向量組及線性表示.

1、1 1 向量組及線性表示向量組及線性表示nnn組組稱稱為為 維維向向量量，這這 個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)稱稱為為該該向向量量的的 個(gè)個(gè)分分量量，12 ,nna aaL L個(gè)個(gè)有有次次序序的的數(shù)數(shù)所所組組成成的的數(shù)數(shù)分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量分量全為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量. .分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，分量全為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，默認(rèn)為實(shí)向量默認(rèn)為實(shí)向量 . iiai第第 個(gè)個(gè)數(shù)數(shù) 稱稱為為第第 個(gè)個(gè)分分量量例如例如), 3 , 2 , 1(n)1(,32 ,21(innii 第第1 1個(gè)分量個(gè)分量第第n n個(gè)分量個(gè)分量第第2 2個(gè)分量個(gè)分量2 2、n n 維向量的表示方法維向量的表示方法),(21nTa

2、aaa naaaa21 維向量寫成一行，稱為維向量寫成一行，稱為，也就是行，也就是行n維向量寫成一列，稱為維向量寫成一列，稱為，也就是列，也就是列n TTTTba,矩陣，通常用矩陣，通常用 等表示，如：等表示，如： ,ba矩陣，通常用矩陣，通常用等表示，如：等表示，如：注意注意 RxxxxxxxRnnnT ,),(2121 bxaxaxaxxxxnnnT 221121),( 叫做叫做 維向量空間維向量空間n叫做叫做 維向量空間維向量空間 中的中的 維超平面維超平面Rnn1 n(0,0,0)TnO L L12(,)Tnaaa L L12100010,001neee L LMMMMMM思考題思考題

3、比如一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修比如一個(gè)本科學(xué)生大學(xué)階段共修3636門門課程課程, ,成績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的成績(jī)描述了學(xué)生的學(xué)業(yè)水平，把他的學(xué)業(yè)水平用一個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量是學(xué)業(yè)水平用一個(gè)向量來(lái)表示，這個(gè)向量是幾維的？請(qǐng)大家再多舉幾例幾維的？請(qǐng)大家再多舉幾例, ,說(shuō)明向量的實(shí)說(shuō)明向量的實(shí)際應(yīng)用際應(yīng)用 在日常工作、學(xué)習(xí)和生活中，有許多問(wèn)在日常工作、學(xué)習(xí)和生活中，有許多問(wèn)題都需要用向量來(lái)進(jìn)行描述題都需要用向量來(lái)進(jìn)行描述.比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加比如平均成績(jī)、總學(xué)分等，維數(shù)還將增加答答3636維的維的 如果我們還需要考察其它指標(biāo)，如果我們還需要考察其它指標(biāo)，maaa,21:Ama

4、aa,2112,.ma aa:A行向量組行向量組列向量組列向量組b xaxaxann2211 .,22112222212111212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxamnmnmmnnnn12,na aa b二、二、111 ,0 1 2 ,1 0 1 TTTTTT（ ， ， ）（ ， ， ）（， ， ）.2 1,3 ,1T2(1, 1,1)T (0,1,2)T ( 1,0,1)T (2, 2,2)T(0,1,2)T ( 1,0,1)T ，對(duì)于任何一，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù)組實(shí)數(shù)給定向量組給定向量組12,n L L，12,nk kkL L，稱向量，稱向量1122nnkkkL L為向量組為向

5、量組A的的.12,nk kkL L，稱為，稱為線性組合的系數(shù)線性組合的系數(shù). n ，2112,n L L，,21nkkk1122( )nnkkk L L n ，21 n ，21,21nkkknnkkk 2211nkkk,21nkkk,21舉例：舉例：12,n L L，12000nQLQL12,nnx xx L LT T（， ）neee,21，1 122nnnx ex ex e QLQL12,n L L，j 12,n L L，112100n QLQL1231kk 20k 00 121 0 0, 31 0 0,0,(3,1,0,0)T T TT T（- - ， ，） ，（ ， ， ） 21 ，22

6、11 kk 21 ， 21,kk03 1122nnxxxL L有解；有解；其中其中12,n L L1212(,),(,)nnAB LLLL()( )R AR B 121 0 0, 31 0 2, 1,(3,0,4,1)TTTTT（- - ， ，） ，（ ， ，）1122kk 21 ，122,1kk 21 ， 21 ，1212(,),(, )B ()( )2R AR B121 0 0, 31 0 2, 1,(3,0,4,1)TTTTT（- - ， ，） ，（ ， ，） 21 ，41rr 312rr 432rr 23rr 212r 213rr 26b87 ，123412313153:,.21220

7、545Aaaaa 已知向量已知向量向量組向量組問(wèn)向量問(wèn)向量b能否由向量組能否由向量組 A 線性表示線性表示? 12341234,( , )a a a aBa a a a b 12312315362122805457rB ()3( )4R AR B因此向量因此向量 b 不能由向量組不能由向量組 A 線性表示線性表示.7100054010050001000001 12341234,( , )a a a aBa a a a b 12303221031,21013212aaab 123,a a a證明：向量證明：向量b b 能由向量組能由向量組并求出表示式并求出表示式.線性表示，線性表示，123(,)

8、Aa a a 123(, )Ba a a b 令令0322103121013212B 112233a xa xa xb1231/41/21/4xxxx123111424baaa故方程故方程即即的解為的解為1001/40101/20011/40000r123(,)Aa a a 123(, )Ba a a b 四、向量組的四、向量組的線性線性表示與等價(jià)表示與等價(jià)1212:,;:,msB L LL L；mmjjjjkkkb 2211,),2121 mjjjmkkk （使得使得存在數(shù)存在數(shù)，即對(duì)每個(gè)向，即對(duì)每個(gè)向量量若記若記1212,),)msAB LLLL（jb12,jjmjkkkL L從而從而()

9、m sijKk 110223 ，100010001 ，能由能由但不等價(jià)但不等價(jià). .線性表示，線性表示，11101 , 1001 ，100010001 ，與與等價(jià)等價(jià). . 1201:1 ,110A aa 123113:0,2 ,2111B bbb 已知向量組已知向量組證明：向量組證明：向量組A A與向量組與向量組B B等價(jià)等價(jià). .和和12(,)Aa a 123(,)Bb b b ：令：令01113( ,)1102210111rA B 101110111300000 01113( ,)1102210111rA B 101110111300000 ( )2R B ( )( )( ,)R AR

10、BR A B ()2 ( ,)2 R AR A B11| 0,0,02B 因此向量組因此向量組A A與向量組與向量組B B等價(jià)等價(jià). .AB證證明明： 123123,K 10111020,.011KQ Q可可逆逆123123:,;:,B 設(shè)設(shè)；且且112223313 1123123,K .AB因因此此 snssnnsnkkbbbbbbbccc2122221112112121),), （m nm ss nCAB m nm ss nCAB TsTTmsmmssTmTTaaaaaaaaa 2121222211121121rAB BA的的行行向向量量組組能能由由 的的行行向向量量組組線線性性表表示示1A= P B AB的的行行向向量量組組能能由由 的的行行向向量量組組線線性性表表示示AB的的行行向向量量組組與與 的的行行向向量量組組等等價(jià)價(jià)PB = PA 可可逆逆陣陣 , ,使使得得cABQB = AQ 可可逆逆陣陣 , ,使使得得BA的的列列向向量