運(yùn)籌學(xué)(絕密) 緒論與圖解法

1、管理管理運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué) (OR)( (美美Operations Research)Operations Research)( (英英 Operational Research)Operational Research)學(xué)時(shí)數(shù)：64學(xué)時(shí)教材：運(yùn)籌學(xué)教材編寫(xiě)組編運(yùn)籌學(xué)，清華大學(xué)出版社參考書(shū)：其它版本的管理運(yùn)籌學(xué)；胡運(yùn)權(quán)主編運(yùn)籌學(xué)教程清華大學(xué)出版社；牛映武主編運(yùn)籌學(xué) 西安交通大學(xué)出版社；成績(jī)?cè)u(píng)定： 作業(yè)：15分；考勤：15分；期中考試：10分期末考試：60分1 1 運(yùn)籌學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展運(yùn)籌學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展運(yùn)籌學(xué)是運(yùn)用籌劃的科學(xué)，運(yùn)籌學(xué)是運(yùn)用籌劃的科學(xué)，原意原意“作戰(zhàn)研究作戰(zhàn)研究”或或“運(yùn)用研究運(yùn)用研究”。

2、一、一、 緒論緒論1.1 運(yùn)籌學(xué)產(chǎn)生運(yùn)籌學(xué)產(chǎn)生運(yùn)籌學(xué)的三個(gè)來(lái)源是軍事、管理和經(jīng)濟(jì)運(yùn)籌學(xué)的三個(gè)來(lái)源是軍事、管理和經(jīng)濟(jì)軍事 特點(diǎn)是：定量化、系統(tǒng)化方法迅速發(fā)展；采集真實(shí)的實(shí)際數(shù)據(jù)；多學(xué)科密切協(xié)作；解決方法滲透物理學(xué)的思想。（1）波得塞（Bawdsey)雷達(dá)站的研究1939年任務(wù)：如何最好地運(yùn)用空軍及新發(fā)明的雷達(dá)保衛(wèi)國(guó)家（2）Morse小組領(lǐng)導(dǎo)的運(yùn)籌學(xué)小組目標(biāo)：打破德軍對(duì)英吉利海峽的封鎖建議：用飛機(jī)代替艦艇投擲水雷，起爆深度由100米改為25米，當(dāng)敵艦剛下潛時(shí)攻擊； 運(yùn)送物資的船隊(duì)及護(hù)衛(wèi)艦的編隊(duì)由小規(guī)模、多批次改為大規(guī)模、少批次。丘吉爾采納了建議（3）英國(guó)戰(zhàn)斗機(jī)援法德軍突破馬奇諾防線，法軍節(jié)節(jié)敗退，

3、英軍參與抗德。英軍的戰(zhàn)機(jī)均在法國(guó)上空與德軍作戰(zhàn)，指揮維護(hù)在法國(guó)。法國(guó)請(qǐng)求增援10中隊(duì)，邱吉爾同意。但運(yùn)籌學(xué)小組認(rèn)為：按現(xiàn)在的方式，英軍的援法戰(zhàn)機(jī)兩周內(nèi)會(huì)全軍覆滅；不增加戰(zhàn)機(jī)，而應(yīng)以英國(guó)本土為基地與德軍戰(zhàn)斗，使局面大為改觀。經(jīng)濟(jì) 馮諾意曼（Von.neumann)對(duì)策論與經(jīng)濟(jì)行為管理 康托洛維齊（Kantorovich) 生產(chǎn)配置問(wèn)題、原材料的合理利用、運(yùn)輸問(wèn)題等 生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的數(shù)學(xué)方法1.1 運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展大概分三個(gè)階段運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展大概分三個(gè)階段第一個(gè)階段第一個(gè)階段蓬勃生長(zhǎng)期蓬勃生長(zhǎng)期3939年英國(guó)成立了世界上第一個(gè)運(yùn)籌學(xué)工作小組，年英國(guó)成立了世界上第一個(gè)運(yùn)籌學(xué)工作小

