射影直線和射影平面PPT教案

1、射影直線和射影平面射影直線和射影平面2. 1. 1 中心射影中心射影 2.1. 2 無(wú)窮遠(yuǎn)元素?zé)o窮遠(yuǎn)元素2. 1. 3 一維、二維射影空間一維、二維射影空間2. 1. 4 圖形的射影性質(zhì)圖形的射影性質(zhì)第1頁(yè)/共35頁(yè) 2.1.1 中心投影中心投影定義定義2.1 :ll記OP 投射線P l 上的點(diǎn)P在l上的像P l 上的點(diǎn)P 在l上的像O點(diǎn) 不屬一、平面上兩直線間的中心射影一、平面上兩直線間的中心射影 ll設(shè)直線和為平面上兩條不同的直線， ()OOll 投射中心 點(diǎn)ll于 和 ，Ol從 投射到 的中心投影。OlPPlABBAPl是 上的一點(diǎn)，,PlP連接交 于點(diǎn)PP稱點(diǎn)是點(diǎn)X第2頁(yè)/共35頁(yè)OV

2、 與l不相交， V 為l上的影消點(diǎn)影消點(diǎn)影消點(diǎn)的存在，導(dǎo)致兩直線間的中心射影不是一個(gè)雙射雙射(一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng))。X=ll 自對(duì)應(yīng)點(diǎn)(不變點(diǎn))OU與l 不相交， U 為l上的影消點(diǎn)影消點(diǎn)三個(gè)特殊的點(diǎn)：三個(gè)特殊的點(diǎn)：因此 ，1: l l 是 l 到 l 的中心射影中心射影OlPUPlVX第3頁(yè)/共35頁(yè)OP 投射線O投射中心二、平面到平面的中心射影二、平面到平面的中心射影定義定義2.2 : 記設(shè)和為空間兩個(gè)不同的平面，和，O從 投射到 的中心投影。O點(diǎn) 不屬于() (O射心）OPPMAAxaaP 上的點(diǎn)P 在上的像P是 上的一點(diǎn)，,PP連接交于點(diǎn)PP稱點(diǎn) 是點(diǎn)a第4頁(yè)/共35頁(yè)P(yáng) 上的點(diǎn)P在上的

3、像OPPxuUvVaa因此 ，:1是 到的中心射影三條特殊的直線：三條特殊的直線： 自對(duì)應(yīng)直線(不變直線)x, , /uUu OU， u為由影消點(diǎn)影消點(diǎn)構(gòu)成的影消線影消線, , /vVvOV， v 為由影消點(diǎn)影消點(diǎn)構(gòu)成的影消線影消線第5頁(yè)/共35頁(yè)注：注：影消線的存在，導(dǎo)致兩平面間的中心射影不是一個(gè)雙射（一一對(duì)應(yīng)雙射（一一對(duì)應(yīng))。 :ll 即和均不是雙射（一一對(duì)應(yīng)）。中心射影不是雙射的原因：存在影消點(diǎn)、影消線 存在影消點(diǎn)、影消線的原因：平行的直線沒(méi)有交點(diǎn)， 平行的平面沒(méi)有交線。如何使得中心射影成為一個(gè)雙射(一一對(duì)應(yīng))？給平行線添加交點(diǎn)！第6頁(yè)/共35頁(yè)例：求一個(gè)中心射影將任意一個(gè)三角形射影成等

4、腰三角形。ABC設(shè)為平面 上的任意一個(gè)三角形，解：ABCAMOmBC過(guò)邊任作一個(gè)平面與 不同，,BCm在 內(nèi)作的垂直平分線(mABC在 上任取一個(gè)點(diǎn)不在上），AA連接，AA在直線上O取定一個(gè)點(diǎn) ，OOA則以 為射心，為投射ABC線的中心射影必將射影.A BC為平面上的等腰三角形第7頁(yè)/共35頁(yè)目標(biāo)：改造空間，使得中心射影成為雙射途徑：給平行直線添加交點(diǎn)要求：不破壞下列兩個(gè)基本關(guān)系兩條相異直線確定唯一一個(gè)點(diǎn)(交點(diǎn))兩個(gè)相異點(diǎn)確定唯一一條直線(連線)點(diǎn)與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系 2.1.2 無(wú)窮遠(yuǎn)元無(wú)窮遠(yuǎn)元素素第8頁(yè)/共35頁(yè)一、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)一、無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為區(qū)別起見(jiàn)，稱平面上原有的點(diǎn)為有窮遠(yuǎn)點(diǎn)有窮遠(yuǎn)點(diǎn)(普通點(diǎn)普通

