3.4基本不等式(經典)學習教案

1、會計學13.4基本不等式基本不等式(經典經典)一、問題引入一、問題引入第1頁/共28頁22+abab新課探究新課探究22ab2ab222SabSab四個三角形大正方形第2頁/共28頁=a b特別地，當時又有怎樣的結論？ab22+=2abab新課探究新課探究第3頁/共28頁一般地，對于任意實數(shù)一般地，對于任意實數(shù) ，我們有，我們有 , a b222abab當且僅當當且僅當 時等號成立時等號成立ab思考：思考：如何證明？如何證明？第4頁/共28頁222222()02ababababab證明：證明：當且僅當當且僅當 時，時， 此時此時ab2()0ab222abab第5頁/共28頁abababab0,

2、0,2abababab若則當且僅當時取等號第6頁/共28頁2abab22abab0,02abababab當時，當且僅當時等號成立變形式：平方平方第7頁/共28頁 0,02ababab（）能否用不等式的性質進行證明？能否用不等式的性質進行證明？小組合作：小組合作：第8頁/共28頁2 2_ _0 0 abababab要證：只要證：只要證：只要證：（_-_)顯然上式成立.2 ab2 abab第9頁/共28頁在右圖中，AB是圓的直徑，點C是AB上的一點，設 AC = a , BC = b 。過點C作垂直于AB的弦DE，連接AD、BD。RtRtACDDCB三角形三角形與相似基本不等式的幾何意義是：“半徑

3、不小于半弦。半徑不小于半弦?！?2ababE()ab當且僅當時，取號aCDCDb2CDabCDabP98探究探究第10頁/共28頁2.代數(shù)意義：代數(shù)意義：幾何平均數(shù)小于等于算術平均數(shù)幾何平均數(shù)小于等于算術平均數(shù)3.幾何意義：幾何意義：半弦長小于等于半徑半弦長小于等于半徑(0,0)2ababab（當且僅當當且僅當a=b時時，等號成立等號成立）二二、新課講解新課講解算術平均數(shù)算術平均數(shù)幾何平均幾何平均數(shù)數(shù)從數(shù)列角度看從數(shù)列角度看:兩個正數(shù)的等比中項小于等于它們的兩個正數(shù)的等比中項小于等于它們的等差中項等差中項1.1.思考思考: :如果當如果當 用用 去替換去替換 中的中的 , ,能得到什么結論能得

4、到什么結論? ? 0, 0ba,ab222aba bba,基本不等式第11頁/共28頁基本不等式：基本不等式：當且僅當當且僅當a =b時，等號成立時，等號成立.當且僅當當且僅當a=b時，等號成立時，等號成立.222(abab aR、b）重要不等式：重要不等式：(0,0)2ababab注意：注意：（1）不同點：兩個不等式的）不同點：兩個不等式的適用范圍適用范圍不同。不同。（2）相同點：當且僅當）相同點：當且僅當a=b時，等號成立。時，等號成立。第12頁/共28頁22R2()abababab如果，那么當且僅當時，取號1.重要不等式重要不等式002()abababab如果，那么當且僅當時，取號2.基

5、本不等式（均值定理）基本不等式（均值定理）基本不等式成立的要素：基本不等式成立的要素：2abab（）（1）：看是否均為正數(shù)）：看是否均為正數(shù)（2）：看不等號的方向）：看不等號的方向（3）：看等號是否能取到）：看等號是否能取到簡言之：一正二定三相等簡言之：一正二定三相等第13頁/共28頁當且僅當當且僅當ab時等號成立時等號成立當且僅當當且僅當ab時等號成立時等號成立(a0,b0)2abab2(0,0)ababab222abab0,02ababab2（）結論結論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值結論結論2 2：兩個正數(shù)和為定值，則積有最大值兩個正數(shù)和為定值，則積有

6、最大值第14頁/共28頁已知已知x1,求求 x 的最小值以及取得最小值時的最小值以及取得最小值時x的值。的值。 11x解：x1 x10 x （x1） 1 2 1311x) 1(1x) 1(1) 1(xx當且僅當當且僅當x1 時取時取“”號號.于是于是x2或者或者x0（舍去）（舍去）11x答：最小值是答：最小值是3，取得最小值時，取得最小值時x的值為的值為2例例1:構造積為定值構造積為定值通過加減項的方法配湊成通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式基本不等式的形式.例題講解例題講解第15頁/共28頁;1, 0)1(1的的最最值值求求已已知知：例例xxx . 21xx1x2121:時時原原式式有有