4、組，從事防空預(yù)警系統(tǒng)的研制（研究如何合理運(yùn)用雷達(dá)）從事防空預(yù)警系統(tǒng)的研制（研究如何合理運(yùn)用雷達(dá)）19391939年前蘇聯(lián)的康托洛維奇提出類(lèi)似線性規(guī)劃模型年前蘇聯(lián)的康托洛維奇提出類(lèi)似線性規(guī)劃模型19601960年年最佳資源利用的經(jīng)濟(jì)計(jì)算最佳資源利用的經(jīng)濟(jì)計(jì)算，獲諾貝爾獎(jiǎng)，獲諾貝爾獎(jiǎng)19471947年美國(guó)數(shù)學(xué)家，提出線性規(guī)劃模型及單純形算法年美國(guó)數(shù)學(xué)家，提出線性規(guī)劃模型及單純形算法 4242年美國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)工作小組，研究戰(zhàn)斗行動(dòng)效能，年美國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)工作小組，研究戰(zhàn)斗行動(dòng)效能，行動(dòng)方式行動(dòng)方式戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束，戰(zhàn)爭(zhēng)結(jié)束，MoresMores和和KimballKimball合著第一部運(yùn)籌學(xué)專(zhuān)著合著第一部運(yùn)籌

5、學(xué)專(zhuān)著“運(yùn)籌運(yùn)籌學(xué)的方法學(xué)的方法”戰(zhàn)后，運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域從軍事擴(kuò)展到其它各領(lǐng)域戰(zhàn)后，運(yùn)籌學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域從軍事擴(kuò)展到其它各領(lǐng)域19481948年英國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)學(xué)會(huì)年英國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)學(xué)會(huì)19521952年美國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)學(xué)會(huì)年美國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)學(xué)會(huì)19561956年法國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)學(xué)會(huì)年法國(guó)成立運(yùn)籌學(xué)學(xué)會(huì)19591959年英、美、法成立運(yùn)籌學(xué)聯(lián)合會(huì)年英、美、法成立運(yùn)籌學(xué)聯(lián)合會(huì) 第二階段第二階段危機(jī)期危機(jī)期六、七十年代六、七十年代第三階段第三階段運(yùn)籌學(xué)發(fā)展的正確之路運(yùn)籌學(xué)發(fā)展的正確之路理念更新、實(shí)踐為本、學(xué)科交融理念更新、實(shí)踐為本、學(xué)科交融我國(guó)運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展我國(guó)運(yùn)籌學(xué)的發(fā)展2 2 運(yùn)籌學(xué)的釋義運(yùn)籌學(xué)的釋義運(yùn)籌學(xué)具

6、有如下的性質(zhì)特點(diǎn)（1）運(yùn)籌學(xué)是一門(mén)應(yīng)用科學(xué)）運(yùn)籌學(xué)是一門(mén)應(yīng)用科學(xué)(2) 運(yùn)籌學(xué)的目的是尋找最佳解決問(wèn)題的方案，運(yùn)籌學(xué)的目的是尋找最佳解決問(wèn)題的方案， 為決策者的最優(yōu)決策提供依據(jù)為決策者的最優(yōu)決策提供依據(jù)(3) 以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)提供定量分析以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)提供定量分析（4）以計(jì)算機(jī)為手段）以計(jì)算機(jī)為手段 （5） 以軟科學(xué)研究軟系統(tǒng)以軟科學(xué)研究軟系統(tǒng)（6） 多學(xué)科專(zhuān)家集體協(xié)作研究多學(xué)科專(zhuān)家集體協(xié)作研究 由一支綜合性的隊(duì)伍，采用科學(xué)的方法，為一些涉及到有機(jī)系統(tǒng)（人-機(jī)）的控制系統(tǒng)問(wèn)題提供解答，為該系統(tǒng)的總目標(biāo)服務(wù)的學(xué)科。錢(qián)學(xué)森 運(yùn)用科學(xué)方法來(lái)解決工業(yè)、商業(yè)、政府、國(guó)防等部門(mén)里有關(guān)人力、機(jī)器、物資、金錢(qián)等大型

