考研數(shù)學(xué)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》知識點(diǎn)總結(jié)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第一章概率論的基本概念定義：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)結(jié)果樣本點(diǎn)組成樣本空間S，S的子集為E的隨機(jī)事件，單個(gè)樣本點(diǎn)為基本事件事件關(guān)系：1AB，A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生2AB和事件，A，B至少一個(gè)發(fā)生，AB發(fā)生3AB記AB積事件，A，B同時(shí)發(fā)生，AB發(fā)生4AB差事件，A發(fā)生，B不發(fā)生，AB發(fā)生5AB=Ø，A與B互不相容(互斥)，A與B不能同時(shí)發(fā)生，基本事件兩兩互不相容6AB=S且AB=Ø，A與B互為逆事件或?qū)α⑹录珹與B中必有且僅有一個(gè)發(fā)生，記B=事件運(yùn)算：交換律、結(jié)合律、分配率略德摩根律：，概率：概率就是n趨向無窮時(shí)的頻率，記P(A)概率性質(zhì):1P(Ø

2、)=02(有限可加性)P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)，Ai互不相容3若AB，則P(BA)=P(B)P(A)4對任意事件A，有5P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)古典概型：即等可能概型，滿足：1S包含有限個(gè)元素2每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同等概公式：超幾何分布：，其中條件概率：乘法定理：全概率公式：，其中為S的劃分貝葉斯公式：，或獨(dú)立性：滿足P(AB)=P(A)P(B)，則A，B相互獨(dú)立，簡稱A，B獨(dú)立定理一：A，B獨(dú)立，則P(B|A)=P(B)定理二：A，B獨(dú)立，則A與，與，與也相互獨(dú)立第2章 隨機(jī)變量及其分布(01)分布：，k=0，1 （0<p<1）

3、伯努利實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)只有兩個(gè)可能的結(jié)果：A及二項(xiàng)式分布：記Xb（n，p），n重伯努利實(shí)驗(yàn)：獨(dú)立且每次試驗(yàn)概率保持不變其中A發(fā)生k次，即二項(xiàng)式分布泊松分布：記X（），泊松定理：，其中當(dāng)，應(yīng)用泊松定理近似效果頗佳隨機(jī)變量分布函數(shù)：，連續(xù)型隨機(jī)變量：，X為連續(xù)型隨機(jī)變量，為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度性質(zhì)：1；2；3；4，f(x)在x點(diǎn)連續(xù)；5PX=a=0均勻分布：記XU(a，b)；性質(zhì)：對ac<c+lb，有指數(shù)分布：；無記憶性：正態(tài)分布：記；性質(zhì)：1f(x)關(guān)于x=對稱，且P-h<X=P<X+h；2有最大值f()=()-1標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：；即=0，=1時(shí)的正態(tài)分布XN(0，1

4、)性質(zhì)：正態(tài)分布的線性轉(zhuǎn)化：對有；且有正態(tài)分布概率轉(zhuǎn)化：；3法則：P=(1)(-1)=68.26%；P=(2)(-2)=95.44%；P=(3)(-3)=99.74%，P多落在(-3，+3)內(nèi)上分位點(diǎn)：對XN(0，1)，若z滿足條件PX>z=，0<<1，則稱點(diǎn)z為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)常用上分位點(diǎn)：0.0010.0050.010.0250.050.103.0902.5762.3261.9601.6451.282Y服從自由度為1的2分布：設(shè)X密度函數(shù)fX(x)，若Y=X2，則若設(shè)XN(0，1)，則有定理：設(shè)X密度函數(shù)fX(x)，設(shè)g(x)處處可導(dǎo)且恒有g(shù)(x)>0(或g(

