不定積分與定積分

1、第三講 不定積分邱小麗辦公室: 3-301ATel:等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)一、與設(shè)F(x)和 f (x)在某區(qū)間上有定義, 如果在該區(qū)間上任一點(diǎn)x都有則稱F(x)是f(x)在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù).F(x)f(x) 或 dF(x)f(x)dx如果f(x)有一個(gè)原函數(shù)F(x),則也一定是其原函數(shù).函數(shù)f (x)為連續(xù)函數(shù), 且F(x)f (x),則 fx dxF xc City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)二、 cdx0

2、cxdxx111cxlndxx1calnadxaxxcedxexxcxsinxdxcoscxcosxdxsincxarcsindxx211cxarctandxx211City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)二、cxtanxdxsecdxxcos221cxcotxdxcscdxxsin2211secln sectancosxdxdxxxCx1cscln csccotsinxdxdxxxCx 22221lndxxxaCxa City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)三、設(shè)u(x)和

3、v(x)可導(dǎo),且不定積分 存在,則 ( ) ( )u x v x dx 也存在,并且( ) ( )u x v x dx ( )( )( )( )( )( )u xv x dx u xv xu xv x dx vduu vudv 或或City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)三、 ( )( )( )( )( )f x dxgxx dxg u duG uCGxC (1).( )( )若若具具有有原原函函數(shù)數(shù) ，可可導(dǎo)導(dǎo)，則則g uGux 1( )( )( )( ) ( )g u dugxx dxf x dxF xCFuC 1(2).( )0

4、, , , , ( ) ,( )( )xxa bfa bFg uGG xFuC 若若則則當(dāng)當(dāng) 在在上上存存在在原原函函數(shù)數(shù) 時(shí)時(shí)，在在上上存存在在原原函函數(shù)數(shù) ，且且，22 cos()xxdx City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)( , ),0R u vu va 表表示示的的有有理理函函數(shù)數(shù)，22(2).( ,)tan ,cosR xax dxxatdxatdt 型型，令令則則22(3).( ,)sec ,sectanR xxadxxatdxattdt ，令令則則2222(4).,(),0()axbaxbdtbR xdxtxcxd

5、cxdacta adbc tdxdtadbcact 型型，令令則則其其中中22(1).( ,)sin ,cosR xax dxxatdxatdt 型型，令令則則City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)( , ),0R u vu va 表表示示的的有有理理函函數(shù)數(shù)，22(2).( ,)tan ,cosR xax dxxatdxatdt 型型，令令則則22(3).( ,)sec ,sectanR xxadxxatdxattdt ，令令則則 2222(5).sin ,costan,2212sin,cos,111xRxx dxtttxxdxd

6、tttt 型，用萬(wàn)能公式，即令型，用萬(wàn)能公式，即令 則則22(1).( ,)sin ,cosR xax dxxatdxatdt 型型，令令則則City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(3)倒代換倒代換當(dāng)分母的階較高時(shí)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換可采用倒代換:tx1.222141d41d(41)8ttttt 23/23/22114(41)(1)1212tCCx 244dxxx 12241411()d1xtttttt City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(3)倒代換倒代換當(dāng)

7、分母的階較高時(shí)當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換可采用倒代換:tx1.244dxxx City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)3.有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分 1110nnnnP xa xaxa xa 1110110nnnnmmmmP xa xaxa xaQ xb xbxb xb有理整式：有理整式：有理分式：有理分式： 22(1)(2)(3)(4).nnAAAxBAxBxaxpxqxaxpxq ；真分式可分解為：真分式可分解為： 225146xdxxxx 例例如如：City college of Wenzhou University高等數(shù)

8、學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo) 2321xdx 求求下下列列不不定定積積分分tan xdx 2tan xdx 3tan xdx 11xdxe 521xdxx 3xedxx 421xdxx 21825dxxx City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.1、直接積分法224111xxdxx 22221111xxdxxx 221ln(1)1dxxxcx 221111dxxx arcsin x2ln(1)xxc City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.2、第一換元積分法 (湊微分)

