數(shù)值分析總復(fù)習(xí)提綱

1、數(shù)值分析總復(fù)習(xí)提綱數(shù)值分析課程學(xué)習(xí)的內(nèi)容看上去比較龐雜，不同的教程也給出了不同的概括，但總的來說無非是誤差分析與算法分析、基本計(jì)算與基本算法、數(shù)值計(jì)算與數(shù)值分析三個(gè)基本內(nèi)容。在實(shí)際的分析計(jì)算中，所采用的方法也無非是遞推與迭代、泰勒展開、待定系數(shù)法、基函數(shù)法等幾個(gè)基本方法。一、誤差分析與算法分析誤差分析與算法設(shè)計(jì)包括這樣幾個(gè)方面：（一）誤差計(jì)算1、截?cái)嗾`差的計(jì)算截?cái)嗾`差根據(jù)泰勒余項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算?；镜膯栴}是，已知求n。例11：計(jì)算e的近似值，使其誤差不超過106。解：令f(x)=ex,而f（k)(x)=ex,f（k)(0)=e0=1。由麥克勞林公式，可知當(dāng)x=1時(shí)，故。 當(dāng)n9時(shí)，Rn(1)<

2、106，符合要求。此時(shí)，e2.718 285。2、絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差及誤差限計(jì)算絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差和誤差限的計(jì)算直接利用公式即可?；镜挠?jì)算公式是：e(x)x*xxdx 注意：求和差積商或函數(shù)的相對(duì)誤差和相對(duì)誤差限一般不是根據(jù)誤差的關(guān)系而是直接從定義計(jì)算，即求出絕對(duì)誤差或絕對(duì)誤差限，求出近似值，直接套用定義式或，這樣計(jì)算簡單。例12：測得圓環(huán)的外徑d1=10±0.05(cm)，內(nèi)徑d2=5±0.1(cm)。求其面積的近似值和相應(yīng)的絕對(duì)誤差限、相對(duì)誤差限。解：圓環(huán)的面積公式為： 所以，圓環(huán)面積的近似值為由上述討論，面積近似值的絕對(duì)誤差限為相對(duì)誤差為 相對(duì)誤差要化成百分?jǐn)?shù)。3、

3、絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系計(jì)算絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系依據(jù)如下結(jié)論討論：如果一個(gè)數(shù)其近似值是對(duì)x*的第n+1位進(jìn)行四舍五入后得到的，則x有n位有效數(shù)字，且其絕對(duì)誤差不超過 ，即 。如果一個(gè)數(shù)的近似值是對(duì)x*的第n+1位進(jìn)行四舍五入后得到的，則x有n位有效數(shù)字，且其絕對(duì)誤差不超過 ，即 。設(shè)是x*的具有n位有效數(shù)字的近似值，則其相對(duì)誤差限為反之，若x的相對(duì)誤差限則x至少具有n位有效數(shù)字。例1.3：求的近似值，使其絕對(duì)誤差不超過。解：因?yàn)樗裕傻男问?，有。而，所以，由定?，n=4，所以近似值應(yīng)保留4位有效數(shù)字。則。 例14：要使的近似值的相對(duì)誤差不超過，應(yīng)取幾位有效數(shù)字？（

4、5）解：設(shè)取n個(gè)有效數(shù)字可使相對(duì)誤差小于，則 ，而，顯然，此時(shí)， ，即，也即所以，n=5。例15：已知近似數(shù)x的相對(duì)誤差限為0.3,問x至少有幾個(gè)有效數(shù)字？解：設(shè)x有n位有效數(shù)字，其第一位有效數(shù)字按最不利情況取為9，則由上可得，n2.2，所以取n=2。指出：也可以按首位為1，9分別計(jì)算，取較小者。4、計(jì)算方法的余項(xiàng)計(jì)算各種計(jì)算方法的余項(xiàng)的計(jì)算根據(jù)相應(yīng)的余項(xiàng)定理進(jìn)行。（二）誤差分析精度水平的分析主要依據(jù)兩個(gè)結(jié)論：相對(duì)誤差越小，近似數(shù)的精確度越高。一個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字越多，它的相對(duì)誤差越小，也就越精確。反之亦然。例1.6： 測量一個(gè)長度a為400米，其絕對(duì)誤差不超過0.5米，測量另一長度b為20米

5、，其絕對(duì)誤差不超過0.05米。問，哪一個(gè)測量的更精確些？解：顯然，a < b所以測值a更準(zhǔn)確一些。答：測值a更準(zhǔn)確一些。指出：衡量測量工作的好壞用相對(duì)誤差。解決這樣的題目就是三個(gè)步驟：第一，求出兩個(gè)相對(duì)誤差。第二，比較兩個(gè)相對(duì)誤差的大小。第三，結(jié)論。（三）算法分析1、穩(wěn)定性分析算法的穩(wěn)定性通過對(duì)計(jì)算的誤差的擴(kuò)縮情況進(jìn)行分析。例17：設(shè)近似值T0=S0=35.70具有四位有效數(shù)字，計(jì)算中無舍入誤差，試分析分別用遞推式和計(jì)算T20和S20所得結(jié)果是否可靠。解：設(shè)計(jì)算Ti的絕對(duì)誤差為e(Ti)=Ti*Ti，其中計(jì)算T0的誤差為，那么計(jì)算T20的誤差為 e(T20)=T20*T20（5T19*1

