射影直線和射影平面PPT教案

1、射影直線和射影平面射影直線和射影平面2. 1. 1 中心射影中心射影 2.1. 2 無窮遠元素無窮遠元素2. 1. 3 一維、二維射影空間一維、二維射影空間2. 1. 4 圖形的射影性質(zhì)圖形的射影性質(zhì)第1頁/共35頁 2.1.1 中心投影中心投影定義定義2.1 :ll記OP 投射線P l 上的點P在l上的像P l 上的點P 在l上的像O點 不屬一、平面上兩直線間的中心射影一、平面上兩直線間的中心射影 ll設(shè)直線和為平面上兩條不同的直線， ()OOll 投射中心 點ll于 和 ，Ol從 投射到 的中心投影。OlPPlABBAPl是 上的一點，,PlP連接交 于點PP稱點是點X第2頁/共35頁OV

2、 與l不相交， V 為l上的影消點影消點影消點的存在，導(dǎo)致兩直線間的中心射影不是一個雙射雙射(一一對應(yīng)一一對應(yīng))。X=ll 自對應(yīng)點(不變點)OU與l 不相交， U 為l上的影消點影消點三個特殊的點：三個特殊的點：因此 ，1: l l 是 l 到 l 的中心射影中心射影OlPUPlVX第3頁/共35頁OP 投射線O投射中心二、平面到平面的中心射影二、平面到平面的中心射影定義定義2.2 : 記設(shè)和為空間兩個不同的平面，和，O從 投射到 的中心投影。O點 不屬于() (O射心）OPPMAAxaaP 上的點P 在上的像P是 上的一點，,PP連接交于點PP稱點 是點a第4頁/共35頁P 上的點P在上的

3、像OPPxuUvVaa因此 ，:1是 到的中心射影三條特殊的直線：三條特殊的直線： 自對應(yīng)直線(不變直線)x, , /uUu OU， u為由影消點影消點構(gòu)成的影消線影消線, , /vVvOV， v 為由影消點影消點構(gòu)成的影消線影消線第5頁/共35頁注：注：影消線的存在，導(dǎo)致兩平面間的中心射影不是一個雙射（一一對應(yīng)雙射（一一對應(yīng))。 :ll 即和均不是雙射（一一對應(yīng)）。中心射影不是雙射的原因：存在影消點、影消線 存在影消點、影消線的原因：平行的直線沒有交點， 平行的平面沒有交線。如何使得中心射影成為一個雙射(一一對應(yīng))？給平行線添加交點！第6頁/共35頁例：求一個中心射影將任意一個三角形射影成等

4、腰三角形。ABC設(shè)為平面 上的任意一個三角形，解：ABCAMOmBC過邊任作一個平面與 不同，,BCm在 內(nèi)作的垂直平分線(mABC在 上任取一個點不在上），AA連接，AA在直線上O取定一個點 ，OOA則以 為射心，為投射ABC線的中心射影必將射影.A BC為平面上的等腰三角形第7頁/共35頁目標：改造空間，使得中心射影成為雙射途徑：給平行直線添加交點要求：不破壞下列兩個基本關(guān)系兩條相異直線確定唯一一個點(交點)兩個相異點確定唯一一條直線(連線)點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系 2.1.2 無窮遠元無窮遠元素素第8頁/共35頁一、無窮遠點一、無窮遠點為區(qū)別起見，稱平面上原有的點為有窮遠點有窮遠點(普通點普通

5、點)， (2) 相互平行的直線上添加的無窮遠點相同, 約定一：約定一：(1) 平面內(nèi)在每一條直線上添加唯一一個點，此點不是該直線上原有的點. 稱為無窮遠點無窮遠點(理想點理想點)，記作P不平行的直線上添加的無窮遠點不同.注：注：1）無窮遠點實際上是二維空間中平行直線的交點。記作P第9頁/共35頁2）由于平面內(nèi)有無數(shù)多組平行線，因此一個平面內(nèi)有無數(shù)多個無窮遠點。例：一條直線和它的平行平面相交于一個無窮遠點。證明：如圖，/,l設(shè) ,A在上任取一點 ,Al則 與確定平面,A與有公共交點,m它們必有公共直線 .lm由約定一，與有唯一公共無窮遠點 A又由于是上任一點，mAll所以這個公共的無窮遠點即為

