第8章非線性系統(tǒng)

1、自動控制原理 第8章非線性系統(tǒng)自動化、電氣專業(yè)最重要的專業(yè)基礎課之一自動化、電氣專業(yè)最重要的專業(yè)基礎課之一2第第8章章 非線性控制系統(tǒng)分析非線性控制系統(tǒng)分析n8-1 非線性系統(tǒng)概述非線性系統(tǒng)概述n8-2 常見非線性特性及其影響常見非線性特性及其影響n8-3 相平面法相平面法n8-4 描述函數(shù)法描述函數(shù)法n8-5 逆系統(tǒng)法（自學）逆系統(tǒng)法（自學）38-1 非線性系統(tǒng)概述非線性系統(tǒng)概述n1.研究非線性的意義研究非線性的意義非線性是宇宙間的普遍規(guī)律非線性是宇宙間的普遍規(guī)律實際系統(tǒng)基本上都是非線性的（動態(tài)和靜態(tài)）實際系統(tǒng)基本上都是非線性的（動態(tài)和靜態(tài)）線性只是理想情況，在非線性不嚴重的情況下線性只是理

2、想情況，在非線性不嚴重的情況下可以用線性近似可以用線性近似非線性系統(tǒng)的運動形式多樣，種類繁多非線性系統(tǒng)的運動形式多樣，種類繁多很多明顯嚴重的非線性是不能近似的很多明顯嚴重的非線性是不能近似的4非線性實例：非線性實例：1) 某些典型非線性環(huán)節(jié)某些典型非線性環(huán)節(jié)飽和特性；飽和特性；死區(qū)特性；死區(qū)特性；繼電特性等繼電特性等飽和特性飽和特性xy0aa0kxy0aa0k死區(qū)特性死區(qū)特性繼電特性繼電特性xy0MMaa5n2. 非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型非線性系統(tǒng)的數(shù)學模型f,g為非線性函數(shù)n3. 非線性系統(tǒng)的處理手段非線性系統(tǒng)的處理手段當系統(tǒng)中含有一個或多個具有非線性特性的元件時，當系統(tǒng)中含有一個或多個具有非線

3、性特性的元件時，該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。其數(shù)學模型一般表為：該系統(tǒng)稱為非線性系統(tǒng)。其數(shù)學模型一般表為：有些可以近似為線性系統(tǒng)，以簡化處理：有些可以近似為線性系統(tǒng)，以簡化處理：當非線性程度不嚴重時，忽略非線性特性的影響；當非線性程度不嚴重時，忽略非線性特性的影響；在系統(tǒng)的工作點附近，用小偏差法將非線性模型線性化。在系統(tǒng)的工作點附近，用小偏差法將非線性模型線性化。非線性系統(tǒng)千差萬別，對于非線性系統(tǒng)目前還沒有普遍非線性系統(tǒng)千差萬別，對于非線性系統(tǒng)目前還沒有普遍適用的處理方法適用的處理方法64. 非線性系統(tǒng)的特征非線性系統(tǒng)的特征n根本特征：不能應用疊加原理根本特征：不能應用疊加原理n1）穩(wěn)定性分析復雜）

4、穩(wěn)定性分析復雜線性系統(tǒng)只有線性系統(tǒng)只有一個平衡（穩(wěn)定）狀態(tài)一個平衡（穩(wěn)定）狀態(tài)，一般為，一般為原點。非線性系統(tǒng)可能有原點。非線性系統(tǒng)可能有多個平衡狀態(tài)，多個平衡狀態(tài)，穩(wěn)定穩(wěn)定性與平衡狀態(tài)相聯(lián)系性與平衡狀態(tài)相聯(lián)系穩(wěn)定性不僅取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，還與外作穩(wěn)定性不僅取決于系統(tǒng)的結構參數(shù)，還與外作用形式和幅值以及系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關用形式和幅值以及系統(tǒng)的初始狀態(tài)有關。2xxx【例例8.1.1】非線性系統(tǒng)方程為非線性系統(tǒng)方程為分析其平衡狀態(tài)。分析其平衡狀態(tài)。7解微分方程，得解微分方程，得ttexxextx0001)(0100texx由由1ln00 xxt120(1)00,1xxx xxx其平衡狀態(tài)為其平衡

5、狀態(tài)為 設設t=0時狀態(tài)初值為時狀態(tài)初值為0 x) 1( xxx 0 x 1 當當 且且 時時10 x1ln00 xxt隨隨 增大到無窮大增大到無窮大xt所以，所以， 是不穩(wěn)定平衡點是不穩(wěn)定平衡點12x82 當當 時時10 x, 0 x 隨隨 增大而減小至增大而減小至0 xt且且 時時 ，0 x0 x 所以，所以， 是穩(wěn)定平衡點是穩(wěn)定平衡點01x(1),xx x 當當 時時00 x, 0 x 隨隨 增大而增大至增大而增大至0 xt9n2) 可能出現(xiàn)自激震蕩現(xiàn)象可能出現(xiàn)自激震蕩現(xiàn)象n自激振蕩自激振蕩：指在沒有外界周期變化信號的：指在沒有外界周期變化信號的作用時，系統(tǒng)內產(chǎn)生的具有固定振幅和頻作用時