7、最最小小值值即即當當且且僅僅當當解解 xxxx;1, 0)2(的的最最值值求求已已知知xxx 有有最最值值，并并求求其其最最值值。為為何何值值時時，函函數(shù)數(shù)當當函函數(shù)數(shù)若若xxxyx,31, 3)3( 結論結論1 1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值第16頁/共28頁5331)3(233-x1)3-x(31y3x:3 xxxx、解解。最最大大值值為為時時，函函數(shù)數(shù)有有最最大大值值，即即當當且且僅僅當當54,313 xxx. 21xx1x2)1()(2)x1()x(1:2 時時有有最最大大值值即即當當且且僅僅當當、解解xxxx第17頁/共28頁,41,41121,0,

8、0 xyxyyxxyyxyx解124929291xyyx例例3 已知已知x0,y0,且且x+y=1 求求 的最小值的最小值 yx91例題講解例題講解(1)基本不等式取等號基本不等式取等號的條件的條件(2) “1”的代換在不等式的代換在不等式中的應用中的應用12時，有最小值當且僅當yx 正確？正確？錯錯第18頁/共28頁例例2 2（1 1）用籬笆圍一個面積為）用籬笆圍一個面積為100 100 的矩形菜園，問的矩形菜園，問這個矩形的長寬各為多少時，所用籬笆最短？最短的這個矩形的長寬各為多少時，所用籬笆最短？最短的籬笆是多少？籬笆是多少？ 2m,xmym解：設矩形菜園的長為寬為2 10022()40

9、 xyxyxyxy由可得：100,2()xyxy m則籬笆的長為xy等號當且僅當時成立，10 xy此時因此這個矩形的長、寬都為10m時，所用籬笆最短，最短籬笆是40m.第19頁/共28頁（2）用一段長為）用一段長為36m的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的籬笆圍成一個矩形菜園，問這個矩形的長寬各為多少時，菜園面的長寬各為多少時，菜園面 積最大？最大面積是多少？積最大？最大面積是多少？,xmym解：設矩形菜園的長為寬為2()3618,xyxy 則1822xyxy=92xym矩形菜園的面積為S=xy當且僅當時等號成立，2.這個矩形的長、寬都為9m時，菜園面積最大，最大面積是81m81xy解法一：解

10、法一： 第20頁/共28頁(2)設矩形菜園的寬為xm，則長為(36-2x)m，其中 0 x18 ,解法二：解法二： 其面積為:)236(221)236(xxxxS.162836)22362(2122xx當且僅當2x=36-2x，即x=9時菜園面積最大，即菜園長18m，寬為9 m時菜園面積最大為162 m2.第21頁/共28頁解：解： 【例例3】某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？ 設水池底面一邊的長度為xm， 則水池的寬為 ,水池的總造價為y元，根據(jù)題

11、意，得x160048001600150120(2 32 3)3yxx 1600240000720()xxxx16002720240000.297600402720240000第22頁/共28頁1600,40,2976000.xxyx即時有最小值 因此，當水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元第23頁/共28頁趙老師花趙老師花10萬元購買了一輛家用汽車萬元購買了一輛家用汽車,如果如果每年使用的保險費每年使用的保險費,養(yǎng)路費養(yǎng)路費,汽油費約為萬元汽油費約為萬元,年維修費第一年是萬元年維修費第一年是萬元,以后逐年遞增萬以后逐年遞增萬.則則這種汽車使用多少年時這種汽車使用多少年時,它的年平均費用最它的年平均費用最少少? 綜合應用綜合應用分析：“年平均費用年平均費用”的含義？的含義？第24頁/共28頁解：設使用解：設使用x年后，年平均費用為年后，年平均費用為y萬元，則萬元，則xxxxxy102 .02)1(2 .09 .0 xxx101.021101 . 0 xx110 x100.1x20.1有最小值時，當且僅當yxx即當即當x=10時，時，y有最小值有最小值3萬元萬元答：使用答：使用10年后，年平均費用最少。年后，年平均費用最少。第25頁/共28頁( , )3203271xyx yx