第4章最小二乘法

1、211)(xxf101000111001110( )( ) ( )()()()()( )()()()()iiiiiiiiiiiiLxf x l xxxxxxxxxl xxxxxxxxx解：畫出的圖形如圖所示。4.4 分段插值法 給定 (x-5,5)。取等距節(jié)點(diǎn)xi=-5+i(i=0,1,10), 試建立插值多項(xiàng)式L10(x), 并作圖形, 觀察L10(x)對f(x)的逼近效果。 分段三次埃爾米特插值為了避免Runge現(xiàn)象的發(fā)生, 很自然地會(huì)想到把區(qū)間-5, 5等分為10個(gè)小區(qū)間, 在每一個(gè)小區(qū)間內(nèi)應(yīng)用低次插值。但由于每個(gè)小區(qū)間只有兩個(gè)端點(diǎn)（插值節(jié)點(diǎn)）, 按照已知的方法, 得到的將是一個(gè)分段線性

2、插值函數(shù)。 已知xi,f(xi),f(xi)(i=0,1,n),求分段三次插值函數(shù)H(x)滿足 H(xi)=f(xi),H(xi)=f(xi)i=0,1,n為了得到插值函數(shù),考慮任意子區(qū)間xi,xi+1,i(0,1,n-1), 采用Lagrange插值函數(shù)結(jié)構(gòu), 在第i個(gè)子區(qū)間上H(x)=f(xi)h1(x)+f(xi+1)h2(x)+f(xi)h3(x)+f(xi+1)h4(x) 這樣，就把H(x)的構(gòu)造問題轉(zhuǎn)化為四個(gè)插值基函數(shù)hk(x)(k=1,2,3,4)的構(gòu)造問題。 4.5 三次樣條插值三次樣條插值 “樣條”一詞本來是指在飛機(jī)或輪船設(shè)計(jì)過程中為了描繪出光滑的外形曲線所用的一種工具，即一

3、個(gè)具有彈性的細(xì)長木條。事實(shí)上，在作了某些近似簡化后，樣條的數(shù)學(xué)模型并不復(fù)雜，它只是分段的三次多項(xiàng)式曲線：在相鄰兩塊壓鐵之間是三次多項(xiàng)式曲線；在壓鐵處，左右兩段曲線的切線和曲率是連續(xù)的。 定義 給定a,b的分劃：a=x0 x1xn=b, 如果函數(shù)s(x)在區(qū)間a,b上滿足以下條件： （1）在每一個(gè)子區(qū)間（xi,xi+1）(i=0,1,n-1) 上s(x)是三次多項(xiàng)式； （2） s(x)在區(qū)間a,b上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)； （3）s(xi)=yi(i=0,1,n),s(x0)=y0,s(xn)=yn。稱s(x)為三次樣條函數(shù)。 曲線擬合法曲線擬合法 設(shè)一組觀測數(shù)據(jù)為 xx0 x1 x2 x3 xnyy

4、0 y1 y2 y3 yn 其中xixj(ij),我們要根據(jù)這一系列數(shù)據(jù)找出函數(shù)關(guān)系y=f(x)。 若用插值函數(shù)(x)代替函數(shù)關(guān)系f(x),要求滿足插值原則 (xi)=f(xi), i=0,1,2,n 由于觀測點(diǎn)和觀測數(shù)據(jù)本身就有誤差,就會(huì)使函數(shù)保留這些誤差,而影響逼近函數(shù)的精度。 在實(shí)際問題中,往往并不要求近似函數(shù)(x)所表示的曲線通過這些觀測點(diǎn),而只要求由已知數(shù)據(jù)(xi,yi) (i=0,1,n)找出x,y之間的依賴關(guān)系,使得近似函數(shù)(x)能充分地反映函數(shù)y=f(x)的大致面目,也即與f(x)有最好的擬合(或逼近)。這就是曲線擬合問題。 例如,已知數(shù)據(jù) x0 1 2 3 4 5y1 1.6

