東北大學(xué)線性代數(shù)_第六章課后習(xí)題詳解 二次型

1、教學(xué)基本要求：1.掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念.2.了解合同變換和合同矩陣的概念.3.了解實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形和規(guī)范形，掌握化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法.4.了解慣性定理.5.了解正定二次型、正定矩陣的概念及其判別方法.第六章 二次型本章所研究的二次型是一類函數(shù)，因?yàn)樗梢杂镁仃嚤硎荆遗c對(duì)稱矩陣一一對(duì)應(yīng)，所以就通過(guò)研究對(duì)稱矩陣來(lái)研究二次型.“研究”包括：二次型是“什么形狀”的函數(shù)？如何通過(guò)研究對(duì)稱矩陣來(lái)研究二次型？二次型是“什么形狀”的函數(shù)涉及二次型的分類.通過(guò)對(duì)稱矩陣研究二次型將涉及矩陣的“合同變換”、二次型的“標(biāo)準(zhǔn)形”、通過(guò)正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、慣性定理、正定二次型等.一、二次

2、型與合同變換1. 二次型n個(gè)變量x1,x2,xn的二次齊次函數(shù)f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2 +2a12x1x2+2a1nx1xn+2an-1 nxn-1xn (6.1)稱為一個(gè)n元二次型.當(dāng)系數(shù)aij均為實(shí)數(shù)時(shí)，稱為n元實(shí)二次型. (P131 定義6.1)以下僅考慮n元實(shí)二次型.設(shè)，那么f(x1,x2,xn)=xTAx. (6.2)式(6.2)稱為n元二次型的矩陣表示.例6.1(例6.1 P132)二次型f與對(duì)稱矩陣A一一對(duì)應(yīng)，故稱A是二次型f的矩陣，f是對(duì)稱矩陣A的二次型，且稱A的秩R(A)為二次型f的秩. (定義6.2 P132)由于二次型與對(duì)稱矩陣是一

3、一對(duì)應(yīng)的，所以從某種意義上講，研究二次型就是研究對(duì)稱矩陣.定義6.2 僅含平方項(xiàng)的二次型f(x1,x2,xn)=a11x12+a22x22+annxn2 (6.3)稱為標(biāo)準(zhǔn)形.系數(shù)a11,a22,ann僅取-1,0,1的標(biāo)準(zhǔn)形稱為規(guī)范形. (定義6.3 P132)標(biāo)準(zhǔn)形的矩陣是對(duì)角矩陣.二次型有下面的結(jié)論：定理6.1 線性變換下，二次型仍變?yōu)槎涡?可逆線性變換下，二次型的秩不變. (定理6.1 P133)這是因?yàn)?2. 合同變換在可逆線性變換下，研究前后的二次型就是研究它們的矩陣的關(guān)系.定義6.3 設(shè)A,B是同階方陣，如果存在可逆矩陣C，使B=CTAC，則稱A與B是合同的，或稱矩陣B是A的合

4、同矩陣.對(duì)A做運(yùn)算CTAC稱為對(duì)A進(jìn)行合同變換，并稱C是把A變?yōu)锽的合同變換矩陣. (定義6.4 P133)矩陣的合同關(guān)系具有反身性、對(duì)稱性、傳遞性.注意：(1)合同的矩陣(必須是方陣)必等價(jià)，但等價(jià)的矩陣(不一定是方陣)不一定合同. (P134)A與B合同 可逆矩陣C，B=CTACA與B等價(jià) 可逆矩陣P,Q，B=PAQ(2)合同關(guān)系不一定是相似關(guān)系，但相似的實(shí)對(duì)稱矩陣一定是合同關(guān)系. (推論1 P137)正交矩陣Q，Q-1AQ= QTAQ=B A與B既相似又合同合同變換的作用：對(duì)二次型施行可逆線性變換等價(jià)于對(duì)二次型的矩陣施行合同變換.如果B是對(duì)角矩陣，則稱f=yTBy是f=xTAx的標(biāo)準(zhǔn)形.

