數(shù)學家的故事：數(shù)學之神阿基米德

1、"數(shù)學之神"阿基米德阿基米德公元前287年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古。父親是位數(shù)學家兼天文學家。阿基米德從小有良好的家庭教養(yǎng)，11歲就被送到當時希臘文化中心的亞歷山大城去學習。在這座號稱“智慧之都"的名城里，阿基米德博閱群書，汲取了許多的知識，并且做了歐幾里得學生埃拉托塞和卡農(nóng)的門生，鉆研幾何原本。后來阿基米德成為兼數(shù)學家與力學家的偉大學者，并且享有“力學之父"的美稱。其原因在于他通過大量實驗發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，又用幾何演澤方法推出許多杠桿命題，給出嚴格的證明。其中就有著名的"阿基米德原理"，他在數(shù)學上也有著極為光輝燦爛的成就。

2、盡管阿基米德流傳至今的著作共只有十來部，但多數(shù)是幾何著作，這對于推動數(shù)學的發(fā)展，起著決定性的作用。給我一個支點，我可以撬動地球阿基米德對于機械的研究源自于他在亞歷山大城求學時期。有一天阿基米德在久旱的尼羅河邊散步，看到農(nóng)民提水澆地相當費力，經(jīng)過思考之后他發(fā)明了一種利用螺旋作用在水管里旋轉而把水杠桿原理吸上來的工具，后世的人叫它做“阿基米德螺旋提水器”，埃及一直到二千年后的現(xiàn)在，還有人使用這種器械。這個工具成了后來螺旋推進器的先祖。當時的歐洲，在工程和日常生活中，經(jīng)常使用一些簡單機械，譬如：螺絲、滑車、杠桿、齒輪等，阿基米德花了許多時間去研究，發(fā)現(xiàn)了“杠桿原理”和“力矩”的觀念，對于經(jīng)常使用工具

3、制作機械的阿基米德而言，將理論運用到實際的生活上是輕而易舉的。他自己曾說：“給我一個支點和一根足夠長的杠桿，我就能撬動整個地球?！眲偤煤＞S隆王又遇到了一個棘手的問題：國王替埃及托勒密王造了第1頁/共9頁一艘船，因為太大太重，船無法放進海里，國王就對阿基米德說：“你連地球都舉得起來，把一艘船放進海里應該沒問題吧？”于是阿基米德立刻巧妙地組合各種機械，造出一架機具，在一切準備妥當后，將牽引機具的繩子交給國王，國王輕輕一拉，大船果然移動下水，國王不得不為阿基米德的天才所折服。從這個歷史記載的故事里我們可以明顯的知道，阿基米德極可能是當時全世界對于機械的原理與運用，了解最透徹的人。當代數(shù)學大師關于阿基

4、米多的作品（17張）對于阿基米德來說，機械和物理的研究發(fā)明還只是次要的，他比較有興趣而且投注更多時間的是純理論上的研究，尤其是在數(shù)學和天文方面。在數(shù)學方面，他利用“逼近法”算出球面積、球體積、拋物線、橢圓面積，后世的數(shù)學家依據(jù)這樣的“逼近法”加以發(fā)展成近代的“微積分”。他更研究出螺旋形曲線的性質(zhì)，現(xiàn)今的“阿基米德螺線”曲線，就是為紀念他而命名。另外他在恒河沙數(shù)一書中，他創(chuàng)造了一套記大數(shù)的方法，簡化了記數(shù)的方式。阿基米德在他的著作論杠桿（可惜失傳）中詳細地論述了杠桿的原理。有一次敘拉古國王對杠桿的威力表示懷疑，他要求阿基米德移動載滿重物和乘客的一艘新三桅船。阿基米德叫工匠在船的前后左右安裝了一套

5、設計精巧的滑車和杠桿。阿基米德叫100多人在大船前面，抓住一根繩子，他讓國王牽動一根繩子，大船居然慢慢地滑到海中。群眾歡呼雀躍，國王也高興異常，當眾宣布：“從現(xiàn)在起，我要求大家，無論阿基米德說什么，都要相信他！”阿基米德還曾利用拋物鏡面的聚光作用，把集中的陽光照射到入侵敘拉古的羅馬船上，讓它們自己燃燒起來。羅馬的許多船只都被燒毀了，但羅馬人卻找不到失火的原因。900多年后，有位科學家按史書介紹的阿基米德的方法制造了一面凹面鏡，成功地點著了第2頁/共9頁距離鏡子45米遠的木頭，而且燒化了距離鏡子42米遠的鋁。所以，許多科技史家通常都把阿基米德看成是人類利用太陽能的始祖。個人著述阿基米德流傳于世的

