“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”教學(xué)設(shè)計(jì)與教學(xué)反思

1、“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”教學(xué)設(shè)計(jì)及教學(xué)反思江蘇省蘇州中學(xué)劉華（215007 ）在新課標(biāo)教材中，“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”是高中數(shù)學(xué)選修2-3第1章“計(jì)數(shù)原理”的起始課，在原大綱版教材中，這個(gè)章節(jié)的標(biāo)題是“排列、組合與二項(xiàng)式定理”，新課標(biāo)教材的內(nèi)容與原人教版教材是一致的，但新課標(biāo)的理念卻有了很大的不同，如何在教學(xué)設(shè)計(jì)以及教學(xué)過程中充分展現(xiàn)新課程對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的新要求？這使我在著手教學(xué)設(shè)計(jì)之時(shí)就面臨挑 戰(zhàn).1.如何處理教材1.1目標(biāo)定位教材提供了教學(xué)的素材一一原理、范例、練習(xí)（習(xí)題），如何將素材整合成一個(gè)有機(jī)的教學(xué)內(nèi)容？首先要分析教學(xué)內(nèi)容在教材體系（乃至數(shù)學(xué)知識(shí)體系） 中的地位，并確立教學(xué)的目標(biāo).課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本章

2、的教學(xué)側(cè)重點(diǎn)做了界定：“計(jì)數(shù)問題是數(shù)學(xué)中的重要研究對(duì)象之一，分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理是解決計(jì)數(shù)問題的最基本、最重要的方法，也稱為基本計(jì)數(shù)原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實(shí)際問題提供了思想和工具.”這說明，本章的教學(xué)重點(diǎn)是兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理，而排列、組合、二項(xiàng)式定理則是兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用實(shí)例.根據(jù)上述分析，結(jié)合課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)本章的目標(biāo)定位，我認(rèn)為，“計(jì)數(shù)原理”這一章研究的對(duì)象是計(jì)數(shù)問題，研究的方法是“問題解決”，研究的過程是“建構(gòu)方法”，在本課的學(xué)習(xí)過程中，師生將面對(duì)實(shí)際計(jì)數(shù)問題（可能是已加工過的）并加以解決，這一 “問題解決” 過程的目標(biāo)是建構(gòu)方法一一兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理.因此，將本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)擬定

3、為：并弄清它1.通過實(shí)例分析，讓學(xué)生自主建構(gòu)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理,們的區(qū)別.2.能初步運(yùn)用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題.1.2重難點(diǎn)分析對(duì)學(xué)生而言，“計(jì)數(shù)”是其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本能力之一，簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，其解決方法就 是“數(shù)”數(shù)，但復(fù)雜的問題呢？因此，要使學(xué)生意識(shí)到，只會(huì)機(jī)械地“數(shù)”是不夠的，必須 從簡(jiǎn)單的、已能解決的計(jì)數(shù)問題中，抽象出能夠解決一“類”問題的方法，并明確界定適用 該方法的問題的“類”.由此可知，本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)為：從而掌握解決實(shí)際計(jì)數(shù)問題1. 本節(jié)課的重點(diǎn)是經(jīng)歷對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行方法建構(gòu)的過程, 的流程，即：分析問題7構(gòu)造方法7選擇

4、原理7解決央問題.2.本節(jié)課的難點(diǎn)是在具體問題解決中，區(qū)別使用計(jì)數(shù)原理.1.3課題引入由于本節(jié)課是本章的起始課，還承擔(dān)著本章引入的教學(xué)任務(wù)， 通過本章引入，我們將帶 領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)本章的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)， 使學(xué)生明白本章的學(xué)習(xí)主體內(nèi)容與學(xué)習(xí)任務(wù)， 為學(xué)生創(chuàng)設(shè)良好 的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)環(huán)境.本章的引入采用了以下的問題（情境）問題情境1:擲一顆骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于 3的概率是多少？問題情境2:中新社蘇州2006年12月31日電（天榮 姚靜）記者今天從有關(guān)部門獲 悉，截至目前，蘇州市城鄉(xiāng)機(jī)動(dòng)車總數(shù)已達(dá)55.53萬輛，比去年同期凈增10萬余輛，平均每天新增300輛，成為近幾年來該市新增機(jī)動(dòng)車數(shù)量最多的一年，全市機(jī)動(dòng)車保有總量