5、二、用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形1. 原理由第五章第三節(jié)知：對(duì)于實(shí)對(duì)稱陣A，存在正交矩陣Q，使Q-1AQ為對(duì)角矩陣(對(duì)角線上的元素為A的n個(gè)特征值).因此，二次型f=xTAx經(jīng)正交變換x=Qy就能化為標(biāo)準(zhǔn)形f=yT(QTAQ)y=yT(Q-1AQ)y.定理6.2 任意實(shí)二次型都可經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，且標(biāo)準(zhǔn)形中的系數(shù)為二次型矩陣的全部特征值. (定理6.2 P134)推論1 任意實(shí)對(duì)稱矩陣都與對(duì)角矩陣合同. (推論1 P137)推論2 任意實(shí)二次型都可經(jīng)可逆線性變換化為規(guī)范形. (推論2 P137)正交變換既是相似變換又是合同變換.相似變換保證矩陣有相同的特征值，化標(biāo)準(zhǔn)形則必須經(jīng)合同變換.所以，

6、正交變換是能把二次型化為“系數(shù)為特征值”的標(biāo)準(zhǔn)形的線性變換.2.用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的步驟用正交變換化二次型f=xTAx為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程與將實(shí)對(duì)稱陣A正交相似對(duì)角化的過(guò)程幾乎一致.具體步驟如下：(1)求出A的全部互異特征值1,2,s；(2)求齊次線性方程組(iE-A)x=(i=1,2,s)的基礎(chǔ)解系(即求A的n個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量)；(3)將每一個(gè)基礎(chǔ)解系分別正交化、規(guī)范化，得到n個(gè)正交規(guī)范的線性無(wú)關(guān)特征向量1,2,n；(4)正交相似變換矩陣Q=(1,2,n)，正交相似變換x=Qy把二次型f=xTAx變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形f=yT(QTAQ)y.例6.2(例6.2 P134)例6.3(例6.3 P135

7、)三、用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)除了正交變換，事實(shí)上，還存在其它的可逆線性變換能把二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形.舉例說(shuō)明如下.例6.4(例6.4 P139)例6.5(例6.5 P139)總結(jié)：用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程分兩種情形：(1)二次型中含有平方項(xiàng) 例如，若二次型中含有平方項(xiàng)a11x12，則把所有含x1的項(xiàng)集中起來(lái)配方，接下來(lái)考慮a22x22，并類似地配方，直到所有項(xiàng)都配成了平方和的形式為止.(2)二次型中不含平方項(xiàng)，只有混合項(xiàng)例如，若二次型中不含平方項(xiàng)，但有混合項(xiàng)2a12x1 x2，則令那么關(guān)于變量y1,y2,yn的二次型中就有了平方項(xiàng)，然后回到(1).四、正定二次型1. 慣性定理雖然把二次型化為

8、標(biāo)準(zhǔn)形的可逆線性變換不唯一，從而標(biāo)準(zhǔn)形也可能不唯一，但同一個(gè)二次型的所有標(biāo)準(zhǔn)形卻總滿足如下慣性定理.定理6.3(慣性定理) 設(shè)實(shí)二次型f=xTAx的秩為r，且在不同的可逆線性變換x=Cy和x=Dy下的標(biāo)準(zhǔn)形分別為f=1y12+2y22+ryr2, i0，f=1y12+2y22+ryr2, i0，則1,2,r與1,2,r中正數(shù)的個(gè)數(shù)相同. (定理6.3 P142)定義6.4 二次型f的標(biāo)準(zhǔn)形中的正(負(fù))系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為f的正(負(fù))慣性指數(shù). (定義6.5 P143)慣性定理指出，可逆變換不改變慣性指數(shù).推論 n階實(shí)對(duì)稱陣A與B合同的充分必要條件是A與B有相同的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù). (推論 P1

9、43)正慣性指數(shù)+負(fù)慣性指數(shù)=R(A). 正慣性指數(shù)=正特征值的個(gè)數(shù)，負(fù)慣性指數(shù)=負(fù)特征值的個(gè)數(shù).2. 二次型的分類二次型(/二次型的矩陣)的分類：(定義6.6-6.7 P143)由此，根據(jù)慣性定理可知，合同變換不改變實(shí)對(duì)稱矩陣的類型.3.正定二次型(正定矩陣)的判定定理6.4 n元實(shí)二次型f=xTAx為正定(負(fù)定)二次型的充分必要條件是f的正(負(fù))慣性指數(shù)等于n. (定理6.4 P143)定理6.5 n元實(shí)二次型f=xTAx為半正定(半負(fù)定)二次型的充分必要條件是f的正(負(fù))慣性指數(shù)小于n，且負(fù)(正)慣性指數(shù)為0. (推論1 P143)推論2 n階實(shí)對(duì)稱陣A正定(負(fù)定)的充分必要條件是A的n

