課堂教學對學生反思能力的培養(yǎng)

1、課堂教學對學生反思能力的培養(yǎng)當前，我國的教育改革正在向縱深推進義務教育數(shù)學課程標準(2011年版)提出了“人人都能獲得良好的數(shù)學教育，不同的人在數(shù)學上得到不同的發(fā)展”的數(shù)學教育目標怎樣才能實現(xiàn)這一目標呢？中學數(shù)學教育將走向何方？數(shù)學最基本特點就是精確的定量化和嚴密的邏輯推理數(shù)學的思維方式包括計算、證明、歸納、類比、建模等等，數(shù)學教育體現(xiàn)在思維方式上就是如何培養(yǎng)和發(fā)展學生的思維能力，包括學后反思、練后反思能力以下是我在課堂教學實踐中部分案例及反思1.在糾錯中反思，引導學生主動探究發(fā)現(xiàn)事物內(nèi)在的本質(zhì)規(guī)律.應該把學生在學習、作業(yè)、練習中所發(fā)生的典型性的“錯誤”當作教育的“資源”充分地利用，培養(yǎng)學生養(yǎng)

2、成學后反思的習慣向“錯誤”學習，教師對于學生不在預設內(nèi)的想法或錯誤，不能簡單批評、舍棄，而應因勢利導，啟發(fā)學生主動反思，通過對錯誤的分析，剖析產(chǎn)生錯誤的原因，自主探究通過建構(gòu)互動交流的平臺，從學習活動中探尋正確的思路、找出正確的解法，以避免類似錯誤的發(fā)生，進而優(yōu)化解題過程，提高分析問題和解決問題的能力，實現(xiàn)數(shù)學教育教學所賦予的文化功能。案例1、已知：f(x)=2+log3x,x11,9,求函數(shù)g(x)=f(x+f(x2)的最大值.錯解：g(x)=f(xj2+f(x2)22h2gx2log3x2二log3x3-3：1_x_96氣Iog-3<22二當x2=9時，maX=22錯因：弄錯了函數(shù)g

3、x的定義域.正確的解法是：因為，fx的定義域為xh|'1,9，1<9所以，要使函數(shù)gx有意義1乞x乞31蘭x2蘭9即函數(shù)gx的定義域為1.1,31.又gx=fxTfx222二2gx2Iog3x.,2h.log3X3-3-當x=3時,ymax=13.錯解：由題意:案例2、已知：在等比數(shù)列2339a3,S3，求a<Hq的值.22a3a1q23印l-q1-qS3$1=6，解得q=-分析錯因：忽略了概念中的隱含條件使用公式印l-q3S3-1-q時添加了條件:此可能產(chǎn)生失根正確的解法：由題意:另解：分類：(1)當q=1時，2適合；(2)當q=1時，由題意:a3iS323=aiq二匚2

4、3_ai-q=91q2+a<i=6，解得“1qTa6綜述:1或戶匕q=_2好1案例3、已知：3sin2爲"2sin2：=2sin>,求y=sin2壽"sin2：的值域.3錯解：由3sin2工"2sin2-2sin：,可得sin2-sinsin2：22（32121所以，y二sinIsinsinsin：-1,V2）22:一1乞sin：乞1-2_sin：T_0一3乞一1sin:-11空12222.函數(shù)心十®2術(shù)域為-12.引導學生分析錯因:利用條件消元后，忽視了挖掘題目中的隱含條件正確的解法是:3sin2.：；：2sin2：=2sin：,可得sin

5、2：二sin：-3sin2：2代入消元,y=sin2：sin二-仝in2：，sin一12222由題意：由_sin：-1sin2：=sini.函數(shù)y=sin2：sin2'值域為0,9320-sin二sin:021.-1_sin：-1-3121.0sin匚-1225案例4、已知：x二0,二，求函數(shù)y=sinx的最小值.sinx錯解：因為0,二，所以,sinx0所以,y=sinx+5Isinx匯一=2亦sinxsinxy=sinx的最小值為2./5.sinx分析錯因：在利用基本不等式求函數(shù)的最值時，沒有“驗相等”二定、三相等”中的三個條件缺一不可所以，函數(shù)，忽略了條件“一正、正確的解法是：因

6、為x0,二，所以，sinx0所以，sinx，sinx-2當且僅當sinX0x:1sinx=4sinx>4當且僅當0nx"ux時取等號Il0vxs2.當x時，y=sinxsin-丄2sinxsin解法二：令t二sinx,x三0,二，則t勺0,1.15可證：函數(shù)y=t在區(qū)間（0,1上遞減所以，.當t=1即sinx=1,x0,二即x=時,案例5、已知：函數(shù)fx=ax2bx,且1豈f-1_2乞f1聲卍，求f：-2的取值范圍.錯解：由題意:f_1=a-b得1<a-b<2f1二ab'寸2_ab_:兩式相加，得所以，乞：a乞125-：a_6兩式相加，得-3_-2b0所以，