5、僅次于上海和北京.蘇州市汽車牌照形式為“蘇E-XXzzz ”，其中“蘇E”為地區(qū)代碼，XX可以是數(shù)字與字母的組合，zzz是數(shù)字的組合，如果按此牌照方式編排，理論上汽車數(shù)量最多 為多少？問題情境3:下圖是某城市的街道.西北角是某同學(xué)的家，東南角是學(xué)校.從家經(jīng)，有幾種不同的走法？東西4條街，南北5條街到學(xué)校（最短距離）I 北上3LI I_ L1 1廠通過以上的問題（情境）的引入，揭示本章的研究課題:教學(xué)片斷:師：先看一個(gè)問題，擲一顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于3的概率是多少?1生齊：1.師：好!怎么算的？我請(qǐng)一位同學(xué)來回答。生1 :擲骰子一共有6種等可能的基本事件,然后小于3的有1和2 （出現(xiàn)1或2點(diǎn)），1那

6、么扔到1和2的概率就是f。師：謝謝，請(qǐng)坐！我們知道，古典概型中,A事件發(fā)生概率的計(jì)算公式是P（A）= m。那么，現(xiàn)在我們的問題改為：m和n怎么計(jì)算?師：（我們發(fā)現(xiàn)）這個(gè)問題，本來是一個(gè)概率問題，現(xiàn)在發(fā)現(xiàn)它轉(zhuǎn)化成一個(gè)計(jì)數(shù)的問題 了，那么，如何計(jì)數(shù)呢？當(dāng)然，這個(gè)問題很簡(jiǎn)單，遇到復(fù)雜的問題我們?cè)趺礃觼碛?jì)數(shù)呢？這學(xué)生已_/八、mp(A)=-設(shè)計(jì)意圖：從古典概型中引入計(jì)數(shù)問題，設(shè)計(jì)思想是根據(jù)學(xué)生的最近發(fā)展區(qū) 經(jīng)學(xué)過了概率（古典概型），他們知道在古典概型中，計(jì)算一個(gè)事件的概率可以用 來計(jì)算，而由n和m的計(jì)算就可以引入計(jì)數(shù)的問題。師：（見PPT）這是一則新聞，講什么呢？蘇州的汽車比較多，我們（蘇州）現(xiàn)在的機(jī)

7、 動(dòng)車總數(shù)是55.53萬輛，至少說目前路比較擠，你們騎自行車要讓著點(diǎn)。（問題是）什么意思呢？我們現(xiàn)在的牌照是什么樣子的？蘇EXXzzz，蘇E是地區(qū)代碼，XX可以是數(shù)字或 字母的組合，z是數(shù)字的組合。如果按此牌照方式編排，理論上蘇州汽車數(shù)量總量是多少?這是個(gè)什么問題？（生：是計(jì)數(shù)問題）師：這里有張圖，表示某城市的街道，西北角是同學(xué)的家，東南角是學(xué)校，那么現(xiàn)在的問題是：從家里經(jīng)東西四條街南北五條街到學(xué)校，按照最短距離走的話，有幾種不同的走法?師：（指著PPT）這是最短路線的一種（演示），它對(duì)應(yīng)著這張圖（ PPT）。有沒有其 他的最短路線？誰上來比劃一下?師：請(qǐng)這位同學(xué)上來，在圖上指出一條與原圖不同

8、的最短路線！請(qǐng)!（生2上來指出了一條最短路線。）師：這也是最短路線是不是？（繼續(xù)問生2）好！你說他是怎么經(jīng)過了怎么樣一種方式 走的最短路線?生2 :（在最短路線中）他要么往東面走，要么往南面走，往東面走四格，往南面走三 格（就能到了）。師：好，謝謝你！請(qǐng)坐!師：這個(gè)學(xué)生他往東（實(shí)際上就是往右）走四段，往南走三段就可以完成這件事，那么, 一共要走幾段？（停頓，讓學(xué)生思考）一共要走七段是不是就走到學(xué)校了？那么大學(xué)能否算 出有幾種不同的走法?師：這是一個(gè)什么樣的問題?S齊：計(jì)數(shù)問題師：我們組合學(xué)中一開始先研究計(jì)數(shù)問題，來看書，書上說“我們?cè)谏鐣?huì)生活的各個(gè)方 面”，我還要再補(bǔ)充一句“我們?cè)跀?shù)學(xué)中實(shí)際上

