第十三章彎曲變形

1、13- -1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題13- -2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程13- -3 用積分法求彎曲變形用積分法求彎曲變形13- -6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁13- -5 梁的剛度校核梁的剛度校核 13- -4 用疊加法求彎曲變形用疊加法求彎曲變形第十三章第十三章 彎曲變形彎曲變形13.1 13.1 工程中的彎曲變形問題工程中的彎曲變形問題 13.2 13.2 梁的撓曲線近似微分方程梁的撓曲線近似微分方程 )(1xfw )(2xfxywddtantantanddxywzEIM12/32)1 ()(1wwx 1)1 (2wzEIxMw)( 13.3 13

2、.3 用積分法求梁的彎曲變形用積分法求梁的彎曲變形zEIxMw)( CxxMwEIEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(zDCxxxxMwEI d)d)(z0 x0|0 xw0|0 x0 x0|0 xw0|0 xlx 0|lxw0|lxCxxMEId)(zDCxxxxMwEI d)d)(z021|xaxww021|xaxBBw)()(lxFxM)()(lxFxMwEI ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(21ClxFCxlxFwEIEI2)(21d)(DCxlxFDxCxlxFwEI32)(61d)(210 x0A0Aw0212C

3、Fl0613DFl221FlC361FlD EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlEIlxF22)(22EIFlEIxFlEIlxFw626)(323EIFlB22EIFlwB33lFbFAlFaFB11xlFbM )0(1ax )(222axFxlFbM)(2bxa11xlFbwEI 12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw)(222axFxlFbwEI 222222)(22CaxFxlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIw12112CxlFbEI1113116DxCxlFbEIw222222)(22CaxF

4、xlFbEI22232322)(66DxCaxFxlFbEIwaxax21|21axaxww21|21021 DD)(62221bllFbCC01x0Awlx 0Bw得：)3(622211lbxlFbEI122311)(6xlbxlFbwEI2222212)(3)3(6axbllbxlFbEI32222222)()(6axblxlbxlFbwEIlx 2EIlalFabB6)( ba EIblFbwl48)43(22213.4 13.4 用疊加法求梁的彎曲變形用疊加法求梁的彎曲變形2/2qlM 解：解：CMCqCwwwEIMl162CMwEIql38454CqwEIqlEIMlEIql3841

5、7163845424AMAqAAMEIMl3AqEIql243EIqlEIMlEIql24532433CCBlwwtan2CBCCtanCCBlww2EIqlEIlq1288)2(44CwEIqlEIlq486)2(33CEIqllEIqlEIqlwB3847248128434EIqlCB483解：解：EIqlEIMlBC243312EIqlEIlqC486)2(3311288)2(441qlEIlqwCEIqllwBC482412EIqlBC24323EIqllwBC482323一、一、 梁的剛度條件梁的剛度條件 對于產生彎曲變形的桿件，在滿足強度條件的同時，為保證其正常工作還需對彎曲位移加

6、以限制，即還應該滿足剛度條件(stiffness condition)：式中，l為跨長， 為許可的撓度與跨長之比(簡稱許可撓跨比)，為許可轉角。上列剛度條件常稱之為梁的剛度條件。lwlwlwmaxmax13.5 13.5 梁的剛度校核梁的剛度校核 二二 提高梁的剛度的措施提高梁的剛度的措施(1) 增大梁的彎曲剛度EI 由于不同牌號的鋼材它們的彈性模量E大致相同(E210 GPa)，故從增大梁的彎曲剛度來說采用高強度鋼并無明顯好處。為增大鋼梁的彎曲剛度，鋼梁的橫截面均采用使截面面積盡可能分布在距中性軸較遠的形狀，以增大截面對于中性軸的慣性矩Iz，例如工字形截面和箱形截面。 跨長為l 的簡支梁受集

7、度為q的滿布均布荷載時，最大彎矩和最大撓度均出現(xiàn)在跨中，它們分別為22max125. 08qlqlMEIqlEIqlw44max0130. 03845(2) 調整跨長和改變結構的體系 如果將兩個鉸支座各內移一個距離a而成為如圖a所示的外伸梁，且a=0.207l，則不僅最大彎矩減小為而且跨中撓度減小為22max0214. 02qlqaMMMMBACEIqlEIalqaEIalqwwC4224max616000. 01622238425(a)而此時外伸端D和E的撓度也僅為)(207000. 02)2(224)2(84234EIqlaEIalqaaEIalqEIqawwED 所謂改變結構的體系來提高

8、梁的剛度在這里是指增加梁的支座約束使靜定梁成為超靜定梁，例如在懸臂梁的自由端增加一個鉸支座，又例如在簡支梁的跨中增加一個鉸支座。13-6 13-6 簡單靜不定梁簡單靜不定梁一、基本概念一、基本概念超靜定梁：梁的約束力數大于有效平衡方程數。多余約束：多余維持平衡所必須的約束。超靜定次數：等于多余約束或多余約束力的數目。二、求解方法二、求解方法1.解除多余約束，選取靜定基，建立相當系統(tǒng)。2.比較變形，列變形協(xié)調條件。3.由物理關系建立補充方程。4.利用靜力平衡條件求其它約束力。靜定基：將超靜定結構變成靜定結構時的相當系統(tǒng)。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByF

9、CBAA求梁的約束力，梁的抗彎剛度為EI。 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA1）判定超靜定次數，選取靜定基）判定超靜定次數，選取靜定基 在梁的在梁的A和和B處各有處各有3個和個和1個約束個約束力，獨立平衡方程數等于力，獨立平衡方程數等于3，所以，所以是一次超靜定問題。選取靜定基是一次超靜定問題。選取靜定基如圖如圖(b)(b)所示。在去掉約束處用一所示。在去掉約束處用一未知力未知力 代替，如圖代替，如圖(c)(c)所示。所示。ByF2）進行變形比較，列協(xié)調條件）進行變形比較，列協(xié)調條件為了使靜定基的變形與原超靜定為了使靜定基的變形與原超靜定梁相同，梁相同，B處位移必須為處位移必須為0 0。將圖。將圖(c)(c)等效如圖等效如圖(d)(d)所示。變形協(xié)調所示。變形協(xié)調條件為：條件為：(d)ABCFByABFC0)()( ByFBFBByyy三、例題三、例題例例13-813-8 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA(d)ABCFByABFC 2a(d)(c)(b)(a) aMMBBFCAAFAyACFCBAFByFCBAA3）由物理