第五章第3講等比數(shù)列及其前n項和

1、第3講等比數(shù)列及其前n項和J葫回曠菽簸I知識梳理1. 等比數(shù)列的有關(guān)概念定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達式為an+1=q.an-(2)等比中項:G叫做a與b的等比中項.即:G是a與b的等比中如果a、G、b成等比數(shù)列，那么項？a,G,b成等比數(shù)列？G2=ab.2. 等比數(shù)列的有關(guān)公式(1) 通項公式：an=aqn1.nai，q=1,前n項和公式：Sn=a1(1-qn)a1-anq“=,1.1-q1-q3. 等比數(shù)列的性質(zhì)已知數(shù)列an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.(m,n

2、,p,q,r,kN*)(1)若m+n=p+q=2r，則aman=ap-aq=童；數(shù)列am,am+k,am+2k,am+3k,仍是等比數(shù)列；(3)數(shù)列Sm,S2m-Sm,弘一S2m，仍是等比數(shù)列(此時&的公比qM-1).做一做1. (2014高考重慶卷)對任意等比數(shù)列an，下列說法一定正確的是()A.a1,a3,a9成等比數(shù)列B.a?,a3,a6成等比數(shù)列C.a2,a4,a8成等比數(shù)列D.a3,a6,a?成等比數(shù)列解析：選D.設(shè)等比數(shù)列的公比為q,因為詐豊=，即a6=a3a9,所以a3,a6,a9成等比數(shù)列.故選D.2. (2014高考江蘇卷)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，若a2=1,=a6+

3、2a4，則a6的值是.解析：因為a8=a2q6,a6=a2q4,a4=a2q2，所以由a8=a6+2a4得a2q6=a2q4+2a2q2,消去azq?，得到關(guān)于q的一元二次方程(q?)?q2=0,解得q=2,a6=a2q4=1x2=4.答案：4|孌點整合1. 辨明三個易誤點(1)由于等比數(shù)列的每一項都可能作分母，故每一項均不為0,因此q也不能為0,但q可為正數(shù)，也可為負(fù)數(shù).由an+1=qan,q豐0,并不能立即斷言a“為等比數(shù)列，還要驗證玄產(chǎn)0.在運用等比數(shù)列的前n項和公式時，必須注意對q=1與qz1分類討論，防止因忽略q=1這一特殊情形而導(dǎo)致解題失誤.2. 等比數(shù)列的三種判定方法an+1(1

4、)定義：=q(q是不為零的常數(shù)，nN)?an是等比數(shù)列.an通項公式：an=cqn-1(c、q均是不為零的常數(shù)，nN*)?an是等比數(shù)列.2*(3)等比中項法：an+1=an*an+2(an*an+1*an+2工0,nN)?an是等比數(shù)列.求解等比數(shù)列的基本量常用的思想方法(1) 方程的思想：等比數(shù)列的通項公式、前n項和的公式中聯(lián)系著五個量：ai,q,n,Sn,已知其中三個量，可以通過解方程(組)求出另外兩個量；其中基本量是ai與q，在解題中根據(jù)已知條件建立關(guān)于ai與q的方程或者方程組，是解題的關(guān)鍵.(2) 分類討論思想：在應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，必須分類求和，當(dāng)q=1時，Sn=na1；當(dāng)

5、q豐1時，Sn=;在判斷等比數(shù)列單調(diào)性時，也必須對a1與q分類討論.1-q做一做3. (2015海淀區(qū)第二學(xué)期期中練習(xí))在數(shù)列an中，an=2an-1,n=考點一等比數(shù)歹u的基本運算(咼頻考點)等比數(shù)列的基本運算是高考的?？純?nèi)容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，屬中、低檔題.高考對等比數(shù)列的基本運算的考查常有以下三個命題角度：求首項ai、公比q或項數(shù)n;(2)求通項或特定項；(3)求前n項和.(1)(2015江蘇揚州中學(xué)期中測試)設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，其前n項和為Si，若aE=1,a3=4,Sk=63,則k=.已知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且a5=ai0,2(a.+an+2

6、)=5an+1,則數(shù)列an的通項公式an=.(2014高考重慶卷節(jié)選)已知an是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，S表示an的前n項和.設(shè)bn是首項為2的等比數(shù)列，公比q滿足q2-+1)q+S4=0，求bn的通項公式及其前n項和Tn.,3,解析(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,由已知ai=1,a3=4,得q2=乎=4.又an的各ai，”是an是公比為2的等比數(shù)列”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件解析：選B.當(dāng)an=0時，也有an=2an-1,n=2,3,4,，但an是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，因此充分性不成立.當(dāng)an是公比為2的等比數(shù)列時，有=2,n=

