2第4章鉆柱彎曲-屈曲理論

1、鉆柱的縱彎（屈曲）1.理論研究狀況韓志勇韓志勇石油大學（華東）石油大學（華東）2002年元月年元月講講鉆柱的縱彎（屈曲）n概念：概念：n鉆柱受軸向壓力而失去穩(wěn)定性，發(fā)生彎曲，稱為縱彎，或“屈屈曲曲”。n類型：類型：n正弦屈曲（初始屈曲）；n螺旋屈曲n研究鉆柱屈曲問題的意義：研究鉆柱屈曲問題的意義：n在垂直井中： 不允許鉆桿受壓。所以更不允許鉆桿發(fā)生屈曲。 允許鉆鋌受壓。從鉆鋌強度考慮，允許鉆鋌彎曲；但從井眼軌跡控制考慮，鉆鋌彎曲將使鉆頭軸線偏斜，又可能導(dǎo)致井眼彎曲。n在定向井中：n倒裝鉆具組合，鉆鋌安置在鉆桿的上面，為鉆桿提供軸向壓力。n允許鉆桿受壓，但不允許鉆桿彎曲。所以要特別提出對鉆桿曲屈

2、狀況進行校核。n鉆柱出現(xiàn)彎曲，特別是螺旋彎曲之后，鉆柱與井壁接觸，增大鉆柱與井壁的摩阻力。而且，隨著軸向壓力的增大，彎曲螺距縮短，摩阻力更大，甚至將鉆住“鎖住”，無法前進，無法給鉆頭加壓。所以，定向井、水平井、大位移井等，不允許鉆柱發(fā)生失穩(wěn)屈曲。講講鉆柱的縱彎（屈曲）n直井鉆柱的失穩(wěn)彎曲：直井鉆柱的失穩(wěn)彎曲：n直井中鉆鋌、鉆桿在自重壓力作用下的臨界失穩(wěn)長度。nLubinski 先生經(jīng)過數(shù)學力學推導(dǎo)，給除了一次彎曲的臨界受壓長度、臨界鉆壓公式：mL04. 21mmqW04. 21一次彎曲的臨界受壓長度一次彎曲的臨界受壓長度一次彎曲的臨界鉆壓一次彎曲的臨界鉆壓3mqIEm無因次單位長度無因次單位長

3、度楊氏模量，楊氏模量，20.594x1010Pa鉆桿斷面軸慣性鉆桿斷面軸慣性矩，矩，m4鉆柱在泥漿中每鉆柱在泥漿中每米重力，米重力，N/m講講鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立微分方程的建立n建立微分方程的目的： 研究鉆柱在自重作用下去失穩(wěn)屈曲的彎曲形狀時什么樣？ 用數(shù)學方程表示彎曲形狀； 受壓長度與彎曲形狀的關(guān)系，受壓長度對彎曲形狀的影響；n臨界長度： 受壓長度較短時，鉆柱不發(fā)生彎曲； 受壓長度達到一定值時，開始發(fā)生一次彎曲，將此受壓長度稱作“臨界長度臨界長度”； 臨界長度的頂點，乃是“中性點中性點”；n截面法：在受壓段上，任取一點S

4、，S點所在斷面為MN斷面。從此處斷開，進行研究講講鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立微分方程的建立nMN斷面處鉆柱軸線的傾斜角為； 建立坐標系0-XY，微段長度的關(guān)系：n研究斷面以下分離體的受力狀況：W斷面以下鉆柱重力；F地層給鉆頭的反力，與鉆 壓大小相等，方向相反；W2F力在鉛垂方向的分量；F2F力在水平方向的分量；FS斷面上的軸向力；QS斷面上的剪力；MS斷面上的彎矩；dXdYtg22dXdYdL鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立程的建立n分離體處在靜力平衡狀態(tài)下，所有

