第五彎曲應力PPT學習教案

1、會計學1第五第五(d w)彎曲應力彎曲應力第一頁，共71頁。FS純彎曲純彎曲(wnq)：如圖：如圖CD段。段。剪切剪切( (橫力）彎曲橫力）彎曲(wnq(wnq)：如：如圖圖ACAC段段和和BDBD段。段。MABCDF aaF52 梁彎曲梁彎曲(wnq)時橫截面上的時橫截面上的正應力正應力純彎曲梁純彎曲梁：彎矩不為零，剪力為零彎矩不為零，剪力為零第1頁/共71頁第二頁，共71頁。（1 1）橫線：變形）橫線：變形(bin (bin xng)xng)后仍為直線，但后仍為直線，但轉(zhuǎn)過一角度，并與縱轉(zhuǎn)過一角度，并與縱線仍正交。線仍正交。MM一一. .純彎曲純彎曲(wnq)(wnq)梁的梁的正應力正應力

2、中性中性(zhngxng)(zhngxng)層與橫層與橫截面的交線截面的交線中性中性(zhngxng)(zhngxng)軸軸z z；z（2）縱線：彎成弧線縱線：彎成弧線，上部縮短，下部上部縮短，下部伸長伸長, ,中間有一層縱線既不中間有一層縱線既不伸長，也不縮短伸長，也不縮短中性層中性層。y對稱軸對稱軸1 1幾何關系幾何關系yz橫線橫線縱線縱線第2頁/共71頁第三頁，共71頁。（1 1）平面假設）平面假設(jish)(jish)：橫截面變形后仍為平面，與：橫截面變形后仍為平面，與彎曲后的縱線正交；彎曲后的縱線正交；基本基本(jbn)(jbn)假假設設 （2 2）單向受力假設：各縱向線（纖維）單

3、向受力假設：各縱向線（纖維(xinwi)(xinwi)）之）之間無擠壓。每一縱向線處于單向受力狀態(tài)。間無擠壓。每一縱向線處于單向受力狀態(tài)。1122MM第3頁/共71頁第四頁，共71頁。 （對稱軸對稱軸）z(中性軸中性軸）yy變形變形(bin xng)后中性層后中性層的曲率半徑。的曲率半徑。y任一縱線到中性任一縱線到中性(zhngxng)層的層的距離。距離。d1-1和和2-2截面截面(jimin)的相對的相對轉(zhuǎn)角。轉(zhuǎn)角。y中性中性層層1122dabo1 o2ba1212o1o2dx第4頁/共71頁第五頁，共71頁。任一條纖維任一條纖維(xinwi)的線應變?yōu)椋旱木€應變?yōu)椋簓中性層中性層1122d

4、abo1 o21212a bo oo o ()y ddd y第5頁/共71頁第六頁，共71頁。2.物理物理(wl)關系關系:yzEyE第6頁/共71頁第七頁，共71頁。3.靜力學關系靜力學關系(gun x):zySz = 0中性中性(zhngxng)軸軸z通過橫截通過橫截面的形心。面的形心。Iyz =0梁發(fā)生梁發(fā)生(fshng)平面彎曲平面彎曲的條件。的條件。dAzyEIz彎曲剛度彎曲剛度0NzAAEEFdAydAS0yyzAAEEMzdAyzdAI2zzAAEEMydAy dAIM1zMEIzMyI第7頁/共71頁第八頁，共71頁。說明說明(shu(shumng)mng)：(2)(2)符號符

5、號(fho)(fho)：由：由M M與與y y的符號的符號(fho)(fho)確定確定的符號的符號(fho)(fho)； 線彈性線彈性(tnxng);彎曲截面系數(shù)彎曲截面系數(shù)WZ=ymaxIzzy由彎曲變形確定。由彎曲變形確定。maxmaxzzMyMIW(3)zMyI第8頁/共71頁第九頁，共71頁。 z z軸為對稱軸為對稱(duchn)(duchn)時：時： z軸為非對稱時軸為非對稱時: :二二. .純彎曲正應力公式純彎曲正應力公式(gngsh)(gngsh)的的推廣推廣ytzyyccmaxmaxtczMWmaxttzMyImaxcczMyI1( )( )zMxxEI( )zMx yImax

