極坐標和參數(shù)方程基礎知識與重點題型

1、高中數(shù)學回歸課本校本教材24（一）基礎知識 參數(shù)極坐標1.極坐標定義：M是平面上一點，表示OM的長度，是，則有序實數(shù)實數(shù)對,叫極徑，叫極角；一般地，。2.常見的曲線的極坐標方程（1）直線過點M,傾斜角為常見的等量關系：正弦定理，；（2）圓心P半徑為R的極坐標方程的等量關系：勾股定理或余弦定理；（3）圓錐曲線極坐標：，當時，方程表示雙曲線；當時，方程表示拋物線；當時，方程表示橢圓.提醒：極點是焦點，一般不是直角坐標下的坐標原點。極坐標方程表示的曲線是雙曲線3.參數(shù)方程：（1）圓的參數(shù)方程： （2）橢圓的參數(shù)方程：（3）直線過點M,傾斜角為的參數(shù)方程：即，即注：，據(jù)銳角三角函數(shù)定義，T幾何意義是有

2、向線段的數(shù)量；如：將參數(shù)方程為參數(shù)化為普通方程為將代入即可，但是；4. 極坐標和直角坐標互化公式： 或，的象限由點(x,y)所在象限確定.（1）它們互化的條件則是：極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合.（2）將點變成直角坐標，也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。5. 極坐標的幾個注意點：（1）極坐標和直角坐標轉化的必要條件是具有共同的坐標原點(極點)如：已知圓的參數(shù)方程為 （為參數(shù)），若是圓與軸正半軸的交點，以圓心為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求過點的圓的切線的極坐標方程。如：已知拋物線，以焦點F為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，求拋物線的極坐標方程。即。（2）對極坐標中的極徑

3、和參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義認識不足如：已知橢圓的長軸長為6，焦距,過橢圓左焦點F1作一直線，交橢圓于兩點M、N，設,當為何值時，MN與橢圓短軸長相等？（3）直角坐標和極坐標一般不要混合使用：如：已知某曲線的極坐標方程為。（1）將上述曲線方程化為普通方程；（2）若點是該曲線上任意點，求的取值圍。（二）基本計算1.求點的極坐標：有序實數(shù)實數(shù)對,叫極徑，叫極角；如：點的直角坐標是，則點的極坐標為提示：都是點的極坐標.2. 求曲線軌跡的方程步驟： （1）建立坐標系；（2）在曲線上取一點P；（3）寫出等式；（4）根據(jù)幾何意義用表示上述等式，并化簡（注意：）；（5）驗證。如：長為的線段，其端點在軸和軸正

4、方向上滑動，從原點作這條線段的垂線，垂足為，求點的軌跡的極坐標方程（軸為極軸），再化為直角坐標方程.解：設點的極坐標為，則，且，點的軌跡的極坐標方程為.由可得， 其直角坐標方程為.3.求軌跡方程的常用方法：直接法：直接通過建立、之間的關系，構成,是求軌跡最基本的方法.待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù),代回方程代入法(相關點法或轉移法).如：從極點作圓的弦,求各弦中點的軌跡方程.解:設所求曲線上的動點的極坐標為,圓上的動點的極坐標為由題設可知,將其代入圓的方程得:.定義法：如果能夠確定動點軌跡滿足某已知曲線定義,則可由曲線定義直接寫出方程.交軌法(參數(shù)法)：當動點

5、坐標之間的關系不易直接找到,也沒有相關動點可用時,可考慮將、均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程.4.參數(shù)和極徑的幾何意義的運用：表示OM的長度；T幾何意義是有向線段的數(shù)量；如：已知過點的直線與軸正半軸、軸正半軸分別交于A B兩點，則AB最小值為提示：設傾斜角為，則或AB=，則，令，所以，注意：本題可以取傾斜角的補角為如 過拋物線的焦點作傾斜角為的直線，交拋物線于兩點，求線段的長度.解：對此拋物線有，所以拋物線的極坐標方程為，兩點的極坐標分別為和， ， .線段的長度為16.5.參數(shù)方程的應用-求最值：如：已知點是圓上的動點，（1）求的取值圍；（2）若恒成立，數(shù)的取值圍。

6、.（2）.如：在橢圓上找一點，使這一點到直線的距離的最小值.解：設橢圓的參數(shù)方程為， 當，即時，此時所求點為.C.選修4 4 參數(shù)方程與極坐標已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與軸的正半軸重合。若曲線C1的方程為，曲線C2的方程為。（1）將C1的方程化為直角坐標方程；（2）若C2上的點Q對應的參數(shù)為，P為C1上的動點，求PQ的最小值。提示：（1）（2）當時，得，點到的圓心的距離為(圖)xBAOP，所以的最小值為在極坐標系中，求經過三點O(0，0)，A(2，)，B(，)的圓的極坐標方程解：設是所求圓上的任意一點，則， 故所求的圓的極坐標方程為已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，

7、極軸與軸的正半軸重合.若直線的極坐標方程為.（1）把直線的極坐標方程化為直角坐標系方程；（2）已知為橢圓上一點（已知曲線C的參數(shù)方程為，）求到直線的距離的最大值.解：（1）直線l的極坐標方程，則，即，所以直線l的直角坐標方程為； （2）P為橢圓上一點，設，其中，則P到直線l的距離，其中所以當時，的最大值為在極坐標系中，圓的方程為，以極點為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），判斷直線和圓的位置關系解：消去參數(shù)，得直線的直角坐標方程為； 即，兩邊同乘以得，得的直角坐標方程為：, 圓心到直線的距離，所以直線和相交已知曲線的極坐標方程是，直線的參數(shù)方程是（為參數(shù)）（1）將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設直線與軸的交點是,是