9、21arctan1xdxx 1(arctan)x 11arctan(arctan)dxx 211arctan2cx 211x 21x 211(1)x 23241(1) (ln )(1ln )1xxxx dxdxx 練練習(xí)習(xí)：( (2 2) )City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.2、第一換元積分法 (湊微分)21arctan1xdxx 1(arctan)x 11arctan(arctan)dxx 211arctan2cx 211x 21x 211(1)x 222222ln(1)3sin2(3)d4d1cossinxxxxxxax

10、bx （ ）City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.1ln11(1)(2)ln1xxdxdxxxxx 3、第二換元積分法City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.3、第二換元積分法1111 xxdxxx111111 xxxxdx解1：原式=2:解解分分母母有有理理化化1,1 xtx令有理函數(shù)積分22(3).( ,)sec ,sectanR xxadxxatdxattdt ，令令則則City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)

11、學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.4、倒代換72 3/2dd12(2)(1)xxx xxx（）； （ ）City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.4881(1)xxdxxx (06競(jìng)賽) 計(jì)算48876543281(1)1xxxxabxcxdxexfxgxhxmxx 1,2,1,0abfcdeghm 有理函數(shù)積分City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四. .(05-A 2+2) 求不定積分 322ln(1)xxdxx 4、分部積分法sind1cosxxxxCity college of We

12、nzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.利用循環(huán)，計(jì)算不定積分sin xexdxsin,sin xxIexdxIxde解：設(shè)則sincos xxexxde sincos( sin ) xxxexexex dxsincos xxexexdxsinsin xxexe dxsincos xxexexI 1sincos2xIexxsinsin(2ln ) xexdxx dx類似：，C City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四. .其他積分技巧2222cos,sin ababab其中222222sincossinc

13、os axbxababxxabab利用 22cossinsincos abxx1sincos dxaxbxCity college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四. .sin3cos4sinxdxxx (05 競(jìng)賽) 計(jì)算212441,11 xIdx Idxxx又如：求伴侶法12331d ,d11xIx IxxxCity college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)四.萬(wàn)能公式12sincos5 dxxx計(jì)算不定積分2222212tan,sin,cos,2111xtttxxdxdtttt 令令則則Cit

14、y college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五. 22442242321ln1ln1;2;( ln )(ln )13;4sin(ln );sincos15;6;1(1)sin(7)( )( )d(8)ln( )ln( )( )( )( )xxxxdxdxxxxxdxx dxxxxxedxdxxxexf xxfxxxf xfxfxf x fxdx （）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）已已知知的的一一原原函函，求求個(gè)數(shù)為City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五.2992142ln19d ;

15、10d ;(1)sin(2 )2sin111d ;12(1)d ;2sin3cos(1)113d ;(14)(2)115d ;cos(3) sin(5)xxxxxxxxxxxxxxexdxxxxxxx （ ）（ ）（ ）（ ）（ ）（ ）City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)第四講 定積分及其應(yīng)用 一、定義:如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間a,b上有界, 用分點(diǎn) ax0 x1x2xn1xnb把區(qū)間a,b分成n個(gè)小區(qū)間xi1,xi(i1,2,n),在每個(gè)小區(qū)間上任取一點(diǎn)i,作函數(shù)值f(i)與小區(qū)間長(zhǎng)度xi的乘積并求其和niiinxfS1

16、則函數(shù)f(x)在a,b上的定積分為 01limibniimaxxiafx dxfx City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)二、牛頓-萊布尼茲公式 若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上有定義且連續(xù), F(x)是f(x)的任何一個(gè)原函數(shù),則 ( )babfx dxF xF bF aa xyoab xfy City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)二、牛頓-萊布尼茲公式分部積分法 若函數(shù)f(x)和g(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)并有連續(xù)導(dǎo)數(shù)f(x)和g(x),則( )( )( )( )( )

17、( )bbaabf xg x dxf xg xfxg x dxa City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)二、牛頓-萊布尼茲公式分部積分法變量替換法 ( )( )( )baf x dxftt dt ( ) , ,( ( ) ,f xa bttabft 若若函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，函函數(shù)數(shù)（ ）及及其其導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)（ ）在在閉閉區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，其其中中（ ）（ ）；復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有定定義義并并連連續(xù)續(xù)，則則City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)