7、3乞4a2b乞12所以，f-2的取值范圍是：13,12.分析錯因：忽略了條件的充分性和必要性利用不等式的性質(zhì)定理將兩個同向不等式相加時，字母的取值范圍可能擴大（如圖）正確的解法是：如圖，畫出滿足約束條件作出直線I4a-2b=0，并平行移動至點AB3,1處:fa-b=1如圖，當即+b=2a32312時屮-2）皿4心=4匸-2乜=5；b=2當2即3ab=4b=1時f-2=a-1bmin=43-21=10.所以，f一2的取值范圍是：15,10.f一1二ab解法二：（整體的思想）由題意：（1）=a+baf，得2b=f1fzLI2所以，f-2Wa-1b=4f1f1-2f1f-1二f1?f-11<f

8、1_3乞3f-1<"2乞f1乞：=5_f13f1_1匚即、-f-2一工.所以，f-2的取值范圍是：15,10.2.一題多解，發(fā)展學生的發(fā)散性思維和創(chuàng)新能力案例6、（1981年全國高考理科試題）已知雙曲線2X2-y1,問是否存在直線I，使2M1,1為直線I被雙曲線所截弦AB的中點若存在，求出直線I的方程；若不存在，請說明理由.錯解：設交點Ax1,y1,Bx2,y2.云2-%2=22x/-y,2由題意：X1X2才22=1L.2-，得2X1X2：1y2"止=0捲一x2X<|-x2將代入，得X1-X2=2所以，存在直線Iy-仁2x-1即2x-y-1=0，使M1,1為直線

9、I被雙曲線所截弦AB的中點錯因：所列的條件是“使M1,1為直線I被雙曲線所截弦AB的中點”的必要條件，但非充要條件正確的解法：（同上）2X?丄=1檢驗條件的充分性：*X2_12x-y_1=0二y=2x_122消去y,2x2(2x1)=2整理得2x24x+3=0無實根2即直線I2x-y-1=0與雙曲線x2-1無公共點2所以，不存在這樣的直線I，使M1,1為直線I被雙曲線所截弦AB的中點.另解：顯然，直線I不垂直于x軸可設直線I的方程為：y-1=kx-1即y=kx-k12X?丄=122由<2得：2x2（kxk+1）=2y=kx_k+1整理得k2-2x2-2k2-2kxk-2k3=0設交點AX

10、1y,BX2,y2由題意，得=(2k2_2k(4(k2_2)(k乙2k+3)蘭0“"1解，得k=2代入，得LlMiiW分一（2-2至X2+2）1尋匯（446無實數(shù)解所以，不存在這樣的直線I，使M1,1為直線I被雙曲線所截弦AB的中點解法三、設MA=t,t=0，直線I的傾斜角為?，則點A的坐標為1tcos,1tsi因為點MW為弦AB的中點，則點B的坐標為1-tcos，1-tsin*j.由題意:-,f221tcos1tsi221-tcos1-tsin：&cos：-4sin：-0sin：=2cos：,=2+,4422co一2-22s£n=444t2cos2：-2_2t24

11、cos2：-4,無解所以，不存在這樣的直線l，使M1,1為直線l被雙曲線所截弦AB的中點.案例7、在LABC中,35sinAWcosBW，求cosC的值.錯解：在ABC中,3sinA,55cosB,B匚iO,二.sinB=1134=±5212-cosB二13Aei：0i.'.cosA-二1一sin2A所以，cosC=-cosAB二-cosAcosB-sinAsinB廠16卡廠56.cosC，或cosC.6565錯因：沒有檢驗這兩組解是否合題意？這樣的三個角能否構(gòu)成三角形？即為何檢驗？如何檢驗？正確解法1：在LABC中，7cosB5,B"0,二.sinB-J-cos2

12、B13豐3/VsinA,Aw0,二cosA二1-sin2A512-13里5若cosT則sinC二sinAB二sinAcosBcosAsinB_3.J513.5220不合題意.13cosA二-516所以，cosC-cosAB-cosAcosB-sinAsinB=65正確解法512：在LABC中，；cosB，且B0,二132JI3TzcrxB32sinA詣詩,且A0'3'5A或A6446由0：AB：二及、知：A:64JT正確解法cosA二45所以，cosC16二-cosAB二-cosAcosBsinAsinB二3：在LABC中,5cosB=-133sinA,A二iO,二.cosA=