6、數(shù)學著作有10余種，多為希臘文手稿。他的著作集中探討了求積問題，主要是曲邊圖形的面積和曲面立方體的體積，其體例深受歐幾里德幾何原本的影響，先是設立若干定義和假設，再依次證明。阿基米德的紀念雕塑（3張）作為數(shù)學家，他寫出了論球和圓柱、圓的度量、拋物線求積、論螺線、論錐體和球體、沙的計算數(shù)學著作。作為力學家，他著有論圖形的平衡、論浮體、論杠桿、原理等力學著作。其中論球與圓柱，這是他的得意杰作，包括許多重大的成就。他從幾個定義和公理出發(fā)，推出關于球與圓柱面積體積等50多個命題。平面圖形的平衡或其重心，從幾個基本假設出發(fā)，用嚴格的幾何方法論證力學的原理，求出若干平面圖形的重心。數(shù)沙者，設計一種可以表示

7、任何大數(shù)目的方法，糾正有的人認為沙子是不可數(shù)的，即使可數(shù)也無法用算術符號表示的錯誤看法。論浮體，討論物體的浮力，研究了旋轉拋物體在流體中的穩(wěn)定性。阿基米德還提出過一個“群牛問題”，含有八個未知數(shù)。最后歸結為一個二次不定方程。其解的數(shù)字大得驚人，共有二十多萬位！砂粒計算，是專講計算方法和計算理論的一本著作。阿基米德要計算充滿宇宙大球體內(nèi)的砂粒數(shù)量，他運用了很奇特的想象，建立了新的量級計數(shù)法，確定了新單位，提出了表示任何大數(shù)量的模式，這與對數(shù)運算是密切相關的。圓的度量，利用圓的外切與內(nèi)接96邊形，求得圓周率冗為：22/7>侖223/71,這是數(shù)學史上最早的，明確指出誤差限度的冗值。他還證明了

8、圓面積等于以圓周長為底、半徑為高的等腰三角形的面積；使用的是窮舉法。球與圓第3頁/共9頁柱，熟練地運用窮竭法證明了球的表面積等于球大圓面積的四倍；球的體積是一個圓錐體積的四倍，這個圓錐的底等于球的大圓，高等于球的半徑。阿基米德還指出，如果等邊圓柱中有一個內(nèi)切球，則圓柱的全面積和它的體積，分別為球表面積和體積的三分之二。在這部著作中，他還提出了著名的“阿基米德公理”C拋物線求積法，研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論："任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四。"他還用力學權重方法再次驗證這個結論，使數(shù)學

9、與力學成功地結合起來。論螺線，是阿基米德對數(shù)學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數(shù)和算術級數(shù)求和的幾何方法。阿基米德平面的平衡，是關于力學的最早的科學論著，講的是確定平面圖形和立體圖形的重心問題。浮體，是流體靜力學的第一部專著，阿基米德把數(shù)學推理成功地運用于分析浮體的平衡上，并用數(shù)學公式表示浮體平衡的規(guī)律。論錐型體與球型體，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體體積。除此以外，還有一篇非常重要的著作，是一封給埃拉托斯特尼的信，內(nèi)容是探討解決力學問題的方法。這是1906年丹麥語言學家J

10、.L.海貝格在土耳其伊斯坦布爾發(fā)現(xiàn)的一卷羊皮紙手稿，原先寫有希臘文，后來被擦去，重新寫上宗教的文字。幸好原先的字跡沒有擦干凈，經(jīng)過仔細辨認，證實是阿基米德的著作。其中有在別處看到的內(nèi)容，也包括過去一直認為是遺失了的內(nèi)容。后來以阿基米德方法為名刊行于世。它主要講根據(jù)力學原理去發(fā)現(xiàn)問題的方法。他把一塊面積或體積看成是有重量的東西，分成許多非常小的長條或薄片，然后用已知面積或體積去平衡這些“元素”，找到了重心和支點，所求的面積或體積就可以用杠第4頁/共9頁桿定律計算出來。他把這種方法看作是嚴格證明前的一種試探性工作，得到結果以后，還要用歸謬法去證明它科學成就幾何學方面阿基米德確定了拋物線弓形、螺線、