5、點(diǎn))， (2) 相互平行的直線上添加的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)相同, 約定一：約定一：(1) 平面內(nèi)在每一條直線上添加唯一一個(gè)點(diǎn)，此點(diǎn)不是該直線上原有的點(diǎn). 稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)(理想點(diǎn)理想點(diǎn))，記作P不平行的直線上添加的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不同.注：注：1）無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)實(shí)際上是二維空間中平行直線的交點(diǎn)。記作P第9頁(yè)/共35頁(yè)2）由于平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多組平行線，因此一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)多個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。例：一條直線和它的平行平面相交于一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。證明：如圖，/,l設(shè) ,A在上任取一點(diǎn) ,Al則 與確定平面,A與有公共交點(diǎn),m它們必有公共直線 .lm由約定一，與有唯一公共無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) A又由于是上任一點(diǎn)，mAll所以這個(gè)公共的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)即為

6、與的交點(diǎn)。/.lm且第10頁(yè)/共35頁(yè)二、無(wú)窮遠(yuǎn)直線二、無(wú)窮遠(yuǎn)直線區(qū)別起見(jiàn)，稱平面上原有的直線為有窮遠(yuǎn)直線有窮遠(yuǎn)直線(通常直線通常直線)，l約定二：約定二：按約定一的(1), (2)添加無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之后，平面上全體無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)構(gòu)成一條直線，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)直線無(wú)窮遠(yuǎn)直線(理想直線理想直線)，記作l無(wú)窮遠(yuǎn)直線實(shí)際上是三維空間中平行平面的交線注：注：即 空間中任意一組平行平面交于一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線。第11頁(yè)/共35頁(yè)推導(dǎo)：, l在組中的一個(gè)平面內(nèi)任取一條直線,lP設(shè) 上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為 l過(guò) 作一個(gè)平面與組中其它平面必相交于,一組平行線此組平行線有公共的無(wú),P窮遠(yuǎn)點(diǎn)P于是必在此組平行平面的每一個(gè)平面上. l由于所取直線

7、 的任意性，所以此組平行平面必有無(wú)數(shù)多個(gè)其軌跡為一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線，即 一組平行平面必相交于一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線。公共的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，123Pl第12頁(yè)/共35頁(yè)理解約定一理解約定一1、對(duì)于平面上每一方向，有唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn). 平行的直線交2、每一條通常直線上有且僅有一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).3、平面上添加的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)個(gè)數(shù)過(guò)一個(gè)通常點(diǎn)的直線數(shù).4、不平行的直線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不同. 于同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；交于同一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的直線相互平行.總結(jié)：總結(jié)：線的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時(shí)使得中心射影成為雙射（一一對(duì)應(yīng)）.在平面上添加無(wú)窮遠(yuǎn)元素之后，沒(méi)有破壞點(diǎn)與直第13頁(yè)/共35頁(yè)兩直線平 行不平行交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)有窮遠(yuǎn)點(diǎn)平面上任二直線總相交5、空間中每一組

8、平行直線交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).6、任一直線與其平行平面交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).因而，對(duì)于通常直線：第14頁(yè)/共35頁(yè)理解約定二理解約定二1、無(wú)窮遠(yuǎn)直線為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的軌跡. 無(wú)窮遠(yuǎn)直線上的點(diǎn)均為2、每一條通常直線與無(wú)窮遠(yuǎn)直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)為該直3、每一平面上有且僅有一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線.4、每一組平行平面有且僅有一條交線為無(wú)窮遠(yuǎn)直線；無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)；平面上任何無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)均在無(wú)窮遠(yuǎn)直線上.線上的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn).過(guò)同一條無(wú)窮遠(yuǎn)直線的平面相互平行。第15頁(yè)/共35頁(yè)兩平面平 行不平行交于唯一無(wú)窮遠(yuǎn)直線有窮遠(yuǎn)直線空間中任二平面必相交于唯一直線因而，對(duì)于通常平面：第16頁(yè)/共35頁(yè) 定義定義2.3添加無(wú)窮遠(yuǎn)直線后的平面稱為仿射平面仿射