5、力的合力（矢量合）等于零。n將所有力投影到MN所在的斷面上，則在MN方向上，所有力的合力也應(yīng)該等于零。n由于角非常小，所以可近似認為：n(1)式可變?yōu)椋?22ssFQWFW0sincossin22sQWFWcossin)(22FWWQs（1）1costgsin鉆柱的縱彎（屈曲） Lubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立 (1)式可變?yōu)椋?W2，從數(shù)值上講，等于中性點一下鉆柱在泥漿重的重力，即： 則得： 代入（2）式中， 由材料力學得： （3）=（4）：22)(FdXdYWWQs（2）mqXW22mqXXW)(2mXqWW22FdXdYXqQms（3

6、）3322;dXYdEIdXdMQdXYdEIMsss（4）0233FdXdYXdXYdEI（5）鉆柱的縱彎（屈曲鉆柱的縱彎（屈曲） Lubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立Lubinski對公式（5）的簡化： (5)式已經(jīng)是微分方程，可以直接求解了，但由于(5)式中得I和qm對于不同的鉆柱是不同的，只能求解某個特定尺寸的鉆柱。為了使求解使用所有鉆柱，講公式(5)進行無因次化。 令： 如何理解無因次量的單位m？ 有一表示時間的量Y(小時)，1小時=60分，Y小時=ym，y=1，m=60分； X、Y坐標原單位為米，先將X、Y坐標用mx、my代替，其中

7、x、y代表量值，m代表單位。例如：X=50米，Y=60米，假設(shè)m=5米，則x=10，y=12； x、y是無因次量；m是無因次量的單位。02EIFdXdYEIXqdXdYm（5）ymYxmXX和Y本來是由因次的，其因次是長度。X、Y用無因次的x、y表示，則m就是無因次量的單位。m表示一個無因次單位的長度。鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立nm是一個根據(jù)公式導(dǎo)出的單位。根據(jù)： 可得：ymYxmXdxdymdxmdymxdmyddXdY)()(22221)(1)()()(dxydmdxdydxdmdXdYmxdddXdYdXdd

8、XYd3322222222331)(1)1()()(dxydmdxyddxdmdxydmmxdddXYddXddXYd（6）（7）（8）dxdydXdY22221dxydmdXYd332331dxydmdXYd鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立n將（6）、（8）二式代入（5）式中，得：n令：0132333mqmEIqFdxdyxmEIqdxydmmmmqEIm 3令：令：3mqEIm 代入（代入（9）式中，得：）式中，得：0233mqFdxdyxdxydmmqFcm2033cdxdyxdxyd（10）（9）這就是這就是 L

9、ubinski 先生推導(dǎo)的直井內(nèi)鉆柱彎曲微分方程。先生推導(dǎo)的直井內(nèi)鉆柱彎曲微分方程。鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立n（10）中的c也是無因次量。所以，（10）是具有普遍性。求得的解，對各種鉆柱都適用。nLubinski先生利用貝賽爾函數(shù)對該微分方程進行求解，解決了如下問題： 鉆柱開始失穩(wěn)屈曲時的鉆壓臨界鉆壓（W1） 與臨界鉆壓相對應(yīng)的臨界受壓長度（L1）； 彎曲鉆柱與井壁的切點的位置（H1）； 彎曲鉆柱各斷面（包括鉆頭處）的傾角； 各彎曲斷面上的彎矩M； 假設(shè)彎曲為平面彎曲，導(dǎo)出了二次彎曲的臨界鉆壓和發(fā)生二次彎曲后的曲

10、線形狀，等等；033cdxdyxdxyd（10）鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立分方程的建立n直徑鉆柱的彎曲過程： 當受壓長度等于L1時，鉆柱發(fā)生第一次彎曲（紅線）； 繼續(xù)增加鉆壓，受壓長度增大，中性點上移，切點下移（黑線），鉆頭傾角增大； 再繼續(xù)增加鉆壓，受壓長度繼續(xù)增大，中性點再上移，切點再下移（綠線），鉆頭傾角繼續(xù)增大； 當受壓長度達到L2時，中性點以下鉆柱出現(xiàn)二次彎曲（藍色線），鉆頭傾角突然變小，比一次臨界彎曲時的傾角還小。鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立微分方程的