11、圓形的面積以及橢球體、拋物面體等各種復雜幾何體的表面積和體積的計算方法。在推演這些公式的過程中，他進一步發(fā)展了歐多克斯發(fā)明的“窮竭法”，就是用內(nèi)接和外切的直邊圖形不斷地逼近曲邊形以用來解決曲面面積問題，即我們今天所說的逐步近似求極限的方法，因而被公認為微積分計算的鼻祖。他用圓內(nèi)接多邊形與外切多邊形邊數(shù)增多、面積逐漸接近的方法，比較精確的求出了圓周率。面對古希臘繁冗的數(shù)字表示方式，阿基米德還首創(chuàng)了記大數(shù)的方法，突破了當時用希臘字母計數(shù)不能超過一萬的局限，并用它解決了許多數(shù)學難題。天文學方面阿基米德在天文學方面也有出色的成就。除了前面提到的星球儀，他還認為地球是圓球狀的，并圍繞著太陽旋轉，這一觀點

12、比哥白尼的“日心地動說”要早一千八百年。限于當時的條件，他并沒有就這個問題做深入系統(tǒng)的研究。但早在公元前三世紀就提出這樣的見解，是很了不起的。重視實踐阿基米德和雅典時期的科學家有著明顯的不同，就是他既重視科學的嚴密性、準確性，要求對每一個問題都進行精確的、合乎邏輯的證明；又非常重視科學知識的實際應用。他非常重視試驗，親阿基米德螺旋永動機自動手制作各種儀器和機械。他一生設計、制造了許多機構和機器，除了杠第5頁/共9頁桿系統(tǒng)外，值得一提的還有舉重滑輪、灌地機、揚水機以及軍事上用的拋石機等。被稱作“阿基米德螺旋”的揚水機至今仍在埃及等地使用。阿基米德螺旋永動機。阿基米德發(fā)展了天文學測量用的十字測角器

13、，并制成了一架測算太陽對向地球角度的儀器。他最著名的發(fā)現(xiàn)是浮力和相對密度原理，即物體在液體中減輕的視重，等于排去液體的重量，后來以阿基米德原理著稱于世。在幾何學上，他創(chuàng)立了一種求圓周率的方法，即圓周的周長和其直徑的關系。阿基米德是第一位講科學的工程師，在他的研究中，使用歐幾里德的方法，先假設，再以嚴謹?shù)倪壿嬐普摰玫浇Y果，他不斷地尋求一般性的原則而用于特殊的工程上。他的作品始終融合數(shù)學和物理，因此阿基米德成為物理學之父。他應用杠桿原理于戰(zhàn)爭，保衛(wèi)西拉斯鳩的事跡是家喻戶曉的。而他也以同一原理導出部分球體的體積、回轉體的體積（橢球、回轉拋物面、回轉雙曲面），止匕外，他也討論阿基米德螺線（例如：蒼蠅由

14、等速旋轉的唱盤中心向外走去所留下的軌跡），圓、球體、圓柱的相關原理，其成就。阿基米德將歐幾里德提出的趨近觀念作了有效的運用，他提出圓內(nèi)接多邊形和相似圓外切多邊形，當邊數(shù)足夠大時，兩多邊形的周長便一個由上，一個由下的趨近于圓周長。他先用六邊形，以后逐次加倍邊數(shù)，到了九十六邊形，求出冗的估計值介于3.14163和3.14286之間。另外他算出球的表面積是其內(nèi)接最大圓面積的四倍。而他又導出圓柱內(nèi)切球體的體積是圓柱體積的三分之二，這個定理就刻在他的墓碑上。阿基米德之死歷史據(jù)說羅馬兵入城時，統(tǒng)帥馬塞拉斯出于敬佩阿基米德的才能，曾下令不準傷害這位賢能。而阿基米德似乎并不知道城池已破，又重新沉迷于數(shù)學的深思

15、之中。第6頁/共9頁一個羅馬士兵突然出現(xiàn)在他面前，命令他到馬塞拉斯那里去，遭到阿基米德的嚴詞拒絕，于是阿基米德不幸死在了這個士兵的刀劍之下。故事另一種說法是：羅馬士兵闖入阿基米德的住宅，看見一位老人在地上埋頭作幾何圖形（還有一種說法他在沙灘上畫圖），可阿基米德卻對他的到來沒有反應，士兵拿刀子在他眼前晃了晃，阿基米德才反應過來。只見他沒有逃，而是對士兵說你們等一等再殺我，我不能給世人留下不完整的公式！還沒等他說完，士兵就殺了他。他是帶著遺憾死去的。還有一種說法是：羅馬士兵闖入了阿基米德的住宅，看見一位老人正在自家宅前的地上畫圖研究幾何問題，一個羅馬戰(zhàn)士走近沉思中的阿基米德，把地上所畫的圖形踩壞了