6、42.8）（5T19142.8）=5(T19*T19) 5e(T19)=52e(T18)=520e(T0)顯然誤差被放大，結(jié)果不可靠。同理，誤差縮小，結(jié)果可靠。指出：注意理論分析，因此初始近似值本身是不必要的。2、收斂性分析算法的收斂性分析主要是迭代法解方程的收斂性分析和迭代法解方程組的收斂性分析，其他計(jì)算方法的收斂性分析一般在具體計(jì)算過程中體現(xiàn)。（1）迭代法收斂性判定的基本結(jié)論是：定理（迭代法基本定理）：對(duì)于任意的fRn，和任意的初始向量x(0)Rn，迭代法x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,) 收斂的充分必要條件是迭代矩陣B的譜半徑(B)1。推論：若，則迭代格式x(k+1)=Bx

7、(k)+f(k=0,1,2,)收斂。（2）判定雅可比迭代法、高斯賽德爾迭代法收斂的基本依據(jù)是：定理： 設(shè)線性方程組Ax=b，其系數(shù)矩陣為則雅可比迭代法迭代矩陣的特征值滿足如下條件：；高斯賽德爾迭代法迭代矩陣的特征值滿足如下條件：。(3)系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣的方程組的迭代法收斂性： 定理：系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)的線性方程組，它的雅可比迭代和高斯賽德爾迭代都是收斂的。指出：迭代法基本定理是一般結(jié)論，對(duì)任意迭代法的收斂性都能分析。限定雅可比迭代法和高斯-賽德爾迭代法則不必應(yīng)用基本定理，以回避求迭代矩陣。例18：已知線性方程組求解這個(gè)方程組的雅可比迭代法和高斯賽德爾迭代法是否收斂？解：，令，則，

8、所以(BJ)=0<1所以雅可比迭代法收斂。而，所以(BG-S)=2>1所以高斯賽德爾迭代法發(fā)散。二、基本計(jì)算與基本算法（一）秦九韶算法秦九韶算法是一種求多項(xiàng)式的值的計(jì)算方法。對(duì)任意給定的x，計(jì)算代數(shù)多項(xiàng)式的值，可以利用下面的方法計(jì)算： 這種算法就是著名的秦九韶算法。是我國宋朝偉大的數(shù)學(xué)家秦九韶的偉大發(fā)現(xiàn)。秦九韶算法可以寫成遞推的形式：具體計(jì)算式，遞推格式是采用如下表格形式進(jìn)行計(jì)算：根據(jù)遞推規(guī)則，計(jì)算的過程是要把橫線上面每一豎列的兩個(gè)數(shù)相加得橫線下的數(shù)。其中ak由多項(xiàng)式給出，而每一個(gè)xsk+1則由前一列中的sk+1與已知數(shù)x相乘得出。所以可以由最前一列逐步遞推計(jì)算出最后結(jié)果。例21：

9、用秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式在x=2處的值p(2)。解：將所給多項(xiàng)式的系數(shù)按降冪排列，缺項(xiàng)系數(shù)為0。 計(jì)算過程如下：s7a71。x.s72。s6=a6+xs7=-2+2=0（豎向相加）重復(fù)以上過程。s0=189。所以，p(2)9。（二）有效的基本算法所謂有效的基本算法是指，根據(jù)算法設(shè)計(jì)的原則，設(shè)計(jì)出的一些求值計(jì)算的基本算法，這些算法避免了兩個(gè)相近的數(shù)相減、較小的數(shù)作除數(shù)等使得計(jì)算誤差增大的問題，減少了計(jì)算次數(shù)，通過調(diào)整計(jì)算順序避免了大數(shù)吃小數(shù)。例22：指出下列各題的合理計(jì)算途徑（對(duì)給出具體數(shù)據(jù)的，請(qǐng)算出結(jié)果）11cos1（三角函數(shù)值取四位有效數(shù)字）2（對(duì)數(shù)函數(shù)值取六位有效數(shù)字）3 (其中x的絕對(duì)值很

10、小）4x1275解：1 2 3 4x127x·x2·x4·x8·x16·x32·x64 5由小到大依次相加。 注意：能求出值來的求值。（三）數(shù)值分析的基礎(chǔ)計(jì)算1、矩陣分解主要包括LU分解和喬累斯基分解。矩陣的手算分解就是應(yīng)用矩陣乘法。注意1注意分解式的格式。2分解計(jì)算要認(rèn)真。3注意分解的順序。先求U的第一行，再求L的第一列。矩陣的LU分解中，L是單位下三角陣，U為上三角陣，即，注意L的對(duì)角線元素都是1。喬累斯基分解的結(jié)構(gòu)是A=PTP。注意：1矩陣A是對(duì)稱正定矩陣，則分解前必須聲明“矩陣A是對(duì)稱正定矩陣，可以進(jìn)行喬累斯基分解”。2P是上