7、系統(tǒng)的指揮或管理中所出現(xiàn)的復(fù)雜問(wèn)題的一門(mén)學(xué)科。其目的是“幫助管理者以科學(xué)方法確定其方針和行動(dòng)”英國(guó)運(yùn)籌學(xué)會(huì) 運(yùn)籌學(xué)是應(yīng)用系統(tǒng)的、科學(xué)的、數(shù)學(xué)分析的方法，通過(guò)建模、檢驗(yàn)和求解數(shù)學(xué)模型而獲得最優(yōu)決策的科學(xué)。近代運(yùn)籌學(xué)工作者運(yùn)籌學(xué)的定義運(yùn)籌學(xué)的定義 執(zhí)行部門(mén)對(duì)所控制的業(yè)務(wù)作出決策提供數(shù)量上的科學(xué)或利用所應(yīng)用科學(xué)，執(zhí)行部門(mén)對(duì)其所屬業(yè)務(wù)作出決策提供數(shù)量上依據(jù)的一門(mén)科學(xué)。Morse 規(guī)劃論規(guī)劃論線性規(guī)劃線性規(guī)劃、目標(biāo)規(guī)劃、非、目標(biāo)規(guī)劃、非線性規(guī)劃、線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃動(dòng)態(tài)規(guī)劃、組合規(guī)劃、組合規(guī)劃等等 圖與網(wǎng)絡(luò)圖與網(wǎng)絡(luò) 存儲(chǔ)論存儲(chǔ)論 排隊(duì)排隊(duì)論論 對(duì)策論對(duì)策論 決策論決策論 仿真仿真 馬爾科

8、夫過(guò)程馬爾科夫過(guò)程 可靠性可靠性 多目標(biāo)規(guī)劃多目標(biāo)規(guī)劃 3 3 運(yùn)籌學(xué)的分支運(yùn)籌學(xué)的分支3 3 運(yùn)籌學(xué)的工作步驟運(yùn)籌學(xué)的工作步驟(1) 提出和形成問(wèn)題。提出和形成問(wèn)題。即要弄清問(wèn)題的目標(biāo)，可能的約束，問(wèn)題的可控變量以及有關(guān)參數(shù)；(2) 建立模型。建立模型。即把問(wèn)題中可控變量、參數(shù)和目標(biāo)與約束之間的關(guān)系用一定的模型表示出來(lái)； (3) 求解。求解。用各種手段( 主要是數(shù)學(xué)方法，也可用其他方法 )將模型求解。解可以是最優(yōu)解、次優(yōu)解、滿意解。復(fù)雜模型的求解需用計(jì)算機(jī)，解的精度要求可由決策者提出；(4) 解的檢驗(yàn)。解的檢驗(yàn)。首先檢查求解步驟和程序有無(wú)錯(cuò)誤，然后檢查解是否反應(yīng)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題；(5) 解的控制。解

9、的控制。通過(guò)控制解的變化過(guò)程決定對(duì)解是否要作一定的改變； (6) 解的實(shí)施。解的實(shí)施。是指將解用到實(shí)際中必須考慮到實(shí)施的問(wèn)題，如向?qū)嶋H部門(mén)講清楚用法、在實(shí)施中可能產(chǎn)生的問(wèn)題和修改。4 4 本課程的要求本課程的要求本課程的授課對(duì)象是管理科學(xué)與工程類(lèi)及交通運(yùn)輸類(lèi)專(zhuān)業(yè)本課程的授課對(duì)象是管理科學(xué)與工程類(lèi)及交通運(yùn)輸類(lèi)專(zhuān)業(yè)本科生，屬管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)必修課。本科生，屬管理類(lèi)專(zhuān)業(yè)技術(shù)基礎(chǔ)必修課。 學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)該課程，應(yīng)了解管理運(yùn)籌學(xué)對(duì)優(yōu)化決策問(wèn)題進(jìn)學(xué)生通過(guò)學(xué)習(xí)該課程，應(yīng)了解管理運(yùn)籌學(xué)對(duì)優(yōu)化決策問(wèn)題進(jìn)行定量研究的特點(diǎn)，行定量研究的特點(diǎn)， 理解理解 線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、圖與線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、動(dòng)態(tài)規(guī)劃