9、也要涉及到計(jì)數(shù)的問題”。師：本章的問題就是利用怎樣的模型刻畫和解決計(jì)數(shù)問題。設(shè)計(jì)意圖：這節(jié)課是高中數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書選修2-3第一章計(jì)數(shù)原理的起始課,這節(jié)課除了要完成兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理（加法原理、乘法原理）的教學(xué)任務(wù)之外，還承擔(dān)著引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入新的一章進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的作用。1.4例習(xí)題處理（情境）在本章引入完成后，進(jìn)入“兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理”的教學(xué)環(huán)節(jié)，為了通過實(shí)例建構(gòu)方法, 本課采用了以下的問題1.（課例延用）行程方法計(jì)數(shù)問題.（1）如圖（1）, 少種不同的方法？（2）如圖（2）,從甲地到乙地有3條公路、2條鐵路，某人要從甲地到乙地.共有多從甲地到乙地有乙地到丙地共有多少種不同的方法？3條道路.從乙

10、地到內(nèi)地有2條道路.那么從甲地經(jīng)上述兩個(gè)問題有什么區(qū)別？由這兩個(gè)問題分別可以得到怎樣的數(shù)學(xué)模型?5的情況有多少種?2. （自編新例）擲骰子計(jì)數(shù)問題.（1 ）擲一顆骰子兩次，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和小于（2 ）擲一顆骰子兩次，共可出現(xiàn)多少種情況？“從古典概型中引入計(jì)數(shù)問題”的過程， 但數(shù)學(xué)知識(shí)體系本身是其中，“擲骰子計(jì)數(shù)”問題的創(chuàng)設(shè)很好地呼應(yīng)了也使學(xué)生明白數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系， 雖然教學(xué)使用的是線性的順序, “網(wǎng)狀”的，古典概型問題的真正解決，依賴于計(jì)數(shù)方法.通過以上計(jì)數(shù)問題建構(gòu)出兩個(gè)基本原理后，在教學(xué)中使用了以下的例題與練習(xí)，并提出了拓展思考題：1. （課例延用）從兩個(gè)不同群體中選一名代表，各選一名代表，有

11、多少種不同的方法?例1某班共有男生28名、女生20名，從該班選出學(xué)生代表參加校學(xué)代會(huì).2.（補(bǔ)充題組）若學(xué)校分配給該班1名代表，有多少種不同的選法？有多少種不同的選法?若學(xué)校分配給該班 2名代表，且男、女生代表各 1名,滿足x + y 5的有序正整數(shù)組（x,y）共有多少組?集合1 , 2, 3, 4, 5的二元子集有多少個(gè)？集合1 , 2, 3, 4, 5的子集有多少個(gè)？3.（課內(nèi)練習(xí)）課后練習(xí)題 2題.4種形狀的外殼、22條公丙（1）手表廠為了供應(yīng)更多新穎款式的手表，為統(tǒng)一的機(jī)芯設(shè)計(jì)了 種顏色的表面及3種形式的數(shù)字，問：共有幾種不同的款式？（2）如圖，從甲地到乙地有 3條公路可走，從乙地到丙

12、地有路可走，又從甲地不經(jīng)過乙地到丙地有2條水路可走. 從甲地經(jīng)乙地到丙地有多少種不同的走法？ 從甲地到丙地共有多少種不同的走法？4.（課后拓展思考）已知集合 M=1 , 2, 3, P=4 , 5, 6.（1）以M為定義域，P為值域的不同函數(shù)有幾個(gè)?（2）從M到P不同的映射有多少個(gè)？2. 如何引導(dǎo)學(xué)生班主任也特地準(zhǔn)備了2.1學(xué)情及知識(shí)準(zhǔn)備的分析由于是在外校借班上課， 雖然事先也有過對(duì)學(xué)生情況的側(cè)面了解，一份名單，但是，實(shí)際上我對(duì)學(xué)生原有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力還是一無所知.我必須將“入門”的 起點(diǎn)“放低”，并通過課堂教學(xué)中學(xué)習(xí)的即時(shí)反饋，生成完整的教學(xué)過程.從學(xué)生的知識(shí)準(zhǔn)備來看，由于在數(shù)學(xué)必修3中已學(xué)習(xí)

