02圓錐曲線中的面積問題

1、02圓錐曲線中的面積問題一、基礎知識：1、面積問題的解決策略：(1)求三角形的面積需要尋底找高，需要兩條線段的長度，為了簡化運算，通常優(yōu)先選擇能用坐標直接進行表示的底(或高).(2)面積的拆分：不規(guī)則的多邊形的面積通?？紤]拆分為多個三角形的面積和，對于三角形如果底和高不便于計算，則也可以考慮拆分成若干個易于計算的三角形2、多個圖形面積的關系的轉化：關鍵詞“求同存異”，尋找這些圖形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特點，從而可將面積的關系轉化為線段的關系，使得計算得以簡化3、面積的最值問題：通常利用公式將面積轉化為某個變量的函數，再求解函數的最值，在尋底找高的過程中，優(yōu)先選擇長度為定值的線段

2、參與運算.這樣可以使函數解析式較為簡單，便于分析)2,則S.PF1F2btan12221,貝USPF1F2bcot24、橢圓與雙曲線中焦點三角形面積公式(證明詳見“圓錐曲線的性質”22(1)橢圓：設P為橢圓勺'iab0上一點，且F1PF2ab22(2)雙曲線：設P為橢圓勺匕1a,b0上一點，且F1PF2ab二、典型例題：2例1:設F1,F2為橢圓:y21的左右焦點，過橢圓中心任作一直線與橢圓交于P,Q兩點,當四邊形PFQF2的面積最大時，PF;醴的值等于.思路：由橢圓中心對稱的特性可知P,Q關于原點中心對稱，所以PF1F2與QF1F2關于原點對稱，面積相等.且四邊形PF1QF2可拆成A

3、pFR與QFF2的和，所以四邊形PFQF2的面積最大即削訐2面積最大，因為SPF1F21向2ypcyp,所以當yp最大時，PFF2面積最2大.即P位于短軸頂點時，&PFF2面積最大.由±y21可知a2,b1,cJ3,所以4P0,1,F1J3,0,F2石,0,進而計算出PF1Pf2的值為2例2:已知點P是橢圓16x225y21600上的一點，且在x軸上方，巴下2分別為橢圓的左右焦點，直線PF2的斜率為4囪，則/F1F2的面積是.22思路：將橢圓化為標準方程為工上1,進而可得c6,所以F16,0,F26,0，計算10064PFiF2的面積可以以忖式2為底，Py為高，所以考慮利用條

4、件計算出P的縱坐標，設16x225y21600Px,y,則有kpF2yx645所以一xy4J3可解得y6046或y應3(舍191去)，所以SPFF-F1F21122例3:已知F為拋物線y2112243243&ABOAFO面積之和的最小值是思路：由OAOB2入手可考慮將向量坐標化，設x的焦點，點A,B在該拋物線上且位于x軸的兩側,IoAoB2,AXi,y，BX2,y2，則xy/2,進而想到可用韋達定理.所以設AB與x軸交于Mm,0直線AB:xtym.聯立方程2yxxtym得：m2m2.ytym0,所以y*V2-2220,x*x2yiy2m,所以由x*x2y*y22可S.'ABOS

5、；AFO2m1210M2,所以y*y21八y*y2|0Fyi2,9y18不妨設A在y2,由yiy2x軸上方，如圖可得：22可知y2,消兀后可yi得：S；ABOSAFO2-，一，一3,等號成立當且僅當y*4y11所以SABOSAFO的最小值為3例4:拋物線y2方的部分相交于點4x的焦點為F,準線為l,經過F且斜率為底的直線與拋物線在x軸上A,AKl,垂足為K,則八AFK的面積是.思路：斜率為點可知直線的傾斜角為一,從而可得3計算面積時可利用兩邊與夾角，所以可得Sj|AKF,物線性質可得AKAF|,所以只需求得焦半徑1-AKAFsin-,由拋23AF|,即只需解出A點橫坐標.利用幾何關系可得xa1

6、OF|fm|of|31af|,另一萬面,KAF一,所以在3由焦半徑公式可得：|AF|xa1,所以可得方程：112-xaOFxa1xa3,從而AFxa14,所以S',akf-AFsin4y3223小煉有話說：(1)本題的解法是利用題目中的幾何關系求解，繞過代數運算，而突破點即為直線的傾斜角一，所以當題目中出現特殊角時，可以考慮蘊含其中的幾何特點，從而使3得運算更為簡單.(2)本題的xa也可通過聯立方程，使用代數方法解決，方法步驟如下：由拋物線方程可得：F1,0,設l:y石x1,聯立方程:例5:4x3x24x,整理可得:23x10x30（舍）2以橢圓-932y-1的頂點為焦點，焦點為頂點的

7、雙曲線5其左右焦點分別為Fi，F2,已知點M的坐標為2,1,雙曲線C上點Px0,y0x00,y00滿足F2F1mf1nSr則SPMFiS,'PMF2等于思路：可先利用橢圓確定雙曲線方程及其焦點坐標,為Fi,耳坐標,觀察PF甘FiPFi由幾何關系可得橢圓的焦點為2,0,2,095,所以雙曲線中1的頂點為3,0,3,0,即a2,c3,進而bV5F2F1Fi可聯想到投影，即MR在PF；的投影與mH在f2f*的投影相等,FiM為PF1F2的角平分線.由M2,1,F23,0可得kMF21,即F2M平分PF2F1,從而M為APF1F2的內心，且內切圓半徑ryM1,從而S，：PMF1S,',

