八年級數(shù)學(xué)三角形輔助線大全

1、三角形作輔助性方法大全1 .在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角證明角的不等關(guān)系時，如果直接證不出 來，可連結(jié)兩點或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個三角形外角的位 置上，小角處在內(nèi)角的位置上，再利用外角定理證題.例：已知D為4ABC內(nèi)任一點，求證：NBDONBAC證法（一）：延長BD交AC于E,ZZBDC是4EDC的外角，AZBDOZDEC同理：NDEONBAC AZBDOZBAC證法（二）：連結(jié)AD,并延長交BC于F ,ZZBDF是4ABD的外角，AZBDF>ZBAD同理NCDF>NCADAZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD 即：NBDC>NBAC2

2、 .有角平分線時常在角兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為4ABC的中線且N1 = Z2,Z3 = Z4,求證：BE+CF>EF證明：在DA上截取DN = DB,連結(jié)NE、NF,則DN= DC在4BDE和4NDE中，DN = DBZ1 = Z2ED = EDAABDEANDEABE = NE同理可證：CF = NF在4EFN 中，EN+FN>EF ABE+CF>EF3 .有以線段中點為端點的線段時，常加倍延長此線段構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為4ABC的中線，且N1 = Z2,Z3 = N4,求證：BE+CF>EF 證明：延長ED到M,使D

3、M = DE,連結(jié)CM、FMBDE 和CDM 中，BD = CDZ1 = Z5ED = MD.bdescdmACM = BE又/1 = Z2,Z3 = Z4Z1 + Z2+Z3 + Z4 = 180oAZ3 +Z2 = 90o即NEDF = 90oZ.ZFDM = ZEDF = 90o/EDF 和MDF 中/ED = MD八一.ZFDM = ZEDFB XY cDF = DFm.EDFSMDF AEF = MF ,在ACMF 中，CF+CM >MF BE+CF>EF（此題也可加倍FD,證法同上）4 .在三角形中有中線時，常加倍延長中線構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AD為4ABC的

4、中線，求證：AB+AO2AD證明：延長AD至E,使DE = AD,連結(jié)BEVAD為4ABC的中線ABD = CD在4ACD和4EBD中BD = CDZ1 = Z2AD = ED.acdsebdABE 中有 AB+BE>AEAAB+AO2AD5 .截長補短作輔助線的方法截長法：在較長的線段上截取一條線段等于較短線段；補短法：延長較短線段和較長線段相等.這兩種方法統(tǒng)稱截長補短法.當(dāng)已知或求證中涉及到線段a、b、c、d有下列情況之一時用此種方法: a > ba ±b = ca±b =c±d例：已知，如圖，在ABC中，AB>AC,Z1 = Z2, P為A

5、D上任一點，求證：AB-AC>PB-PC證明：截長法：在AB上截取AN = AC,連結(jié)PN在4APN和4APC中，AN = ACZ1 = Z2AP = AP.APNSAPCA PC = PNBPN 中有 PB-PC<BNAPB-PC<ABAC補短法：延長AC至M,使AM = AB,連結(jié)PM在4ABP和4AMP中AB = AMZ1 = Z2AP = AP.ABPSAMPAPB = PM又,在PCM中有CM >PMPCAAB-AOPB-PC練習(xí)：1.已知，求證:2.已知， 求證:在ABC中，NB = 60o,AD、CE是ABC的角平分線，并且它們交于點O AC = AE+C

6、D如圖，ABCDN1 = N2 ,N3 = N4. BC = AB+CD6 .證明兩條線段相等的步驟：觀察要證線段在哪兩個可能全等的三角形中，然后證這兩個三角形全等。若圖中沒有全等三角形，可以把求證線段用和它相等的線段代換，再證它們所 在的三角形全等.如果沒有相等的線段代換，可設(shè)法作輔助線構(gòu)造全等三角形.例:如圖，已知，BE、CD相交于F,NB = NC,N1 = N2,求證：DF = EF 證明：NADF =NB + N3 NAEF = NC+N4 XVZ3 = N4 NB = NCAN ADF = NAEF 在ADF 和AEF 中 NADF = NAEF N1 = N2 AF = AF .