16、。阿基米德說：走開，別動我的圖！戰(zhàn)士一聽十分生氣，于是拔出刀來，朝阿基米德身上刺下去，于是一代偉人就這樣去世了。懷念馬塞拉斯對于阿基米德的死深感悲痛。他將殺死阿基米德的士兵當作殺人犯予以處決，并為阿基米德修了一座陵墓，在墓碑上根據(jù)阿基米德生前的遺愿，刻上了"圓柱容球"這一幾何圖形。隨著時間的流逝，阿基米德的陵墓被荒草湮沒了。后來，西西里島的會計官、政治家、哲學家西塞羅（公元前106前43年）游歷敘拉古時，在荒草發(fā)現(xiàn)了一塊刻有圓柱容球圖形的墓碑，依此辯認出這就是阿基米德的墳墓，并將它重新修復了。所立墓碑阿基米德之死，羅馬將軍馬塞勒斯甚為悲痛，除嚴肅處理這個士兵外，還尋找阿基米

17、德的親屬，給予撫恤并表示敬意，又給阿基米德立墓，聊表景仰之忱.在碑上刻著球內(nèi)切于圓柱的圖形，以資紀念.因阿基米德發(fā)現(xiàn)球的體積及表面積，第7頁/共9頁都是外切圓柱體體積及表面積的2/3.他生前曾流露過要刻此圖形在墓上的愿望.后來事過境遷，敘拉古人竟不知珍惜這非凡的紀念物.100多年之后（公元前75年），羅馬著名的政治家和作家西塞羅（Mar-cusTulliusCicero,公元前106前43年）在西西里擔任財務官，有心去憑吊這座偉人的墓.然而當?shù)鼐用窬狗裾J它的存在.眾人借助鐮刀辟開小徑，發(fā)現(xiàn)一座高出雜樹不多的小圓柱，上面刻著的球和圓柱圖案赫然在目，這久已被遺忘的寂寂孤墳終于被找到了.墓志銘仍依稀

18、可見，大約有一半已被風雨腐蝕.又兩千年過去了，隨著時光的流逝，這座墓也消失得無影無蹤.現(xiàn)在有一個人工鑿砌的石窟，寬約十余米，內(nèi)壁長滿青苔，被說成是阿基米德之墓，但卻無任何能證明其真實性的標志，而且“發(fā)現(xiàn)真正墓地”的消息時有所聞，令人難辨真?zhèn)?。個人影響阿基米德的幾何著作是希臘數(shù)學的頂峰。他把歐幾里得嚴格的推理方法與柏拉圖鮮艷阿基米德的豐富想象和諧地結合在一起，達到了至善至美的境界，從而“使得往后由開普勒、卡瓦列利、費馬、牛頓、萊布尼茨等人繼續(xù)培育起來的微積分日趨完美”。阿基米德是數(shù)學家與力學家的偉大學者，并且享有“力學之父”的美稱。其原因在于他通過大量實驗發(fā)現(xiàn)了杠桿原理，又用幾何演澤方法推出許多

19、杠桿命題，給出嚴格的證明。其中就有著名的"阿基米德原理"，他在數(shù)學上也有著極為光輝燦爛的成就，特別是在幾何學方面.他的數(shù)學思想中蘊涵著微積分的思想，他所缺的是沒有極限概念，但其思想實質(zhì)卻伸展到17世紀趨于成熟的無窮小分析領域里去，預告了微積分的誕生。正因為他的杰出貢獻，美國的E.T.貝爾在數(shù)學人物上是這樣評價阿基米德的：任何一張開列有史以來三個最偉大的數(shù)學家的名第8頁/共9頁單之中，必定會包括阿基米德，而另外兩們通常是牛頓和高斯。除了偉大的牛頓和偉大的愛因斯坦，再沒有一個人象阿基米德那樣為人類的進步做出過這樣大的貢獻。即使牛頓和愛因斯坦也都曾從他身上汲取過智慧和靈感。他是“理論天才與實驗天才合于一人的理想化身”，文藝復興時期的達芬奇和