大一微積分考前復習4ppt課件

1、總復習四總復習四.)(0)(的的駐駐點點為為的的稱稱使使得得xfxxf 注意注意: :.,)(是極值點是極值點但函數(shù)的駐點卻不一定但函數(shù)的駐點卻不一定點點的極值點必定是它的駐的極值點必定是它的駐可導函數(shù)可導函數(shù)xf4.1總結(jié)總結(jié)羅爾中值定理羅爾中值定理上滿足：上滿足：區(qū)間區(qū)間在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(baxf那么在開區(qū)間那么在開區(qū)間(a, b)內(nèi)必定內(nèi)必定(至少至少)存在一點存在一點, 使使( )0.f (i) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);(ii) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 上可導上可導;(iii) f(a) = f(b).1 、熟記羅爾定理、拉格朗日中定理，柯西、熟記羅爾定理

2、、拉格朗日中定理，柯西中值定理的條件和結(jié)論中值定理的條件和結(jié)論 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 滿足：滿足：拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理(i) f(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);(ii) f(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導內(nèi)可導.那么在開區(qū)間那么在開區(qū)間 內(nèi)內(nèi) ( 至少至少 ) 存在一點存在一點 , 使得使得),(ba .)()()(abafbff ( )( ),f af b當當時時 拉拉格格朗朗日日定定理理就就注注是是羅羅爾爾定定理理, ,推論推論1設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間 I上的導函數(shù)上的導函數(shù) , 那那么么)(xf0)( xf)(xf是一個常值函數(shù)是一個常值函數(shù).

3、2,fgI若若函函數(shù)數(shù)和和均均在在區(qū)區(qū)間間上上推推可可導導論論且且( )( ),fxg xxI( )( )If xg x則則在在區(qū)區(qū)間間上上與與只只差差某某一一常常數(shù)數(shù), ,即即( )( )f xg xcc ( ( 為為某某一一常常數(shù)數(shù)) ). .(柯西中值定理柯西中值定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) , 在區(qū)間在區(qū)間 )(xf)(xg,ba上滿足上滿足:(1) f(x) , g(x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b 上連續(xù)上連續(xù);則在開區(qū)間則在開區(qū)間 內(nèi)必定內(nèi)必定 (至少至少) 存在一點存在一點 , 使得使得),(ba 柯西中值定理(2) f(x) , g(x) 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a, b) 上可導上可導

4、;),(,0)()3(baxxg( )( )( ).( )( )( )ff bf agg bg a Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理xxg)()()(bfaf 1.羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；理之間的關(guān)系；2.2.證明函數(shù)方程或方程的根的存在性，可以考慮證明函數(shù)方程或方程的根的存在性，可以考慮應用羅爾應用羅爾 定理定理. .3.3.應用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以證明應用拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以證明一些不等式一些不等式22)(xxexf (ii)f(x)在區(qū)間(1, 1)

5、內(nèi)可導 (iii)f(1) f(1)e1 因此函數(shù)f(x)在區(qū)間1, 1上滿足羅爾定理的所有條件的所有條件？如滿足就求出定理中的數(shù)值 1)(2xexf例1、在區(qū)間1, 1上是否滿足羅爾定理1)(2xexf 解 (i)作為初等函數(shù) 在其定義區(qū)間1, 1上是連續(xù) 22)(ef0 得0 由洛必達法則洛必達法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 1111gffggf 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 2、熟練掌握用羅必達法則求極限的方法。、熟練掌握用羅必達法則求極限的方法。01sincos2lim2coslim222xxxxxxxxxtg)2ln(lim2 (1)xxxtg)2ln(li

6、m2xxx22cos121lim 解 例2、羅必達法則則求下列極限 xxx10)sin1 (lim (2)xxx10)sin1 (lim )sin1ln(10limxxxe解 因為11cossin11lim)sin1ln(1lim00 xxxxxx并且 xxx10)sin1 (lim 所以e xxx)1(lnlim0(3)xxx)1(lnlim0 xxxe1lnln0lim解 因為01ln1limlnlnlim1lnlnlim0ttttxxttx并且 xxx)1(lnlim0所以e 01 3、熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，、熟練掌握函數(shù)單調(diào)性的判別法，會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間會求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 例3、

7、 求下列函數(shù) yx 42x22 的增減區(qū)間 x(, 1)(1, 0)(0, 1)(1, )yy 函數(shù)在區(qū)間(, 1)和(0, 1)內(nèi)是單調(diào)減少的 在區(qū)間(1, 0)和(1, )內(nèi)是單調(diào)增加的 令y0 得函數(shù)的駐點x1 x0 x1 列表得解 y4x34x4x(x1)(x1) 4、熟練掌握函數(shù)極值和最值的求法。、熟練掌握函數(shù)極值和最值的求法。)21 , 1(215) ,21(318881313) 12)(5( 4xxxy解 21x令y0 得函數(shù)的駐點 x5 不可導點為x1 列表得x( 1)15(5 )y不存在00y00318881)21(y y(1)y(5)0為極小值 為極大值 232) 5()

