2019_2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.2立體圖形的直觀圖學(xué)案新人教A版

1、8. 2立體圖形的直觀圖考點學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)平面圖形的直觀圖會用斜二測回法國水平放置的平面圖形的直觀圖直觀想象簡單幾何體的直觀圖會用斜二測畫法畫常見的柱、錐、臺以及簡單組合體的直觀圖直觀想象直觀圖的還原與計算會根據(jù)斜二測畫法規(guī)則進行相關(guān)運算直觀想象、數(shù)學(xué)運算預(yù)習(xí)案，研使導(dǎo)學(xué)曾田成問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P107 P111的內(nèi)容，思考以下問題：1 .畫簡單幾何體的直觀圖的步驟是什么？2 .水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法有哪些規(guī)則?3 .用斜二測畫法畫空間幾何體的直觀圖的步驟是什么？，、新知初探少4 .用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的步驟(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的 x軸和y軸，

2、兩軸相交于點 O畫直觀圖時，把它們 畫成對應(yīng)的x'軸與y'軸，兩軸交于點O',且使/ x'O'y'= 45(或135°),它們確定的平面表示水平面.(2)平行不變：已知圖形中平行于 x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于 x'軸 或y'軸的線段.(3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于 y軸的線段，長度為原來的一半.5 .空間幾何體直觀圖的畫法(1)與平面圖形的直觀圖畫法相比多了一個z軸，直觀圖中與之對應(yīng)的是z'軸.(2)直觀圖中平面x' O y'表示水平平

3、面，平面 v' O z'和x' O' z'表示豎直平面.(3)已知圖形中平行于 z軸(或在z軸上)的線段，在其直觀圖中平行性和長度都不變.(4)成圖后，去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線.名師點撥(1)畫水平放置的平面圖形的直觀圖，關(guān)鍵是確定多邊形頂點的位置，借助于平面直角坐 標(biāo)系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可.45° （或 135° ）.(2)用斜二測畫法畫直觀圖要掌握水平長不變，垂線長減半，直角畫4自我施一測少O判斷（正確的打“，”，錯誤的打“x”）（1）用斜二測畫法畫水平放置的/A時，若/ A的兩邊分別平行于 x軸和y軸

4、，且/ A= 90°則在直觀圖中，Z A= 45° .（）（2）用斜二測畫法畫平面圖形的直觀圖時，平行的線段在直觀圖中仍平行.（）（3）相等的角在直觀圖中仍相等.（）答案：（1） X （2） V （3） X©根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則畫直觀圖時，把Ox Oy, Oz軸畫成對應(yīng)的 O' x' , O y',O z',則/ x' O' y'與/ x' O z'的度數(shù)分別為（）A. 90° , 90°B. 45° , 90°C. 135° , 90

5、6;D. 45° 或 135° , 90°解析：選D.根據(jù)斜二測畫法的規(guī)則，/x' O' y'的度數(shù)應(yīng)為45?；?35。，/x' O' z'指的是畫立體圖形時的橫軸與豎軸的夾角，所以度數(shù)為90。. 下列關(guān)于直觀圖的說法不正確的是（）A.原圖形中平行于 y軸的線段，對應(yīng)線段平行于直觀圖中y'軸，長度不變B.原圖形中平行于 x軸的線段，對應(yīng)線段平行于直觀圖中x'軸，長度不變C.畫與直角坐標(biāo)系 xOy對應(yīng)的x'Oy'時，/ x' O' y'可以畫成45°D.

6、在畫直觀圖時，由于選軸的不同所畫直觀圖可能不同解析：選A.平行于y軸的線段，直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?，?A錯.E）利用斜二測畫法畫邊長為 1 cm的正方形的直觀圖，可能是下面的（）ABC1)解析：選C.正方形的直觀圖是平行四邊形，且邊長不相等，故選 C項. 如圖所示的直觀圖 A O B',其原平面圖形的面積為 答案：6解惑探究突破探究點E11畫水平放置的平面圖形的直觀圖例1 畫水平放置的直角梯形的直觀圖，如圖所示.【解】(1)在已知的直角梯形 OBCD3,以底邊 OB所在直線為x軸，垂直于 OB的月OD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.如圖所示.(2)畫相應(yīng)的x'軸和y&#