7、2,3,4,an-1即an=2an-1,n=2,3,4,，所以必要性成立.故選B.4. 若等比數(shù)列an滿足a1+a4=10,a?+a5=20，則a*的前n項和S=.解析：由題意a2+a5=q(a1+a4),得20=qx10,故q=2，代入a1+a4=a1+ag=10,10得9a1=10，得a1=e?故Sn=10n(12)10n1).答案：190(2n1)典例剖析考點突破)項均為正數(shù),k1 2q=2.而Sk=63,12k21=63,解得k=6.設(shè)數(shù)列an的首項為ai，公比為q,2a5=ai0,2(an+an+2)=5an+1,289a1q=a1q,二22 (1+q)=5q,由得a1=q,1由知q

8、=2或q=,又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a1=q=2,從而an=2n.答案(1)6(2)2n解：因為an是首項為1，公差為2的等差數(shù)列,所以an=a1+(n1)d=2n1,n(a1+an)n(1+2n1)2-n.Sn=1+3+(2n1)=22所以a4=7,S4=16.22因為q(a4+1)q+S4=0，即卩q8q+16=0,2所以(q4)=0,從而q=4.又因為b1=2,bn是公比q=4的等比數(shù)列，所以bn=b1qn1=24n1=22n1.b1(1q)2n從而bn的前n項和Tn=；(41).1q3規(guī)律方法等比數(shù)列運算的通法：從方程的觀點看等na1,q=1比數(shù)列的通項公式an=a1qn1(a1q0)及

9、前n項和公式Sn=2)，兩式相減得:an=2an12(1)(n2),an=2an13(1)一3(1)=2an1+3(1)一3(1)(n2),2n2n1an+3(1)=2an1+3(1)一(n2).2故數(shù)列an+3(1)是以a1an+3(1)n=3x2n-1,n12n2_3(-1)=3一213=為首項，公比為2的等比數(shù)列.an=Jx2n-13(-忙在本例條件下，若數(shù)列bn滿足b1=a1,bn=an+an+1.證明:bn是等比數(shù)證明：/an=n122-(1)n3 3(),n1nbn=an+an+1=丁3(1)n+233(1)n+1=2n1又bi=ai=1,bn+1bn=2,數(shù)列bn是等比數(shù)列.規(guī)律

10、方法等比數(shù)列的判定方法證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法,其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.22已知數(shù)列an滿足：ai=Aan+1=|an+n4，其中入為實數(shù)，n為正3整數(shù)對任意實數(shù)入證明：數(shù)列an不是等比數(shù)列.證明：假設(shè)存在一個實數(shù)人使an是等比數(shù)列，則有a2=aia3,即|x3=入彳入一4,4242故9入4+9=9入一4人即9=0，矛盾，所以an不是等比數(shù)列.考點三等比數(shù)列的性質(zhì)115昆明三中、玉溪一中統(tǒng)考)等比數(shù)列an中，a1=1,q=2,則Tn=牯11+丄+的結(jié)杲可化為()a2a3anan+12C.3111

11、(2)(2015山西省第三次四校聯(lián)考)等比數(shù)列an滿足an0,nN*，且a3則當(dāng)n1時，log2a1+log2a2+gazn-1=()2A.n(2n1)B.(n+1)22C.nD(n1)2na2n-3=2(n2),(2015山西省第二次四校聯(lián)考)若等比數(shù)列an的前n項和為Sn,n11解析(1)依題意，an=2,anan+1L1-GJ1故選C.且t=5,則S4=111?2n1=2Xqn1，所以4由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a2n3=a2=22n，從而得an=2n.log2a1+log2a2+log2a2n1=log2(a1a2n1)(a2a2n2)(an1an+1)an=log22n(2n1=n(2

12、n1).S4a3+a422S8設(shè)數(shù)列an的公比為q,由已知得S=1+=5,1+q=5,所以q=4,S=1S2a1+a2ra5+a6+a7+as4+=1+q=1+16=17.a1+a2+a3+a4答案(1)C(2)A(3)17規(guī)律方法(1)在解決等比數(shù)列的有關(guān)問題時，要注意挖掘隱含條件，利用性質(zhì)，特別是性質(zhì)若m+n=p+q,則aman=apaq”，可以減少運算量，提高解題速度.(2)在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時需要進行適當(dāng)變形此外，解題時注意設(shè)而不求思想的運用.33. (1)在等比數(shù)列中，已知aia8ai5=243,則型的值為()aiiA3B9C.27D81(2)(201