6、，系統(tǒng)內產(chǎn)生的具有固定振幅和頻率的穩(wěn)定周期運動，簡稱自振。率的穩(wěn)定周期運動，簡稱自振。自振是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象自振是非線性系統(tǒng)特有的現(xiàn)象線性系統(tǒng)只有在臨界穩(wěn)定時才會出現(xiàn)周期振線性系統(tǒng)只有在臨界穩(wěn)定時才會出現(xiàn)周期振蕩，但不是自激振蕩蕩，但不是自激振蕩10考慮范德波爾（考慮范德波爾（ van der pol ）方程）方程0, 0)1 (22xxxx 描述的是具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)描述的是具有非線性阻尼的非線性二階系統(tǒng)當當 時，時， 系統(tǒng)具有負阻尼，狀系統(tǒng)具有負阻尼，狀態(tài)發(fā)散態(tài)發(fā)散1x0)1 (22x當當 時，時， 系統(tǒng)具有正阻尼，狀系統(tǒng)具有正阻尼，狀態(tài)收斂態(tài)收斂1x0)1 (22x當當

7、時，時， 系統(tǒng)具有零阻尼，系系統(tǒng)具有零阻尼，系統(tǒng)統(tǒng)周期振蕩周期振蕩1x0)1 (22x所以，該系統(tǒng)從任何初始狀態(tài)開始，都會出現(xiàn)自振所以，該系統(tǒng)從任何初始狀態(tài)開始，都會出現(xiàn)自振111, 0)1 (22xxxx 不同初值的仿真計算不同初值的仿真計算051015202530-4-3-2-10123x0=2x0=-3x0=0.5：不同的初值都出現(xiàn)自振：不同的初值都出現(xiàn)自振u一般情況下系統(tǒng)不允許自振，但有時利用高頻小振幅自振克一般情況下系統(tǒng)不允許自振，但有時利用高頻小振幅自振克服系統(tǒng)的間隙、死區(qū)等對系統(tǒng)的不良影響，提高系統(tǒng)的精度。服系統(tǒng)的間隙、死區(qū)等對系統(tǒng)的不良影響，提高系統(tǒng)的精度。u振蕩器利用自振產(chǎn)生

8、確定頻率和振幅的振蕩信號。振蕩器利用自振產(chǎn)生確定頻率和振幅的振蕩信號。u研究自振產(chǎn)生的條件，確定自振的頻率和周期是非線性系統(tǒng)研究自振產(chǎn)生的條件，確定自振的頻率和周期是非線性系統(tǒng)分析的重要內容。分析的重要內容。12n3）頻率響應發(fā)生畸變）頻率響應發(fā)生畸變在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出不一定是正弦信在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出不一定是正弦信號。號。對于多值非線性環(huán)節(jié)，各次諧波分量的幅值可對于多值非線性環(huán)節(jié)，各次諧波分量的幅值可能躍變能躍變n3.非線性系統(tǒng)的分析設計方法非線性系統(tǒng)的分析設計方法 相平面法相平面法 時域分析法的推廣利用相平面圖的圖解分析法。 僅適用于一階和二階系統(tǒng)。13 描述函數(shù)法描述函數(shù)法

9、 頻域分析法的推廣圖解分析法。 對非線性特性進行諧波線性化處理。 適用于系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波性能。 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性，確定自激振蕩。 逆系統(tǒng)法逆系統(tǒng)法 運用內環(huán)非線性反饋控制，構成偽線性系統(tǒng) 設計外環(huán)控制網(wǎng)絡 直接研究非線性控制問題，不必求解運動方程 一種有前途的非線性系統(tǒng)研究方向148-2 常見的非線性特性常見的非線性特性n1. 等效增益等效增益定義：非線性特性定義：非線性特性y=f(x)的輸出與輸入的比值的輸出與輸入的比值理想放大器為比例環(huán)節(jié)，其增益為常數(shù)。理想放大器為比例環(huán)節(jié)，其增益為常數(shù)。非線性環(huán)節(jié)的等效增益隨輸入信號變化，可視非線性環(huán)節(jié)的等效增益隨輸入信號變化，可視為為變

10、增益比例環(huán)節(jié)變增益比例環(huán)節(jié)。15n2.典型環(huán)節(jié)的等效增益典型環(huán)節(jié)的等效增益 繼電特性繼電特性 繼電器、接觸器、開關等 死區(qū)特性死區(qū)特性 測量原件、執(zhí)行機構的不靈敏區(qū)造成 飽和特性飽和特性 放大器、執(zhí)行機構受電源電壓及功率限制導致飽和現(xiàn)象16 間隙特性間隙特性(滯環(huán)特性滯環(huán)特性) 齒輪間隙、磁滯效應等。間隙特性為非單值函數(shù)。 摩擦特性摩擦特性 機械傳動機構中普遍存在。173. 常見非線性因素對系統(tǒng)運動的影響常見非線性因素對系統(tǒng)運動的影響 繼電特性繼電特性 使系統(tǒng)產(chǎn)生自振18 死區(qū)特性死區(qū)特性 使系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差 飽和特性飽和特性 實際系統(tǒng)不會出現(xiàn)幅值到無窮大的發(fā)散運動19 間隙特性間隙特性(滯環(huán)

11、特性滯環(huán)特性) 由于死區(qū)，降低系統(tǒng)的精度 非單值函數(shù)，在運動方向變化時不驅動負載，導致能量積累 通過間隙后，積蓄的能量釋放使負載運動加劇 通常會造成系統(tǒng)自振 對系統(tǒng)性能不利，盡量消除。 摩擦特性摩擦特性 造成系統(tǒng)在低速運動時的不平滑性，呈跳躍式變化。 靜摩擦到動摩擦的跳變產(chǎn)生 對系統(tǒng)性能不利208-3 相平面法相平面法1 相平面的基本概念相平面的基本概念設一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述設一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述),(xxfx 1885年，龐加萊提出相平面法年，龐加萊提出相平面法稱為系統(tǒng)運動的相變量稱為系統(tǒng)運動的相變量)(),(txtx為橫坐標，為橫坐標， 為縱坐標的平面稱為為