6、maxzMW第9頁/共71頁第十頁，共71頁。例例1 ：一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用：一簡支梁及其所受荷載如圖所示。若分別采用截面面積相同截面面積相同(xin tn)的矩形截面，圓形截面和的矩形截面，圓形截面和工字形截面工字形截面,試求以三種截面的最大拉應力。設矩形試求以三種截面的最大拉應力。設矩形截面高為截面高為140mm,寬為寬為100mm,面積為面積為14000mm2。 F20kNACB33第10頁/共71頁第十一頁，共71頁。解：該梁解：該梁C C截面截面(jimin)(jimin)的彎矩的彎矩最大，最大， Mmax=10 Mmax=103=30kN.m3=30kN.m矩形

7、(jxng)截面:F20kNACB33324311232.67 10 mm162zbhbhWh3maxmax530 1091.8MPa32.67 10zMW第11頁/共71頁第十二頁，共71頁。圓形截面圓形截面(jimin)133.5mmd =43336423.36 10 mm322zddWd3maxmax630 10128.4MPa23.36 10zMW24dAbh第12頁/共71頁第十三頁，共71頁。 工字形截面工字形截面(jimin)(jimin)。 選用選用50C50C號工字鋼號工字鋼, ,其截面其截面(jimin)(jimin)面積為面積為139000mm2139000mm2。 在承

8、受相同荷載和截面面積相同時，工字梁所產(chǎn)生的最大拉應力最小。反過來說，如果使三種截面所產(chǎn)生的最大拉應力相同時，工字梁所承受的荷載最大。因此(ync)，工字形截面最為合理，矩形截面次之，圓形截面最差。結(jié)論結(jié)論(jiln)如如下：下：332080 10 mmzW 3maxmax630 1014.4MPa2080 10zMW第13頁/共71頁第十四頁，共71頁。5-3 5-3 矩形矩形(jxng)(jxng)截面梁截面梁的切應力的切應力1 1、兩點假設、兩點假設(jish): (jish): （1）切應力與橫截面的側(cè)邊）切應力與橫截面的側(cè)邊(c bin)平行平行（2）切應力沿截面寬度均勻分布）切應力沿

9、截面寬度均勻分布bhF2F1q(x)zyhbFSx=0yz=0第14頁/共71頁第十五頁，共71頁。zyhbFS由切應力由切應力(yngl)互互等定理等定理第15頁/共71頁第十六頁，共71頁。bhFSFSmnnmMM+dMdxF2F1q(x)m ndx第16頁/共71頁第十七頁，共71頁。2、彎曲、彎曲(wnq)切應切應力公式力公式y(tǒng)所求點距中性所求點距中性(zhngxng)軸的距離。軸的距離。FSFSmnnmMM+dMdxmnzMyI ()zMdMyI 第17頁/共71頁第十八頁，共71頁。dxmnyz FN1FN2dF*SzzF SI bSdMFdx=y21NNdFFFmn*1*ddNz

10、AAzzMMFAy ASII式中：*2*ddddNzAAzzMMMMFAy ASIIddFb x第18頁/共71頁第十九頁，共71頁。FS 橫截面上剪力。橫截面上剪力。Iz 整個整個(zhngg)橫截面對中性軸橫截面對中性軸z的慣性矩。的慣性矩。b橫截面寬度橫截面寬度(kund)。S z* 橫截面上距中性橫截面上距中性(zhngxng)軸軸y處處 橫線一側(cè)橫線一側(cè) 截面對中性截面對中性(zhngxng)軸軸 的面積矩。的面積矩。dxmnyz FN1FN2dFy*SzzF SI b第19頁/共71頁第二十頁，共71頁。3、切應力沿截面、切應力沿截面(jimin)高度的高度的分布分布2236( )

