全國(guó)卷歷年高考解析幾何真習(xí)題歸類分析20某

1、全國(guó)卷歷年高考解析幾何真題歸類分析（含答案）（2015年-2018年共11套）解析幾何小題（共23小題）一、直線與圓（4題）1.（2016年2卷4）圓的圓心到直線 的距離為1，則a=（ ）（A） （B） （C） （D）2【解析】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，故圓心為，解得，故選A2.（2015年2卷7）過(guò)三點(diǎn)A（1,3），B（4,2），C（1,-7）的圓交于y軸于M、N兩點(diǎn)，則=（ ）（A）2 （B）8 （C）4 （D）10【解析】選C.由已知得kCB=2-(-7)4-1=3,所以kABkCB=-1,所以ABCB,即ABC為直角三角形,其外接圓圓心為(1,-2),半徑r=5,所以外接圓方程為(x-1)2

2、+(y+2)2=25,令x=0得y=26-2,所以|MN|=46.3.（2016年3卷16）已知直線：與圓交于兩點(diǎn)，過(guò)分別做的垂線與軸交于兩點(diǎn)，若，則_.【解析】取AB的中點(diǎn)E,連接OE,過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線,垂足為F,圓心到直線的距離d=,所以在RtOBE中,BE2=OB2-d2=3,所以d=3,得m=-,又在CDF中,FCD=30,所以CD=4.4.（2018年3卷6）直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則面積的取值范圍是A. B. C. D. 【解析】A，直線分別與軸，軸交于，兩點(diǎn),則點(diǎn)P在圓上圓心為（2，0），則圓心到直線距離故點(diǎn)P到直線的距離的范圍為則二、橢圓（4題）1.（2015年

3、1卷14）一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .【解析】設(shè)圓心為（，0），則半徑為，則，解得，故圓的方程為.2.（2107年3卷10）已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且以線段為直徑的圓與直線相切，則的離心率為（ ）.ABCD【解析】因?yàn)橐詾橹睆降膱A與直線相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即，又因?yàn)椋瑒t上式可化簡(jiǎn)為.因?yàn)?，可得，即，所?故選A.3.（2016年3卷11）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓：的左焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn).為上一點(diǎn)，且軸.過(guò)點(diǎn)的直線與線段交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).若直線經(jīng)過(guò)的中點(diǎn)，則的離心率為（ ）（A）（B）（C）（D）【解析】選A.由題意可知直線A

4、E的斜率存在,設(shè)為k,直線AE的方程為y=k,令x=0可得點(diǎn)E坐標(biāo)為,所以O(shè)E的中點(diǎn)H坐標(biāo)為,又右頂點(diǎn)B(a,0),所以可得直線BM的斜率為-,可設(shè)其方程為y=-x+a,聯(lián)立可得點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-,又點(diǎn)M的橫坐標(biāo)和左焦點(diǎn)相同,所以-=-c,所以e=.4.（2018年2卷12）已知，是橢圓的左，右焦點(diǎn)，是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)在過(guò)且斜率為的直線上，為等腰三角形，則的離心率為A. B. C. D. 【解析】D，因?yàn)闉榈妊切?，所以PF2=F1F2=2c,由斜率為得，由正弦定理得,所以，三、雙曲線（10題）1.（2015年1卷5）已知M（）是雙曲線C：上的一點(diǎn)，是C上的兩個(gè)焦點(diǎn)，若，則的取值范圍是（ ）（A）（

5、-，） （B）（-，） （C）（，） （D）（，）【解析】由題知，所以= =，解得，故選A.2.（2016年1卷5）已知方程表示雙曲線,且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4,則n的取值范圍是（A） （B） （C） （D）【解析】選A.表示雙曲線,則(m2+n)(3m2-n)0,所以-m2n3m2,由雙曲線性質(zhì)知:c2=(m2+n)+(3m2-n)=4m2,其中c是半焦距,所以焦距2c=22|m|=4,解得|m|=1,所以-1n0,b0),如圖所示,|AB|=|BM|,ABM=120,過(guò)點(diǎn)M作MNx軸,垂足為N,在RtBMN中,|BN|=a,|MN|=3a,故點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(2a,3a),代入雙曲線方程

6、得a2=b2=c2-a2,即c2=2a2,所以e=2.8.（2016年2卷11）已知，是雙曲線E：的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，與軸垂直，sin ,則E的離心率為（ ）（A） （B） （C） （D）2【解析】 離心率，由正弦定理得9.（2018年1卷11）已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過(guò)F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M、N.若OMN為直角三角形，則|MN|=A. B. 3 C. D. 4【解析】B，根據(jù)題意，可知其漸近線的斜率為，且右焦點(diǎn)為，從而得到，所以直線的傾斜角為或，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性，設(shè)其傾斜角為，可以得出直線的方程為，分別與兩條漸近線和聯(lián)立，求得，所以.10.（20