12、縱坐標的平面稱為相平面相平面)(tx)(tx 0:),(),(tttxtx構成的曲線稱為相軌跡構成的曲線稱為相軌跡2122n3.相軌跡的繪制相軌跡的繪制n1）解析法）解析法找出找出 和和 的關系的關系,用求解微分方程的辦法找出用求解微分方程的辦法找出的關系，從而可在相平面上繪制相軌跡的關系，從而可在相平面上繪制相軌跡，x x2324),(xxfx xx ( , )dxxdtdxxf x xdt如果以如果以和和作為變量，則可有作為變量，則可有xxxfdxxd),(用第一個方程除第二個方程有用第一個方程除第二個方程有b）直接積分法）直接積分法dxxdxdtdxdxxddtxdx ),(xxfdxx

13、dx或者或者25dxxhxdxg)()(可分解為可分解為 xxxxdxxhxdxg)()(則由則由 xx和 的解析關系00 xx 和 為初始條件可找出可找出，xxxfdxxd),(26【例例8.2.1】繪制如下系統(tǒng)的相軌跡繪制如下系統(tǒng)的相軌跡0 xx 初值為初值為00)0(,)0(xxxx解：微分方程改寫為解：微分方程改寫為xdxxdxdtdxdxxddtxdx 兩邊分別求積分，得兩邊分別求積分，得)(212020 xxxdxxx)(212020 xxxdxxxdxxxdx)(202022xxxx27)(202022xxxx該方程表示的相軌跡是一個圓，且圓的半徑與狀態(tài)初值有關xx ),(00

14、xx-3-2-10123-3-2-10123x1x228-3-2-10123-3-2-10123x1x2如果能確定相平面的相軌跡切線方向場，如果能確定相平面的相軌跡切線方向場，則很容易繪制對應系統(tǒng)的相軌跡曲線。則很容易繪制對應系統(tǒng)的相軌跡曲線。2）等傾線法）等傾線法29 等傾線法的基本思想：等傾線法的基本思想：首先確定相軌跡的首先確定相軌跡的等傾線等傾線，然后繪制相軌跡的然后繪制相軌跡的切線方向場切線方向場，最后由初始條件出，最后由初始條件出發(fā)，沿方向場逐步發(fā)，沿方向場逐步繪制相軌跡繪制相軌跡。等傾線：等傾線：相平面上具有相同相軌跡切線斜率的點相平面上具有相同相軌跡切線斜率的點 的連線。的連線

15、。dxxdxdtdxdxxddtxdx ( , )dxxf x xdxxx該方程給出了相軌跡在相平面上任一點的切線斜率該方程給出了相軌跡在相平面上任一點的切線斜率),(xxfx 設二階系統(tǒng)微分方程可以寫為設二階系統(tǒng)微分方程可以寫為30k取相軌跡切線斜率相軌跡切線斜率為某一常數(shù)，則),(xxfx 等傾線方程由初始點出發(fā)，將相鄰等傾線上的線段連接起來，即構成相軌跡。xxxfdxxd),(31使用等傾線法應注意：使用等傾線法應注意：1）橫坐標和縱坐標應采用相同的比例尺）橫坐標和縱坐標應采用相同的比例尺2）在上半平面，由）在上半平面，由于于 ，所以，所以x隨隨t增大增大而增大，相軌跡走向而增大，相軌跡

16、走向從從左至右左至右在下半平面，在下半平面， ,x隨隨t增增大而減小，相軌跡走向大而減小，相軌跡走向從右至左從右至左0 x 0 x k323）除系統(tǒng)平衡點外，相軌跡與）除系統(tǒng)平衡點外，相軌跡與x軸垂直相交軸垂直相交4）等傾線越密，相軌跡越準確。）等傾線越密，相軌跡越準確?？刹捎闷骄甭史?，即取相鄰兩條等傾線斜率的平可采用平均斜率法，即取相鄰兩條等傾線斜率的平均值為兩條等傾線之間直線的斜率均值為兩條等傾線之間直線的斜率),(xxfx xxxf),(與與x軸相交時軸相交時 ，若，若 則則0 x 0),(xxf所以，除系統(tǒng)平衡點外，相軌跡與所以，除系統(tǒng)平衡點外，相軌跡與x軸垂直相交軸垂直相交33xx

17、11故等傾線方程為故等傾線方程為0 xxx 1)0(x 0)0(x例例8-2-2 8-2-2 試繪制其相軌跡試繪制其相軌跡已知某二階系統(tǒng)已知某二階系統(tǒng)xxdxxdxx xxxdxxd解：（解：（1 1）等傾線方程）等傾線方程34xx1111tgk該等傾線該等傾線顯然為直線，顯然為直線， 其斜率為其斜率為等傾線方程等傾線方程tgk對應的相軌跡經(jīng)過該等傾線的斜率，即切線斜率：對應的相軌跡經(jīng)過該等傾線的斜率，即切線斜率：為等傾線與為等傾線與x軸的夾角軸的夾角為為相軌跡切線相軌跡切線與與x軸的夾角軸的夾角的含義？的含義？35190 arctg45) 1( arctg當當 時時11tgktgk2451

18、arctg4 .63)2( arctg當當 時時xx123694215 . 002 . 04 . 011435 . 228 . 16 . 14 . 12 . 17 . 53 .114 .186 .266 .33453 .51597 . 54 .186 .267 .33453 .51592 .687 .783 .84764 .63456 .2603 .118 .218 .84766 .712 .684 .6361584 .5450 xxa=-1a=-2a=a=0a=11)0(x 0)0(x37（1）線性一階系統(tǒng)的相軌跡）線性一階系統(tǒng)的相軌跡3. 線性系統(tǒng)的相軌跡線性系統(tǒng)的相軌跡11dccccdt