13、過概率（古典概型），而且當(dāng)時(shí)也有過爭(zhēng)議一一不學(xué)排列組合，怎么解決古典概型？現(xiàn)在看來，課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的是知識(shí)與技能的“螺旋式上升”，我要做的就是建立起兩者之間的聯(lián)系，因此，我計(jì)劃從一個(gè)古典 概型問題引出計(jì)數(shù)問題，找準(zhǔn)學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”來組織教學(xué).2.2突破難點(diǎn)“計(jì)數(shù)”幾乎是人類一種“天生”的能力，對(duì)于簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問題，最常用的方法就是“數(shù)” 計(jì)數(shù)原理這一章的存在， 不是要讓學(xué)生掌握一種新的技能，而是要發(fā)展學(xué)生這種 “與生俱來”的能力，使之能合理地應(yīng)用于復(fù)雜的計(jì)數(shù)問題當(dāng)然，在問題解決的過程中，學(xué)生 需要不斷地歸納、總結(jié)，形成解決計(jì)數(shù)問題的方法和技能.按以往的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課的難點(diǎn)是在解題中區(qū)別所使

14、用的基本計(jì)數(shù)原理.學(xué)生在面對(duì)問題時(shí)，往往不知是使用哪個(gè)原理，他們會(huì)嘗試著先用分類加法計(jì)數(shù)原理（或分步乘法計(jì)數(shù)原理），然后看教師的反應(yīng)（反饋），有時(shí)教師一個(gè)皺眉，就會(huì)讓學(xué)生意識(shí)到在原理的選用上 產(chǎn)生了謬誤，從而改用另一個(gè)（原理）；而教師在面對(duì)學(xué)生的錯(cuò)誤時(shí)，也常常會(huì)“斷喝”一“想一想，到底是分類，還是分步？” 一一這會(huì)給學(xué)生一個(gè)強(qiáng)烈的暗示：“我的方法選擇錯(cuò)了”.在這種教學(xué)模式下，學(xué)生是否能真正地掌握兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理呢？答案是否定的，我們常?？吹剑瑢W(xué)生在教師的“幫助”下（通常我們認(rèn)可這種幫助是善意的），解決課堂上的計(jì)數(shù)問題沒有困難，可一旦自主面對(duì)問題，就往往會(huì)陷入兩難：“到底是分類、還是分步？”.從

15、歷年高考對(duì)排列、組合問題的考查結(jié)果分析中發(fā)現(xiàn)，這類問題的得分情況并不 理想，原因可能就在于學(xué)生對(duì)于 “模式套代”的依賴過強(qiáng)，并沒有能真正掌握計(jì)數(shù)原理的實(shí) 質(zhì).當(dāng)學(xué)生面對(duì)題組4, 5的二元子集有多少個(gè)？子集有多少個(gè)?時(shí)，顯然遇到了困難，很明顯這些問題滿足x + y韋的有序正整數(shù)組（x,y）共有多少組？集合1 ,2,3,我們會(huì)發(fā)現(xiàn)其中蘊(yùn)含著乘法式驟改為：往格子“素的互異性，除去重復(fù)的情形.很顯然，步驟的做法數(shù)為因?yàn)閍,b與b,a在中都出現(xiàn)了，但它們是相同的集合,這樣，二元子集的個(gè)數(shù)應(yīng)為 詈 =10但這并不影響他們的解題,都需要“計(jì)數(shù)”，但又無法從題意中區(qū)別是使用哪一個(gè)計(jì)數(shù)原理,集合1，2，3，4，

16、5的二元子集大多數(shù)學(xué)生通過“數(shù)”的方法，得到了正確的結(jié)果，以“ 有多少個(gè)？ ”為例，學(xué)生通過列下表子集計(jì)數(shù)含有1的子集1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,54不含1且含有2的子集2,3 , 2,4 , 2,53不含1, 2且含有3的子集3,4 , 3,52不含1, 2, 3且含有4的子集4,51合計(jì)10可以知道按上述方法來計(jì)數(shù)， 使用的是分類加法計(jì)數(shù)原理， 該方法的要點(diǎn)是將計(jì)數(shù)對(duì)象 （集 合）分成若干類，每一類可看作一個(gè)集合，滿足特征“兩兩交集為空，所有集合的并為全集”.實(shí) 際上，這也是分類加法計(jì)數(shù)原理中類的基本要求.然而，如果我們將表變?cè)煲幌?子集計(jì)數(shù)含有1的子集1,2 , 1,3 ,