7、18年3卷11）設(shè)是雙曲線（）的左、右焦點(diǎn)，是坐標(biāo)原點(diǎn)過(guò)作的一條漸近線的垂線，垂足為若，則的離心率為A. B. 2 C. D. 【解析】C，由題可知，在中，在中,，四、拋物線（5題）1.（2108年1卷8）設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則=( )A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【解析】D，根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn)（2，0）且斜率為的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立，消元整理得：，解得，又，所以，從而可以求得.2.（2016年1卷10）以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A、B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D、E兩點(diǎn).已知|AB|=,|DE|=,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離

8、為（ ）(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解析】選B.以開口向右的拋物線為例來(lái)解答,其他開口同理可得.設(shè)拋物線為y2=2px(p0),設(shè)圓的方程為x2+y2=r2,題目條件翻譯如圖:設(shè)A(x0,2),D,點(diǎn)A(x0,2)在拋物線y2=2px上,所以8=2px0.點(diǎn)D在圓x2+y2=r2上,所以5+=r2.點(diǎn)A(x0,2)在圓x2+y2=r2上,所以+8=r2.聯(lián)立解得:p=4,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p=4.3.（2017年1卷10）已知為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，直線與交于，兩點(diǎn)，直線與交于，兩點(diǎn)，則的最小值為（ ）.A B C D【解析】設(shè)直線的斜率為，則直線的斜率為，設(shè)，直

9、線，直線.聯(lián)立，消去整理得，所以，同理，從而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.4.（2107年2卷16）已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)若為的中點(diǎn)，則 【解析】由，得，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線.如圖所示，由為的中點(diǎn)，故易知線段為梯形的中位線.因?yàn)?，所?又由拋物線的定義知，且，所以.5.（2108年3卷16）已知點(diǎn)和拋物線，過(guò)的焦點(diǎn)且斜率為的直線與交于，兩點(diǎn)若，則_【解析】2，設(shè)，則，所以，所以取AB中點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)A,B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，因?yàn)?，因?yàn)镸為AB中點(diǎn)，所以MM平行于x軸，因?yàn)镸(-1,1)，所以，則即.解析幾何解答題（共11小題）一、橢圓（7題）1.（2015年2卷）已知橢圓C:9x

10、2+y2=m2(m0),直線l不過(guò)原點(diǎn)O且不平行于坐標(biāo)軸,l與C有兩個(gè)交點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M.(1)證明:直線OM的斜率與l的斜率的乘積為定值.(2)若l過(guò)點(diǎn)(m3,m),延長(zhǎng)線段OM與C交于點(diǎn)P,四邊形OAPB能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)l的斜率,若不能,說(shuō)明理由.解：(1)設(shè)直線l:y=kx+b(k0,b0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM).將y=kx+b代入9x2+y2=m2得(k2+9)x2+2kbx+b2-m2=0,故，.于是直線的斜率即kOMk=-9,所以直線OM的斜率與l的斜率的積是定值.(2)四邊形OAPB能為平行四邊形，因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)(m3,m

11、),所以l不過(guò)原點(diǎn)且與C有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是k0,k3，由(1)得OM的方程為y=-9kx. 設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為xp.由，得，即.將點(diǎn)的坐標(biāo)代入的方程得，因此四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相評(píng)分，即.于是，解得.因?yàn)閗i0,ki3,i=1,2,所以當(dāng)l的斜率為4-7或4+7時(shí),四邊形OAPB為平行四邊形.2.（2016年1卷）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A,直線過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合, 交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)B作AC的平行線交AD于點(diǎn)E.(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點(diǎn)E的軌跡方程；(2)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線C1,直線交C1于M,N兩點(diǎn),過(guò)B且與垂直的直線與

12、圓A交于P,Q兩點(diǎn),求四邊形MPNQ面積的取值范圍.【解析】(1)圓A整理為(x+1)2+y2=16,點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),如圖,BEAC,則ACB=EBD,由|AC|=|AD|,則ADC=ACD,EBD=EDB,則|EB|=|ED|,|AE|+|EB|=|AE|+|ED|=|AD|=4.所以E的軌跡為一個(gè)橢圓,方程為+=1(y0);(2)C1: +=1;設(shè):x=my+1,因?yàn)镻Q,設(shè)PQ:y=-m(x-1),聯(lián)立與橢圓C1,得(3m2+4)y2+6my-9=0;則|MN|=|yM-yN|=;圓心A到PQ距離d=,所以|PQ|=2=2=,SMPNQ=|MN|PQ|=2412,8).3.（20