18、競(jìng)賽輔導(dǎo)二、積分第一中值定理( ) , ( ) , , ( )( )( )( )bbaaf xa bg xa ba bf xg x dxfg x dx 若若函函數(shù)數(shù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，且且在在上上不不變變號(hào)號(hào)，則則至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，使使得得 ( )1( )( )()bag xf x dxfba 特特別別地地，當(dāng)當(dāng)取取時(shí)時(shí)，則則有有 City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)二、 積分第一中值定理( ) , ( ) , ( )( )( )( )( )( )bbaaf xa bg xa bf xg x dxf ag x d

19、xf bg x dx 若若函函數(shù)數(shù)為為閉閉區(qū)區(qū)間間上上的的單單調(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù)，為為可可積積函函數(shù)數(shù)，則則存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)，使使得得 ( )( )( )( )bbaaf xg x dxfg x dx 積分第二中值定理City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)二、 積分第一中值定理( )( )( )( )( )( )bbaaf xg x dxf ag x dxf bg x dx ( )( )( )( )bbaaf xg x dxfg x dx 積分第二中值定理積微分學(xué)基本定理( ) , ( )( ) , ( ) , ( )( )xaf xa

20、bxf t dtxa bxa bxf x 若若函函數(shù)數(shù)為為閉閉區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，則則由由變變上上限限積積分分 ，定定義義的的函函數(shù)數(shù)在在上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且 City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)三、函數(shù)的廣義積分( )lim( )bbaaf x dxf x dx 同同理理可可定定義義 ( ) , ( )lim( )baabf xa bf x dxf x dx 若若函函數(shù)數(shù)在在每每個(gè)個(gè)有有窮窮區(qū)區(qū)間間上上可可積積，則則定定義義 ( )( )( )aaf x dxf x dxf x dxaR ，City college of Wen

21、zhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)三、函數(shù)的廣義積分( )lim( )baabf x dxf x dx ( )lim( )bbattaf x dxf x dx 同同理理可可定定義義 無(wú)界函數(shù)的廣義積分( ) , )b( ),( )lim( )btaatbf xa bf xf x dxf x dx 若若函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)間間上上連連續(xù)續(xù)，但但在在 的的左左半半鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)無(wú)無(wú)界界 定定義義 City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)三、函數(shù)的廣義積分( )lim( )baabf x dxf x dx 無(wú)界函數(shù)的廣

22、義積分(1).( )( ),( )( )比比較較判判別別法法 設(shè)設(shè)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，若若收收斂斂，則則積積分分絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. .aaxaf xF xF x dxf x dx 廣義積分收斂的判別法City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)三、函數(shù)的廣義積分( )lim( )baabf x dxf x dx 無(wú)界函數(shù)的廣義積分0(2).( )( ) ,)( ) ,)( ) ( )xaF xfdag xaxf x g x dx 狄利克雷判別法狄利克雷判別法 若在上有界，在若在上有界，在上單調(diào)且當(dāng)時(shí)趨于零，則收斂.上單調(diào)且當(dāng)時(shí)趨于零，則收斂.( (

23、一般情況下，并不絕對(duì)收斂)一般情況下，并不絕對(duì)收斂) 廣義積分收斂的判別法City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、11. ln .eexdx 求求的的值值121 213.(02) 1xxxedxx 競(jìng)競(jìng)賽賽求求積積分分014.01,1cosadxax 設(shè)設(shè)常常數(shù)數(shù)求求定積分的直接計(jì)算10arcsin2.(1)xdxxx 求求積積分分City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、提提示示：利利用用幾幾何何意意義義1205.(2000)2xx dx 數(shù)數(shù)一一求求定定積積分分22

24、2yxx定積分的直接計(jì)算22yxx令令120124xx dxS 22(1)1xy 2114 14 City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、2050sin()1.(03) limxxxtdtx 競(jìng)競(jìng)賽賽求求定積分的直接計(jì)算定積分與極限200cos22.(04) lim(tan )(11)xtxxetdtxxxx 競(jìng)競(jìng)賽賽求求City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)20,tan,sin,ln(1)111cos,11,arcsin2nxxxxxxxxxxxxxn 2242cos

25、1( 1)()2!4!(2)!mmmxxxxo xm 352112sin( 1)()3!5!(21)!mmmxxxxxo xm 32tan3!xxx 泰泰勒勒展展開(kāi)開(kāi)：City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)231()2!3!nxnxxxexo xn 231ln(1)( 1)()23nnnxxxxxo xn 211()1nnxxxo xx 211( 1)()1nnnxxxo xx City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、212.(03) sin2003t dt 20042