10、、圖與網(wǎng)絡(luò)、排隊(duì)論和庫(kù)存論網(wǎng)絡(luò)、排隊(duì)論和庫(kù)存論 等分支的基本優(yōu)化等分支的基本優(yōu)化原理，掌握原理，掌握 其中常用的其中常用的模型和算法模型和算法，具有一定的建模能力。具有一定的建模能力。 先修課程主要為先修課程主要為線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)線性代數(shù)和概率統(tǒng)計(jì)，學(xué)生對(duì)它們的掌握程，學(xué)生對(duì)它們的掌握程度直接影響本課程的學(xué)習(xí)，所以要求學(xué)生課前要做必要的復(fù)習(xí)。度直接影響本課程的學(xué)習(xí)，所以要求學(xué)生課前要做必要的復(fù)習(xí)。 學(xué)習(xí)方法：理解、掌握基本理論和方法的基礎(chǔ)上，適當(dāng)作些學(xué)習(xí)方法：理解、掌握基本理論和方法的基礎(chǔ)上，適當(dāng)作些習(xí)題。習(xí)題。 二二. 線性規(guī)劃線性規(guī)劃 (LP )( Linear Programming)

11、第一章第一章 線性規(guī)劃與單純形法線性規(guī)劃與單純形法1947年由美國(guó)空軍G.B.Dantzig提出。本部分是課程的最重要部分本本節(jié)節(jié)重重點(diǎn)點(diǎn)：線線性性規(guī)規(guī)劃劃模模型型的的特特點(diǎn)點(diǎn)線線性性規(guī)規(guī)劃劃解解的的存存在在情情況況線線性性規(guī)規(guī)劃劃標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)型型線線性性規(guī)規(guī)劃劃解解的的基基本本概概念念（特特別別是是基基解解和和基基可可行行解解）1 線性規(guī)劃問(wèn)題及其數(shù)學(xué)模型線性規(guī)劃問(wèn)題及其數(shù)學(xué)模型11 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 例例 1 1某某工工廠廠計(jì)計(jì)劃劃期期內(nèi)內(nèi)要要安安排排生生產(chǎn)產(chǎn)、兩兩種種產(chǎn)產(chǎn)品品，已已知知生生產(chǎn)產(chǎn)單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品所所需需的的設(shè)設(shè)備備臺(tái)臺(tái)時(shí)時(shí)和和A A、B B兩兩種種原原材材料料的的消消耗耗、

12、以以及及可可獲獲利利潤(rùn)潤(rùn)如如表表所所示示，問(wèn)問(wèn)應(yīng)應(yīng)如如何何安安排排計(jì)計(jì)劃劃使使該該工工廠廠獲獲利利最最多多？可利用資源 設(shè)備 原材料 A 原材料 B140204 8 臺(tái)時(shí) 16kg 12kg 利潤(rùn)23 ？元設(shè)設(shè) x1、x2分別表示計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品分別表示計(jì)劃期內(nèi)產(chǎn)品、的產(chǎn)量，、的產(chǎn)量， 建立數(shù)學(xué)模型：建立數(shù)學(xué)模型： 設(shè)備臺(tái)時(shí)設(shè)備臺(tái)時(shí) 約束條件約束條件 s.t. x1 + 2x2 8 原材料原材料 A (Subject to) 4 x1 16 原材料原材料 B 4 x2 12 產(chǎn)品產(chǎn)量產(chǎn)品產(chǎn)量 x1，x2 0 可利用資源 設(shè)備 原材料 A 原材料 B140204 8 臺(tái)時(shí) 16kg 12kg 利潤(rùn)2

