階、三階行列式定義及對角線法則；n階行列式的遞歸定義階行列式的遞歸定義,注意四階及其注意四階及其 以上行列式對角線法則不成立；以上行列式對角線法則不成立；n階行列式的性質：階行列式的性質：n 按某行