17、1,4 , 1,54含有2的子集2,1 , 2,3 , 2,4 , 2,54含有3的子集3,1 , 3,2 , 3,4 , 3,54含有4的子集4,1 , 4,2 , 4,3 , 4,54含有5的子集5,1 , 5,2 , 5,3 , 5,44合計(jì)205X4=20,實(shí)際上，借助這個(gè)表，我們將寫二元子集的步,”中不重復(fù)地填入1，2，3，4, 5這五個(gè)數(shù)字；對(duì)照集合中元5X4,按步驟，應(yīng)當(dāng)除去 2,（個(gè)）.顯然，這個(gè)做法在計(jì)數(shù)時(shí)就應(yīng)當(dāng)使用分步乘法計(jì)數(shù)原理.由此看來，教師不應(yīng)在學(xué)生面對(duì)問題時(shí)問“到底是分類、還是分步？”，而應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建方法，根據(jù)方法的特征來選擇所適用的原理，這樣做，是不是事半功倍

18、呢？3. 如何組織教學(xué)3.1教學(xué)流程的準(zhǔn)備本課教學(xué)流程:問題情境*建構(gòu)數(shù)學(xué)T數(shù)學(xué)理論數(shù)學(xué)運(yùn)用T回顧反思通常一種教學(xué)流程往往對(duì)應(yīng)著一種教學(xué)策略的設(shè)計(jì), 包括合理完善的教學(xué)環(huán)節(jié), 以及為 完成每個(gè)環(huán)節(jié)而分配有效的教學(xué)時(shí)間方法建構(gòu)過程并非是純理論的演繹,而是結(jié)合實(shí)例、 建構(gòu)方法、 并歸納抽象出數(shù)學(xué)原理 這也是數(shù)學(xué)課力圖體現(xiàn)的過程性目標(biāo)之一學(xué)生通過經(jīng)歷這一過程, 完善了對(duì)解決問題過程的認(rèn)識(shí), 本節(jié)課是章起始課, 情境的輔墊要為全章的教學(xué) 因此, 前三個(gè)環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)的時(shí)間是比較多的, 大約將大量的時(shí)間花在習(xí)題演練過程, 也許短期內(nèi)會(huì) 學(xué)生通過解題既鞏固了方法,如果用很短的時(shí)間介紹兩個(gè)基本原理， 取得較好的效

19、果 教學(xué)為什么不能使學(xué)生真正地掌握計(jì)數(shù)方法？因?yàn)?題為中心，訓(xùn)練為核心，應(yīng)考為重心”的教學(xué)模式， 生得到真正高效的學(xué)習(xí)過程的又鍛煉了技能， 可這種“熟能生巧” “熟未必生巧” ，為解題而解題這種以 無法促進(jìn)學(xué)生的自覺學(xué)習(xí)，是不能令學(xué)型的“習(xí)服務(wù), 方法的建構(gòu)也需要學(xué)生自主地完成, 占到 2530 分鐘3.2 學(xué)生主體觀課堂教學(xué)過程是在教學(xué)目標(biāo)的指引下，由師生共同動(dòng)態(tài)“生成”的其中，學(xué)生的反饋 是重要的， 它決定了教學(xué)的進(jìn)程聆聽學(xué)生是教師的必備技能，不要將學(xué)生作為“答案發(fā)生 器”，不要沉浸在“我的學(xué)生都會(huì)做了”這種虛假的成功喜悅中，而應(yīng)該讓學(xué)生關(guān)注解決問 題的過程、策略及思想方法，讓他們充分地展示思想，完整地、數(shù)學(xué)地表達(dá)自己的想法，甚 至于應(yīng)該給予他們犯錯(cuò)的機(jī)會(huì)，也幫助他們提高分析錯(cuò)誤、更正錯(cuò)誤的能力學(xué)生在解題時(shí)，往往對(duì)答案很在意，也很在行例如在問題“集合1 ，2，3，4，5 的二元子集有多少個(gè)？