19、TcT 3839（2） 二階系統(tǒng)的相軌跡二階系統(tǒng)的相軌跡0)()()(tbctcatc 二階系統(tǒng)的運動方程為二階系統(tǒng)的運動方程為當當 ，可以表示為，可以表示為0b0)()(2)(2tctctcnn )()()(),()(tbctcatctcftc babn2,其中其中124222, 1nnbaas其特征根為其特征根為40相軌跡微分方程為相軌跡微分方程為( )( )( ( ), ( )( )( )( )( )( )( )dc tc tf c t c tac tbc tdc tc tc tc t0)()(2)(2tctctcnn k)()()()()(tctbctcatdctcd令令得等傾線方程為

20、得等傾線方程為)()()(tkcatbctc其中其中,k為等傾線斜率為等傾線斜率為相軌跡上一點處切線的斜率為相軌跡上一點處切線的斜率41)()()(tkcatbctc在上式中，令在上式中，令0, 042bba可得滿足可得滿足 的兩條特殊的的兩條特殊的等傾線等傾線，其斜率為，其斜率為kkcakbc02bakk當當 時時k特殊等傾線的斜率等于位于該等傾線上相軌跡任一特殊等傾線的斜率等于位于該等傾線上相軌跡任一點的斜率，即當相軌跡運動到特殊等傾線上時，將沿著點的斜率，即當相軌跡運動到特殊等傾線上時，將沿著等傾線收斂或發(fā)散，而不可能脫離該等傾線。等傾線收斂或發(fā)散，而不可能脫離該等傾線。124222,

21、12, 12, 1nnbaask421）b0當當b0時，系統(tǒng)特征根為時，系統(tǒng)特征根為024, 0242221baasbaas討論二階系統(tǒng)的相軌跡討論二階系統(tǒng)的相軌跡0)()()(tbctcatc 43 兩條特殊的等傾兩條特殊的等傾線是相軌跡，也是其他線是相軌跡，也是其他相軌跡的漸近線，將平相軌跡的漸近線，將平面分為面分為4個區(qū)域。個區(qū)域。當初始條件位于當初始條件位于csc2系統(tǒng)趨向于原點，但是只要受到極其微小的擾動，系統(tǒng)趨向于原點，但是只要受到極其微小的擾動，系統(tǒng)將沿著系統(tǒng)將沿著 對應的相軌跡方向發(fā)散至無對應的相軌跡方向發(fā)散至無窮。窮。所以，所以，b0時，系統(tǒng)收斂時，系統(tǒng)收斂a0ba2取取（1

22、）分情況討論分情況討論此時，特征根為具有此時，特征根為具有負實部的共軛復根，負實部的共軛復根，系統(tǒng)衰減振蕩。系統(tǒng)衰減振蕩。從相軌跡上也可以看從相軌跡上也可以看出系統(tǒng)是穩(wěn)定的出系統(tǒng)是穩(wěn)定的122, 1nns1046（2）1, 12221nnnnss系統(tǒng)零輸入響應為非振蕩衰減系統(tǒng)零輸入響應為非振蕩衰減存在兩條特殊等傾線，斜率為存在兩條特殊等傾線，斜率為12211, 0ksksk當初始點落在特殊等傾當初始點落在特殊等傾線上時，將沿直線趨于線上時，將沿直線趨于原點，除此之外，相軌原點，除此之外，相軌跡沿著跡沿著s1c(t)的方向收斂的方向收斂于原點。于原點。147（3）特征根為兩個相等的負實根特征根為

23、兩個相等的負實根相軌跡的漸近線退化為相軌跡的漸近線退化為一條一條不同初始條件的根軌跡不同初始條件的根軌跡都沿著這條特殊的等傾都沿著這條特殊的等傾線趨于原點線趨于原點ns2, 1122, 1nns148（4）njs2, 1系統(tǒng)有一對純虛根系統(tǒng)有一對純虛根系統(tǒng)運動為系統(tǒng)運動為等幅振等幅振蕩運動蕩運動，相軌跡為，相軌跡為一簇橢圓一簇橢圓21,21nns 020ncc49（5）系統(tǒng)有一對具有正實系統(tǒng)有一對具有正實部的共軛復根，系統(tǒng)部的共軛復根，系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)散不穩(wěn)定，發(fā)散122, 1nns0150（6）系統(tǒng)有兩個正實特征根，系統(tǒng)有兩個正實特征根，系統(tǒng)不穩(wěn)定系統(tǒng)不穩(wěn)定112221nnnnss11 時，有

24、兩條特時，有兩條特殊等傾線殊等傾線 時，有一條特時，有一條特殊等傾線殊等傾線111514. 奇點和奇線奇點和奇線（1）奇點）奇點xxxfdxxd),(相軌跡上每一點的切線斜率為相軌跡上每一點的切線斜率為00dxxd使使成立的點稱為相平面的成立的點稱為相平面的奇點奇點奇點一定位于橫軸上，因為奇點一定位于橫軸上，因為0 x 奇點處奇點處0),(, 0 xxfxx 系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，所以系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，所以奇點奇點也是也是穩(wěn)定點穩(wěn)定點位置位置?52奇點類型奇點類型1）焦點焦點：特征根具有：特征根具有負實部的共軛復根負實部的共軛復根，奇點為，奇點為穩(wěn)穩(wěn)定焦點定焦點；當特征根具有；當特征根具有正實部的