13、5長春調(diào)研)在正項等比數(shù)列an中，已知aia2a3=4,a4a5a6=12,anianan+1=324,則n=()A.11B.12C.14D.16設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,若S6：S3=1：2,則E：&等于()A.1:2B.2:3C.3:4D.1:3解析：(1)選B.設(shè)數(shù)列an的公比為q,.a8=3,aia8ai5=243,aiai5=a8,3a9aii33冬=a8=9.a8q選C.設(shè)數(shù)列an的公比為q,由aia2a3=4=aiq與a4a5a6=12=aiq,933n_3可得q=3,an-ianan+1=aiq=324,3n_6436因此q=81=3=q,所以n=14,故選C.2選C.由

14、等比數(shù)列的性質(zhì)知S3,S6S3,S9-S6仍成等比數(shù)列，于是(S6S3)=S3(S9_S6),方法思想一一分類討論思想在求數(shù)列前n項和中的應(yīng)用(2015江蘇常州模擬)如果有窮數(shù)列ai,a2,a3,，am(m為正整數(shù))滿足條件ai=am,a2=am-1,am=a1,即即ai=am_i+1(i=1,2，,m)，我們稱其為對稱數(shù)列”.例如，數(shù)列1,2,3,4,3,2,1與數(shù)列a,b,c,c,b,a都是“對稱數(shù)列”.(1) 設(shè)bn是8項的“對稱數(shù)列”，其中bi,b2,b3,b4是等差數(shù)列，且bi=1,b=13.依次寫出bn的每一項；設(shè)cn是2m+1項的“對稱數(shù)列”，其中Cm+1,Cm+2，C2m+1是

15、首項為a,公比為q的等比數(shù)列，求Cn的各項和Sn.解(1)設(shè)數(shù)列bn的公差為d,b4=bi+3d=1+3d.又因為b4=b5=13,解得d=4,所以數(shù)列bn為1,5,9,13,13,9,5,1.(2) Sn=C1+C2+C2m+1=2(Cm+i+Cm+2+C2m+i)_Cm+1=2a(1+q+q2+qm)m+11-q十a(chǎn)=2aa(qz1).1-q而當(dāng)q=1時，Sn=(2m+1)a.(2m+1)a(q=1)Sn=1qm+1.2aa(q工1)I1q名師點評(1)本題是新定義型數(shù)列問題，在求等比數(shù)列cn前n項和時用到了分類討論思想.(2)分類討論思想在數(shù)列中應(yīng)用較多，常見的分類討論有： 已知Sn與a

16、n的關(guān)系，要分n=1,n2兩種情況； 項數(shù)的奇、偶數(shù)討論； 等比數(shù)列的單調(diào)性的判斷注意與a1,q的取值的討論.(2014高考山東卷)在等差數(shù)列an中，已知公差d=2,a2是a1與a4的等比中項.(1) 求數(shù)列an的通項公式；(2) 設(shè)bn=an(n+1)，記Tn=b1+b2b3+b4+(，求Tn.2解：(1)由題意知但1+d)2=a1(a1+3d),2即(a1+2)=a1(a1+6)，解得a1=2,所以數(shù)列an的通項公式為an=2n.(2)由題意知bn=an(n+1)=n(n+1),2所以Tn=1X2+2X33X4+(1)nn(n+1).因為bn+1bn=2(n+1)，可得當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn=

17、(b1+b2)+(b3+b4)+(bn-1+bn)=4+8+12+n2+2n=(4+2n)2n(n+2)22(n1)(n+1)(n+1)當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn=Tn1+(bn)=n(n+1)=所以Tn=(n+1)2n(n+2)2n為偶數(shù).：知能訓(xùn)練*輕松闖關(guān)i壟礎(chǔ)達標(biāo)1.已知等比數(shù)列an的前三項依次為a1,a+1,a+4，則an=()A.4XC.4X3-23-22-32-3XX44BD解析：選C.(a+1)2=(a1)(a+4)?a=5,ai=4,q=3，故an=4X|.2. (2015山東淄博期末)已知等比數(shù)列an的公比為正數(shù)，且a3a9=2a2，a2=2，貝Vai=()12A.qB2C.2D.