7、39;軸，使/x' O y' =45° ,在x'軸上截取 O B' = OB在V,，一1 一、 一 ，軸上截取 O D' =OD過點D ix'軸的平行線l ,在l上沿x'軸正方向取點 C'使得D C' = DC連接B' C',如圖.(3)所得四邊形 O B' C D'就是直角梯形 OBCDJ直觀圖.如圖. 畫水平放置的平面圖形的直觀圖的關(guān)鍵及注意事項(1)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時，選取適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系是關(guān)鍵，一般要使平面多邊形盡可能多的頂點在坐標(biāo)軸上或邊與坐標(biāo)軸平行，以便于

8、畫圖.(2)畫圖時要注意原圖和直觀圖中線段的長度的關(guān)系是否發(fā)生變化.跟蹤訓(xùn)練用斜二測畫法畫出圖中等腰梯形ABCD的直觀圖.(其中Q E分別為線段 AB, DC的中點)解：(1)畫對應(yīng)的坐標(biāo)系 X, O' y',使/ x' O y' =45°(2)以O(shè)'為中點在x'軸上取A B' = AB在y'軸上取 O E'12OE以E'為中點畫 C' D' / x'軸，并使 C D' = CD連接B' C' , D' A ,所得的四邊形 A B' C D&

9、#39;就是水平放置的等腰梯形ABCD勺直觀圖，如圖.一究點可A'畫簡單幾何體的直觀圖例藥 已知一個正四棱臺的上底面邊長為2,下底面邊長為6,高為4,用斜二測畫法畫出此正四棱臺的直觀圖.【解】(1)畫軸.如圖，畫 x軸、y軸、z軸，三軸相交于點xOz= 90 .(2)畫下底面.以O(shè)為中點，在x軸上取線段EF,使得EF= 6,在y軸上取線段GH使得GH= 3,再過G, H分別作 AB觸EF, CD統(tǒng)EF,且使得 AB的中點為 G CD勺中點為 H,連接AQBC這樣就得到了正四棱臺的下底面ABCD勺直觀圖.(3)畫上底面.在 z軸上截取線段 OO= 4,過O作Ox' / Ox, O

10、y' /Oy,使/ x' Oy' = 45° ,建立坐標(biāo)系x' Oy',在x' Oy'中仿照(2)的步驟畫出上底面 ABGD的直觀圖.(4)連接AA、BB、CC、DD,擦去輔助線，得到的圖形就是所求的正四棱臺的直觀圖(如圖).規(guī)律方r法畫空間圖形的直觀圖的原則(1)用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖時，圖形中平行于 x軸、y軸、z軸的線段在直觀 圖中應(yīng)分別畫成平行于 x'軸、y'軸、z'軸的線段.(2)平行于x軸、z軸的線段在直觀圖中長度保持不變，平行于y軸的線段長度變?yōu)樵瓉磴@1的亍跟蹤訓(xùn)練:由如圖所示幾何體

11、的三視圖畫出直觀圖.惻視圖正視圖解：(1)畫軸.如圖，畫出 x軸、y軸、z軸,三軸相交于點 O,使/ xOy= 45° , / xOz= 90°(2)畫底面.作水平放置的三角形 (俯視圖)的直觀圖4 ABC(3)畫側(cè)棱.過A, B, C各點分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取線段AA',BB , CC ,且 AA' = BB = CC ,如圖.(4)成圖，順次連接A',B',C',并加以整理(擦去輔助線，將遮擋部分用虛線表示),得到的圖形就是所求的幾何體的直觀圖，如圖.探究點亙L_直觀圖的還原與計算例3 如圖所示，梯形A BC

12、D是一平面圖形 ABCD的直觀圖.若AD/O' y' , AB/ CD,2AB=-CiD1=2, AD = O D= 1.試畫出原四邊形，并求原圖形的面積. 3【解】 如圖，建立直角坐標(biāo)系xOy,在x軸上截取OD= O D = 1, A,一斗弋OC O, C = 2.在過點D與y軸平行的直線上截取 DA= 2DA=2.在過點A與x軸平行的直線上截取 AB= AB = 2.連接BC便得到了原圖形(如圖).。白由作法可知，原四邊形 ABCD1直角梯形，上、下底長度分別為AB= 2, CD= 3,直角腰長度為AD= 2.一一 ，2+ 3所以面積為S= -2 X2=5.(1)直觀圖的還

13、原技巧由直觀圖還原為平面圖的關(guān)鍵是找與x'軸、y'軸平行的直線或線段，且平行于x'軸的線段還原時長度不變， 平行于y'軸的線段還原時放大為直觀圖中相應(yīng)線段長的2倍，由此確定圖形的各個頂點，順次連接即可.(2)直觀圖與原圖面積之間的關(guān)系若一個平面多邊形的面積為 S,其直觀圖白面積為 S',則有S' =(s或s= 2g2S'.跟蹤訓(xùn)練利用這一公式可由原圖形面積求其直觀圖面積或由直觀圖面積求原圖形面積.已知正三角形 ABC的邊長為a,那么 ABC的平面直觀圖 A B C'的面積為()解析：選D.如圖所示為實際圖形和直觀圖. 由可知，B&