11、()4xhybhS SF Fmaxmax3( )3( )0,22SSF xF xybhAhzby*SzzF SI b比較比較(bjio)第20頁/共71頁第二十一頁，共71頁。Fmmmm第21頁/共71頁第二十二頁，共71頁。1、腹板、腹板FS橫截面上剪力。橫截面上剪力。矩形截面的兩個矩形截面的兩個(lin )假定同樣適用。假定同樣適用。y zbhdh1翼翼緣緣腹板腹板一、工字形截面一、工字形截面(jimin)梁梁y5-45-4、其他形狀、其他形狀(xngzhun)(xngzhun)截面截面梁的切應力梁的切應力第22頁/共71頁第二十三頁，共71頁。dxh1byhFN1FN2dF*SzzF S

12、I dSdMFdx=21NNdFFF*1*ddNzAAzzMMFAy ASII式中：*2*ddddNzAAzzMMMMFAy ASIIddFd x*1111111()()()()2222 2222 2zhhhhhhhSbdyyy2222111 ()()2442hhhbdy第23頁/共71頁第二十四頁，共71頁。工字形截面工字形截面(jimin)(jimin)梁腹板梁腹板上的切應力上的切應力: :FS橫截面上剪力。橫截面上剪力。Iz 整個工字形截面整個工字形截面(jimin)對中性軸對中性軸z的慣性矩。的慣性矩。d腹板寬度腹板寬度(kund)。Sz* 距距z軸軸y處橫線一側(cè)處橫線一側(cè) 陰影部分截

13、面對陰影部分截面對z的面積矩。的面積矩。maxy zbhdh1y222211()()2444zhhhyI dS SF F*SzzF SI d第24頁/共71頁第二十五頁，共71頁。11（c）*1*NzAAzzMMFdAy dASII式中：*2*NzAAzzMdMMdMFdAy dASII1dFdx 其中其中 面積面積u 對中性軸的面積矩。對中性軸的面積矩。*zS*1()2zSuh2、翼緣、翼緣FN2FN1dxu（b）dxubuh21NNdFFF11*SzzF SI第25頁/共71頁第二十六頁，共71頁。11（c）第26頁/共71頁第二十七頁，共71頁。*maxmaxSzzF SI b44dA

14、=2428364ddSdFd43SFAzmaxydA第27頁/共71頁第二十八頁，共71頁。zR0max max *maxmax0222SzSzF SFIAAR第28頁/共71頁第二十九頁，共71頁。例例2 2：一：一T T形截面形截面(jimin)(jimin)外伸梁及其所受荷載如圖外伸梁及其所受荷載如圖所示。試求最大拉應力及最大壓應力，并畫出最大剪所示。試求最大拉應力及最大壓應力，并畫出最大剪力截面力截面(jimin)(jimin)上的切應力分布圖。上的切應力分布圖。q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60第29頁/共71頁第三十頁，共71頁。解解:(1) 確定確定(qud

15、ng)橫截面形橫截面形心的位置心的位置.(2) 計算計算(j sun)橫截面的橫截面的慣性矩慣性矩Iz .Iz=186.6106mm4yc=180q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60第30頁/共71頁第三十一頁，共71頁。22.5M(kN.m)1.5m40( (3) ) 畫剪力、彎矩圖畫剪力、彎矩圖. .q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60280zy60220c60yc=1803050401.5m第31頁/共71頁第三十二頁，共71頁。(4) 計算計算(j sun)最大拉應力和最大壓應力最大拉應力和最大壓應力由于該梁的截面不對稱于中性軸，因而橫面上由于該