18、2解析：選C.由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9=a2=2a5,q0.a6=,2a5,q=學(xué)=.2,ai=青=2，故選C.3. 已知數(shù)列an滿足1+log3an=log3an+i(nN)且a2+a4+a6=9,則logi(a5+a?+a?)3的值是（1AiC.5D.5解析：選D.由1+log3an=log3an+i(nN*),得an+1=3an，即數(shù)列an是公比為3的等3比數(shù)列.設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,又a2+a4+a6=9，則log1(a5+a7+a9)=log1q(a2+a4333+a6)=logi(3x9)=5.34. （2015四川廣元質(zhì)檢）等比數(shù)列an的公比q0,已知a2=1,a.+2+a

19、.+1=6a.,則a.的前4項和S4=（）B.1520A.20C.15解析：選C.因為an+2+an+1=6an,所以q2+q6=0,1即q=2或q=3(舍去)，所以ai=夕1則S4=24(12)12152.5. 已知數(shù)列an，則有()A.若a2=4n,nN*，則an為等比數(shù)列B.若anan+2=a+1,nN，則an為等比數(shù)列C.若aman=2m+n,m,nN*，則an為等比數(shù)列D.若anan+3=an+ian+2,nN,則an為等比數(shù)列解析：選C.若ai=2,a2=4,a3=8,滿足an=4,nN，但an不是等比數(shù)列，故2*A錯；若an=0，滿足anan+2=an+1,nN，但an不是等比數(shù)

20、列，故B錯；若an=0,滿足anan+3=an+1an+2,nN,但an不是等比數(shù)列，故D錯；若aman=2+,m,nN,m+n+1aman+1an+12貝U有=m+n=2，貝Uan是等比數(shù)歹U.amanan2+6. （2013高考北京卷）若等比數(shù)列an滿足a2+a4=20,a3+a5=40，則公比q=前n項和Sn=.解析：設(shè)等比數(shù)列an的首項為ai,公比為q，則:2由a2+a4=20得aiq(1+q)=20.22由a3+a5=40得aiq(1+q)=40.由解得q=2,ai=2.2n+12.”ai(1-qn)故Sn=1qa10an+a9a12=2e5，貝VIna1答案：22n+127. （2

21、014高考廣東卷）若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且+Ina2+Ina20=.解析：因為a10an+aga12=2a1a11=2e,所以a10an=e.所以Ina1+Ina2+Ina2=In(a1a2a2o)=In(a1a2o)(82819)(a1a11)=ln(a10an)10=510In(a1oan)=10Ine=50Ine=50.答案：50&已知數(shù)列an的前n項和為Sn,滿足an+Sn=1(nN),則通項公式an=.解析：/an+Sn=1，1-a1=2,an1+Sn1=1,(n2)一可得anan1+an=0，即得an111二數(shù)列an是首項為答案：19.已知等差數(shù)列an滿足a2=2,a5=8

22、.（1）求an的通項公式；各項均為正數(shù)的等比數(shù)列bn中，b1=1,b2+b3=a4，求bn的前n項和Tn.解：（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a1+d=2則由已知得，|a1+4d=8a=0,d=2.-an=a1+(n1)d=2n2.設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,則由已知得q+q2=a4.a4=6,q=2或q=3.等比數(shù)列bn的各項均為正數(shù)，q=2.b1(1q)1X(12)nbn的前n項和Tn=2n1.1q1210.(2015陜西寶雞質(zhì)檢)已知數(shù)列an滿足a1=5,a?=5,a*+1=a*+6a*1(n2).(1)求證：an+1+2an是等比數(shù)列；求數(shù)列an的通項公式.，公比為2的等比數(shù)列，1作畀1

23、1則an=2X2=尹解：(1)證明：/an+1=an+6an-i(n2),an+1+2an=3an+6ani=3(an+2ani)(n2).又ai=5,a2=5,.a2+2ai=15,3n+2an-10(n2),an+1+2an=3(n2),an+2an-i數(shù)列an+1+2an是以15為首項，3為公比的等比數(shù)列.由(1)得an+1+2an=15X3“-1=5X3,則an+1=2an+5X3,3n+i3+=2(an3).又*ai3=2,an3工0,an3n是以2為首項，一2為公比的等比數(shù)列.nn1an3=2X(2)即an=2X(2)n1+3n(nN*).能力提升bn+1*1. (2015山東萊蕪模擬)已知數(shù)列an,bn滿足ai=bi=3,an+1an=3,nN,bn若數(shù)列Cn滿足Cn=ban，則C2015=()20142014A.9B.2720152015