10、個(gè)特征值全是正數(shù)(負(fù)數(shù))；A半正定(半負(fù)定)的充分必要條件是A的n個(gè)特征值為不全為正數(shù)(負(fù)數(shù))的非負(fù)數(shù)(非正數(shù)). (推論2 P143)例6.6(例6.6 P143)例6.7(例6.7 P144)例6.8(例6.8 P144)例6.9(例6.9 P144)定義6.4 設(shè)A=(aij)n，則行列式稱為A的k階順序主子式. (定義6.8 P144)定理6.6 n階實(shí)對(duì)稱矩陣A正定的充分必要條件是A的各階順序主子式都大于零；A負(fù)定的充分必要條件是A的所有順序主子式中奇數(shù)階的小于零而偶數(shù)階的大于零. (定理6.5 P144)例6.10(例6.10 P145)五、二次型應(yīng)用實(shí)例6-1 二次曲面圖形的判定

11、六、習(xí)題(P148)選擇題：1.提示： |1|=1>0, , 選D2.提示：f(x1,x2,x3)= x12+2x22+3x32-2x1x2+2x2x3 =(x1-x2)2+(x2+x3)2+2x32 正慣性指數(shù)為3，故選A3.提示：方法一 特征值為2,-1,-1，故選C. 方法二 |0|=0，排除A,B , |A|=2>0，排除D 選C4. B填空題：1.提示：f(x1,x2,x3)= x12+2x22+3x32+4x1x2+8x1x3-2x2x3.2. .錯(cuò)誤的解答：3.提示： 秩為2錯(cuò)誤的解答：正慣性指數(shù)為3，故秩為3. 事實(shí)上，線性變換y1= x1+x2, y2= x2-x

12、3, y3= x1+x3不可逆，故R(f)<3.4.提示：A可逆、對(duì)稱 A-1=(A-1)TAA-1 x=A-1y.5.提示：tE-A的特征值為t-1, t-2, t-n t >n.6.提示：方法一 與相似 3a=6 a=2 方法二 f(y1,y2,y3) =6y12 A有2個(gè)0特征值 R(A)=1 a=2方法三 f(y1,y2,y3)=6y12 A的特征值為6,0,0二次型的特征值為a+4, a-2, a-2 a+4=0, a-2=0 a=27.提示：A的各行元素之和為3 A(1,1,1)T=3(1,1,1)TR(f)=1 3是A的唯一非零特征值 標(biāo)準(zhǔn)形為f(y1,y2,y3)=

13、3y12或f(y1,y2,y3)=3y22或f(y1,y2,y3)=3y32解答題：1.參見P134-135的例6.2、例6.32.參見P139的例6.4、例6.53.參見P145的例6.104.(1)|5|=5>0, , t>2(2)|1|=1>0, , -4/5<t<05.提示：f=xTAx=xTUTUx=|Ux|20.因?yàn)閁可逆，故當(dāng)x時(shí)，Ux，從而f=|Ux|2>0，所以f為正定二次型(A=UTU是正定矩陣).6.提示：因?yàn)锳正定，故存在正交矩陣Q和正定對(duì)角矩陣D=diag(1,2,n)，使A=QDQT.令D1=diag()，則A=QDQT= QD1

14、D1TQT=UTU，其中U=(QD1)T.5、6兩題表明A是正定矩陣的充分必要條件是存在可逆矩陣U使A=UTU.7.提示：設(shè)對(duì)稱矩陣A與矩陣B合同，則存在可逆矩陣C，使CTAC=B. BT=(CTAC)T=CTAC=B，所以與對(duì)稱矩陣合同的矩陣必是對(duì)稱矩陣.8.提示：方法一 矩陣A與矩陣-A合同，則存在可逆矩陣C，使CTAC=-A.從而|CTAC|=|-A| |C|2·|A|=(-1)n|A| |A|(|C|2-(-1)n)=0|C|2=(-1)n |C|2>0，故n為偶數(shù) 方法二 A的正慣性指數(shù)= -A的負(fù)慣性指數(shù)A的負(fù)慣性指數(shù)= -A的正慣性指數(shù)A與-A合同 A與-A有相同