7、ADFSAEF ADF = EF7 .在一個圖形中，有多個垂直關(guān)系時，常用同角（等角）的余角相等來證明兩個角相等.例：已知，如圖RtABC中，AB = AC, NBAC = 90o,過A作任一條直線AN,作BDXAN于 D, CEXAN 于 E,求證：DE = BD-CE證明：NBAC = 90o, BD±ANAN1 + N2 = 90o N1 + N3 = 90oAN2 = N3VBDXANCE±ANNANBDA =NAEC = 90o 在ABD和ACAE中， NBDA =NAECN2 = N3AB = AC .ABDSCAE ABD = AE且 AD = CE AAE-

8、AD=BD-CE ADE = BD-CE8,三角形一邊的兩端點到這邊的中線所在的直線的距離相等.例：AD為4ABC的中線，且CF1AD于F, BE±AD的延長線于E求證：BE = CF證明：（略）9 .條件不足時延長已知邊構(gòu)造三角形.例：已知 AC = BD, AD±AC 于 A, BCBD 于 B 求證：AD = BC證明：分別延長DA、CB交于點EVADXACBC±BDZ.ZCAE = ZDBE = 90o 在DBE和ACAE中 ZDBE=ZCAE BD = AC ZE =ZE .DBESCAE A ED = EC, EB = EA AED-EA = EC-

9、EB AAD = BC10 .連接四邊形的對角線，把四邊形問題轉(zhuǎn)化成三角形來解決問題.例：已知，如圖，ABCD, ADBC 求證：AB = CD證明：連結(jié)AC （或BD）.ABCD, ADBCAZ1 = Z2在ABC和CDA中， Z1 = Z2AC = CAZ3 = Z4.ABCSCDAA AB = CD練習(xí)：已知，如圖，AB = DC, AD = BC, DE = BF, 求證：BE = DFCFB11.有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長?？蓺w結(jié)為“角分垂等腰歸”.例：已知，如圖，在RtAABC中，AB = AC 線于E 求證：BD = 2CE證明：分別延長BA、CE交于F VBE

10、XCFZ.ZBEF =ZBEC = 90° 在BEF 和4BEC 中 Z1 = Z2BE = BEZBEF =ZBEC.BEFSBECACE = FE，CF2,ZZBAC = 90° , BE±CF Z.ZBAC = ZCAF = 90° Z1 + ZBDA = 90° Z1 + ZBFC = 90° ZBDA = ZBFC 在ABD和ACF中 ZBAC = ZCAF ZBDA = ZBFC AB = AC.ABDSACFABD = CF ABD = 2CEZBAC = 90°,Z1 = Z2 , CE±BD 的延

11、長練習(xí)：已知，如圖，NACB = 3ZB求證：AB-AC = 2CDZ1 =Z2,CD±AD 于 D,12 .當(dāng)證題有困難時，可結(jié)合已知條件，把圖形中的某兩點連接起來構(gòu)造全等三角形.例：已知，如圖，AC、BD相交于O,且AB = DC, AC = BD,求證：ZA = ZD證明：（連結(jié)BC,過程略）13 .當(dāng)證題缺少線段相等的條件時，可取某條線段中點，為證題提供條件.例：已知，如圖，AB = DC,ZA = ZD求證：Z ABC = ZDCB證明：分別取AD、BC中點N、M,連結(jié)NB、NM、NC （過程略）14 .有角平分線時，常過角平分線上的點向角兩邊做垂線，利用角平分線上的點到角

12、兩邊距 離相等證題.例：已知，如圖，N1 = Z2 , P 為 BN 上一點，且 PDXBC 于 D, AB+BC = 2BD,求證：NBAP+NBCP = 180o證明：過P作PEXBA于E VPD±BC,Z1 = Z2APE = PD在 RtABPE 和 RtABPD 中BP = BPPE = PDZ.RtABPERtABPDABE=BD AB+BC = 2BD, BC = CD+BD, AB = BEAEA AE = CDVPEXBE, PD±BC ZPEB =ZPDC = 90o 在PEA和PDC中 PE = PDZPEB =ZPDCAE =CD.PEASPDCAZ

