積分變換第章34節(jié)ppt課件

1、2.3 Laplace逆變換LaplaceLaplace逆變換的逆變換的 定義定義2 2 典型例題典型例題 前面主要討論了由已知函數(shù)f (t)求它的象數(shù)F(s), 但在實際應(yīng)用中常會碰到與此相反的問題,即已知象函數(shù)F(s)求它的象原函數(shù) f (t). 本節(jié)就來解決這個問題. 由由LaplaceLaplace變換的概念可知變換的概念可知, , 函數(shù)函數(shù) f (t)f (t)的的LaplaceLaplace變換變換, , 實際上就是實際上就是 f (t)u(t)e-bt f (t)u(t)e-bt 的的FourierFourier變換變換. . ()00( ) ( )( ) ( )( )( )tt

2、j tjtstf t u t ef t u t eedtf t edt sjf t edtF s 因而因而, , 按按FoueierFoueier積分公式積分公式, , 在在f (t)f (t)的連續(xù)點就有的連續(xù)點就有jjj(j)0j( ) ( )e1( ) ( )eeded21ed( )ed21(j)ed,02ttttf t u tfufFt (j)1( )(j)ed,02tf tFt 等式兩邊同乘以等式兩邊同乘以ebt, 那么那么(j)jj1( )(j)ed,021j,1( )( )e d ,0.2jstf tFts djf tF ss t 令令ds,ds,有有 積分路線中的實部 b 有一

3、些隨意, 但必須滿足的條件就是e-btf (t)u(t)的0到正無窮的積分必須收斂. 計算復(fù)變函數(shù)的積分通常比較困難,但當(dāng)F(s)滿足一定條件時,求Laplace逆變換的方法主要有留數(shù)法、部分分式法、查表法等. 右端的積分稱為右端的積分稱為LaplaceLaplace反演積分反演積分. .1jj1( ),(Re)lim( )0,01( )Res( ),.2jnsnststkkF sssF stF s e dsF s es 定定理理 若若在在全全平平面面只只有有有有限限個個奇奇點點s s均均在在左左側(cè)側(cè) ，且且則則時時RO實軸實軸虛軸虛軸LCRjRjR為奇點為奇點解析解析( )( )nnts一些

4、常用函數(shù)的一些常用函數(shù)的Laplace變換變換( )1t 1( )u ts1ktesk1!nnnts22sinkktsk22cossktsk21( ).(1)F ss s 求求例例的的逆逆變變換換1 10,1,ss為為一一階階極極點點為為二二階階極極點點1 ,)(Re0 ,)(Re)(ststesFsesFstf stssstesdsdes1lim)1(1102 ststsesest211lim1)0(1 tetett還可以用部分分式和查表的辦法來求解拉氏反變換還可以用部分分式和查表的辦法來求解拉氏反變換. . 根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)以及根據(jù)拉氏變換的性質(zhì)以及,!1 mmsmt!111mtsmm

5、atmmmtase!)(111 21( ).(1)F sss 例例2 2 求求的的逆逆變變換換221111( )(1)1F ssssss ( )f t 所所以以 -121 s121(1)ss 10e().ttt -1-1s-11 s+1 = 例3 知 11F ss s 求( )f t解 11111F ss sss所以 1tf te 例4 知 211sF ses 求( )f t解所以 sin11f ttu t 121sin1ts 01000( )() (), 1steF sf tt u ttt 325sssF ss 例5 知求( )f t解所以 5f tttt 322551sssF sssss

6、22529sF ss 例6 知求( )f t解所以 2212cos3sin33ttf tetet 222222225133292323ssF ssss 2.4 卷積卷積1. 1. 卷積的概念卷積的概念 在第一章討論過傅氏變換的卷積的在第一章討論過傅氏變換的卷積的性質(zhì)性質(zhì). . 兩個函數(shù)的卷積是指兩個函數(shù)的卷積是指 d)()()()(2121tfftftf如果如果f1(t)與與f2(t)都滿足條件都滿足條件: 當(dāng)當(dāng)t0時時, f1(t)=f2(t)=0, 則上式可以寫成則上式可以寫成1201212120( )()d( )()d( )()()d)ttfftfftff tftft 120( )()d

7、(1)tfft 今后如不特別聲明今后如不特別聲明, 都假定這些函數(shù)在都假定這些函數(shù)在t0時時恒等于零恒等于零, 它們的卷積都按它們的卷積都按(1)式計算式計算. 按按(1)計算的卷積滿足計算的卷積滿足 交換律交換律: f1(t) * f2(t) = f2(t) * f1(t) 結(jié)合律結(jié)合律: f1(t) * f2(t) * f3(t) = f1(t) * f2(t) * f3(t) 分配律分配律: f1(t) * f2(t) + f3(t)= f1(t) * f2(t) + f1(t) * f3(t)()00:*eedeed1ttata tatat 例例0001eedeeedattttataa

8、aaa 0e1eeattatataa e1e(e1)atatattaa21(e1)attaa 例2 求t * sin t21*e(e1)atatttaa 由由jjjjee1sin(ee)2j2jttttttttt jj22111(e1)(e1)2jjjj( j)tttt jj212eesin2jjjttttt卷積定理卷積定理 假定假定f1(t), f2(t)f1(t), f2(t)滿足拉氏變換存在滿足拉氏變換存在定理定理中的條件中的條件, , 且且 f1(t)=F1(s), f1(t)=F1(s), f2(t)=F2(s), f2(t)=F2(s), 那么那么 f1(t) f1(t) * *

9、f2(t) f2(t)的拉氏變換一定存在的拉氏變換一定存在, , 且且121211212( )( )( )( )(3)( )( )( )( )f tftF sF sF sF sf tft或或 121201200( )( )( )( )ed( )()dedsttstf tftf tfttfftt tO證明證明: 由于二重積分絕對可積由于二重積分絕對可積, , 可以交換積分次序可以交換積分次序()2202()ed( )ede( )sts usfttfuuF s 令令t-t=u, 那那么么12120( )( )( )()eddstf tftfftt 1212021120( )( )( )e( )d(

10、 )( )ed( )( )ssf tftfF sF sfF sF s 所以所以 不難推證不難推證, , 若若fk(t)(k=1,2,.,n)fk(t)(k=1,2,.,n)滿足拉氏變換存滿足拉氏變換存在定理中的條件在定理中的條件, , 且且 fk(t)=Fk(s) (k=1,2,.,n) fk(t)=Fk(s) (k=1,2,.,n)則有則有 f1(t) f1(t) * * f2(t) f2(t) * *.* * fn(t) fn(t)=F1(s)F2(s).Fn(s)=F1(s)F2(s).Fn(s)例3 知 12,(,mnfttfttm n 為正整數(shù))求在12( )( ).f tft 0,

11、) 2121!)(*)(nmsnmtftf解 因為1212( )( )( )( ) f tftF s F s 所以 1)!1(! nmtnmnm上的卷積上的卷積 mntt 112! !mnm nmnm nsss 求求例例,)1(1)(422 sssF )(1sF ：解法解法1 )(1sF 211s 1121sttsin：解法解法2 )(1sF *121 s 1121sttsin tdt0)sin( ttsin 222( ),)1)5(sF sf ts 求求例例若若22222( )(1)11sssF ssss 因因( )f t coscostt 1( cossin )2ttt 12211ssss 求求例例,)52(1)(622 sssF )(1sF )(sF解：2222)1(1 ste