6、與的交點。/.lm且第10頁/共35頁二、無窮遠直線二、無窮遠直線區(qū)別起見，稱平面上原有的直線為有窮遠直線有窮遠直線(通常直線通常直線)，l約定二：約定二：按約定一的(1), (2)添加無窮遠點之后，平面上全體無窮遠點構(gòu)成一條直線，稱為無窮遠直線無窮遠直線(理想直線理想直線)，記作l無窮遠直線實際上是三維空間中平行平面的交線注：注：即 空間中任意一組平行平面交于一條無窮遠直線。第11頁/共35頁推導(dǎo)：, l在組中的一個平面內(nèi)任取一條直線,lP設(shè) 上的無窮遠點為 l過 作一個平面與組中其它平面必相交于,一組平行線此組平行線有公共的無,P窮遠點P于是必在此組平行平面的每一個平面上. l由于所取直線

7、 的任意性，所以此組平行平面必有無數(shù)多個其軌跡為一條無窮遠直線，即 一組平行平面必相交于一條無窮遠直線。公共的無窮遠點，123Pl第12頁/共35頁理解約定一理解約定一1、對于平面上每一方向，有唯一無窮遠點. 平行的直線交2、每一條通常直線上有且僅有一個無窮遠點.3、平面上添加的無窮遠點個數(shù)過一個通常點的直線數(shù).4、不平行的直線上的無窮遠點不同. 于同一無窮遠點；交于同一無窮遠點的直線相互平行.總結(jié)：總結(jié)：線的關(guān)聯(lián)關(guān)系，同時使得中心射影成為雙射（一一對應(yīng)）.在平面上添加無窮遠元素之后，沒有破壞點與直第13頁/共35頁兩直線平 行不平行交于唯一無窮遠點有窮遠點平面上任二直線總相交5、空間中每一組

8、平行直線交于唯一無窮遠點.6、任一直線與其平行平面交于唯一無窮遠點.因而，對于通常直線：第14頁/共35頁理解約定二理解約定二1、無窮遠直線為無窮遠點的軌跡. 無窮遠直線上的點均為2、每一條通常直線與無窮遠直線有且僅有一個交點為該直3、每一平面上有且僅有一條無窮遠直線.4、每一組平行平面有且僅有一條交線為無窮遠直線；無窮遠點；平面上任何無窮遠點均在無窮遠直線上.線上的無窮遠點.過同一條無窮遠直線的平面相互平行。第15頁/共35頁兩平面平 行不平行交于唯一無窮遠直線有窮遠直線空間中任二平面必相交于唯一直線因而，對于通常平面：第16頁/共35頁 定義定義2.3添加無窮遠直線后的平面稱為仿射平面仿射

9、平面;在仿射直線上不區(qū)分有窮遠點和無窮遠點，則這條直線稱添加無窮遠點后的歐氏直線統(tǒng)稱為仿射直線仿射直線；一、射影直線和射影平面的定義一、射影直線和射影平面的定義若在仿射平面上不區(qū)分有窮遠線和無窮遠線，則這個平面稱為射影平面（拓廣平面）射影平面（拓廣平面） 2.1.3 射影直線和射影平面射影直線和射影平面為射影直線射影直線(拓廣直線）拓廣直線）.第17頁/共35頁(1) 拓廣直線的封閉性拓廣直線：向兩方前進最終都到達同二、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型二、射影直線、射影平面的基本性質(zhì)及模型歐氏直線：向兩個方向無限伸展1、射影直線、射影直線(拓廣直線拓廣直線)定理定理2.1 (1) 兩個相異的

10、拓廣點確定唯一一條拓廣直線；在拓廣平面上, 點與直線的關(guān)聯(lián)關(guān)系關(guān)聯(lián)關(guān)系成立：(2) 兩條相異的拓廣直線確定唯一一個拓廣點.一個無窮遠點P第18頁/共35頁(2) 射影直線在歐氏平面的模型為圓注：注：通常點和無窮遠點統(tǒng)稱為拓廣點拓廣點；添加無窮遠點之后的直線和無窮遠直線統(tǒng)稱為拓廣直線。拓廣直線。第19頁/共35頁(3) 拓廣直線上點的分離關(guān)系歐氏直線：一點區(qū)分直線為兩個部分。拓廣直線：一點不能區(qū)分直線為兩個部分。歐氏直線：兩點確定直線上的一條線段。拓廣直線：不同的兩點把直線分成兩條線段，其中一條含無窮遠點，另一條不含無窮遠點。點偶A,B分離點偶C,D點偶A,B不分離點偶C,D第20頁/共35頁(