11、建立n具有重大意義的是發(fā)生一次彎曲式的臨界值： 臨界受壓長度： 臨界鉆壓： 鉆頭處的傾角：mqmW04. 21mL04. 21)02. 1 (1mrtgb)(5 . 0chDDrDh井眼直徑；Dc鉆柱直徑；鉆柱的縱彎（屈曲）nLubinski 的垂直井眼的垂直井眼內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的內(nèi)鉆柱彎曲微分方程的建立建立n一個似是而非的問題： 二次臨界彎曲參數(shù)為： 二次彎曲時的鉆頭傾角，顯然小于一次彎曲的傾角。于是有人想將此原理用于打直井。 60年代初到80年代中期，此理論曾充斥我國鉆井現(xiàn)場mqmW05. 42mL05. 42)44. 0(1mrtgb彎曲狀態(tài)彎曲狀態(tài)鉆頭傾角鉆頭傾角一次臨界彎曲一次臨界

12、彎曲二次彎曲出現(xiàn)二次彎曲出現(xiàn)前的瞬間前的瞬間二次臨界彎曲二次臨界彎曲)44. 0(1mrtgb)5 . 1 (1mrtgb)02. 1 (1mrtgb實際情況不可能出現(xiàn)二次彎曲：實際情況不可能出現(xiàn)二次彎曲：1. 鉆鋌上多帶有扶正器；2. 井眼不可能絕對垂直；3. 鉆柱是不斷旋轉(zhuǎn)的；實際將出現(xiàn)螺旋彎曲。實際將出現(xiàn)螺旋彎曲。講講鉆柱的縱彎（屈曲n定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：n1. 美國人Woods在與Lubinski研究直井鉆柱屈曲時，也研究了傾斜井眼內(nèi)鉆柱的屈曲問題，給出了傾斜井眼中由于鉆柱自重引起的螺旋彎曲的臨界公式： 值得注意的是，該公式重的W乃是鉆壓，即鉆柱的自重形成的

13、軸向壓力。這與后來一些研究者用Fcrit 作為兩端軸向力研究失穩(wěn)屈曲，是有差別的。511115. 0sin2rmmqWmm一個無因次單位的長度，一個無因次單位的長度，ft；左邊式中，左邊式中，W鉆壓鉆壓,lb；qm鉆鋌線浮重，鉆鋌線浮重，lb/ft；E鋼材彈性模量，鋼材彈性模量，4176x106 lb/in2；I鉆鋌截面軸慣性矩鉆鋌截面軸慣性矩ft4，；，；r視半徑，視半徑，ft ；井斜角；井斜角；)(5 . 0chDDr）44(64cicoDDI講講鉆柱的縱彎（屈曲）n定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：n2. 20世紀50年代，Lubinski和Woods在研究鉆柱彎曲問題時，

14、對傾斜井眼內(nèi)鉆柱的失穩(wěn)屈曲，進行了實驗研究。根據(jù)試驗曲線，回歸了發(fā)生屈曲的臨界壓力計算公式：n3. 20世紀80年代，Dellinger對Lubinski試驗曲線進行了重新回歸，得到了另一個計算公式： 511. 0496. 0504. 0)sin()(85. 2rqEIFmcrit436. 0522. 0479. 0)sin()(93. 2rqEIFmcrit)(5 . 0chDDrFcrit屈曲臨界軸向壓力屈曲臨界軸向壓力；左邊二式中，左邊二式中，qm鉆鋌線浮重鉆鋌線浮重；E鋼材彈性模量，鋼材彈性模量，；I鉆鋌截面軸慣性矩鉆鋌截面軸慣性矩；r視半徑視半徑；井斜角；井斜角；講講鉆柱的縱彎（屈曲

