132楊輝三角與二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)（一）

1、一般地，對(duì)于一般地，對(duì)于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二項(xiàng)定理二項(xiàng)定理:一、新課引入一、新課引入二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)指的是那些？共有多少個(gè)？有多少個(gè)？ 下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我下面我們來(lái)研究二項(xiàng)式系數(shù)有些什么性質(zhì)？我們先通過(guò)們先通過(guò)楊輝三角楊輝三角觀察觀察n為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)為特殊值時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)有什么特點(diǎn)？有什么特點(diǎn)？1“楊輝三角楊輝三角”的來(lái)歷及規(guī)的來(lái)歷及規(guī)律律 展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示：展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)，如下表所示： nba)( 1 1 1 2

2、1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba()nab 0111C C012222C C C01233333C C C C0123444444C C C C C012345555555C C C C C C01234566666666C C C C C C C0121.rnnnnnnnnC C CCCC 展開式的二項(xiàng)式展開式的二項(xiàng)式系數(shù)依次是：系數(shù)依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看，從函數(shù)角度看， 可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函

3、數(shù) , ,其定義域是：其定義域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，其圖象是右時(shí)，其圖象是右圖中的圖中的7個(gè)孤立點(diǎn)個(gè)孤立點(diǎn)6n2二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) （1）對(duì)稱性）對(duì)稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等 這一性質(zhì)可直接由公式這一性質(zhì)可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對(duì)稱軸圖象的對(duì)稱軸：2nr （2）增減性與最大值）增減性與最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相對(duì)于相對(duì)于 的增減情況由的增減情況由 決定決定 knC1Cknkkn1（2）增減性與最大值）增減

4、性與最大值 由由：2111nkkkn 二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可二項(xiàng)式系數(shù)是逐漸增大的，由對(duì)稱性可知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取知它的后半部分是逐漸減小的，且中間項(xiàng)取得最大值。得最大值。 21nk 可知，當(dāng)可知，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，（2）增減性與最大值）增減性與最大值 因此，因此，當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式2Cnn系數(shù)系數(shù) 取得最大值；取得最大值； 當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)為奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù) 、21Cnn21Cnn相等，且同時(shí)取得最大值。相等，且同時(shí)取得最大值。（3）各二項(xiàng)式系數(shù)的和）各二項(xiàng)式系數(shù)的和 在二項(xiàng)式定理中，令在二項(xiàng)式定

5、理中，令 ，則：，則： 1bannnnnn2CCCC210 這就是說(shuō)，這就是說(shuō)， 的展開式的各二項(xiàng)式系的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和等于數(shù)的和等于：nba)( n2同時(shí)由于同時(shí)由于 ，上式還可以寫成：，上式還可以寫成：1C0n12CCCC321nnnnnn這是組合總數(shù)公式這是組合總數(shù)公式 一般地，一般地， 展開式的二項(xiàng)式系數(shù)展開式的二項(xiàng)式系數(shù) 有如下性質(zhì)：有如下性質(zhì)：nba)( （1 1）nnnnCCC,10mnnmnCC （2 2） （3 3）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，時(shí)， （4 4）mnmnmnCCC1121nr1rnrnCC 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，21nrrnrnCC1nnnnnCCC210課堂練習(xí)：課堂練習(xí)：1

6、）已知）已知 ，那么，那么 = ；2） 的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的最大值是是 ；3）若）若 的展開式中的第十項(xiàng)和第十一的展開式中的第十項(xiàng)和第十一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則n= ；591515,Ca Cb1016C9()ab()nab 例例1 證明在證明在 的展開式中，奇的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和項(xiàng)式系數(shù)的和nba)( nxx)2(34項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是倒數(shù)第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的數(shù)的7倍，求展開式中倍，求展開式中x的一次項(xiàng)的一次項(xiàng)例例2 已知已知 的展開

7、式中，第的展開式中，第 例例3： 的展開式中第的展開式中第6項(xiàng)與第項(xiàng)與第7項(xiàng)的系項(xiàng)的系數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最數(shù)相等，求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。大的項(xiàng)。(12 )nx變式引申：變式引申：1、 的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（的展開式中，系數(shù)絕對(duì)值最大的項(xiàng)是（ ）A.第第4項(xiàng)項(xiàng) B.第第4、5項(xiàng)項(xiàng) C.第第5項(xiàng)項(xiàng) D.第第3、4項(xiàng)項(xiàng)2、若、若 展開式中的第展開式中的第6項(xiàng)的系數(shù)最大，則不項(xiàng)的系數(shù)最大，則不含含x的項(xiàng)等于的項(xiàng)等于( )A.210 B.120 C.461 D.4167()xy321()nxx例例4、若若 展開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差展開式中前三項(xiàng)系

8、數(shù)成等差 數(shù)列，求數(shù)列，求（1）展開式中含）展開式中含x的一次冪的項(xiàng)；的一次冪的項(xiàng)； （2）展開式中所有展開式中所有x 的有理項(xiàng)；的有理項(xiàng)； （3）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。）展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)。42 xn1( x+)1、已知、已知 的展開式中的展開式中x3的系數(shù)的系數(shù) 為為 ，則常數(shù)，則常數(shù)a的值是的值是_ 92xxa942、在、在(1-x3)(1+x)10的展開式中的展開式中x5的系數(shù)是（）的系數(shù)是（） A.-297 B.-252 C. 297 D. 2073、(x+y+z)9中含中含x4y2z3的項(xiàng)的系數(shù)是的項(xiàng)的系數(shù)是_課堂練習(xí)課堂練習(xí)4.4.已知已知(1+)n展開式中含展開式中含x-2x-2的項(xiàng)的系數(shù)為的項(xiàng)的系數(shù)為1212，求，求n.n.5.5.已知（已知（10+x10+xlgxlgx）5 5的展開式中第的展開式中第4 4項(xiàng)為項(xiàng)為10106 6，求，求x x的值的值. .x2 二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)都是一些特殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握殊的組合數(shù)，它有三條性質(zhì)，要理解和掌握好，同時(shí)要注意好，同時(shí)要注意“系數(shù)系數(shù)”與與“二項(xiàng)式系數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別，不能混淆，只有二項(xiàng)