正態(tài)分布詳解（課堂PPT）

1、 正態(tài)分布是應用最正態(tài)分布是應用最廣泛的一種連續(xù)型分布廣泛的一種連續(xù)型分布. 正態(tài)分布在十九世紀前葉由正態(tài)分布在十九世紀前葉由高斯加以推廣，所以通常稱為高高斯加以推廣，所以通常稱為高斯分布斯分布. .德莫佛德莫佛 德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概德莫佛最早發(fā)現(xiàn)了二項概率的一個近似公式，這一公式率的一個近似公式，這一公式被認為是被認為是正態(tài)分布的首次露面正態(tài)分布的首次露面.不知你們是否注意到街頭的一種賭博不知你們是否注意到街頭的一種賭博活動活動? ? 用一個釘板作賭具。用一個釘板作賭具。 街頭街頭請看請看 也許很多人不相信，玩這種賭博游也許很多人不相信，玩這種賭博游戲十有八九是要輸?shù)舻?，不少人總戲十有八?/p>

2、是要輸?shù)舻?，不少人總想碰碰運氣，然而中大獎的概率實想碰碰運氣，然而中大獎的概率實在是太低了。在是太低了。 下面我們在計算機上模擬這個游戲：下面我們在計算機上模擬這個游戲：街頭賭博街頭賭博高爾頓釘板試驗高爾頓釘板試驗 平時，我們很少有人會去關心小球平時，我們很少有人會去關心小球下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信下落位置的規(guī)律性，人們可能不相信它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并它是有規(guī)律的。一旦試驗次數(shù)增多并且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后且注意觀察的話，你就會發(fā)現(xiàn)，最后得出的竟是一條優(yōu)美的曲線得出的竟是一條優(yōu)美的曲線。高高爾爾頓頓釘釘板板試試驗驗這條曲線就近似我們將要介紹這條曲線就近似我們將要介紹的

3、的正態(tài)分布正態(tài)分布的密度曲線。的密度曲線。正態(tài)分布的定義是什么呢？正態(tài)分布的定義是什么呢？對于連續(xù)型隨機變量，一般是給出對于連續(xù)型隨機變量，一般是給出它的它的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)。 一、正態(tài)分布的定義一、正態(tài)分布的定義 若若r.v X的的概率密度為概率密度為),(2NX記作記作 f (x)所確定的曲線叫作正態(tài)曲線所確定的曲線叫作正態(tài)曲線.xexfx,)()(22221 其中其中 和和 都是常數(shù)，都是常數(shù)， 任意，任意， 0，則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 和和 的正態(tài)分布的正態(tài)分布. 22正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？正態(tài)分布有些什么性質(zhì)呢？ 由于連續(xù)型隨機變量唯一地由它由于連續(xù)型隨機變量唯一地

4、由它的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)的密度函數(shù)所描述，我們來看看正態(tài)分布的密度函數(shù)有什么特點。分布的密度函數(shù)有什么特點。 正態(tài)分布正態(tài)分布請看演示請看演示二、正態(tài)分布二、正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點),(2N 正態(tài)分布的密度曲線是一條關于正態(tài)分布的密度曲線是一條關于 對對稱的鐘形曲線稱的鐘形曲線. .特點是特點是“兩頭小，中間大，左右對稱兩頭小，中間大，左右對稱”. . 決定了圖形的中心位置，決定了圖形的中心位置， 決定了圖形決定了圖形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程度. . 正態(tài)分布正態(tài)分布 的圖形特點的圖形特點),(2N 能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，能不能根據(jù)密度函數(shù)的表達式，得出正態(tài)分布的圖

5、形特點呢？得出正態(tài)分布的圖形特點呢？xexfx,)()(22221 容易看到，容易看到，f(x)0即整個概率密度曲線都在即整個概率密度曲線都在x軸的上方軸的上方; ;故故f(x)以以為對稱軸，并在為對稱軸，并在x=處達到最大處達到最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分別代入分別代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()21)(f這說明曲線這說明曲線 f(x)向左右伸展時，越來越向左右伸展時，越來越貼近貼近x軸。即軸。即f (x)以以x軸為漸近線。軸為漸近線。 x