25、共軛復根正實部的共軛復根時，奇點時，奇點為為不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點0110穩(wěn)定焦點穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點不穩(wěn)定焦點532）節(jié)點節(jié)點：當特征根具有：當特征根具有兩個負實根兩個負實根，奇點為，奇點為穩(wěn)定節(jié)點穩(wěn)定節(jié)點；當特征根具有；當特征根具有兩個正實根兩個正實根，奇點為，奇點為不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點11穩(wěn)定節(jié)點穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點不穩(wěn)定節(jié)點543）鞍點鞍點：當特征根一個為：當特征根一個為正實根正實根，一個為，一個為負負實根實根時，奇點為鞍點時，奇點為鞍點0240242221baasbaasb=0時時55xxxxfxxxxfxxxxx )0,0()0,0(),(),(若若 解析，設解析，設 為系統(tǒng)的某個奇點為

26、系統(tǒng)的某個奇點),(xxf),(00 xx可在奇點處線性化為可在奇點處線性化為實奇點實奇點：奇點位于對應的線性工作區(qū)域內：奇點位于對應的線性工作區(qū)域內虛奇點虛奇點：奇點位于對應的線性工作區(qū)域外：奇點位于對應的線性工作區(qū)域外若若 不解析，可分段線性化不解析，可分段線性化),(xxf56【例例8.2.1】非線性系統(tǒng)微分方程為非線性系統(tǒng)微分方程為025 . 02xxxx 試求系統(tǒng)奇點，并判斷奇點類型試求系統(tǒng)奇點，并判斷奇點類型解：解：xxxxdxxd)25 . 0(212120200 xxxx 00dxxd令令得兩個奇點得兩個奇點)25 . 0(),(2xxxxxfx 所以系統(tǒng)相軌跡微分方程為所以系

27、統(tǒng)相軌跡微分方程為575 . 0),(, 2),()0,0()0,0(xxxfxxxf在奇點在奇點(0,0)處處025 . 0 xxx 得特征根得特征根39. 125. 02, 1js故奇點故奇點(0,0)為穩(wěn)定焦點為穩(wěn)定焦點)25 . 0(),(2xxxxxf585 . 0),(, 2),()0, 2()0, 2(xxxfxxxf在奇點在奇點(-2,0)處處025 . 0 xxx 得特征根得特征根69. 119. 121ss故奇點故奇點(-2,0)為鞍點為鞍點)25 . 0(),(2xxxxxf59（2）奇線奇線 多個奇點共同作用，會產(chǎn)生特殊的相軌跡，多個奇點共同作用，會產(chǎn)生特殊的相軌跡，稱

28、為奇線，將相平面劃分為具有不同運動特點稱為奇線，將相平面劃分為具有不同運動特點的多個區(qū)域的多個區(qū)域 常見的奇線是常見的奇線是極限環(huán)極限環(huán)。極限環(huán)把相平面的。極限環(huán)把相平面的某個區(qū)域劃分為內部平面和外部平面某個區(qū)域劃分為內部平面和外部平面60極限環(huán)類型極限環(huán)類型1）穩(wěn)定的極限環(huán)穩(wěn)定的極限環(huán)：鄰近范圍內的相軌跡均卷向：鄰近范圍內的相軌跡均卷向極限環(huán)，其內部外部均為極限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域。系極限環(huán)，其內部外部均為極限環(huán)的穩(wěn)定區(qū)域。系統(tǒng)沿極限環(huán)的運動表現(xiàn)為自激振蕩。統(tǒng)沿極限環(huán)的運動表現(xiàn)為自激振蕩。xx tx穩(wěn)定的自激振蕩穩(wěn)定的自激振蕩612）不穩(wěn)定的極限環(huán)不穩(wěn)定的極限環(huán)：鄰近范圍內的相軌跡均卷：鄰近范圍內的

29、相軌跡均卷離極限環(huán)，鄰近區(qū)域為極限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。離極限環(huán)，鄰近區(qū)域為極限環(huán)的不穩(wěn)定區(qū)域。xx tx不穩(wěn)定極限環(huán)所表示的周期運動是不穩(wěn)定的，狀不穩(wěn)定極限環(huán)所表示的周期運動是不穩(wěn)定的，狀態(tài)只要受到微小擾動就會使狀態(tài)脫離極限環(huán)態(tài)只要受到微小擾動就會使狀態(tài)脫離極限環(huán)擾動后不出現(xiàn)自激振蕩擾動后不出現(xiàn)自激振蕩623）半穩(wěn)定的極限環(huán)半穩(wěn)定的極限環(huán)：內部卷向極限環(huán)外部卷離：內部卷向極限環(huán)外部卷離極限環(huán)，或外部卷向極限環(huán)內部卷離極限環(huán)極限環(huán)，或外部卷向極限環(huán)內部卷離極限環(huán)xx xx 內部為穩(wěn)定區(qū)域，外部為不穩(wěn)內部為穩(wěn)定區(qū)域，外部為不穩(wěn)定區(qū)域定區(qū)域內部起始出現(xiàn)自振，外部起始內部起始出現(xiàn)自振，外部起始不出現(xiàn)自振不

30、出現(xiàn)自振內部為不穩(wěn)定區(qū)域，外部為內部為不穩(wěn)定區(qū)域，外部為穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定區(qū)域內部起始不出現(xiàn)自振，外部內部起始不出現(xiàn)自振，外部起始出現(xiàn)自振起始出現(xiàn)自振635.非線性系統(tǒng)相平面分析非線性系統(tǒng)相平面分析常見非線性特性不能采用線性化方法。常見常見非線性特性不能采用線性化方法。常見非線性特性曲線的折線構成了相平面的分界線，非線性特性曲線的折線構成了相平面的分界線，稱為稱為開關線開關線【例例8.2.2】具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng)具有死區(qū)特性的非線性控制系統(tǒng))( 1)(tRtr輸入輸入初始狀態(tài)為零初始狀態(tài)為零64對于連續(xù)環(huán)節(jié)寫微分方程)()()(tKmtctcT ) 1()()(TssKsMsC)(,)()(