26、00420032003競(jìng)賽證明：競(jìng)賽證明：2201.(02) sin()0 x dx 競(jìng)競(jìng)賽賽證證明明：定積分的直接計(jì)算定積分與極限定積分與不等式22222222222222(1sin )sin3.(05) ,1sincos10(1sin), 4xxAdx BdxxxxxCdxABCx 競(jìng)賽 已知競(jìng)賽 已知試比較積分 ， ， 的大小試比較積分 ， ， 的大小City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、212.(03) sin2003t dt 2004200420032003競(jìng)賽證明：競(jìng)賽證明：2201.(02) sin()0 x dx

27、 競(jìng)競(jìng)賽賽證證明明：定積分的直接計(jì)算定積分與極限定積分與不等式 2101304.(09) (0)0,0( )1,( ),( )ffxf x dxfx dx 經(jīng)經(jīng)管管 已已知知比比較較與與的的大大小小并并證證明明之之。City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、1.sinxdx 0 0判斷廣義積分的斂散性判斷廣義積分的斂散性402112.(05) tan1(1).()(2).(0)nnnnnnnaxdxaanan 競(jìng)賽 經(jīng)管設(shè)競(jìng)賽 經(jīng)管設(shè)求 的值求 的值證明 收斂 證明 收斂 定積分的直接計(jì)算定積分與極限定積分與不等式定積分的收斂性Ci

28、ty college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、01.(06) ( ) ( )(0)(0)()xf xf xffxtfxt dt 競(jìng)賽 專設(shè)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明競(jìng)賽 專設(shè)有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，證明定積分的直接計(jì)算定積分與極限定積分與不等式有關(guān)定積分的綜合題定積分的收斂性City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、1002.(05 22) ( )(- ,) ()1(1)( )( ).xBf xf xt dtxf xf t dtf x 設(shè)設(shè)在在上上可可導(dǎo)導(dǎo)，且且滿滿足足求求的的表表達(dá)達(dá)式式

29、定積分的直接計(jì)算定積分與極限定積分與不等式 ( )( )( ) ( )( ) ( )( )xxf t dtfxxfxx 有關(guān)定積分的綜合題定積分的收斂性City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、12123. ( )0, ( )0,( )cos0,(0, )()()0f xf x dxf xxdxff 0 00 0設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，且且 試試證證：在在內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在兩兩個(gè)個(gè)不不同同的的點(diǎn)點(diǎn) ， ，使使定積分的直接計(jì)算定積分與極限定積分與不等式有關(guān)定積分的綜合題定積分的收斂性City college of Wenzho

30、u University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)五、 114. (06)( )1( )cf x dxf xfx dxc 0 00 0競(jìng)賽 求最小的實(shí)數(shù) ，使得滿足競(jìng)賽 求最小的實(shí)數(shù) ，使得滿足的連續(xù)函數(shù)都有 的連續(xù)函數(shù)都有 定積分的直接計(jì)算定積分與極限定積分與不等式有關(guān)定積分的綜合題定積分的收斂性City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(1) 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的面面積積 badxxgxfS面積的計(jì)算方法六、xyobay=f(x)y=g(x)xyoabf(x)cg(x) bccadxxfxgdxxgxfSCity co

31、llege of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)*(2) 極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的面面積積(1) 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的面面積積 面積的計(jì)算方法六、2( )1( )2rrSSrd 設(shè)由曲線和兩條半設(shè)由曲線和兩條半射線，所圍成的射線，所圍成的面積 等于 面積 等于 xo City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)*(2) 極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的面面積積(1) 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的面面積積面積的計(jì)算方法六、( ),( ) ()( )0,( )( )xx tyy ttx txa xbxSS

32、y tx t d 設(shè)曲線 為一光滑曲設(shè)曲線 為一光滑曲線的參數(shù)方程，則由曲線和線的參數(shù)方程，則由曲線和軸圍成的平面圖形的面積 等于軸圍成的平面圖形的面積 等于 *(3) 參參數(shù)數(shù)方方程程曲曲線線圍圍成成的的面面積積City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)dxxfVba2)( (1) 旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體的的體體積積體積的計(jì)算方法六、xy)(xfy 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)體積的計(jì)算方法六、旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積xyo)(yx cdyy2)(