13、3 ？元利潤(rùn)最大利潤(rùn)最大 目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) max max z z = 2 = 2x1+ 3x2例2 某工廠用鋼與橡膠生產(chǎn)3種產(chǎn)品A、B、C，有關(guān)資料如下表404524332231 A B C單位產(chǎn)品利潤(rùn)單位產(chǎn)品橡膠量單位產(chǎn)品鋼消耗量產(chǎn)品已知每天可獲得100單位的鋼和120單位橡膠，問(wèn)每天生產(chǎn)A、B、C各多少使總利潤(rùn)最大？解解：設(shè)x1，x2， x3分別為A、B、C日產(chǎn)量，則有 約束條件 2 x1 + 3x2 + x3 100 3x1 + 3x2 + 2x3 120 x10，x20， x30稱(chēng)x1，x2 ，x30為決策變量 目標(biāo)函數(shù)： max z=40 x1+45x2 +24x3 例例 3靠靠近

14、近某某河河流流有有兩兩個(gè)個(gè)化化工工廠廠（見(jiàn)見(jiàn)圖圖） ，流流經(jīng)經(jīng)第第一一化化工工廠廠的的河河流流流流量量為為每每天天 500 萬(wàn)萬(wàn) m3， 在在兩兩個(gè)個(gè)工工廠廠之之間間有有一一條條流流量量為為每每天天 200 萬(wàn)萬(wàn) m3的的支支流流。 第第一一化化工工廠廠每每天天排排放放含含有有某某種種有有害害物物質(zhì)質(zhì)的的工工業(yè)業(yè)污污水水 2 萬(wàn)萬(wàn) m3，第第二二化化工工廠廠每每天天排排放放這這種種工工業(yè)業(yè)污污水水1. .4 萬(wàn)萬(wàn) m3。從從第第一一化化工工廠廠排排出出的的工工業(yè)業(yè)污污水水流流到到第第二二化化工工廠廠以以前前，有有 20% %可可以以自自然然凈凈化化。根根據(jù)據(jù)環(huán)環(huán)保保要要求求，河河流流中中工工業(yè)

15、業(yè)污污水水的的含含量量不不應(yīng)應(yīng)大大于于 0. .2 2% %。 這這兩兩個(gè)個(gè)工工廠廠都都需需各各自自處處理理一一部部分分工工業(yè)業(yè)污污水水。第第一一化化工工廠廠處處理理工工業(yè)業(yè)污污水水的的成成本本是是 1 10 00 00 0 元元/ /萬(wàn)萬(wàn) m m3 3，第第二二化化工工廠廠處處理理工工業(yè)業(yè)污污水水的的成成本本是是 8 80 00 0 元元/ /萬(wàn)萬(wàn) m m3 3。 現(xiàn)現(xiàn)在在要要問(wèn)問(wèn)在在滿滿足足環(huán)環(huán)保保要要求求的的條條件件下下，每每廠廠各各應(yīng)應(yīng)處處理理多多少少工工業(yè)業(yè)污污水水，使使這這兩兩個(gè)個(gè)工工廠廠總總的的處處理理工工業(yè)業(yè)污污水水費(fèi)費(fèi)用用最最小小。 2萬(wàn)m31.4萬(wàn)m3 設(shè)設(shè) x1、x2 分

16、別為第一、第二化工廠每天處理的工業(yè)污水量。分別為第一、第二化工廠每天處理的工業(yè)污水量。約束條件：約束條件： 第一化工廠到第二化工廠之間的污水含量要不大于第一化工廠到第二化工廠之間的污水含量要不大于 0. .2 2% % (2 -(2 - x1) / 500 2 / 1000 流經(jīng)第二化工廠后，河流中的污水含量仍不大于流經(jīng)第二化工廠后，河流中的污水含量仍不大于 0. .2 2% %0.0. 8(2 -8(2 - x1) + ( (1. .4-4- x2) / 700 2 / 1000 污水處理量限制污水處理量限制 x1 2，x2 1. .4 4，x1 0，x2 0目標(biāo)函數(shù)：目標(biāo)函數(shù)： 要求兩廠用