14、#39; C' = BO a, O' A = 2qAf乎a,在圖中作 A D，B' C'于點D',則A' D =骨 A'=洛.所以-a b c =2b' C'A' D，aTa=*.驗證反情達標(biāo)惻評案, 1.用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖，對其中的線段說法錯誤的是A.原來相交的仍相交B.原來垂直的仍垂直C.原來平行的仍平行D.原來共點的仍共點答案：B2.如圖為一平面圖形的直觀圖，則此平面圖形可能是選項中的C.由斜二測畫法的規(guī)則可知，該平面圖形為直角梯形，又因為第一象限內(nèi)的邊解析：選平行于y'軸,故選

15、C.3.如圖是梯形 QABC勺直觀圖，其直觀圖面積為 S,則才形QABC勺面積為（）yrorA. 2SB.C. 2 2SD.,2S3s解析：選C.法一：設(shè)O C' =h,則原梯形是一個直角梯形且高為2h, C B' = CB OA = QA過C'彳C D' ± O A于點D'(圖略)，r2則C D' = /h.由題意知122c D' (C B，+ O A ) = S,即 t h( C B，+ O A' ) = S又原直角梯形面積為S =22h(CB+ OA) = h( C B' + O A'4S）飛=2落

16、所以梯形OABC勺面積為2，2$故選C.法二：由S直觀圖=原圖,可得S梯形 OABC=4S. 一，審=2d2S,故選C.4.若把一個高為10 cm的圓柱的底面畫在x' O' y'平面上，則圓柱的高應(yīng)畫成 （）A.平彳f于z'軸且大小為10 cmB.平行于z'軸且大小為5 cmC.與 z'軸成45°且大小為10 cmD.與 z'軸成45°且大小為 5 cm解析：選A.平行于z軸（或在z軸上）的線段，在直觀圖中的方向和長度都與原來保持5.畫一個正四棱錐（底面為正方形，側(cè)面為全等的等腰三角形）的直觀圖（尺寸自定）.解：步驟:

17、（1）畫軸.如圖，畫 x軸、y軸、z軸，使/ xO尸45° ,xOz= 90 .（2）畫底面.以O(shè)為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖ABCD（3）畫頂點.在Oz軸上截取OS使O*于已知正四棱錐的高.（4）畫棱.連接SA SB, SC SD,擦去輔助線（坐標(biāo)軸），得到正四棱錐 S-ABCD勺直觀圖,如圖所示./ I w鞏固提升，A 基礎(chǔ)達標(biāo)1 .對于用斜二測畫法所得的直觀圖，以下說法正確的是A.等腰三角形的直觀圖仍是等腰三角形B.正方形的直觀圖為平行四邊形C.梯形的直觀圖不是梯形D.正三角形的直觀圖一定為等腰三角形解析：選B.根據(jù)斜二測畫法的要求知，正方形的直觀圖為平行四邊形.

18、2 .如圖，A' B' / O y' , B' C' / O x',則直觀圖所示的平面圖形是()A.任意三角形B.銳角三角形C.直角三角形D.鈍角三角形解析：選 C.因為 A B' O O' y',且 B' C' O O x',所以原平面圖形中 ABL BC所以 ABC為直角三角形.3 .已知兩個圓錐，底面重合在一起 (底面平行于水平面),其中一個圓錐頂點到底面的距 離為2 cm,另一個圓錐頂點到底面的距離為3 cm,則其直觀圖中這兩個頂點之間的距離為()A. 2 cmB. 3 cmC. 2.5 c

19、mD. 5 cm解析：選 D.圓錐頂點到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點間距離為2+3=5(cm),在直觀圖中與z軸平行的線段長度不變，仍為 5 cm,故選D.4 .已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為4,則此正方形的面積是()A. 16B. 64D.都不對C. 16 或 64y軸的線段變?yōu)樵馕觯哼xC.根據(jù)直觀圖的畫法，平行于 x軸的線段長度不變，平行于來的一半，于是長為 4的邊如果平行于 x軸，則正方形邊長為 4,面積為16,邊長為4的邊如果平行于y軸，則正方形邊長為 8,面積是64.5 .正方形 O A B C'的邊長為1 cm,它是水平放置的一個平面圖形 的直觀