8、PMF2Ma.例6:已知點點，且FiF211121啊r5|PF2r萬產122P為雙曲線x2221a0,bab2,I為三角形PF1F2的內心,aPF220右支上一點，F1,F2分別是雙曲線的左右焦若SIPFSIPF6尸產2成立，則的值為11u2112思路：由三角形內心的性質可得I到三邊的距離相等，所以IPF14IPF2，|IF1F2的高均為r,從而S/F1S>F2%.2'PF1PF2IF1F2,即F1F2IPF1PF2F1F2b2b-確定a,c的關系即可.a解："I為三角形PF1F2的內心,111一S產12PF1r，S產22Pf2jSw2F2F1rS；IPFS,.IPF2

9、5"#2IPF1F1F2|PF1|PF2；PFj|PF2|2a,F1F22c2由F1F2b-可得：2caPF2|F1F2P在雙曲線上，且P,F2是焦點C即為離心率a2一2acca，兩邊同時除以a得:即,211ab0的離心率為,F是橢圓E的右焦點,222例7:已知點A0,2,橢圓E:冬當ab直線AF的斜率為竽，O為坐標原點(1)求E的方程(2)設過點A的動直線l與E相交于P,Q解：(1)設Fc,0kAF-迪c3兩點，當OPQ面積最大時，求l的方程c322x2.c1E:y141x2,y2,由圖像可信S,OPQ-dOPQPQ,考慮弦長公式用k表示出d°PQ,PQ,從而SoPQ也可

10、用k進行表木:d4.4k23Sopq4k23,再利用均值不等式即可得到最大值.等號成立的條件J4k23c32c22,e-a=2ba1a23思路：首先設PQ:ykx2,PXi，Yi,Q即為k的值.(注意直線與橢圓相交，所.4k23以消元后的方程0)(2)設直線PQ:ykx2,Px1，y1,QX2,y2ykx222聯立方程可得：22x4kx24,整理后可得：x4y4S.'QPQHdoPQ由方程216k1do22Tk484k21PQ4k21PQ1k2PQPQx216kx64k2-484k210解得:121QPQ二x2|j'1k0可得：x,x21244k23k24k214k2由均值不等

11、式可得：4T等號成立條件:4k234k2344k23S.QpQ1此時dl的方程為例8:已知橢圓2C:x2a2yb2_J22'Xx216k4k2-,X1X214x1x2124k2彳代入PQ可得44k34k2144k2344k2334.,4k244k234k7x2的離心率為兩點，當l的斜率為1時，坐標原點Q至心的距離為4k23工27x21,過右焦點F2J2(1)求橢圓C的方程.若P,Q,M,N是橢圓C上的四點，已知7與FQ共線,求四邊形PMQN面積的最小值解：（1）e£1,設Fc,0,則l:yxca2dQl-IcLc1,a2,b2a2c23,22（2）由（1）可得：f1,0,因為

12、pFmF0pf設PX,y1,Qx2,y2,PQ:y的直線l與C相交于A,BMF與FN共線，且22xy43MF,1SpMQNpFmF0,1,21MNpQ聯立方程可得:整理后可得：c2,23x4y12,消去x可得:ykx12-2_224k23x28k2x4k2120_222_3x24k2x112PQ|Mk2%x2144k21444k23212k214k23設MN:y11一x1,以一替換中的k可得:kkMN112工1k2212k21223k24SpMQN12MN|PQ2112k112k12-2224k33k44_2k2k1-I4I2Z12k25k1272k*22112k25設uk2：,可得u2,kS

13、PMQN7212u2512u25u2時，Smin28849例9:在平面直角坐標系xOy中，已知點A1,1,P是動點，且三角形POA的三邊所在直線的斜率滿足k0PkOAkPA(1)求點P的軌跡方程,一(2)若Q是軌跡C上異于點P的一個點，且用OA,直線OP與QA交于點M,問：是否存在點P使得PQA和PAM的面積滿足Spqm2Spam?若存在，求出點P的坐標，若不存在，請說明理由.(1)思路：本題設點Px,y,且O,A已知，直接利用條件列出等式化簡即可解：設Px,y,由A1,1,O0,0可得：kopX,koA1,kpA'依題息kOPkOAkPA可得:xx1-1-1yx1xx1xy1整理后可

14、得：xx1yx2,其中x0,x1所以P的軌跡方程為yxyxxx0,x1'(2)思路：從圖可得PQA和八PAM的高相同，從而面積的比值轉化為對應底邊的比，即Spqm2SpamQA2AM,再由OA可得PQ/OA,進而QA2AMOP2OM,由O,P,M共線再轉成向量關系則蘭西求出，PPQOA解：設Px1,x2,Q2x2,x2M的坐標即可解出PQ/OAP的坐標kPQkOA22X2Xix2Xi2X21x21x21x2X11QA:y1x12x1因為OP:yXiX:S：pqm1QA2QA2AMQA2AMdPQM,SPAM”插oA1,2AMidPPQM2sPAMOP2OM|,即OPQM2xMP1,1,所以存在符合條件的P1,1例10:設拋物線y22x的焦點為F,過點MJ3,0的直線與拋物線相交于A,B兩點，與拋物線的準線相交于C,BF2,則&BCF與&ACF的面積之比SBH.S'.ACF思路：由BF|2聯想到焦半徑公式，從而可解得xB-V321從而可判斷出B在M的左側，作出圖像可發(fā)現兩個三角形具備同“高”的特點(即F到BC的距離)，所以s-Su四|AC|'若直接從BC,AC長度出發(fā)，則運算量較大值視為整體