垂徑定理及應(yīng)用

1、和你談?wù)劇按箯蕉ɡ砑皯?yīng)用”我們先來探究一下垂徑定理的推導(dǎo)過程：在透明的紙片上面畫一個圓0,作任意一條非直徑的弦CD再作直徑AB與CD垂直，交點為P（如圖1）.沿著這條直徑將圓對折（如圖2）,我們不難發(fā)現(xiàn)：弧AC=弧AD,弧BC=BD,CP=DP即垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧.圖1圖2垂徑定理是根據(jù)圓是特殊軸對稱圖形得到的.由軸對稱圖形及軸對稱的特征,我們還可以發(fā)現(xiàn)：如果一條直線具備經(jīng)過圓心；垂直于弦；平分弦；平分弦所對的優(yōu)??；平分弦所對的劣弧.這五個條件中的任意兩個，不然具備其余的三個，簡稱“知二推三”但注意把“經(jīng)過圓心平分弦”作為題設(shè)時，必須是平分非直徑的弦，是因為圓的任意兩

2、條直徑都相互平分.垂徑定理及其推論能使很多問題輕松獲解，下面結(jié)合例題加以分析.一、求圓半徑、弦長或弦心距的長度例1小唐同學(xué)擲出的鉛球在場地上砸出一個直徑約為10cm,深約為2cm的小坑，則該鉛球的直徑約為（）A.10cmB.14.5cmC.19.5cmD.20cm解析：根據(jù)題意抽象出幾何圖形（如圖3）,則問題可轉(zhuǎn)化為：“在OO中，AB是弦，OC是半徑，OC丄AB于點D，且AB=10cm,CD=2cm，求OO的直徑”.設(shè)OO的半徑是r，由垂徑定理可得AD=-AB=5cm且OD=OCDn2.2222在RtAOD中，由勾股定理可得r5（r2）.解得r=7.25.所以O(shè)O的直徑為14.5cm.故選B.

3、練習：1.如圖4,AB是OO的直徑，C是OO上的一點，若AC=8,AB=10,OD丄BC于點D,貝UBD的長為（）圖5CD=8cm，那么A、B兩點到直線CD的距離之和為（）A.12cmB二、求相關(guān)角的度數(shù)10cmC.8cm.6cm例2如圖6,0O的半徑為5，弦AB=53，則/AOB=解析：過圓心O作OC丄AB，垂足為C.1 5由垂徑定理可得BC=丄AB=53,2 2在RtBCO中，OC=、0B2BC2=52(5,3)2=-,22/OCB=9O°,OB=2OC,二/OBC=30°.圖6又OB=OC/OAC=/OBC=3O0,故/AOB=18O0ZOACZOBC=120°.練習：3.如圖7,OA是OO的半徑，BC是OO的弦，OA丄BC.若ZAOB=46°，則ZADC為（）0A.44B.460C.230D.8804.如圖8，已知AB是OO的直徑(ZACB=90°),弦CD丄AB,AC=J3,BC=1,則ZABD的度數(shù)為反思：在運用垂徑定理解題過程中，常見的一條輔助線是過圓心作弦的垂線，構(gòu)造出垂徑定理的基本圖形.這條輔助線的功能并不只局限于產(chǎn)生定理的結(jié)論，適當延伸，當我們連接弦的端點和圓心時便形成一個直角三角形，進而通過解此直角三角形求弦長、半徑、直