11、i) 任一直線劃分歐氏平面為兩個不同的區(qū)域任一直線不能劃分拓廣平面為兩個不同的區(qū)域2、射影平面、射影平面(拓廣平面拓廣平面)(1) 拓廣平面的封閉性從兩個方面理解：第21頁/共35頁(ii) 兩條相交直線劃分歐氏平面為四個不同的區(qū)域兩條相交直線劃分拓廣平面為兩個不同的區(qū)域在拓廣平面上，可以證明：I，II為同一區(qū)域III，IV為同一區(qū)域第22頁/共35頁(2) 拓廣平面的拓撲模型第23頁/共35頁Mbius帶注：注： 默比烏斯帶（ Mbius帶）是射影平面的一部分。默比烏斯帶的作法：默比烏斯帶的作法： , ABA BAABB 如圖，把長方形帶扭轉(zhuǎn)，使 與粘合與粘合，這樣所得的單側(cè)曲面為默比烏斯帶

12、，ABAB其邊界為一條封閉曲線。第24頁/共35頁三、射影基本形三、射影基本形1、一維基本形 (1) 點列點列記號l(A,B,C,) 或 l(P)底元素(1) 線束線束記號L(a,b,c,) 或 L(p)線束中心元素同一直線上點的集合平面上過同一點的直線的集合第25頁/共35頁2、二維基本形(2) 點場點場 (2) 線場線場稱為點場的底底，稱為線場的底底，同一平面上點的集合同一平面上直線的集合其上的點稱為元素元素.其上的直線稱為元素元素.第26頁/共35頁3、一對重要的基本圖形不共線三點及其兩兩連線構(gòu)成的圖形三線形三線形 三點形三點形不共點三直線及其兩兩交點構(gòu)成的圖形第27頁/共35頁頂點：A

13、, B, C邊：BC, CA, AB顯然，射影基本形、三點形和三線形都在中心射影下不變邊：a, b, c頂點：bc, ca, ab記號：記號：三點形ABC記號：記號：三線形abc第28頁/共35頁 2.1.4 圖形的射影性圖形的射影性質(zhì)質(zhì)一、透視對應(yīng)一、透視對應(yīng)二、射影不變性和射影不變量二、射影不變性和射影不變量引進無窮遠元素以后，便可以通過中心射影建立直線上點之間的一一對應(yīng)，這種一一對應(yīng)稱為透視對應(yīng)透視對應(yīng)。 定義定義2.4： 同樣，以通過中心射影建立二平面之間點的一一對應(yīng)，也稱為透視對應(yīng)透視對應(yīng)。定義定義2.5：經(jīng)過一切中心射影(透視對應(yīng))后圖形所具有的不變性和不變量，叫做圖形的射影不變性

14、和射影不變量射影不變性和射影不變量。 第29頁/共35頁注：注：1）同素件，結(jié)合性都是射影不變性。 3） 圓經(jīng)過某些中心射影后不變，但經(jīng)過另一些中心射影可能變成其它二次曲線而不一定是圓，因此圓這一圖形不具有射影性質(zhì)。 2）圓錐曲線經(jīng)過中心射影后的象還是圓錐曲線，所以我們說圓錐曲線具有射影性質(zhì)。第30頁/共35頁由于射影對應(yīng)保持結(jié)合性不變，12 Pll所以影消點的對應(yīng)點為 與 的交點， P即點。12ll由于 與 相交于無窮遠點，PPO1lm2l2l1l經(jīng)中心投影后， 例1：相交于影消線的二直線必射影成平行直線。證明：12,l lmP設(shè)平面上二直線相交于影消線 上一點1212llll與 的對應(yīng)直線分別為 與 ，12/ll所以第31頁/共35頁lOBACABCabcl()ACOAABCBCOB于是， ，()1()1ABCA B C 所以， ， 反例： ( , ),abcOca b設(shè)三直線 、 、 交于 點， 平分, ,llA B CA B C直線 與 分別交三直線于與，例2：單比不是射影不變量。()A COAA B CB COB ，OAOBOAOB并使 且 ，()()ABCA B C 即， 第32頁/共35頁1) 透視對應(yīng)不保留平行性.(由例1)2) 透視對應(yīng)不保留兩點距離不變。（由例2）注：注：3）透