湖南衡陽市2015屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(理)試題 掃描版含答案

1、 2015屆高中畢業(yè)班聯(lián)考（二）理科數(shù)學參考答案8. D 設底面邊長為X,球半徑為r,則4=,得r2=,又由題意得r2=x2+(x)2,解得x=1,故三棱柱的側面積為6.9. A 試題分析： ，所以f(x)單調(diào)遞增，且為奇函數(shù).由題意得即：.作出表示的區(qū)域如圖所示：.設，由得.結合圖形可知，即. 10. C 的通項Tr+1=(x2)5-r(x-3)r=x10-5r,令10-5r=0得r=2,則常數(shù)項為×=2,f(x)是以2為周期的偶函數(shù).因為區(qū)間-1,3是兩個周期,所以在區(qū)間-1,3內(nèi)函數(shù)g(x)=f(x)-kx-2k有4個零點可轉(zhuǎn)化為f(x)與r(x)=kx+2k有四個交點.當k=

2、0時,兩函數(shù)圖象只有兩個交點,不合題意,當k0時,因為函數(shù)r(x)的圖象恒過點(-2,0),則若使兩函數(shù)圖象有四個交點,必有0<r(3)1,解得0<k二.填空題:11. 2 由題意得，的普通方程：，的普通方程：， 因為曲線的極坐標方程是，化為直角坐標方程為 因為與分曲線所成長度相等的四段弧，所以直線與圓 相交截得的弦長所對的圓心角是90°，則圓心到直線的距離，即,即 ，即不妨令，所以故答案為：12. 15 由題意得，ACQAPC=AQAP .設AQ=x,75=3x2,故x=5,AP=3x=1513.利用均值不等式可求得：314. 2 i15. 16. (1) (0，2)2

3、分 (2)3分(1)函數(shù)f（x）=-x2+mx+1是區(qū)間-1，1上的平均值函數(shù)，關于x的方程-x2+mx+1=在（-1，1）內(nèi)有實數(shù)根由-x2+mx+1=x2-mx+m-1=0，解得x=m-1，x=1又1（-1，1）x=m-1必為均值點，即-1m-110m2所求實數(shù)m的取值范圍是0m2（2）解：由題知lnx0=猜想：lnx0，證明如下：，令t=1，原式等價于lnt2t-,2lnt-t+<0令h（t）=2lnt-t+，則h（t）=，h（t）=2lnt-t+h（1）=0，得證lnx0三、解答題17. 解：（1）由已知條件，得 又 又當時，有 曲線段的解析式為 (2)如圖，1分作軸于點，在中，

4、 在中， 當時，即時：平行四邊形面積最大值為 18. 解：（I）設謀節(jié)目的投票結果是最終獲一等獎這一事件為A，則事件A包括：該節(jié)目可以獲2張“獲獎”票，或者獲3張“獲獎”票。甲、乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為，且三人投票相互沒有影響，6分 (II)所含“獲獎”和“待定”票數(shù)之和的值為0，1，2，3. ; ; . 8分因此的分布列為X0123P10分所以的數(shù)學期望為 . 12分19. (1)證：PA平面ABC，BC在平面ABC內(nèi)，PABC 1分又AD平面PBC，BC在平面ABC內(nèi) ，ADBC2分PA、AD在平面PAB內(nèi)且相交于A，BC平

5、面PAB3分而PB在平面PAB內(nèi)，BCPB4分(2)解：由(1)知BC平面PAB，AB在平面PAB內(nèi)，BCABAD平面PBC，其垂足D落在直線PB上，ADPB 設PA = x，則6分以為x軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(2，0，0)，Q(1，1，0)，P(0，0，)，C(2，2，0)BxPACDQzy設平面PBQ的法向量為n = (x，y，z)，則8分在RtABD中，AB = 2，則BD = 1 10分由已知是平面PBC的法向量二面角QPBC的余弦值為 12分20解：（1）（法一）點在拋物線上， 2分設與直線平行且與拋物線相切的直線方程為，由 得， ，由，得，則直線方程為兩直線、間