13、PCB = ZEAP ZBAP+ZEAP = 180oAZBAP+ZBCP = 180o練習(xí)：1.已知，如圖，PA、PC分別是ABC外角ZMAC與ZNCA的平分線，它們交于P, PDXBM 于 M, PFXBN于F,求證：BP為ZMBN的平分線2.已知，如圖，在ZABC 中，ZABC =100o,ZACB = 20o, CE 是ZACB 的平分線， D是AC上一點，若ZCBD = 20o,求ZCED的度數(shù)。15.有等腰三角形時常用的輔助線作頂角的平分線，底邊中線，底邊高線 例：已知，如圖，AB = AC, BDXAC于D, 求證：NBAC = 2ZDBC證明：（方法一）作NBAC的平分線AE,

14、交BC于E,則N1 = Z2 = 1 ZBACXVAB = AC AAEXBC AZ2+ZACB = 90o VBDXAC AZDBC+ZACB = 90o AZ2 = ZDBC Z.ZBAC = 2ZDBC（方法二）過A作AE±BC于E （過程略） （方法三）取BC中點E,連結(jié)AE （過程略） 有底邊中點時，常作底邊中線 例：已知，如圖，ABC中，AB = AC, D為BC中點，DELAB于E, DFXAC于F, 求證：DE = DF 證明：連結(jié)AD.VD為BC中點， ABD = CD XVAB =AC AAD 平分NBAC VDEXAB, DF±AC ADE = DF將

15、腰延長一倍，構(gòu)造直角三角形解題 例：已知，如圖，AABC中，AB = AC,在BA延長線和AC上各取一點E、F,使AE =AF,求證：EFXBC證明：延長BE到N,使AN = AB,連結(jié)CN,則AB = AN = AC AZB = ZACB, ZACN = ZANC VZB + ZACB+ZACN+ZANC = 180o A2ZBCA+2ZACN = 180o AZBCA+Z ACN = 90o 即ZBCN = 90o ANCXBC VAE = AF AZAEF = ZAFE 又VZBAC = ZAEF +ZAFE ZBAC = ZACN +ZANC AZBAC =2 ZAEF = 2 ZAN

16、C AZAEF = ZANC AEFNC AEFXBC常過一腰上的某一已知點做另一腰的平行線 例：已知，如圖，在ABC中，AB = AC, D在AB上，E在AC延長線上，且BD = CE,連結(jié)DE交BC于F求證：DF = EF證明：（證法一）過 D 作 DNAE,交 BC 于 N,則ZDNB = ZACB,ZNDE = ZE, AB = AC, AZB = ZACB AZB =ZDNB ABD = DN 又,BD = CE ADN = EC 在DNF和ECF中 Z1 = Z2 ZNDF =ZE DN = EC .DNFSECF ADF = EF（過程略）（證法二）過E作EM# AB交BC延長線

17、于M,則ZEMB =ZB常過一腰上的某一已知點做底的平行線例：已知，如圖，ABC中，AB =AC, E在AC上連結(jié)DE求證：DELBC證明：（證法一）過點E作EFBC交AB于F,ZAFE =ZBZAEF =ZCAB = ACAZB =ZCAZAFE =ZAEFAD = AEAZAED =ZADE又Z AFE+ZAEF+Z AED+ZADEA2ZAEF+2ZAED = 90o即ZFED = 90oADEXFEXVEF#BCADEXBC,D在BA延長線上N3且 AD = AE,二180o（證法二）過點D作DNBC交CA的延長線于N,（過程略） （證法三）過點A作AMBC交DE于M,（過程略）常將等