8、1(xxy例4、求下列函數(shù) 的極值 例5、 利用二階導數(shù) 判斷函數(shù) 的極值。 y(x3)2(x2) 解 y2(x3)(x2)(x3)2(x3)(3x7) y6x16 令y0 得函數(shù)的駐點x3 x7/3 因為y(7/3)20 所以y(7/3)= 4/27是函數(shù)的極大值 因為y(3)20 所以y(3)0是函數(shù)的極小值 例例6、 求函數(shù)求函數(shù)yx 42x25在在2, 2上的最大值與最小上的最大值與最小值值 解 y4x34x4x(x1)(x1) 令y0 得函數(shù)的駐點為x0 x1 x1 計算函數(shù)在駐點和區(qū)間端點的函數(shù)值 y(2)13 y(1)4 y(0)5 y(1)4 y(2)13 經(jīng)比較得y(1)y(

9、1)4是函數(shù)的最小值 y(2)y(2)13是函數(shù)的最大值 5、會求曲線的凹凸區(qū)間、拐點和漸近線、會求曲線的凹凸區(qū)間、拐點和漸近線例9、 確定函數(shù) 的凹向及拐點 212xxy) 3 ,(3) 0 , 3() 3 , 0 (3) , 3(23233x令y0 得x0 222)1 ()1 ( 2xxy322)1 ()3 (4xxxy 解 ， x0y000y(拐點)0(拐點)(拐點)3 ,()3 , 0() 0 , 3( 函數(shù)在區(qū)間和內(nèi)是下凹 在區(qū)間和) , 3()23 , 3()23 , 3(內(nèi)是上凹的 點和是拐點 3) 1(2)(xxxfy4) 1() 12(2)( xxxfy), 1 () 1 ,

10、(解：(1)定義域：y(2)對稱性：函數(shù)非奇非偶，不對稱于軸、原點.) 1, 0 0 ,21曲線過點(和(4)單調(diào)區(qū)間、極值、凹向和拐點：0 y; 0 x0 y21x令,得令,得1xyy 當時，和都不存在.2) 1(12xxy例10、 作函數(shù)的圖形.21, 0; 1, 0 xyyx得令得(3)截距：令21,210 ,211 , 0, 0)(xfy)(xfy )(xfy 98,21 x010+不存在0不存在1不存在列表討論如下： )(lim1xfx 1x(5)漸近線：是曲線的垂直漸近線.0)(limxfx0y是曲線的水平漸近線.2x3y4x.94y(6)適當補點：取，得，取，得(7)根據(jù)以上結(jié)果

11、作出函數(shù)圖形.如下圖.0 xy123123421例例11、選擇題、選擇題 (A)函數(shù)yx25x6在2, 3上是連續(xù)的 在(2, 3)內(nèi)是可導 且y(2)y(3)0 1 下列函數(shù)在給定區(qū)間上滿足羅爾定理的有( )32) 1(1xy (A) yx25x6 2, 3 (B) 0, 2 5 15 1xxxy (C) yxex 0, 1 (D) 0, 5 32) 1(1xy在閉區(qū)間0, 2上不是處處連續(xù)的 (B)函數(shù) (C)函數(shù)yxex在0, 1上是連續(xù)的 在(0, 1)內(nèi)是可導的 在區(qū)間端點的函數(shù)值不等 5 15 1xxxy在開區(qū)間(0, 5)內(nèi)是連續(xù)的(D)函數(shù) 但在閉區(qū)間0, 5上不連續(xù) 答答 A

12、 2、 下列求極限問題不能用羅彼塔法則的有( ) xxxxxsinsinlimxxxk)1 (lim (C) (D)答答 A C xxxxsin1sinlim20)arctan2(limxxx (B)(A)xxxxxxxxxcos1cos1sin2lim)(sin)1sin(lim020 分子的極限不(A)因為xxxxsin1sinlim20不能用羅彼塔法則 存在 所以xxxxxx1arctan2lim)arctan2(lim (B)因為1111lim)1()arctan2(lim22xxxxxx)arctan2(limxxx 所以能用羅彼塔法則 kkxkxxxkxxlim1 )1ln(lim

13、xxxk)1 (lim 所以能用羅彼塔法則 xxxxxxxxcos1cos1lim)sin()sin(lim 分子分母的極限都不(C)因為xxxxxsinsinlim不能用羅彼塔法則 存在 所以)1ln()1 (xkxxexkxxkxkxxx1)1ln(lim)1ln(lim (D)因為3、 函數(shù)yx312x1在定義域內(nèi)( ) (A)單調(diào)增加 (B)單調(diào)減少 (C)圖形上凹 (D)圖形下凹 答 A 因為y3x2120 所以函數(shù)在定義內(nèi)是單調(diào)增加的 而不是單調(diào)減少的 因為y6x 當x0時y0 當x0時y0 所以函數(shù)在定義域內(nèi)沒有確定的凹向 4、 函數(shù)yf(x)在點xx0處取得極大值 則必有( ) (A) f (x0)0 (B) f (x0)0 (C) f (x0)0且f (x0)0 (D) f (x0)0或不存在 答 D (A) 函數(shù)f(x)在極值點xx0處未必可導 只有當f(x)在極 值點xx0處可導時 才有f (x0)0 (B) 只有當f(x)在極值點xx0處有二階導數(shù)時 才有 f (x0)0 (C) 只有當f(x)在極值點xx0處有二階導數(shù)時 才有 f (x0)0且f (x0)0 (D) 函數(shù)f(x)在極值點xx0處或者可導(此時f (x0)0 ) 或者不可導 5 條件f (x0)0是f(x)的圖形在點xx0處有拐點的( )條件 (A) 必要 (B) 充沛 (C)