9、平面;在仿射直線上不區(qū)分有窮遠(yuǎn)點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，則這條直線稱添加無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)后的歐氏直線統(tǒng)稱為仿射直線仿射直線；一、射影直線和射影平面的定義一、射影直線和射影平面的定義若在仿射平面上不區(qū)分有窮遠(yuǎn)線和無(wú)窮遠(yuǎn)線，則這個(gè)平面稱為射影平面（拓廣平面）射影平面（拓廣平面） 2.1.3 射影直線和射影平面射影直線和射影平面為射影直線射影直線(拓廣直線）拓廣直線）.第17頁(yè)/共35頁(yè)(1) 拓廣直線的封閉性拓廣直線：向兩方前進(jìn)最終都到達(dá)同二、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型二、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型歐氏直線：向兩個(gè)方向無(wú)限伸展1、射影直線、射影直線(拓廣直線拓廣直線)定理定理2.1 (1) 兩個(gè)相異的

10、拓廣點(diǎn)確定唯一一條拓廣直線；在拓廣平面上, 點(diǎn)與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系關(guān)聯(lián)關(guān)系成立：(2) 兩條相異的拓廣直線確定唯一一個(gè)拓廣點(diǎn).一個(gè)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)P第18頁(yè)/共35頁(yè)(2) 射影直線在歐氏平面的模型為圓注：注：通常點(diǎn)和無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)統(tǒng)稱為拓廣點(diǎn)拓廣點(diǎn)；添加無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)之后的直線和無(wú)窮遠(yuǎn)直線統(tǒng)稱為拓廣直線。拓廣直線。第19頁(yè)/共35頁(yè)(3) 拓廣直線上點(diǎn)的分離關(guān)系歐氏直線：一點(diǎn)區(qū)分直線為兩個(gè)部分。拓廣直線：一點(diǎn)不能區(qū)分直線為兩個(gè)部分。歐氏直線：兩點(diǎn)確定直線上的一條線段。拓廣直線：不同的兩點(diǎn)把直線分成兩條線段，其中一條含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，另一條不含無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。點(diǎn)偶A,B分離點(diǎn)偶C,D點(diǎn)偶A,B不分離點(diǎn)偶C,D第20頁(yè)/共35頁(yè)(

11、i) 任一直線劃分歐氏平面為兩個(gè)不同的區(qū)域任一直線不能劃分拓廣平面為兩個(gè)不同的區(qū)域2、射影平面、射影平面(拓廣平面拓廣平面)(1) 拓廣平面的封閉性從兩個(gè)方面理解：第21頁(yè)/共35頁(yè)(ii) 兩條相交直線劃分歐氏平面為四個(gè)不同的區(qū)域兩條相交直線劃分拓廣平面為兩個(gè)不同的區(qū)域在拓廣平面上，可以證明：I，II為同一區(qū)域III，IV為同一區(qū)域第22頁(yè)/共35頁(yè)(2) 拓廣平面的拓?fù)淠Ｐ偷?3頁(yè)/共35頁(yè)Mbius帶注：注： 默比烏斯帶（ Mbius帶）是射影平面的一部分。默比烏斯帶的作法：默比烏斯帶的作法： , ABA BAABB 如圖，把長(zhǎng)方形帶扭轉(zhuǎn)，使 與粘合與粘合，這樣所得的單側(cè)曲面為默比烏斯帶