18、腰三角形轉(zhuǎn)化成特殊的等腰三角形-等邊三角形若NPBC = 10o例：已知，如圖，4ABC中，AB = AC, ZBAC = 80o ,P為形內(nèi)一點ZPCB = 30o 求ZPAB 的度數(shù).解法一：以AB為一邊作等邊三角形，連結(jié)CE貝 UZBAE =ZABE = 60oAE = AB = BEAB = ACAAE = AC ZABC =ZACBZ.ZAEC =NACE,ZZEAC =ZBAC-ZBAE=80o -60o = 20o1ANACE = 2(180o-NEAC)二 80o1VNACB= 2(180o-NBAC)二 50oZ.ZBCE =ZACE-ZACB=80o-50o = 30o,Z

19、ZPCB = 30oZ.ZPCB = ZBCEVNABC =NACB = 50o, NABE = 60oANEBC =NABENABC = 60o50o =10o,ZZPBC = 10oANPBC = NEBC 在PBC和EBC中 NPBC = NEBCBC = BCNPCB = NBCE.pbcsebcA BP = BEVAB = BEA AB = BPANBAP =NBPA解法二:解法三:VNABP =N ABC-NPBC = 50o 10o = 40o1ANPAB = 2 (180o-NABP)二 70o以AC為一邊作等邊三角形，證法同一。以BC為一邊作等邊三角形ABCE,連結(jié)AE,則E

20、B = EC = BC,NBEC =NEBC = 60oV EB = ECAE在BC的中垂線上同理A在BC的中垂線上AEA所在的直線是BC的中垂線AEAXBCNAEB = 1 NBEC = 30o =NPCB2由解法一知：NABC = 50oANABE = NEBC-NABC = 10o =NPBCVNABE =NPBC,BE = BC,NAEB =NPCB.abespbcA AB = BPANBAP =NBPAVNABP =NABC-NPBC = 50o 10o = 40oA/PAB = -(180o/ABP) = -(180o40o)= 70o16.有二倍角時常用的輔助線構(gòu)造等腰三角形使二

21、倍角是等腰三角形的頂角的外角例：已知，求證:證明:如圖，在4ABC 中，/1 = /2,/ABC = 2/C,AB+BD = AC延長AB到E,使BE = BD,連結(jié)DE則/BED = /BDE/ABD =/E+/BDEZ.ZABC =2NE/ABC = 2ZCA/E = /C在AED和ACD中 /E = /CZ1 = /2AD = AD .AEDSACDA AC = AEAE = AB+BE AAC=AB+BE 即 AB+BD = AC 平分二倍角例：已知，求證:證明:如圖，在4ABC中，BD±AC于D, /ABC = /ACB作/BAC的平分線AE交BC于E,VBDXACA/CB

22、D +/C = 90o/BAC = 2/DBC貝 UNBAE = /CAE = /DBC/BAC = 2/DBC./CAE+/C= 90o./AEC= 180o/CAE/C= 90oAAEXBCA/ABC+/BAE = 90oV/CAE+/C= 90o/BAE = /CAEA/ABC = /ACB加倍小角例：已知，如圖，在ABC中，BDXAC于D,求證：/ABC = /ACB證明：作/FBD =/DBC,BF交AC于F （過程略）17 .有垂直平分線時常把垂直平分線上的點與線段兩端點連結(jié)起來.例：已知，如圖，ABC中，AB = AC,NBAC = 120o, EF為AB的垂直平分線，EF交 B

23、C于F,交AB于E1求證：BF =2 FC證明：連結(jié)AF,則AF = BFANB =NFABV AB = ACANB =NCVNBAC = 120o1ANB =NCNBAC =/ (180o-NBAC) = 30oZ.ZFAB = 38Z.ZFAC =ZBAC-ZFAB = 120-300 =90o 又4 二 30oAAF =1FC 21 ABF = -FC 2練習(xí)：已知，如圖，在AABC中，NCAB的平分線AD與BC的垂直平分線DE交于點D, DMXAB于M, DNXAC延長線于N求證：BM = CN18 .有垂直時常構(gòu)造垂直平分線.例：已知，如圖，在ABC中，NB =2ZC, AD±BC于D 求證：CD = AB+BD證明：(一)在CD上截取DE = DB,連結(jié)AE,則AB = AE ANB =NAEB VZB = 2NC ANAEB =