16、梁的截面不對稱于中性軸，因而橫面上(min shn)(min shn)下邊緣的距離不相等，故需分別計算下邊緣的距離不相等，故需分別計算B B、D D截面的最大拉應力和最大壓應力，然后比較。截面的最大拉應力和最大壓應力，然后比較。第32頁/共71頁第三十三頁，共71頁。 在在B截面截面(jimin)上的彎矩為負，故該截面上的彎矩為負，故該截面(jimin)上上邊緣各點處產(chǎn)生最大拉應力，下邊緣各點處產(chǎn)生最大壓應力。邊緣各點處產(chǎn)生最大拉應力，下邊緣各點處產(chǎn)生最大壓應力。t max = 4010310010-3/186.610-6=21.4 MPa,c max = 4010318010-3/186.6

17、10-6=38.6 MPa22.5M(kN.m)1.5m40q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180第33頁/共71頁第三十四頁，共71頁。 D D截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣截面上的彎矩為正，故該截面下邊緣(binyun)(binyun)各點處產(chǎn)生最大拉應力，上邊緣各點處產(chǎn)生最大拉應力，上邊緣(binyun)(binyun)各點處產(chǎn)生最大壓應力：各點處產(chǎn)生最大壓應力：t max = 22.510318010-3/186.610-6=21.7 MPa,c max = 22.510310010-3/186.610-6=12.1 MPa22.5M(kNm)1.5m4

18、0q20kN/mACB2m4mD280zy60220c60yc=180第34頁/共71頁第三十五頁，共71頁。t max = 21.7 MPa， 發(fā)生發(fā)生(fshng)在在D截面的下邊緣各點處。截面的下邊緣各點處。c max = 38.6 MPa， 發(fā)生在發(fā)生在B截面截面(jimin)的下邊緣各點處。的下邊緣各點處。第35頁/共71頁第三十六頁，共71頁。*39maxmaxmax6350 10180 60 90 104.34MPa186.6 1060 10SzzFSI b396350102206070104.13M Pa186.61060104.34MPa4.13MPa391max635010

19、806070101.5MPa186.6106010280zy60220c60FSmax=50kN截面上的切應力截面上的切應力(yngl)分布分布:yc=180第36頁/共71頁第三十七頁，共71頁。例例3 3：一矩形截面：一矩形截面(jimin)(jimin)外伸梁，如圖所外伸梁，如圖所示。現(xiàn)自梁中點處分別取四個單元體，試示?，F(xiàn)自梁中點處分別取四個單元體，試畫出單元體上的應力，并寫出應力的表達畫出單元體上的應力，并寫出應力的表達式。式。qABl123l /4h /4l /4zbhmax第37頁/共71頁第三十八頁，共71頁。(2)畫畫FS 圖和圖和M 圖圖FSql/4ql/4ql/2ql/2M

20、M3ql2 /32ql2 /32ql2 /32qABl123l /4h /4l /43434ABFqlFql第38頁/共71頁第三十九頁，共71頁。12zbhmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2 /32ql2 /32ql2 /32qABl123l /4h /4l /4max3324SFqlbhbh2max2916qlbh第39頁/共71頁第四十頁，共71頁。34zbhmaxFSql/4ql/4ql/2ql/2MM3ql2 /32ql2 /32ql2 /32qABl123l /4h /4l /4*916SzzF SqlI bbh22332zMyqlIbh第40頁/共71頁第四十

21、一頁，共71頁。54、梁的強度、梁的強度(qingd)計算計算 危險點危險點： 最大彎矩截面最大彎矩截面(jimin)的上、下底面各點為正應力危險的上、下底面各點為正應力危險點。點。最大剪力截面的中性最大剪力截面的中性(zhngxng)軸各點為切應力危險點。軸各點為切應力危險點。一、梁的強度計算一、梁的強度計算第41頁/共71頁第四十二頁，共71頁。1、等截面梁的正應力、等截面梁的正應力(yngl)強度條件為：強度條件為：注：彎曲容許正應力注：彎曲容許正應力(yngl)彎略大于軸向拉壓容許正應力彎略大于軸向拉壓容許正應力(yngl)軸，軸， 一般可取一般可取彎彎= 軸。軸。當當t c 時，需分