33、dcVdCity college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體的體積1( )yy x 體積的計(jì)算方法六、 12122221( )( )( )( )( )( )bayxyxaxbyxyyxxVyxyxdx , ,是非負(fù)連續(xù)函數(shù),則由和是非負(fù)連續(xù)函數(shù),則由和圍成的面積繞 軸旋轉(zhuǎn)所成圍成的面積繞 軸旋轉(zhuǎn)所成環(huán)形的體積為環(huán)形的體積為 abyx2( )yyx City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)11.() ,22yxxyxS 數(shù)數(shù)二二, ,1 19 99 96 6求求由由曲曲線

34、線直直線線及及所所圍圍成成的的平平面面圖圖形形的的面面積積面積問(wèn)題六、13. (06)0,lnyyx yxeS 經(jīng)經(jīng)管管 求求由由圍圍成成的的平平面面圖圖形形面面積積2 1 2.xyyx,y . .求求由由曲曲線線及及直直線線所所圍圍成成圖圖形形的的面面積積xyoy=xxy =12(1,1)11(2,2)(1/2,2)City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)22.(,94) 313yxxy 數(shù)數(shù)二二求求曲曲線線與與 軸軸圍圍成成的的封封閉閉圖圖形形繞繞直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積面積問(wèn)題體積問(wèn)題六、11.(06)

35、0,lnxyyx yxeV競(jìng)賽 經(jīng)管求由圍成競(jìng)賽 經(jīng)管求由圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)22.(,94) 313yxxy 數(shù)數(shù)二二求求曲曲線線與與 軸軸圍圍成成的的封封閉閉圖圖形形繞繞直直線線旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)所所得得的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積 22( )( )bbaaymVmg xdxmf xdx 補(bǔ)充：繞旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積補(bǔ)充：繞旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體體積 面積問(wèn)題體積問(wèn)題六、( )yg x abyx( )yf x ym City college

36、 of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)3.(,) sin,0,lim.xnnnyexxnnxxVV 0 09 9 經(jīng)經(jīng)管管設(shè)設(shè)曲曲線線求求此此曲曲線線與與 軸軸圍圍成成的的圖圖形形繞繞 軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周所所得得的的旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體體體積積，并并求求面積問(wèn)題體積問(wèn)題六、City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)Cauchyschwarz 注注1 1：不不等等式式2211222200( )( )1. (0

37、4)2f xfxdxdxtxttx 競(jìng)競(jìng) 工工 證證明明: :七、222111.nnniiiiiiia bab 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)形形式式 222.( )( )( )( )bbbaaaf xg x dxfx dxgx dx 積積分分形形式式City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)注注2 2：平平均均值值不不等等式式1212,0,1nnniaaaa aaainn 1112222221 ( ), ( ) , ( )+ ( )( )+( )bbbaaaf x g xa bf xg xdxfx dxgx dx 練練習(xí)習(xí) ：設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，則則 2

38、22 ( ) , ( )()( )bbaaf xa bf x dxbafx dx 練練習(xí)習(xí) ：設(shè)設(shè)在在上上連連續(xù)續(xù)，證證明明City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)弧長(zhǎng)的計(jì)算方法 2( ) ()1( )bayy xaxbssy xdx 設(shè)設(shè)光光滑滑曲曲線線 上上一一段段弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)度度 ， 七、 d2c( ) (),1( )xx ycydsx ydy 若若 則則弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)(1) 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)(1) 直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)弧長(zhǎng)的計(jì)算方法(2) 極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的弧弧長(zhǎng)長(zhǎng) 22( ) (), ( )( ) ,( )( )rrrrsrrd 設(shè)設(shè)曲曲線線 和和在在上上連連續(xù)續(xù), ,則則曲曲線線弧弧長(zhǎng)長(zhǎng)為為 七、City college of Wenzhou University高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)弧長(zhǎng)的計(jì)算方法 22( ),( ) () ,( )( )xx tyy ttsx ty tdt 設(shè)設(shè)曲曲線線 為為一一光光滑滑