5、x)<0)，則Y=g(X)是連續(xù)型隨機(jī)變量，且有h(y)是g(x)的反函數(shù)；若，則=ming()，g(+)，=maxg()，g(+)；若fX(x)在a，b外等于零，g(x)在a，b上單調(diào)，則=ming(a)，g(b)，=maxg(a)，g(b)應(yīng)用：Y=aX+bN(a+b，(|a|)2)第3章 多維隨機(jī)變量及其分布二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)：分布函數(shù)(聯(lián)合分布函數(shù))：，記作：F（x，y）性質(zhì)：1F（x，y）是x和y的不減函數(shù)，即x2>x1時(shí)，F(xiàn)（x2，y）F（x1，y）；y2>y1時(shí)，F(xiàn)（x，y2）F（x，y1）20F（x，y）1且F（，y）=0，F(xiàn)（x，）=0，F(xiàn)（，）=0，F(xiàn)

6、（+，+）=13F（x+0，y）=F（x，y），F(xiàn)（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）關(guān)于x右連續(xù)，關(guān)于y也右連續(xù)4對于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有Px1<Xx2，y1<Yy20離散型（X，Y）：，連續(xù)型（X，Y）：f(x，y)性質(zhì)：1f(x，y)0234若f(x，y)在點(diǎn)(x，y)連續(xù)，則有n維：n維隨機(jī)變量及其分布函數(shù)是在二維基礎(chǔ)上的拓展，性質(zhì)與二維類似邊緣分布：Fx(x)，F(xiàn)y(y)依次稱為二維隨機(jī)變量（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣分布函數(shù)，F(xiàn)X(x)=F(x，)，F(xiàn)Y(y)=F(，y)離散型：和分別為（X，Y）關(guān)于X和Y的

7、邊緣分布律，記，連續(xù)型：，為（X，Y）關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)，記，二維正態(tài)分布：記(X，Y)N(1，2，12，22，)，離散型條件分布律：連續(xù)型條件分布：條件概率密度：條件分布函數(shù)：含義：當(dāng)時(shí)，均勻分布：若，則稱(X，Y)在G上服從均勻分布獨(dú)立定義：若PXx，Yy=PXxPYy，即F(x，y)=Fx(x)Fy(y)，則稱隨機(jī)變量X和Y是相互獨(dú)立的獨(dú)立條件或可等價(jià)為：連續(xù)型：f(x，y)=fx(x)fy(y)；離散型：PX=xi，Y=yj=PX=xiPY=yj正態(tài)獨(dú)立：對于二維正態(tài)隨機(jī)變量（X，Y），X和Y相互對立的充要條件是：參數(shù)=0n維延伸：上述概念可推廣至n維隨機(jī)變量，要注意的是邊緣函數(shù)

8、或邊緣密度也是多元(1n-1元)的定理：設(shè)（X1，X2，Xm）和（Y1，Y2，Yn）相互獨(dú)立，則Xi和Yj相互獨(dú)立又若h，g是連續(xù)函數(shù)，則h（X1，X2，Xm）和g（Y1，Y2，Yn）相互獨(dú)立Z=X+Y分布：若連續(xù)型(X，Y)概率密度為f(x，y)，則Z=X+Y為連續(xù)型且其概率密度為或fX和fY的卷積公式：記，其中除繼上述條件，且X和Y相互獨(dú)立，邊緣密度分別為fX(x)和fY(y)正態(tài)卷積：若X和Y相互獨(dú)立且XN(1，12)，記YN(2，22)，則對Z=X+Y有ZN(1+2，12+22)1上述結(jié)論可推廣至n個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量2有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布伽馬分布：記，其中若X

9、和Y獨(dú)立且X(，)，記Y(，)，則有X+Y(+，)可推廣到n個(gè)獨(dú)立分布變量之和：，若X和Y相互獨(dú)立，則有分布：，若X和Y相互獨(dú)立，則有大小分布：若X和Y相互獨(dú)立，且有M=maxX，Y及N=minX，Y，則M的分布函數(shù)：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，N的分布函數(shù)：Fmin(z)=11FX(z)1FY(z)，以上結(jié)果可推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量的情況第四章隨機(jī)變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望：簡稱期望或均值，記為E(X)；離散型：連續(xù)型：定理：設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)：Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))1若X是離散型，且分布律為PX=xk=pk，則：2若X是連續(xù)型，概率密度為f(x)，則：定理推廣：設(shè)Z是隨機(jī)變