13、-5,B三iO,二.sinB=.1-cos2B=1213.1-sin2A=5由0：AB：二得0：A：二-B:二又函數(shù)y=cosx在x0,二內(nèi)遞減cosAcos：淬一B即cosA'-cosB即cosAcosB0cosA=45,16所以，cosC-cosAB-cosAcosBsinAsinBl二65題多解，可以促使學生進行發(fā)現(xiàn)學習、探究學習這個過程是：形成問題、建立假設、制定研究方案、檢驗假設、給出結(jié)論在選擇比較中，作出解題思路的回顧反思，進而優(yōu)化解題過程，形成技能技巧【歸納】3.一題多變，引導學生探索解題規(guī)律、總結(jié)解題方法案例8、(1)已知：在等差數(shù)列訂,中，ap=q,aq=pp=q,求

14、ap.q;(2)已知：在等差數(shù)列玄f中，Sp=q,Sq=pp=q,求Sp.q.分析：解等差數(shù)列的有關(guān)問題的常用方法是：基本量法；性質(zhì)法f、fap=&+（p1）d=q解：（1）設等差數(shù)列心山的公差為d，則aq=a+（q-1）d=p兩式相減，得ap-aq=p-qd=q-p因為p=q，所以d=-1.由得apq=appq_pd=q_q=OSp=pa1+d”（2）設等差數(shù)列fa/的公差為d，則2Sq=qa口）d.q2-，得Sp-Sq=p-qa£pq-1d=q-p1因為p=q，所以apq-1d二-1.（p+qXP+q-1）Sppqa12dpq歸納：所謂基本量法實質(zhì)是方程的思想，基本量a1

15、,d是等差數(shù)列有關(guān)問題中聯(lián)系“已知”與“未知”的樞紐；有時用“整體”的思想也可以構(gòu)建從“基本量”到達“目標量”的橋梁案例9、（蘇教版必修5P.99例1）用長為4a的鐵絲圍成一個矩形，怎樣才能使所圍成的矩形的面積最大？變式1：（學生利用類比推理，很容易回答）（1）周長一定的矩形中，正方形的面積最大;（2）周長一定的三角形中，正三角形的面積最大；（3）周長一定的平面封閉圖形中，衛(wèi)的面積最大變式2：（1）（蘇教版必修5P.99例2）某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800m3,深度為3m.如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價

16、為多少元？（2）由于場地的限制，規(guī)定一邊長xhl'10,301.這時，當x=m時，總造價最低，最低價為元.變式3：（1）已知直角三角形的周長為I（定值）求它的面積的最大值.（2）已知直角三角形的面積為S（定值）求它的周長的最值.方法歸納：建立函數(shù)模型，求函數(shù)的最值.4.多解歸一，多題歸一，掃清教學與測試的盲點運用問題導鏈、變式訓練，誘導學生向知識的深度和廣度不斷探究，這是培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析和解決問題的一個有效的方法案例10.（蘇教版必修4P.122例5）在半圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取才能使這個矩形的面積最大？變式1:在圓形鋼板上截取一塊矩形材料，怎樣截取才能使這

17、個矩形的面積最大？變式2：（蘇教版必修4P.122復習題18）在一塊半徑為R、圓心角為60°的扇形AB弧上任取一點P，作扇形的內(nèi)接矩形個矩形面積的最大值PNMQ，使點Q在OA上，點M，N在0B上，求這測試題：在一塊圓心角為60°,半徑為r的扇形鐵皮上截取一矩形,求這個矩形面積的最大值.分析：如圖，現(xiàn)有兩種截法：方案甲:使矩形的一邊在扇形的一條半徑方案乙:使矩形的一邊與弦AB平行.因此需要分類討論解：（1）若選擇方案甲：如圖，連結(jié)0P.取/AOP=0為自變量，則丁（0,）3B（方案甲）B（方案乙）在RtPOQ中,在RtORS中,PQ=OPsinPOQ=rsin=OQ=OPco

18、s一POQ=rcos：i,pOR二SRcotROSSin一,暑rsinv3RQ=OQ-ORcost所以，矩形PQRS的面積：S=f(r)=PQRQ=rsinB(rcosT-rs呼2ST，(0弓)（2）若選擇方案乙：如圖，分別取PQ、SR的中點為M、N,連結(jié)MN、OP則32.6r;當”訂即"時，si-SON取.POM為自變量，則于（0-）66在RtPOM中,PM=OPsin.POM=rsin=,.PQ=2PM=2rsinvOM=OPcos£POM=rcosv,在RtONS中，ON=SNcot.NOS二£3rsinr,.PS=MN=OM-ON=rcosj-.3rsin所以，矩形PQRS的面積：S=g(力=PQPS=2rsinvacosT1-3rsinv)=2r2sin(2v)-.3r2.-(°6