13、16年2卷）已知橢圓E:的焦點(diǎn)在軸上，A是E的左頂點(diǎn)，斜率為的直線交E于A，M兩點(diǎn)，點(diǎn)N在E上，MANA.（I）當(dāng)，時(shí)，求AMN的面積；（II）當(dāng)時(shí)，求k的取值范圍.【解析】 當(dāng)時(shí)，橢圓E的方程為，A點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線AM的方程為聯(lián)立并整理得，解得或，則因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以，整理得，無(wú)實(shí)根，所以所以的面積為直線AM的方程為，聯(lián)立并整理得，解得或，所以，所以因?yàn)?，所以，整理得，因?yàn)闄E圓E的焦點(diǎn)在x軸，所以，即，整理得解得4.（2017年1卷）已知橢圓，四點(diǎn)，中恰有三點(diǎn)在橢圓上.（1）求的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與相交于，兩點(diǎn).若直線與直線的斜率的和為，求證：過(guò)定點(diǎn).解析：（1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性，

14、必過(guò)，又橫坐標(biāo)為1，橢圓必不過(guò)，所以過(guò)三點(diǎn).將代入橢圓方程得，解得，所以橢圓的方程為（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，設(shè)，得，此時(shí)過(guò)橢圓右頂點(diǎn)，不存在兩個(gè)交點(diǎn)，故不滿足當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，消去整理得，則，又，此時(shí)，存在使得成立所以直線的方程為.當(dāng)時(shí)，所以過(guò)定點(diǎn)5.（2017年2卷）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.求證：過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)的左焦點(diǎn). 解析：（1）設(shè)點(diǎn)，易知，又，所以點(diǎn).又在橢圓上，所以，即（2）由題知，設(shè)，則，由，得.又由（1）知，所以，從而，即.又過(guò)點(diǎn)存在唯一直線的垂直于，所以過(guò)點(diǎn)且垂直于的直線過(guò)曲線的左焦點(diǎn).6

15、.（2018年1卷）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1）當(dāng)與軸垂直時(shí)，求直線的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：.【解析】（1）由已知得，l的方程為x=1.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為或.（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為，則，直線MA，MB的斜率之和為.由得,.將代入得，.所以，.則.從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ)，所以.綜上，.7.（2018年3卷）已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且證明：，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差【

16、解析】（1）設(shè)，則.兩式相減，并由得.由題設(shè)知，于是.由題設(shè)得，故.（2）由題意得，設(shè)，則.由（1）及題設(shè)得.又點(diǎn)P在C上，所以，從而，.于是.同理.所以.故，即成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.將代入得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.故，代入解得.所以該數(shù)列的公差為或.二、拋物線（4題）1.（2015年1卷）在直角坐標(biāo)系中，曲線C：y=與直線（0）交與M,N兩點(diǎn)，（）當(dāng)k=0時(shí)，分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程；（）y軸上是否存在點(diǎn)P，使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，總有OPM=OPN？說(shuō)明理由.解析：（）由題設(shè)可得，或，.，故在=處的到數(shù)值為，C在處的切線方程為，即.故在=-處的到數(shù)值為-，C在

17、處的切線方程為，即.故所求切線方程為或.（）存在符合題意的點(diǎn)，證明如下：設(shè)P（0，b）為復(fù)合題意得點(diǎn)，直線PM，PN的斜率分別為.將代入C得方程整理得.=.當(dāng)時(shí)，有=0，則直線PM的傾斜角與直線PN的傾斜角互補(bǔ)，故OPM=OPN，所以符合題意. 2.（2016年3卷）已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn).(1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明:ARFQ；(2)若PQF的面積是ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程.【解析】(1)由題意可知F,設(shè)l1:y=a,l2:y=b且ab0,A,BP,Q,R,記過(guò)A,B兩點(diǎn)的

18、直線方程為l,由點(diǎn)A,B可得直線方程為2x-(a+b)y+ab=0,因?yàn)辄c(diǎn)F在線段AB上,所以ab+1=0,記直線AR的斜率為k1,直線FQ的斜率為k2,所以k1=,k2=-b,又因?yàn)閍b+1=0,所以k1=,所以k1=k2,即ARFQ.(2)設(shè)直線AB與x軸的交點(diǎn)為D,所以SABF=,又SPQF=,所以由題意可得SPQF=2SABF即: =2,解得x1=0(舍)或x1=1.設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y).當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由kAB=kDE可得(x1).而,所以y2=x-1(x1).當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合,所以,所求軌跡方程為y2=x-1.3.（2017年3卷）已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交與，兩點(diǎn)，圓是以線段為直徑的圓（1）求證：坐標(biāo)原點(diǎn)在圓上；（2）設(shè)圓過(guò)點(diǎn)，求直線與圓的方程解析：（1）顯然當(dāng)直線斜率為時(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，不符合題意設(shè)，聯(lián)立，得