10、量X，Y的函數(shù)：Z=g(X，Y)(g是連續(xù)函數(shù))1離散型：分布律為PX=xi，Y=yj=pij，則：2連續(xù)型：期望性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，X和Y是隨機(jī)變量，則：1E(C)=C2E(CX)=CE(X)3E(X+Y)=E(X)+E(Y)4又若X和Y相互獨(dú)立的，則E(XY)=E(X)E(Y)方差：記D(X)或Var(X)，D(X)=Var(X)=EXE(X)2標(biāo)準(zhǔn)差(均方差)：記為(X)，(X)= 通式：，標(biāo)準(zhǔn)化變量：記，其中，稱為X的標(biāo)準(zhǔn)化變量，方差性質(zhì)：設(shè)C是常數(shù)，X和Y是隨機(jī)變量，則：1D(C)=0 2D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)3D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XE(X

11、)(YE(Y)，若X，Y相互獨(dú)立D(X+Y)=D(X)+D(Y)4D(X)=0的充要條件是PX=E(X)=1正態(tài)線性變換：若，是不全為0的常數(shù)，則切比雪夫不等式：或，其中，為任意正數(shù)協(xié)方差：記X與Y的相關(guān)系數(shù)：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)性質(zhì)：1Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，a，b是常數(shù)2Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)系數(shù)性質(zhì)：令e=E(Y(a+bX)2，則e取最小值時(shí)有，其中，1|XY|12|XY|=1的充要條件是：存在常數(shù)a，b使PY=a+bX=1|XY|越大e越小X和Y線

12、性關(guān)系越明顯，當(dāng)|XY|=1時(shí)，Y=a+bX；反之亦然，當(dāng)XY=0時(shí)，X和Y不相關(guān)X和Y相互對立，則X和Y不相關(guān)；但X和Y不相關(guān)，X和Y不一定相互獨(dú)立定義：k階矩(k階原點(diǎn)矩)：E(X k )n維隨機(jī)變量X i的協(xié)方差矩陣：，=EXiE(Xi)X jE(X j)k+l階混合矩：E(X kY l )k階中心矩：EXE(X) k k+l階混合中心矩：EXE(X)kYE(Y)ln維正態(tài)分布：，性質(zhì)：1n維正態(tài)隨機(jī)變量(X1，X2，X n)的每一個(gè)分量Xi (i=1，2，n)都是正態(tài)隨機(jī)變量，反之，亦成立2n維隨機(jī)變量(X1，X2，X n)服從n維正態(tài)分布的充要條件是X1，X2，X n的任意線性組合l

13、1X1+l2X2+l n X n服從一維正態(tài)分布(其中l(wèi)1，l2，l n不全為零)3若(X1，X2，X n)服從n維正態(tài)分布，且Y1，Y2，Y k是X j (j=1，2，n)的線性函數(shù)，則(Y1，Y2，Y k)也服從多維正態(tài)分布4若(X1，X2，X n)服從n維正態(tài)分布，則“Xi 相互獨(dú)立”與“Xi 兩兩不相關(guān)”等價(jià)第五章大數(shù)定律及中心極限定理弱大數(shù)定理：若X1，X2，是相互獨(dú)立并服從同一分布的隨機(jī)變量序列，且E(X k)=，則對任意>0有或，定義：Y1，Y2，Y n ，是一個(gè)隨機(jī)變量序列，a是一個(gè)常數(shù)若對任意>0，有則稱序列Y1，Y2，Y n ，依概率收斂于a記伯努利大數(shù)定理：對