15、的正慣性指數(shù)和負(fù)慣性指數(shù) A的正慣性指數(shù)= A的負(fù)慣性指數(shù) n為偶數(shù)9.提示：因?yàn)镽(A)=2，所以k=3.(或由R(A)=2，有|A|=0，得k=3.)余下略.10.提示：與相似余下略.11. 提示：與相似余下略.12.提示：(1)A的特征值為1,1,0，Q的第3列是屬于0的特征向量，1的特征向量與其正交，易知為(2/2,0,-2/2)T和(0,1,0)T，是Q的前兩列.于是A=Qdiag(1,1,0)QT=.(2)A+E的特征值為2,2,1，所以A+E為正定矩陣.13.提示：(1)A的特征值為a-2,a,a+1.(2)二次型f的規(guī)范形為f(y1,y2,y3)=y12+y22，所以A有2個(gè)正

16、特征值，一個(gè)0特征值.由于a-2<a<a+1，所以a-2=0，故a=2.14.提示：A正定 A的任意特征值>0 |A|>0 A-1的任意特征值1/>0 A-1正定 A*的任意特征值|A|/>0 A*正定15.提示：x，xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 A+B正定16.提示：A與對(duì)角矩陣diag(1,2,n) (12n)相似 正交矩陣Q，QAQ=diag(1,2,n)當(dāng)分別取和時(shí)，得.17.提示：設(shè)是A的特征值，則3+2+-3=0，的值為1或復(fù)數(shù). 因?yàn)锳是實(shí)對(duì)稱矩陣，所以A的特征值全為1，因此A為正定矩陣.18.提示：A,B實(shí)對(duì)稱 A,B的特征

17、值都是實(shí)數(shù)A的特征值都大于a，B的特征值都大于b A-aE和B-bE正定 (若是A的特征值，則-a是A-aE的特征值) (A-aE)+(B-bE)正定，即A+B-(a+b)E正定 A+B的特征值都大于a+b.19.提示：必要性 設(shè)R(A)=n，令B=A，則AB+BTA=2A2為正定矩陣.充分性 設(shè)AB+BTA是正定矩陣，若R(A)<n，那么Ax=有非零解y. 因此，yT(AB+BTA)y=(Ay)TBy+ yTBT(Ay)=，這與AB+BTA正定矛盾，所以R(A)=n.20.提示：考慮二次型g(x,y,z)=2x2+4y2+5z2-4xz，由于， A的特征值全為正數(shù) g(x,y,z)=2

18、x2+4y2+5z2-4xz是橢球曲面 f(x,y,z)=2x2+4y2+5z2-4xz+2x-4y+1是橢球曲面附加題：1.設(shè)A為m階正定矩陣，B為m×n實(shí)矩陣，證明：BTAB為正定矩陣的充分必要條件為R(B)=n.提示：BTAB正定 x, xTBTABx=(Bx)TA(Bx)>0 x，有Bx Bx=只有零解 R(B)=n七、計(jì)算實(shí)踐實(shí)踐指導(dǎo)：(1)掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩的概念.(2)了解實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形式及其求法.(3)了解合同變換和合同矩陣的概念.(4)了解慣性定理和實(shí)二次型的規(guī)范形.(5)了解正定二次型、正定矩陣的概念及其判別法.例6.1 設(shè), 則在實(shí)數(shù)

19、域上與A合同的矩陣為D.(A); (B); (C); (D).(2008 數(shù)二 三 四)提示：合同的矩陣有相同的秩，有相同的規(guī)范形，從而有相同的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù).故選D.例6.2 已知二次型f(x1,x2,x3)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2的秩為2.(1)求a的值；(2)求正交變換x=Qy，把f化成標(biāo)準(zhǔn)形；(3)求方程f(x1,x2,x3)=0的解. (2005 數(shù)一)解 (1) 1+a=1-a a=0(2) 略.(3) f(x1,x2,x3)=0 (x1+x2)2+2x32=0 x1=-x2, x3=0 解為k(-1,1,0)T, kR例6.3

20、若二次曲面的方程x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz=4經(jīng)正交變換化為y12+4z12=4，則a= 1 . (2011 數(shù)一)提示：二次型f(x,y,z)=x2+3y2+z2+2axy+2xz+2yz經(jīng)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形f=y12+4z12，因此二次型矩陣與相似.所以.例6.4 設(shè)矩陣，則A與BB.(A)合同且相似； (B)合同但不相似；(C)不合同但相似； (D)既不合同也不相似. （2007 數(shù)一）解 即A的特征值為0,3,3.故A與B不相似.由于A與B有相同的正慣性指數(shù)與負(fù)慣性指數(shù)，所以A與B合同.故選B.例6.5 設(shè)A為3階非零矩陣，如果二次曲面在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)方程的圖形如下圖，