22、別時，需分別(fnbi)計算計算tmax和和cmax，使使 tmax t ， cmax c 。2、等截面梁的切應力強度條件為、等截面梁的切應力強度條件為: 校核強度；校核強度； 設計截面；設計截面； 求容許荷載。求容許荷載。 強度計算：強度計算：maxmaxzMW *maxmaxmaxSzzFSI b第42頁/共71頁第四十三頁，共71頁。注：注： 一般情況一般情況(qngkung)下，只需按正應力強度條件來進行強度計算，下，只需按正應力強度條件來進行強度計算， 不必對切應力作校核。不必對切應力作校核。 特殊情況下，需校核切應力特殊情況下，需校核切應力(yngl)強強度。度。a. FS 很大而

23、很大而 M 較小。較小。b.焊接或鉚接的組合薄壁截面梁。如工字形截面，當復焊接或鉚接的組合薄壁截面梁。如工字形截面，當復板高度很高，板高度很高， 厚度厚度(hud)很小時，腹板上產(chǎn)生相當大很小時，腹板上產(chǎn)生相當大的切應力。的切應力。 c. 木梁的順紋向抗剪強度較低，應校核木梁的順紋向抗剪強度較低，應校核順順。第43頁/共71頁第四十四頁，共71頁。例例4. 如圖一簡支木梁。已知：如圖一簡支木梁。已知：t = c = 10 MPa， = 2 MPa。梁截面梁截面(jimin)為矩形，為矩形，b = 80 mm，求高度。，求高度。2m10kN/mhbz解：由正應力強度條件解：由正應力強度條件(ti

24、ojin)確定截確定截面高度，再校核切應力強度。面高度，再校核切應力強度。1按正應力強度按正應力強度(qingd)條件條件計算計算h 。22max111( )22228llMqlqql=-=max, zMW由321101025000N m843max65000510m1010zMW22110.0866zWbhh而第44頁/共71頁第四十五頁，共71頁?？扇】扇?kq) h = 200 mm 。2切應力切應力(yngl)強度校核：強度校核：3max1110 10210000N22SFqlmaxmax33100000.94MPa 22 0.08 0.2SFbh 故由正應力強度條件所確定故由正應力強

25、度條件所確定(qudng)的的h=200mm能滿足能滿足切應力強度條件。切應力強度條件。465100.194194mm0.08hm第45頁/共71頁第四十六頁，共71頁。例例5. 一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知一受載外伸梁及截面形狀如圖。已知:l=2m,Iz=5493104mm4;若材料為鑄鐵若材料為鑄鐵:t = 30 MPa，c = 90 MPa, =24MPa。試求。試求q的容許值的容許值,并校核切應力并校核切應力(yngl)強度。強度。解：解：1畫剪力、彎矩圖，確定畫剪力、彎矩圖，確定(qudng)危險截面、危險點。危險截面、危險點。lqlqDllABCzy86134401802020

26、80FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-第46頁/共71頁第四十七頁，共71頁。2求求 q 。C截面截面(jimin)：q 12.3kN/m262max820.13443010549310ctzqM yIlqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-ttccyy 第47頁/共71頁第四十八頁，共71頁。B截面截面(jimin)：261max820.08623010549310BtzqMyIq 9.6 kN/m 該梁所受該梁所受q 的容許的容許(rngx)值為：值為： q =9.6kN/mlqlqDllAB

27、Czy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+-第48頁/共71頁第四十九頁，共71頁。3、校核、校核(xio h)切應力切應力lqlqDllABCzy8613440180202080FS+-ql/43ql/4ql+Mql2/4ql2/2+- *32maxmax89.6 102 0.1340.04/23.14MPa5493 100.04SzzFSI b 第49頁/共71頁第五十頁，共71頁。二、提高二、提高(t go)承載能力的承載能力的措施措施1、選擇合理截面、選擇合理截面(jimin)形式形式即即Wz /A 越大越合理，此時越大越合理，此時I