15、n定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：n4. 1984年Dowson首次提出傾斜井眼內(nèi)鉆柱發(fā)生正弦屈曲的載荷計算公式，又稱Dowson公式：rEIqFmsin2sin這就是著名的這就是著名的Dowson公式，在工程上得到了廣泛應(yīng)用。公式，在工程上得到了廣泛應(yīng)用。)sin1()(442222rqEILnnLEInFmcr式中，式中，n為鉆柱變形的半波數(shù)。為鉆柱變形的半波數(shù)。n的大小與鉆柱長度的大小與鉆柱長度L有關(guān)。顯然，有關(guān)。顯然，臨界屈曲載荷應(yīng)該是上式計算的最小值。為求得最小臨界值，臨界屈曲載荷應(yīng)該是上式計算的最小值。為求得最小臨界值，Dowson將將n看作是連續(xù)變量，即認為鉆柱長

16、度為無限長。則根據(jù)看作是連續(xù)變量，即認為鉆柱長度為無限長。則根據(jù)一階導(dǎo)數(shù)等于零，可求得：一階導(dǎo)數(shù)等于零，可求得：41sinEIrqLnm則得：則得：講講鉆柱的縱彎（屈曲n定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：n5. 1989年，Yu-che Chen等人，提出在斜直井眼和水平井眼中鉆柱發(fā)生螺旋屈曲的臨界軸向壓力計算公式：rEIqFmhelsin22)sin81(4)(442222rqEILnnLEInFmcr與Dowson的處理方法相同，令：0nFcr求得：求得：418sinEIrqLnm可得：可得：講講鉆柱的縱彎（屈曲n定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲：n6. 吳疆（

17、Jiang Wu）等人對水平井眼內(nèi)鉆柱曲屈的研究，得出：n7. Mitchell通過對非線性微分方程的求解，得出了傾斜井眼內(nèi)出現(xiàn)螺旋屈曲的臨界壓力計算公式：rEIqFm2sinrEIqFmhel) 122(2rEIqFmhelsin24講講鉆柱的縱彎（屈曲）n定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲定向井中鉆柱的失穩(wěn)屈曲n8. Jiang Wu關(guān)于彎曲井眼彎曲井眼內(nèi)鉆柱的時穩(wěn)屈曲研究：n正弦屈曲載荷：n平均螺曲載荷：n最終螺曲載荷 EIqrRrREIFmcr4sin1142EIqrRrREIFmhel4sin1182EIqrRrREIFmhel4sin11122為平均井斜角。為平均井斜角。 R為彎曲段井眼曲率半

18、徑為彎曲段井眼曲率半徑 。 講講鉆柱的縱彎（屈曲）n定向井鉆柱屈曲問題的討論定向井鉆柱屈曲問題的討論n正弦屈曲公式：正弦屈曲公式：nLubinski的公式，若近似認為，0.5111150.5，則該公式可以變?yōu)榕cDowson公式完全相同。n對臨界正弦屈曲，所有公式基本上相同。511115. 0sin2rmmqWmrEIqFmsin2sinrEIqFm2sin（Lubinski）（Dowson）（Yu-che Chen）（Jiang Wu水平井）講講鉆柱的縱彎（屈曲）n定向井鉆柱螺旋屈曲公式的討論定向井鉆柱螺旋屈曲公式的討論511. 0496. 0504. 0)sin()(85. 2rqEIFmc

19、rit436. 0522. 0479. 0)sin()(93. 2rqEIFmcritrEIqrEIqFmmhel83. 222rEIqrEIqFmmhel657. 3) 122(2rEIqrEIqFmmhel657. 5sin24（Woods）（Dellinger）（Yu-che Chen）（Jiang Wu）（Mitchell）顯然，前三個公式比較接近，與后兩個公式相差較大。顯然，前三個公式比較接近，與后兩個公式相差較大。講講鉆柱的縱彎（屈曲）n于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究n上述所有公式中，都沒有受壓鉆柱的長度參數(shù)，似乎鉆柱的臨界屈曲壓力與受壓長度無