14、任意>0有或其中f A是n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率中心極限定理定理一：設(shè)X1,X2,X n ,相互獨(dú)立并服從同一分布，且E(X k)=，D(X k)=2 >0，則n時(shí)有近似的 N(0，1)或N(0，1)或N(，)定理二：設(shè)X1,X2,X n ,相互獨(dú)立且E(X k)= k，D(X k)= k2 >0，若存在>0使n時(shí)，則N(0，1)，記定理三：設(shè)，則n時(shí)，(0，1)，第六章樣本及抽樣分布定義：總體：全部值；個(gè)體：一個(gè)值；容量：個(gè)體數(shù)；有限總體：容量有限；無限總體：容量無限定義：樣本：X1,X2,X n 相互獨(dú)立并服從同一分布F的

15、隨機(jī)變量，稱從F得到的容量為n的簡單隨機(jī)樣本頻率直方圖：圖形：以橫坐標(biāo)小區(qū)間為寬，縱坐標(biāo)為高的跨越橫軸的幾個(gè)小矩形橫坐標(biāo)：數(shù)據(jù)區(qū)間（大區(qū)間下限比最小數(shù)據(jù)值稍小，上限比最大數(shù)據(jù)值稍大；小區(qū)間：均分大區(qū)間，組距=大區(qū)間/小區(qū)間個(gè)數(shù)；小區(qū)間界限：精度比數(shù)據(jù)高一位）圖形特點(diǎn)：外輪廓接近于總體的概率密度曲線縱坐標(biāo)：頻率/組距（總長度：<1/；小區(qū)間長度：頻率/組距）定義：樣本p分位數(shù)：記xp，有1樣本xi中有np個(gè)值xp2樣本中有n(1p)個(gè)值xp箱線圖：xp選擇：記分位數(shù)x0.5，記為Q2或M，稱為樣本中位數(shù)分位數(shù)x0.25，記為Q1，稱為第一四分位數(shù)分位數(shù)x0.75，記為Q3，稱為第三四分位數(shù)

16、圖形：min Q1 M Q3 max 圖形特點(diǎn)：M為數(shù)據(jù)中心，區(qū)間min，Q1，Q1，M，M，Q3，Q3，max數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)各占1/4，區(qū)間越短數(shù)據(jù)密集四分位數(shù)間距：記IQR=Q3Q1；若數(shù)據(jù)X<Q11.5IQR或X>Q3+1.5IQR，就認(rèn)為X是疑似異常值抽樣分布：樣本平均值：樣本方差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：樣本k階(原點(diǎn))矩：，k1樣本k階中心矩：，k2經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)：，表示F的一個(gè)樣本X1,X2,X n 中不大于x的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)自由度為n的2分布：記22（n），其中X1,X2,X n是來自總體N(0，1)的樣本E(2 )=n，D(2 )=2n12+222（n1+n2）2分布的分位點(diǎn)：對于0

17、<<1，滿足，則稱為的上分位點(diǎn)當(dāng)n充分大時(shí)(n>40)，其中是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)自由度為n的t分布：記tt (n)，其中XN(0，1)，Y2(n)，X，Y相互獨(dú)立h(t)圖形關(guān)于t=0對稱；當(dāng)n充分大時(shí)，t分布近似于N(0，1)分布t分布的分位點(diǎn)：對于0<<1，滿足，則稱為的上分位點(diǎn)由h(t)對稱性可知t1(n)=t (n)當(dāng)n>45時(shí)，t (n)z，z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)自由度為(n1，n2)的F分布：記FF(n1，n2)，其中U2(n1)，V2(n2)，X，Y相互獨(dú)立1/FF(n2，n1)F分布的分位點(diǎn)：對于0<<1，滿足，則稱為的上

18、分位點(diǎn)重要性質(zhì)：F1(n1，n2)=1/F(n1，n2)定理一：設(shè)X1,X2,X n 是來自N(，2)的樣本，則有，其中是樣本均值定理二：設(shè)X1,X2,X n 是來自N(，2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，則有1；2與相互獨(dú)立定理三：設(shè)X1,X2,X n 是來自N(，2)的樣本，樣本均值和樣本方差分別記為，則有定理四：設(shè)X1,X2,X n1 與Y1,Y2,Y n2分別是來自N(1，12)和N(2，22)的樣本，且相互獨(dú)立設(shè)這兩個(gè)樣本的樣本均值和樣本方差分別記為，則有12當(dāng)12=22=2時(shí)，其中，第七章參數(shù)估計(jì)定義：估計(jì)量：，估計(jì)值：，統(tǒng)稱為估計(jì)矩估計(jì)法：令=()(k為未知數(shù)個(gè)數(shù))聯(lián)立方程