12、，ABAB其邊界為一條封閉曲線。第24頁(yè)/共35頁(yè)三、射影基本形三、射影基本形1、一維基本形 (1) 點(diǎn)列點(diǎn)列記號(hào)l(A,B,C,) 或 l(P)底元素(1) 線束線束記號(hào)L(a,b,c,) 或 L(p)線束中心元素同一直線上點(diǎn)的集合平面上過(guò)同一點(diǎn)的直線的集合第25頁(yè)/共35頁(yè)2、二維基本形(2) 點(diǎn)場(chǎng)點(diǎn)場(chǎng) (2) 線場(chǎng)線場(chǎng)稱為點(diǎn)場(chǎng)的底底，稱為線場(chǎng)的底底，同一平面上點(diǎn)的集合同一平面上直線的集合其上的點(diǎn)稱為元素元素.其上的直線稱為元素元素.第26頁(yè)/共35頁(yè)3、一對(duì)重要的基本圖形不共線三點(diǎn)及其兩兩連線構(gòu)成的圖形三線形三線形 三點(diǎn)形三點(diǎn)形不共點(diǎn)三直線及其兩兩交點(diǎn)構(gòu)成的圖形第27頁(yè)/共35頁(yè)頂點(diǎn)：A

13、, B, C邊：BC, CA, AB顯然，射影基本形、三點(diǎn)形和三線形都在中心射影下不變邊：a, b, c頂點(diǎn)：bc, ca, ab記號(hào)：記號(hào)：三點(diǎn)形ABC記號(hào)：記號(hào)：三線形abc第28頁(yè)/共35頁(yè) 2.1.4 圖形的射影性圖形的射影性質(zhì)質(zhì)一、透視對(duì)應(yīng)一、透視對(duì)應(yīng)二、射影不變性和射影不變量二、射影不變性和射影不變量引進(jìn)無(wú)窮遠(yuǎn)元素以后，便可以通過(guò)中心射影建立直線上點(diǎn)之間的一一對(duì)應(yīng)，這種一一對(duì)應(yīng)稱為透視對(duì)應(yīng)透視對(duì)應(yīng)。 定義定義2.4： 同樣，以通過(guò)中心射影建立二平面之間點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)，也稱為透視對(duì)應(yīng)透視對(duì)應(yīng)。定義定義2.5：經(jīng)過(guò)一切中心射影(透視對(duì)應(yīng))后圖形所具有的不變性和不變量，叫做圖形的射影不變性

14、和射影不變量射影不變性和射影不變量。 第29頁(yè)/共35頁(yè)注：注：1）同素件，結(jié)合性都是射影不變性。 3） 圓經(jīng)過(guò)某些中心射影后不變，但經(jīng)過(guò)另一些中心射影可能變成其它二次曲線而不一定是圓，因此圓這一圖形不具有射影性質(zhì)。 2）圓錐曲線經(jīng)過(guò)中心射影后的象還是圓錐曲線，所以我們說(shuō)圓錐曲線具有射影性質(zhì)。第30頁(yè)/共35頁(yè)由于射影對(duì)應(yīng)保持結(jié)合性不變，12 Pll所以影消點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為 與 的交點(diǎn)， P即點(diǎn)。12ll由于 與 相交于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)，PPO1lm2l2l1l經(jīng)中心投影后， 例1：相交于影消線的二直線必射影成平行直線。證明：12,l lmP設(shè)平面上二直線相交于影消線 上一點(diǎn)1212llll與 的對(duì)應(yīng)直線分別為 與 ，12/ll所以第31頁(yè)/共35頁(yè)lOBACABCabcl()ACOAABCBCOB于是， ，()1()1ABCA B C 所以， ， 反例： ( , ),abcOca b設(shè)三直線 、 、 交于 點(diǎn)， 平分, ,llA B CA B C直線 與 分別交三直線于與，例2：?jiǎn)伪炔皇巧溆安蛔兞俊?)A COAA B CB COB ，OAOBOAOB并使 且 ，()()ABCA B C 即， 第32頁(yè)/共35頁(yè)1) 透視對(duì)應(yīng)不保留平行性.(由例1)2) 透視對(duì)應(yīng)不保留兩點(diǎn)距離不變。（由例2）注：注：3）透