6、的距離即為拋物線上的點到直線的最短距離，有，解得或（舍去）直線的方程為，拋物線的方程為6分（法二）點在拋物線上， ，拋物線的方程為2分設為拋物線上的任意一點，點到直線的距離為，根據(jù)圖象，有，的最小值為，由，解得因此，直線的方程為，拋物線的方程為6分（2）直線的斜率存在，設直線的方程為，即，由 得，設點、的坐標分別為、，則， 9分10分由 得， 12分因此，存在實數(shù)，使得成立，且13分21. 解：（1）由已知， ， ， （1分）由可得 （2分）將代入，得對任意，有，即,所以，是等差數(shù)列 （4分）設數(shù)列的公差為，由，得，（1分）所以， （2分）所以，（4分）由已知，當時，而也滿足此式（5分）所以數(shù)

7、列、的通項公式為：， （6分）（3）由（2），得， （1分）則， （2分）不等式化為， （3分）（以下有兩種解法）解法一：不等式化為， （4分）設，則對任意恒成立 （5分）當，即時，不滿足條件當，即時，滿足條件 當，即時，函數(shù)圖像的對稱軸為直線， 關于遞減，只需，解得，故 （7分）綜上可得，的取值范圍是解法二：不等式化為對任意恒成立，即，（5分）設，任取、，且，則，故關于遞減 （6分）又且，所以對任意恒成立，所以因此，實數(shù)的取值范圍是 （7分）22. 解：（1）為奇函數(shù)，當時，則， 2分時， 的值域為 3分圖a（2）函數(shù)的圖象如圖所示，當時，方程有三個實根；當或時，方程只有一個實根；當或時，方

8、程有兩個實根（法一）：由，解得， 的值域為，只需研究函數(shù)在上的圖象特征設，令，得，當時，當時，圖b又，即，由，得，的大致圖象如圖所示根據(jù)圖象可知，當時，直線與函數(shù)的圖像僅有一個交點，則函數(shù)在上僅有一個零點，記零點為，則分別在區(qū)間、上，根據(jù)圖像，方程有兩個交點，因此函數(shù)有兩個零點 5分類似地，當時，函數(shù)在上僅有零點，因此函數(shù)有、這三個零點 6分當時，函數(shù)在上有兩個零點，一個零點是，另一個零點在內(nèi)，因此函數(shù)有三個零點 7分當時，函數(shù)在上有兩個零點，且這兩個零點均在內(nèi)，因此函數(shù)有四個零點 8分當時，函數(shù)在上沒有零點，因此函數(shù)沒有零點 9分（法二）： ，令，得， ，當時，當時，當時，取得極大值 圖c（

9、）當?shù)臉O大值，即時，函數(shù)在區(qū)間上無零點，因此函數(shù)無零點 （）當?shù)臉O大值，即時，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)有零點由圖可知方程有兩不等的實根，因此函數(shù)有兩個零點圖d（）當?shù)臉O大值且，圖e即時，在上單調(diào)遞增，因為，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在存在唯一零點，其中由圖可知方程有兩不等的實根，因此函數(shù)有兩個零點（）當?shù)臉O大值且，即時：圖f由，得，由，得，根據(jù)法一中的證明有 （）當時，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，其中由圖可知方程有兩不等的實根，因此函數(shù)有兩個零點（）當時，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點由圖可知方程有三個不等的實根，因此函數(shù)有三個零點圖g（）當時，函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有唯一零點，其中由圖可知方程有兩個不等的實根，因此函數(shù)有兩個零點 （）當時，圖h函數(shù)的圖像如圖所示，函數(shù)在區(qū)間有兩個零點，分別是和，其中由圖可知方程有一個實根，方程 有兩個非的不等實根，因此函數(shù)有三個零點 （）當時，函數(shù)的圖像如圖