19、組，求出估計(jì)設(shè)總體X均值及方差2都存在，則有，最大似然估計(jì)法：似然函數(shù)：離散：或連續(xù)：，化簡可去掉與無關(guān)的因式項(xiàng)即為最大值，可由方程或求得當(dāng)多個(gè)未知參數(shù)1，1，k時(shí)：可由方程組或（）求得最大似然估計(jì)的不變性：若u=u()有單值反函數(shù)=(u)，則有，其中為最大似然估計(jì)截尾樣本取樣：定時(shí)截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定時(shí)間段t0內(nèi)記錄產(chǎn)品個(gè)體失效時(shí)間(0t1t2tmt0)和失效產(chǎn)品數(shù)量定數(shù)截尾樣本：抽樣n件產(chǎn)品，固定失效產(chǎn)品數(shù)量數(shù)量m記錄產(chǎn)品個(gè)體失效時(shí)間(0t1t2tm)結(jié)尾樣本最大似然估計(jì)：定數(shù)截尾樣本：設(shè)產(chǎn)品壽命服從指數(shù)分布Xe（），即產(chǎn)品平均壽命產(chǎn)品ti時(shí)失效概率Pt=tif(ti)d ti，壽

20、命超過tm的概率，則，化簡得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，稱為實(shí)驗(yàn)總時(shí)間定時(shí)截尾樣本：與定數(shù)結(jié)尾樣本討論類似有s(t0)=t1+t2+tm+(nm)t0，無偏性：估計(jì)量的存在且，則稱是的無偏估計(jì)量有效性：與都是的無偏估計(jì)量，若，則較有效相合性：設(shè)的估計(jì)量，若對于任意有，則稱是的相合估計(jì)量置信區(qū)間：，和分別為置信下限和置信上限，則是的一個(gè)置信水平為置信區(qū)間，稱為置信水平，正態(tài)樣本置信區(qū)間：設(shè)X1，X2，Xn是來自總體XN(，2)的樣本，則有的置信區(qū)間：樞軸量W W分布 a，b不等式 置信水平 置信區(qū)間其中z/2為上分位點(diǎn)置信區(qū)間的求解：1先求樞軸量：即函數(shù)W=W(X1

21、，X2，Xn；)，且函數(shù)W的分布不依賴未知參數(shù)如上討論標(biāo)注2對于給定置信水平，定出兩常數(shù)a，b使Pa<W<b=，從而得到置信區(qū)間(01)分布p的區(qū)間估計(jì)：樣本容量n>50時(shí)，若令，則有置信區(qū)間(，）單側(cè)置信區(qū)間：若或，稱(，)或(，)是的置信水平為的單側(cè)置信區(qū)間正態(tài)總體均值、方差的置信區(qū)間與單側(cè)置信限（置信水平為）待估其他樞軸量W的分布置信區(qū)間單側(cè)置信限一個(gè)正態(tài)總體2已知，2未知，2未知，兩個(gè)正態(tài)總體1212，22已知1212=22=2未知12/221，2未知，單個(gè)總體XN(，2)，兩個(gè)總體XN(1，12)，YN(2，22)第八章假設(shè)實(shí)驗(yàn)定義：H0：原假設(shè)或零假設(shè)，為理想結(jié)果假設(shè)；H1：備擇假設(shè)，原假設(shè)被拒絕后可供選擇的假設(shè)第類錯(cuò)誤：H0實(shí)際為真時(shí)，卻拒絕H0第類錯(cuò)誤：H0實(shí)際為假時(shí)，卻接受H0顯著性檢驗(yàn)：只對犯第第類錯(cuò)誤的概率加以控制，而不