31、, 0)(,)()(tetektetetektm非線性環(huán)節(jié)特性為65誤差表示為誤差表示為)()()(tctrte)()()(tKmtctcT 代入代入)()()(tetrtc所以所以)()()()()(tKmtetrtetrT 0)()()(tKmteteT 整理得整理得0)()(trtr 因為因為66)(,)()(, 0)(,)()(tetektetetektm非線性環(huán)節(jié)將相平非線性環(huán)節(jié)將相平面分為三個區(qū)域面分為三個區(qū)域0)()()(tKmteteT 為便于分析，取為便于分析，取 作為狀態(tài)變量作為狀態(tài)變量)(),(tete區(qū)域區(qū)域0)(eKkeeT 0eeT 0)(eKkeeT )(te)(

32、te)(te區(qū)域區(qū)域區(qū)域區(qū)域67區(qū)域0)(eKkeeT 0eeT 0)(eKkeeT )(te)(te)(te區(qū)域區(qū)域ee,為死區(qū)特性的轉折點，也就是相平面的開關線ee 0相平面分為三個區(qū)域，每個區(qū)域有不同的模型方程68區(qū)域0)(eKkeeT 0eeT 0)(eKkeeT )(te)(te)(te區(qū)域區(qū)域將上述方程中狀態(tài)變量e(t)進行平移，得區(qū)域0)()()(eKkeeT0eeT 0)()()(eKkeeT)(te)(te)(te區(qū)域區(qū)域69若給定參數(shù)1, 1KkT得區(qū)域0)()()(eee0ee 0)()()(eee)(te)(te)(te區(qū)域區(qū)域區(qū)域、特征方程相同，為0 xxx ()dx

33、xxdxx相軌跡微分方程為奇點為)0 , 0(),(xx 70對于區(qū)域、的特征方程0 xxx 特征根為2312, 1jx所以，區(qū)域的奇點(-,0)為穩(wěn)定焦點，相軌跡為向心螺旋線(=0.5)區(qū)域的奇點(,0)為穩(wěn)定焦點，相軌跡為向心螺旋線(=0.5)0)()()(eee0)()()(eee區(qū)域區(qū)域710ee )(te區(qū)域eedeed相軌跡微分方程為所以，奇點為),(),0 ,(),(eeee 所以，區(qū)域的相軌跡沿直線收斂且特征根為1, 021xx1a72零初始條件Rtr)(0)0(, 0)0(cc狀態(tài)初始條件0)0()0()0()0(eRcre相軌跡分為三個區(qū)域，運動形式由該區(qū)域的線性微分方程的

34、奇點類型決定相軌跡在開關線上改變運動形式，系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差738-4 描述函數(shù)法描述函數(shù)法n達尼爾達尼爾(P.J. Daniel)1940年提出描述函數(shù)法年提出描述函數(shù)法n描述函數(shù)法基本思想描述函數(shù)法基本思想：系統(tǒng)滿足一定條件時，系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)在正弦信系統(tǒng)滿足一定條件時，系統(tǒng)中的非線性環(huán)節(jié)在正弦信號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導出號作用下的輸出可用一次諧波分量來近似，由此導出非線性環(huán)節(jié)的非線性環(huán)節(jié)的近似等效頻率特性近似等效頻率特性，即描述函數(shù)。，即描述函數(shù)。n描述函數(shù)法的應用：描述函數(shù)法的應用：1）分析無外作用時，非線性系統(tǒng)的）分析無外作用時，非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自振問題穩(wěn)定性

35、和自振問題2）不受系統(tǒng)階次限制不受系統(tǒng)階次限制3）只能給出頻率響應特性）只能給出頻率響應特性741.傅立葉級數(shù)n周期為T的任一周期函數(shù)f(t)，若滿足下列狄里赫萊條件，則f(t)可展開如下的傅氏級數(shù)01( )(cossin)2nnnaf tan tan t/2/22( )cos()TnTaf tn t dtT), 2 , 1(n/2/22( )()TnTbf t sin n t dtTT2稱為角頻率稱為角頻率(0,1,2,)n 其中其中75/ 2/ 2022( )cos()( )cos()TTnTaf tn t dtf tn t dtTT/2/2022( )()( )()TTnTbf t si

36、n n t dtf t sin n t dtTT因為周期函數(shù)因為周期函數(shù)f(t)的周期為的周期為T，所以，所以,/xtdxdtdtdx令則或002022( )cos()( )cos()1( )cos()TTnaf tn t dtf tnx dxTTf tnx dx20021( )()( )()Tnbf t sin n t dtf t sin nx dxT762 描述函數(shù)的基本概念描述函數(shù)的基本概念1） 描述函數(shù)的定義描述函數(shù)的定義設非線性環(huán)節(jié)輸入輸出模型描述為設非線性環(huán)節(jié)輸入輸出模型描述為)(xfy 設非線性環(huán)節(jié)輸入為正弦信號設非線性環(huán)節(jié)輸入為正弦信號tAtxsin)(對穩(wěn)態(tài)輸出進行諧波分析，

37、展開為對穩(wěn)態(tài)輸出進行諧波分析，展開為傅里葉級傅里葉級 數(shù)數(shù)，可得，可得1010)sin()sincos()(nnnnnntnYAtnBtnAAty77其中，其中，為直流分量為直流分量為為n次諧波次諧波)sin(nntnYnnnnnnBAarctgBAY,22轉換關系轉換關系nnBA ,為傅里葉系數(shù)為傅里葉系數(shù)200)()(21tdtyA20)(cos)(1ttdntyAn20)(sin)(1ttdntyBn), 2 , 1(n78若若 ， 且且 時，時， 均很小均很小00A1nnY則可以用一次諧波近似表示則可以用一次諧波近似表示非線性環(huán)節(jié)的正弦響應非線性環(huán)節(jié)的正弦響應)sin(sincos)(