5、 2.1 2.4 3.2 3.4我們可以用近似函數(shù)011( )12xaa xx 圖 4.4 因?yàn)榍€擬合問題并不要求滿足插值原則 (xi)=yi, i=0,1,2,n 故在節(jié)點(diǎn)x0,x1,x2,xn上(x)與f(x)有誤差 ri=(xi)-yi, i=0,1,2,n 稱ri為用(x)擬合f(x)的偏差。 我們僅對(x)為多項(xiàng)式情形進(jìn)行討論。 當(dāng)由實(shí)驗(yàn)提供了大量數(shù)據(jù)時(shí),不能要求擬合函數(shù) 在數(shù)據(jù)點(diǎn) 處的偏差, (i=1,2,m) 嚴(yán)格為零,但為了使近似曲線盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢 ,需對偏差有所要求.通常要求偏差平方和 最小,此即稱為最小二乘原理),(yxiiyxiii)( mimiiyxii

6、1212)(|)(x 最小二乘法的求法yxxxxyxxaxyxaayyaaaaaaiimijjikimijkjminkmiijiijikkmiijinkikkjmiiinnnfxxxy)(,)()(,:)()()()()(:min)(),.,()(.)()(:* 11101101210110002 :020,n)mm若引入記號(hào)得可得求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零對函數(shù)組數(shù)據(jù)且共有設(shè)近似方程為 就是所求的擬合函數(shù)存在唯一解線性無關(guān)時(shí)當(dāng)可知可得矩陣則有 niiinnnnnnnnnjkjkxnixxxfffnjfaaaaa0i101010101110101000n0k10 ,10:a)(),.,()(),.()

7、,(,.,.,.,.,.,.,),.,(,最小二乘法的幾種特例)(),.,1 , 0(.n)mm(,.)(:,. 11021122210 xnimxxayxyxyaaaxxxxxxxxxaxaaaiiniiiinninininiiiniinn即可求得擬合函數(shù)由此可得到相應(yīng)的系數(shù)組數(shù)據(jù)且共有的相應(yīng)法方程組則以同樣原理即擬合函數(shù)式擬合函數(shù)常為代數(shù)多項(xiàng)見情況作為曲線擬合的一種常即可解得即對于擬合函數(shù)擬合這就是用途最廣的線性時(shí)特別的當(dāng)bayxybaxxxxbayiiiiiim0000200,.,1n. 2例 題 下面舉個(gè)例子以說明用最小二乘法解題的步驟。例例 電流通過 2電阻，用伏安法側(cè)得的電壓電流如

8、表 I(A)1246810 V(V)1.83.78.212.0 15.8 20.2用最小二乘法處理數(shù)據(jù)。解解 1.確定 V=(I)的形式。 將數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪在坐標(biāo)上 （如下圖） ，可以看出這些點(diǎn)在一條直線的附近，故用線形擬合數(shù)據(jù)，即 2.建立方程組。IaaV10 例 設(shè)有一組數(shù)據(jù)表 x1345678910y2781011111098試用二次多項(xiàng)式來擬合這組數(shù)據(jù)。解 首先算出 999999922341111111,iiiiiiiiiiiiiiiixyx yxx yxx 的值分別為53,76,489,381,3547,3017,25317,然后得到正則方程組 90+531+3812=76 530+38

9、11+30172=489 3810+30171+253172=3547 解得 0=-1.4597,1=3.6053,2=-0.2676 因此所求的二次多項(xiàng)式 P2(x)=-1.4597+3.6053x=0.2676x2 給出的數(shù)據(jù)和二次多項(xiàng)式表示的曲線見圖4.5。 圖 4.5 最后必須指出,在實(shí)際問題中,近似函數(shù)(x)的選取只能憑經(jīng)驗(yàn)得到。例 (1)加速度與時(shí)間的關(guān)系是線性關(guān)系,可選取 (x)=0+1x (2) 炮彈在空中的高度與時(shí)間的關(guān)系近似于拋物線,可選取 (x)=0+1x+2x2此外,當(dāng)(x)不是多項(xiàng)式時(shí),如 (1)冪函數(shù) (x)=axb(2)指數(shù)函數(shù) (x)=aebx(3)對數(shù)函數(shù) (x)=a+blnx 例 求一個(gè)經(jīng)驗(yàn)函數(shù) (x)=aebx (a,b為常數(shù)) 使它能和下面給出的數(shù)據(jù)相擬合。 x12345678y15.320.527.436.649.165.687.8117.6解 對經(jīng)驗(yàn)公式兩邊取對數(shù)得 ln(x)=lna+bx 令 A=lna,B=b u=ln(x) 則 u=A+