6、exfx,)()(22221 當當x 時，時，f(x) 0, ,用求導的方法可以證明，用求導的方法可以證明，xexfx,)()(22221 為為f (x)的兩個拐點的橫坐標。的兩個拐點的橫坐標。x = 這是高等數(shù)學的內(nèi)容，如果忘記了，課下這是高等數(shù)學的內(nèi)容，如果忘記了，課下再復習一下。再復習一下。根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖。態(tài)分布的概率密度曲線圖。 回憶我們在本章第三講中遇到過的回憶我們在本章第三講中遇到過的年降雨量問題，我們用上海年降雨量問題，我們用上海99年年降雨年年降雨量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。量的數(shù)據(jù)畫出了頻率直方圖。

7、從直方圖，我們可以初步看出，年降從直方圖，我們可以初步看出，年降雨量近似服從正態(tài)分布。雨量近似服從正態(tài)分布。下面是我們用某大學男大學生的身高下面是我們用某大學男大學生的身高的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。的數(shù)據(jù)畫出的頻率直方圖。紅線紅線是擬是擬合的正態(tài)合的正態(tài)密度曲線密度曲線可見，某大學男大學生的身高可見，某大學男大學生的身高應服從正態(tài)分布。應服從正態(tài)分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較多數(shù)，特高和特矮的只是少數(shù)，而且較高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方高和較矮的人數(shù)大致相近，這從一個方面反映了服從正態(tài)分布的隨機變量的特面反映了服

8、從正態(tài)分布的隨機變量的特點。點。請同學們想一想，實際生活中具有這請同學們想一想，實際生活中具有這種特點的隨機變量還有那些呢？種特點的隨機變量還有那些呢？ 除了我們在前面遇到過的年降雨量和除了我們在前面遇到過的年降雨量和身高外身高外, ,在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，在正常條件下各種產(chǎn)品的質(zhì)量指標，如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作如零件的尺寸；纖維的強度和張力；農(nóng)作物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，物的產(chǎn)量，小麥的穗長、株高；測量誤差，射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等射擊目標的水平或垂直偏差；信號噪聲等等，都服從或近似服從正態(tài)分布等，都服從或近似服從正態(tài)分布. .xexfx,)()

9、(22221 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 的隨機變量的隨機變量X的的概率密度是概率密度是),(2NX的分布函數(shù)的分布函數(shù)P(Xx)是怎樣的呢？是怎樣的呢？ 設設X ,),(2NX的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是xdtexFxt,)()(22221 正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)和和唯唯一確定，一確定， 當當和和不同時，是不同的正不同時，是不同的正態(tài)分布。態(tài)分布。標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布dtexxt2221)(三、標準正態(tài)分布三、標準正態(tài)分布1, 0的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布. .xexx,21)(22

10、其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 它的依據(jù)是下面的定理：它的依據(jù)是下面的定理： 標準正態(tài)分布的重要性在于，標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標準正態(tài)分布標準正態(tài)分布. . 根據(jù)定理根據(jù)定理1,1,只要將標準正態(tài)分布的分布只要將標準正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計算問題率計算問題. .),(2NXXY, ,則則 N(0,1) 設設定理定理1 書末附有標準正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了書末附有標準正

11、態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計算查表. .四、正態(tài)分布表四、正態(tài)分布表)(1)(xxdtexxt2221)(表中給的是表中給的是x0時時, (x)的值的值.當當-x0時時xx),(2NX若若XYN(0,1) 若若 XN(0,1),)(bYaP)(bXaP)()()(abbXaP)()(ab由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，由標準正態(tài)分布的查表計算可以求得，這說明，這說明，X的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在-3,3 區(qū)間區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%. .當當XN(0,1)(0,1