38、1111tYtBtAty非線性環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)輸出中非線性環(huán)節(jié)穩(wěn)態(tài)輸出中一次諧波分量一次諧波分量和輸入信和輸入信號的復數(shù)比定義為號的復數(shù)比定義為非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)tAtxsin)(1()1111111111( )( )jj N AYYcosjYsinN AN A eeAABjAAarctgAB其中79試求其描述函數(shù)試求其描述函數(shù)解：解：80812. 一些性質一些性質1）一般情況下，）一般情況下，N(A)是是A和和的函數(shù)的函數(shù) 若非線性環(huán)節(jié)無儲能元件，則若非線性環(huán)節(jié)無儲能元件，則N(A)只是只是A的函數(shù)的函數(shù)2）如果）如果非線性環(huán)節(jié)非線性環(huán)節(jié)為輸入為輸入x的奇函數(shù)，即的奇函數(shù)，即)

39、(xfy )()(xfxf滿足滿足則則非線性環(huán)節(jié)的正弦響應是關于非線性環(huán)節(jié)的正弦響應是關于t的的奇對稱函數(shù)奇對稱函數(shù))()sin()(tytAfty82證明：證明：)()sin()(tytAfty即：即：83（1）對直流分量而言）對直流分量而言證明：證明：84（2）85y(t)t2t1t2863 典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性特性的描述函數(shù)典型非線性環(huán)節(jié)一般是典型非線性環(huán)節(jié)一般是奇函數(shù)奇函數(shù)，且具有分段線性特性，且具有分段線性特性【例例8.3.1】計算如圖所示繼電特性的描述函數(shù)計算如圖所示繼電特性的描述函數(shù)xy0MM解：繼電特性的特性方程為解：繼電特性的特性方程為0,0, 00,)(xMx

40、xMxfy繼電特性函數(shù)為奇函數(shù)，因為繼電特性函數(shù)為奇函數(shù)，因為)()(xfxf所以所以00A87xy0MM)(tyt0)(tx2( )x t當 時( )( sin),00,2y tf AtMttMttAxsin88當 時,0( )(sin)0,2Mty tf AttMttAxsin2, 00,)sin()(tMttMtAfty)()(tyty所以，所以，y(t)為奇函數(shù)為奇函數(shù)01A89MMtMttdMttdtyB4)0cos(cos2)cos(2 )(sin2)(sin)(100201AMABAN4)(1繼電非線性的描述函數(shù)繼電非線性的描述函數(shù)90 xf(x)y(t)9192(1)(1)(2

41、)(2)93 描述函數(shù)的物理意義描述函數(shù)的物理意義 線性系統(tǒng)的頻率特性線性系統(tǒng)的頻率特性 是頻率是頻率的函數(shù)，的函數(shù)，而與而與輸入正弦信號幅值無關輸入正弦信號幅值無關)(jG 在無儲能元件的情況下，在無儲能元件的情況下，非線性環(huán)節(jié)的描述非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)是輸入正弦信號幅值函數(shù)是輸入正弦信號幅值A的函數(shù)的函數(shù)N(A)，描述函數(shù)，描述函數(shù)可以認為是輸入幅值可以認為是輸入幅值A的的復變增益放大器復變增益放大器941. 非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應用條件非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析的應用條件1）系統(tǒng)簡化為一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)）系統(tǒng)簡化為一個非線性環(huán)節(jié)和一個線性部分閉環(huán)連接的典型結構形式連接的

42、典型結構形式0)(tr)(tc)(tx)(ty( )N A)(sG4 非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的描述函數(shù)法953）系統(tǒng)的線性部分應具有較好的低通濾波特性，可）系統(tǒng)的線性部分應具有較好的低通濾波特性，可將高次諧波分量大大削弱，閉環(huán)通道內近似只有一次將高次諧波分量大大削弱，閉環(huán)通道內近似只有一次諧波通過，從而保證描述函數(shù)法的結果比較準確諧波通過，從而保證描述函數(shù)法的結果比較準確2）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性）非線性環(huán)節(jié)的輸入輸出特性f(x)應是應是x的奇函數(shù)，的奇函數(shù)，即即 ,或者或者y(t)為奇對稱函數(shù)，以保證非為奇對稱函數(shù)，以保證非線性環(huán)節(jié)的正弦響應不含有直流分量，即

43、線性環(huán)節(jié)的正弦響應不含有直流分量，即)()(xfxf00A960)(tr)(tc)(tx)(ty)(AN)(sG非線性系統(tǒng)整理為如下的典型結構，用描述非線性系統(tǒng)整理為如下的典型結構，用描述函數(shù)函數(shù)N(A)近似表示非線性環(huán)節(jié)近似表示非線性環(huán)節(jié)若非線性環(huán)節(jié)和線性部分滿足描述函數(shù)應用的若非線性環(huán)節(jié)和線性部分滿足描述函數(shù)應用的條件，則描述函數(shù)可以作為一個具有可變增益的比條件，則描述函數(shù)可以作為一個具有可變增益的比例環(huán)節(jié)，于是系統(tǒng)近似為一個等效的線性系統(tǒng)例環(huán)節(jié)，于是系統(tǒng)近似為一個等效的線性系統(tǒng)1.變增益線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析變增益線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析97變增益系統(tǒng)如圖變增益系統(tǒng)如圖)(tr)(tc)(te