28、z /A也較大，既可提高強也較大，既可提高強度度(qingd)，又可提高剛度。，又可提高剛度。彎矩彎矩M與與Wz成正比，成正比，maxzMW第50頁/共71頁第五十一頁，共71頁。如設截面如設截面(jimin)高度為高度為h ，216/0.167zWbhbhhA=0.27 0.34zWhA=（）可見，工字型截面比矩形可見，工字型截面比矩形(jxng)截面合理，而矩形截面合理，而矩形(jxng)截面又比圓截面合理。截面又比圓截面合理。選擇截面的形式時，還要考慮材料選擇截面的形式時，還要考慮材料(cilio)的性能。塑性：的性能。塑性：中性軸對稱；脆性：中性軸非對稱中性軸對稱；脆性：中性軸非對稱,

29、 ；對圓形截面：對圓形截面：423240.125dzdWhAttccyy 第51頁/共71頁第五十二頁，共71頁。2、采用強度、采用強度(qingd)較高的材料較高的材料一般一般(ybn)高強度材料的高強度材料的和和較高。較高。3、采用、采用(ciyng)變截面變截面梁梁采用變截面梁，可節(jié)省材料及減少自重。采用變截面梁，可節(jié)省材料及減少自重。FAB（a）l /2l /2x最合理的變截面梁是等強度梁最合理的變截面梁是等強度梁.max = M(x) / W(x) = M(x) = Fx /2W(x) = bh2(x) /6當高度當高度b = 常數(shù)時常數(shù)時:第52頁/共71頁第五十三頁，共71頁。由

30、切應力由切應力(yngl)強度條強度條件件:maxmaxminmin33/2 22SFFhbhb3( )Fxh xb min34FhbFhmin-魚腹魚腹(y f)(y f)梁梁第53頁/共71頁第五十四頁，共71頁。FhminF/2F/2FyFF第54頁/共71頁第五十五頁，共71頁。4、改善、改善(gishn)梁的受梁的受力狀況力狀況可通過可通過(tnggu)調(diào)整支座和改變結(jié)構(gòu)來完成。調(diào)整支座和改變結(jié)構(gòu)來完成。lqq0.6lql2 /40ql2 /50ql2 /50l/2Fl/2l/4Fl/4l/4l/4ql2 /8第55頁/共71頁第五十六頁，共71頁。ABqABq5、增加、增加(zng

31、ji)梁的支座梁的支座超靜定超靜定梁梁可減少可減少(jinsho)Mmax及及位移。位移。第56頁/共71頁第五十七頁，共71頁。第57頁/共71頁第五十八頁，共71頁。第58頁/共71頁第五十九頁，共71頁。設設 z 為中性為中性(zhngxng)軸：軸：又由又由當當中性軸中性軸z通過截面形心通過截面形心時，時，F(xiàn)N = 0。CyzdAzyO0NzAAEEFdAydASzMyI第59頁/共71頁第六十頁，共71頁。可見：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲時，外力作用的平面必須平行可見：非對稱截面梁發(fā)生平面彎曲時，外力作用的平面必須平行于形心主慣性平面。此時，梁的軸線在形心主慣性平面內(nèi)彎成一條平于形心主慣性平面。此時，梁的軸線在形心主慣性平面內(nèi)彎成一條平面曲線。橫截面上的另一根形心主軸面曲線。橫截面上的另一根形心主軸(zhzhu)(zhzhu)即為中性軸。即為中性軸。y、z軸為形心主軸軸為形心主軸（梁受到平行（梁受到平行(pngxng)于于y軸的外力作用）軸的外力作用）= M= 0CyzdAzyOddyAAzMMzAyz AIdzAMyA第60頁/共71頁第六十一頁，共71頁。CxyzFxzyCFAe第61頁/共71頁第六十二頁，共71頁。彎心平面：通過彎曲彎心平面：通過彎曲(wnq)中心與形心主慣性