20、！這顯然是不正確的。n石油大學（華東）于永南教授對鉆柱的屈曲問題進行了系統(tǒng)研究： 用解析法和能量法研究了垂直井眼中鉆柱臨界鉆壓。結(jié)果與Lubinski50年代的結(jié)果完全相同。 用能量法研究了水平井眼中鉆柱的屈曲問題； 用能量法研究了斜直井眼中鉆柱在鉛垂平面內(nèi)的屈曲問題； 用能量法研究了斜直井眼中鉆柱的側(cè)向屈曲問題； 用能量法研究了恒曲率彎曲井眼中鉆柱的屈曲問題； 用能量法研究了斜直井眼中鉆柱的螺旋屈曲問題； 用有限元法對斜直井眼中鉆柱側(cè)向屈曲問題進行了分析； 用有限元法對彎曲井眼中鉆柱側(cè)向屈曲問題進行了分析； 把有限元分析與能量法分析結(jié)果進行了對比；講講鉆柱的縱彎（屈曲）n于永南關(guān)于定向井鉆柱

21、屈曲問題的研究于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究n水平井眼中鉆柱的屈曲臨界載荷水平井眼中鉆柱的屈曲臨界載荷rEIqPmcr22221nnooLrEIqmo4 由于由于n不是連續(xù)數(shù)，不是連續(xù)數(shù)，所以不能用一階導(dǎo)輸?shù)人圆荒苡靡浑A導(dǎo)輸?shù)扔诹愕霓k法求于零的辦法求Pcr的極的極值來確定臨界屈曲載荷。值來確定臨界屈曲載荷。n受壓段鉆柱的屈曲半波數(shù)，是1、2、3正整數(shù)；式中，L受壓段鉆柱的長度；假設(shè)兩端鉸支：假設(shè)兩端鉸支：假設(shè)兩端固定：假設(shè)兩端固定：oo21sin) 1(21sin) 1(22鉆柱的縱彎（屈曲）n于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究n水平井眼中鉆柱的屈曲臨界

22、載荷水平井眼中鉆柱的屈曲臨界載荷n水平井眼中鉆柱水平井眼中鉆柱屈曲臨界載荷，屈曲臨界載荷，隨著受壓長度而隨著受壓長度而變化。變化。n當受壓長度趨向當受壓長度趨向一個很大值時，一個很大值時，公式中的公式中的=1，于永南公式就變于永南公式就變成了成了Dowson公式。公式。鉆柱的縱彎（屈曲）n于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究n斜直井眼中鉆柱的屈曲臨界載荷斜直井眼中鉆柱的屈曲臨界載荷2cosmin22LqnBnPPmecr22LEIPerEILqBm24sinn受壓段鉆柱的屈曲半波數(shù)，是1、2、3正整數(shù)；式中，L受壓段鉆柱的長度； 由于由于n不是連續(xù)不是連續(xù)數(shù)，所

23、以不能用一階數(shù)，所以不能用一階導(dǎo)輸?shù)扔诹愕霓k法求導(dǎo)輸?shù)扔诹愕霓k法求Pcr的極值來確定臨界的極值來確定臨界屈曲載荷。屈曲載荷。 在給定在給定L條件下條件下，可以求得一個使，可以求得一個使Pcr最小的最小的n，即為臨界，即為臨界屈曲的半波數(shù)。屈曲的半波數(shù)。Pe歐拉臨界彎曲壓力；B過渡參數(shù)；鉆柱的縱彎（屈曲）n于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究n等曲率彎曲井眼中鉆柱的屈曲臨界載荷等曲率彎曲井眼中鉆柱的屈曲臨界載荷2222*2211411nRMCnBnnMPPecr2211RC22LEIPerEILqBm24*sin221RrRMn受壓段鉆柱的屈曲半波數(shù)，是1、2、3正整數(shù)；式中，式中，R受壓鉆柱曲率半徑；L受壓段鉆柱的長度；鉆柱的縱彎（屈曲）n于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究于永南關(guān)于定向井鉆柱屈曲問題的研究n斜直井眼中鉆柱螺旋屈曲的臨界載荷斜直井眼中鉆柱螺旋屈曲的臨界載荷2cos22422LqTmLmBmPPmecr22LEIPerEILqBm24sinSLm m受壓段鉆柱的螺旋圈數(shù)，