44、K)(sGK 為比例環(huán)節(jié)增益為比例環(huán)節(jié)增益設設G(s)的極點均位于的極點均位于s左半平面，即左半平面，即P=0閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的頻率特性為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的頻率特性為0)(1jGK98j002NPZG10)(1jGK或寫為或寫為01)(jKjG（1）若）若K=1，為常值，則簡化為普，為常值，則簡化為普通的通的Nyquist穩(wěn)定性判斷問題，只要穩(wěn)定性判斷問題，只要則系統(tǒng)穩(wěn)定，即則系統(tǒng)穩(wěn)定，即 曲線不包圍曲線不包圍(-1,j0)點點G（2）若）若K為其它常值，則為根據(jù)為其它常值，則為根據(jù) 曲線曲線 圍繞情況穩(wěn)定性判斷問題圍繞情況穩(wěn)定性判斷問題對對(-1/K,j0)點點G99j0G11K01)(jK

45、jG（3）若）若K是變化的，是變化的，如如21K21KKK則則 為實軸上的一段直線為實軸上的一段直線)0,1(jK若若 不包圍這段曲線，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系不包圍這段曲線，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定統(tǒng)不穩(wěn)定G1002.應用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性應用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性0)(tr)(tc)(tx)(ty)(AN)(sG用描述函數(shù)用描述函數(shù)N(A)近似表示非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)如圖近似表示非線性環(huán)節(jié)的系統(tǒng)如圖系統(tǒng)特征方程為系統(tǒng)特征方程為0)()(1jGAN0)(1)(jANjG即即)(1AN稱為非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù)稱為非線性環(huán)節(jié)的負倒描述函數(shù)101曲線和曲線和 曲線曲線在復平面上分別

46、繪制在復平面上分別繪制)(1ANGj0)(jG)(1AN圖圖A(1)兩條曲線不相交兩條曲線不相交兩條曲線不相交，表明特兩條曲線不相交，表明特征方程征方程0)()(1jGAN無實數(shù)無實數(shù)解解則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅A會增大會增大曲線包圍曲線包圍 曲線曲線)(1AN)(jG如果如果102j0)(jG)(1AN圖圖B所以，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅所以，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，振幅A會減小會減小曲線不包圍曲線不包圍 曲線曲線)(1AN)(jG如果如果103非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)若若 曲線不包圍曲線不包圍 曲線曲線,則系統(tǒng)穩(wěn)定則系統(tǒng)穩(wěn)定)(1AN)(jG若若 曲線包圍曲線包圍 曲線曲線

47、,則系統(tǒng)不穩(wěn)定則系統(tǒng)不穩(wěn)定)(1AN)(jG104【例例8.3.2】非線性系統(tǒng)如圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性非線性系統(tǒng)如圖，分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性)(tr)(tc)(tx)(ty) 14)(1(10sssxy115 . 0k解：對于線性環(huán)節(jié)來說解：對于線性環(huán)節(jié)來說21x8)(xjGsssssssG2325410)154(10)()14(510)(5)(410)(2223jjjjjG105AMkAN41)(1所以，所以，21)(1,0)0(1kNNj0)(jG)(1AN82曲線包圍曲線包圍 曲線曲線G)(1AN所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定所以，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定查表（查表（P.380）得非線性環(huán)節(jié)描述函數(shù)為）得非線性環(huán)節(jié)

48、描述函數(shù)為AMkAN4)(106(2)兩條曲線相交兩條曲線相交若若 曲線和曲線和 曲線相交，表明方程曲線相交，表明方程)(1AN)(jG0)()(1jGAN有實數(shù)有實數(shù)解，則系統(tǒng)存在無外力作用的周期運動。解，則系統(tǒng)存在無外力作用的周期運動。兩曲線相交時兩曲線相交時1()()GjNA )()()(1)(ANjGANjG任意交點任意交點實軸交點實軸交點1()( )G jN A 107由此可解得兩曲線相交處的頻率由此可解得兩曲線相交處的頻率和幅值和幅值A。系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為等幅振蕩。等幅振蕩。使下式成立使下式成立或或對應著一個對應著一

49、個正弦周期運動正弦周期運動。若系統(tǒng)擾動后，上述周期運動經(jīng)過一段時間，振若系統(tǒng)擾動后，上述周期運動經(jīng)過一段時間，振幅仍能恢復幅仍能恢復 ，則具有這種性質的周期運動，則具有這種性質的周期運動，稱為稱為自激振蕩自激振蕩。便有便有沒有外界周期變化信號的作用沒有外界周期變化信號的作用108系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為系統(tǒng)處于周期運動時，非線性環(huán)節(jié)的輸入近似為等幅振蕩等幅振蕩tAtxsin)(穩(wěn)定的周期運動穩(wěn)定的周期運動：外界小擾動作用使系統(tǒng)偏離周：外界小擾動作用使系統(tǒng)偏離周期運動，當擾動消失后，系統(tǒng)的運動仍能恢復原期運動，當擾動消失后，系統(tǒng)的運動仍能恢復原周期運動。周期運動。（自激振蕩）自激振蕩）沒有外界周期變化信號的作用沒有外界周期變化信號的作用109圖圖A：交點標記為：交點標記為N0 交點處周期運動振幅為交點處周期運動振幅為A0j0)(jG)(1AN0N圖圖A1N2N假設系統(tǒng)受小的擾動，使假設系統(tǒng)受小的擾動，使01AAA所以，振幅將增大到所以，振幅將增大到A0因為因為 曲線包圍曲線包圍 曲線，系統(tǒng)不穩(wěn)定曲線，系統(tǒng)不穩(wěn)定)(1AN)(jG若若02AAA系統(tǒng)穩(wěn)定，所以振幅衰減至系統(tǒng)穩(wěn)定，所以振幅衰減至A0所以所以N0點的周期運動是穩(wěn)定的點的周期運動是穩(wěn)定的110j0)(jG)(1AN0N圖圖B1N2N圖圖B： 交點處周期運動振幅為交點處