17、于處理工業(yè)污水的費(fèi)用最小要求兩廠用于處理工業(yè)污水的費(fèi)用最小 min z = 1000 x1+800 x22萬(wàn)m31.4萬(wàn)m3整理得數(shù)學(xué)模型：整理得數(shù)學(xué)模型：目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù) min min z z = 1000 = 1000 x1+ 800 x2約束條件約束條件 s.t. x1 1 0. .8 8 x1 + x2 1. .6 6 x1 2 x2 1. .4 4 x1 0，x2 0 線線性性規(guī)規(guī)劃劃問(wèn)問(wèn)題題的的共共同同特特征征 （模模型型的的三三要要素素） 每每一一個(gè)個(gè)問(wèn)問(wèn)題題都都用用一一組組決決策策變變量量(x1，x2，xn)表表示示某某一一方方案案； 這這組組決決策策變變量量的的值值就就代代

18、表表一一個(gè)個(gè)具具體體方方案案。一一般般這這些些變變量量取取值值都都是是非非負(fù)負(fù)的的。 存存在在一一定定的的約約束束條條件件， 這這些些約約束束條條件件可可以以用用一一組組線線性性等等式式或或線線性性不不等等式式來(lái)來(lái)表表示示。 都都有有一一個(gè)個(gè)要要求求達(dá)達(dá)到到的的目目標(biāo)標(biāo)， 它它可可用用決決策策變變量量的的線線性性函函數(shù)數(shù)（稱(chēng)稱(chēng)為為目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)）來(lái)來(lái)表表示示。按按問(wèn)問(wèn)題題的的不不同同，要要求求目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)最最大大化化或或最最小小化化。 線性規(guī)劃模型的一般形式為：線性規(guī)劃模型的一般形式為： max(min) z =c1x1 + c2x2 + cnxn (1.1) s.t. a11x

19、1 + a12x2 + a1nxn ( = , ) b1 a21x1 + a22x2 + a2nxn ( = , ) b2 (1 (1.2)2) am1x1 + am2x2 + amnxn ( = , ) bm x1，x2，xn 0 (1.3) 求求解解線線性性規(guī)規(guī)劃劃問(wèn)問(wèn)題題的的任任務(wù)務(wù)是是：在在滿滿足足(1.2)、(1.3) 的的所所有有(x1，x2，xn)（可可行行解解）中中求求出出使使(1.1)達(dá)達(dá)到到最最大大(小小)z 值值的的決決策策變變量量值值(x1*，x2*，xn*)（最最優(yōu)優(yōu)解解） 。12 圖圖解解法法 只只有有兩兩個(gè)個(gè)決決策策變變量量的的問(wèn)問(wèn)題題可可用用圖圖解解法法。圖圖解

20、解法法有有助助于于理理解解線線性性規(guī)規(guī)劃劃問(wèn)問(wèn)題題的的求求解解原原理理。 例例 1 max max z z = 2 = 2x1 + 3x2 s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1，x2 0 解解 法法 ：1 1o o. .建建立立平平面面直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系； 2 2o o. .找出表示每個(gè)約束的半平面， 所有半平面的交集是可行域 （全找出表示每個(gè)約束的半平面， 所有半平面的交集是可行域 （全體可行解的集合） ；體可行解的集合） ； 3 3o o. .畫(huà)畫(huà)出出目目標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)的的等等值值線線 ； max max z z = 2 = 2x1+ 3x2s.t. x1 + 2 x2 8 4 x1 16 4 x2 12 x1，x2 0 x1x204Q2(4,2)Q1Q3Q44x1=164x2=12 x1+2x2=82x1+3x2=03Q24o.向著目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方向平移等值線，直至得到等值線與向著目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化方向平移等值線，直至得到等值線與可行域的最后交點(diǎn)，這種點(diǎn)就對(duì)應(yīng)最優(yōu)解。可行域的最后交點(diǎn)，這種點(diǎn)就對(duì)應(yīng)最優(yōu)解。 線性規(guī)劃問(wèn)題解的存在情況：線性規(guī)劃問(wèn)題