12、)時，時，P(|X| 1)=2 ( (1)-)-1= =0.6826 P(|X| 2)=2 ( (2)-)-1= =0.9544P(|X| 3)=2 ( (3)-)-1= =0.9974五、五、3 3 準則準則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布, , ),(2NY時，時，6826. 0)|(|YP9544. 0)2|(|YP9974. 0)3|(|YP可以認為，可以認為，Y 的取值幾乎全部集中在的取值幾乎全部集中在3,3區(qū)間內(nèi)區(qū)間內(nèi). . 這在統(tǒng)計學上稱作這在統(tǒng)計學上稱作“3 3 準則準則” （三倍標準差原則）（三倍標準差原則）. . 上一講我們已經(jīng)看到，當上一講我們

13、已經(jīng)看到，當n很大，很大，p接接近近0或或1時，二項分布近似泊松分布時，二項分布近似泊松分布; 如果如果n很大，而很大，而p不接近于不接近于0或或1，那么可以證明，那么可以證明，二項分布近似于正態(tài)分布二項分布近似于正態(tài)分布. 下面我們不加證明地介紹有關下面我們不加證明地介紹有關二項分二項分布近似于正態(tài)分布布近似于正態(tài)分布的一個定理，稱為的一個定理，稱為棣莫棣莫佛拉普拉斯定理佛拉普拉斯定理. . 它是第五章要介紹的它是第五章要介紹的中心極限定理的一個最重要的特殊情況中心極限定理的一個最重要的特殊情況. .六、二項分布的正態(tài)近似六、二項分布的正態(tài)近似定理定理( (棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯

14、定理）)1 (limxpnpnpYPnn 設隨機變量設隨機變量 服從參數(shù)服從參數(shù)n, p( (0p1) )的的二項分布，則對任意二項分布，則對任意x，有，有nYdtext2221 定理表明，當定理表明，當n很大，很大，0p1是一個定值是一個定值時（或者說，時（或者說，np(1-p)也不太小時），也不太小時），二項二項變變量量 的的分布近似正態(tài)分布分布近似正態(tài)分布 N(np,np(1-p).nY二項分布的正態(tài)近似二項分布的正態(tài)近似 實用中，實用中，n 30， np 10時正態(tài)近時正態(tài)近似的效果較好似的效果較好.見教學軟件中的計算機演示見教學軟件中的計算機演示例例1 將一枚硬幣拋擲將一枚硬幣拋擲1

15、0000次，出現(xiàn)正面次，出現(xiàn)正面5800次，認為這枚硬幣不均勻是否合理次，認為這枚硬幣不均勻是否合理? 試說明理由試說明理由.解解: 設設X為為10000次試驗中出現(xiàn)正面的次數(shù)，次試驗中出現(xiàn)正面的次數(shù)，采用正態(tài)近似采用正態(tài)近似, np=5000, np(1-p)=2500,若硬幣是均勻的，若硬幣是均勻的，XB(10000，0.5),505000)1 (XpnpnpX近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布N(0,1).即即=1- -(16)5050005800(10此概率接近于此概率接近于0，故認為這枚硬幣不均勻，故認為這枚硬幣不均勻是合理的是合理的 .P(X5800) =1-P(X5800)505000)1

16、 (XpnpnpX近似正態(tài)分布近似正態(tài)分布N(0,1). 例例2 公共汽車車門的高度是按男子與車門公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機會在頂頭碰頭機會在0.01以下來設計的以下來設計的. .設男子設男子身高身高XN( (170, ,62),),問車門高度應如何確定問車門高度應如何確定? ? 解解: : 設車門高度為設車門高度為h cm, ,按設計要求按設計要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我們來求滿足上式的最小的下面我們來求滿足上式的最小的 h. .再看一個應用正態(tài)分布的例子再看一個應用正態(tài)分布的例子:因為因為XN( (170, ,62),),) 1 , 0(6170NX )6170(h故故 P(X0.996170h所以所以 = =2.33,