20、圖，則原圖形的周長是()A. 6 cmB. 8 cmC. (2 + 3/2)cmD. (2 + 2*J3)cm解析：選B.如圖，OA= 1 cm, 在 Rt OAE, OB= 2/ cm, 所以 AB= gA+ OB = 3 (cm).所以四邊形OABC勺周長為8 cm.6 .如圖所示為一個平面圖形的直觀圖，則它的原圖形四邊形ABCD勺形斗犬為解析：因為/ D' A B'45° ,由斜二測畫法規(guī)則知/DAB= 90° ，又因四邊形A B' C' D'為平行四邊形，且 A B' = 2B' C',所以AB= BQ

21、所以原四邊形 ABC西正方形.答案：正方形7 .如圖是四邊形 ABCD勺水平放置白直觀圖 A B' C D',則原四邊形 ABCD勺面積是/o' r解析：因為A D' / y'軸，A B' / C D' , A' B' w C' D , 所以原圖形是一個直角梯形，如圖所示.又 A' D' =4, _ ,1所以原直角梯形的上、 下底及高分別是 2, 5, 8,故其面積為S= 2X (2 +5) X8= 28.答案：288 .如圖所示的是一個水平放置的正方形ABCO它在直角坐標(biāo)系 xOy中， 丁點B的坐

22、標(biāo)為(2, 2),則用斜二測畫法畫出的正方形的直觀圖中，頂點B'到x'軸的距離為.c-x解析：在直觀圖中四邊形AB'C'O'是有一個角為45。且長邊為2,短邊為1的平行四邊形，所以頂點 B'到x'軸的距離為 坐.答案:-229 .如圖是上、下底面處在水平狀態(tài)下的棱長為2 cm的正方體的直上為莢亍刁1©觀圖，比例尺為1 ： 1,回答下列問題：力仗/(1)線段AB在圖中、實物中長度各為多少？ /ABA在圖中、實物中匕的度數(shù)各為多少？(2)在實物中，/ ABC / AEB / BEC / ABD / CBD勺度數(shù)是多少？(3)線段BC

23、在圖中、實物中的長度各是多少？ / ADA、/ CBG在實物中的度數(shù)是多少？解：(1)平面AABB處在鉛直狀態(tài)下，其內(nèi)部的圖形為真實圖形，由已知AA=AB=2 cm,AA1XAB1,所以AB=,22+22= 272 (cm).所以線段AB在圖中，實物中的長度都是2由cm,/ABA在圖中、實物中度數(shù)都是 45(2)在實物中，/ AB* /AEB= / BE& 90 , / ABD= Z CBD= 45 .(3)線段BC在圖中、實物中白長度分別是1 cm, 2 cm, / ADA、/ CBG在實物中的度數(shù)都是45。.10 .如圖所示，四邊形 ABCD1一個才!形，CD/ AB, CD= B

24、O= 1,三角形P夕一1cAOM等腰直角三角形， O為AB的中點，試求梯形 ABCDK平放置的直觀圖解：法一：在梯形 ABC由，AB= 2,高OD= 1,由于梯形 ABCDK平放置廣W £ 的直觀圖仍為梯形， 且上底。前口下底AB的長度都不變，如圖所示，在直觀圖中，O' D' = 2oD= 2,梯形的高 D' E'=12,于是梯形A B C' D'的面積為2x(1 +2)X2= 382., 一 1法二：梯形 ABCD勺面積S= 2(DO AxODI 3=2x (1 +2)X1= 2.所以梯形ABCDt觀圖的面積為平礙限B 能力提升II

25、.如圖所示的是水平放置的三角形ABC勺直觀圖4 A B C',其.中D'是A' C'的中點，在原三角形 ABC中，/ AC序60° ,則原圖形中火與線段BD的長相等的線段有()A. 0條B. 1條C. 2條D. 3條解析：選 C.先按照斜二測畫法把直觀圖還原為真正的平面圖形，然后根據(jù)平面圖形的幾 何性質(zhì)找出與線段 BD長度相等的線段.把三角形 A B C'還原后為直角三角形，則 D為斜 邊AC的中點，所以 AD= DC= BD故選C.12.如圖所示，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個底3V角為45。、腰和上底長均為 1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是審焉；一()1 22A.2+ 寧B. 1 + 可C. 1+ 2D. 2+2因為/ A B C = 45。，所以/ ABC= 90° .所以ABL BC所以四邊形 ABC匿直角梯形，如圖所示.其中，AD= A D&