11、三角矩陣。例23：設(shè)有矩陣，作矩陣A的LU分解。解：對(duì)矩陣，設(shè)先計(jì)算U的第一行，由矩陣乘法，有再計(jì)算L的第一列，由矩陣乘法，有然后計(jì)算U的第2行所以2、求范數(shù)和條件數(shù)1常用的向量范數(shù)有2常用的矩陣范數(shù)有矩陣的1范數(shù)（列范數(shù)）：；矩陣的2范數(shù)（譜范數(shù)）：；其中稱為矩陣B的譜半徑。(B)是矩陣B的特征值。矩陣的范數(shù)（行范數(shù)）：3矩陣A的條件數(shù)為例24：計(jì)算向量的各種范數(shù)。解：，。例25：給定矩陣，求。解：因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以的特征多?xiàng)式為：，解得。所以。3、求差分和差商求差商和差分應(yīng)用差商表和差分表進(jìn)行。差商表如下：xkf(xk )一階差商二階差商三階差商x0f(x0 )fx0 ,x

12、1 x1f(x1 )fx0 ,x1 ,x2 fx1 ,x2 fx0 ,x1 ,x2 ,x 3 x2f(x2 )fx1 ,x2 ,x 3 fx2 ,x 3 x3f(x 3)差分表如下：xk yk一階差分二階差分三階差分x0y0y0x1y12 y0y1 3y0x2y2 2y1y2x3y3三、數(shù)值計(jì)算與數(shù)值分析（一）插值與擬合方法包括拉格朗日插值、牛頓插值、等距節(jié)點(diǎn)插值、分段插值、保形插值（埃爾米特插值）、樣條插值等插值方法和最小二乘法。1、插值方法(1)拉格朗日插值多項(xiàng)式有兩種求法，第一種是待定系數(shù)法，第二種是直接利用拉格朗日插值多項(xiàng)式的基函數(shù)法。建議應(yīng)用待定系數(shù)法。例31:已知函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)

13、1，0，1處的值分別是0.3679,1.000,2.7182，用待定系數(shù)法和插值基函數(shù)法兩種方法求出拉格朗日插值。解1：設(shè)所求的多項(xiàng)式為，把已知條件代入得解之得所以。解2：由插值基函數(shù)公式代入插值公式得即。(2)牛頓插值和等距節(jié)點(diǎn)插值在求出差商或差分后直接套插值公式。(3) 構(gòu)造埃爾米特插值仍然采用待定系數(shù)法和基函數(shù)法。例32：已知，求三次的埃爾米特插值多項(xiàng)式H(x)。解：設(shè)，則，由插值條件得解之得，所以。例33：設(shè)f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且試用兩種方法構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式H(x)，使其滿足。解一（待定系數(shù)法）：解：設(shè)，則，由插值條件得解之得，所以。解二（基函數(shù)法）：解：設(shè)，

14、因?yàn)榫€性拉格朗日插值基函數(shù)為，由得同理由得則。指出：待定系數(shù)法是求插值多項(xiàng)式的基本方法，而埃爾米特插值的基函數(shù)法構(gòu)造方法及其余項(xiàng)分析方法是非標(biāo)準(zhǔn)插值構(gòu)造及余項(xiàng)討論的一般方法。(4)樣條插值根據(jù)邊界條件不同求解不同的方程組解決。(5)各種標(biāo)準(zhǔn)插值都有分段插值，分段插值的精度僅受局部數(shù)據(jù)影響。(6)非標(biāo)準(zhǔn)插值是重要的插值問題。非標(biāo)準(zhǔn)插值在一些論著中歸為埃爾米特插值。例34：設(shè)f(x)在-4,4有連續(xù)的4階導(dǎo)數(shù)，且(1)試構(gòu)造一個(gè)次數(shù)最低的插值多項(xiàng)式p(x)，使其滿足 (2)給出并證明余項(xiàng)f(x)-p(x)的表達(dá)式。解：(1)由例33可以求出滿足的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。設(shè)，則p(x)滿足，由得，所

15、以。(2)余項(xiàng)具有如下結(jié)構(gòu)作輔助函數(shù)則顯然在點(diǎn)處有6個(gè)零點(diǎn)（其中0，3是二重零點(diǎn)），即，不妨假設(shè)。由羅爾定理，存在，使得，再注意到，即有5個(gè)互異的零點(diǎn)再次由羅爾定理得，存在，使得第三次應(yīng)用羅爾定理得，存在使得，第四次應(yīng)用羅爾定理得，存在使得，第五次應(yīng)用羅爾定理得，存在使得注意到（中p(t)是4次函數(shù)，其5次導(dǎo)數(shù)為0）。所以，代入余項(xiàng)表達(dá)式，有 。指出：本題是非標(biāo)準(zhǔn)插值問題，所謂非標(biāo)準(zhǔn)插值是指不同于拉格朗日插值等條件規(guī)范、插值多項(xiàng)式已有現(xiàn)成結(jié)論的插值。比較簡單的求解方法有：求插值問題的基本方法是待定系數(shù)法。以本題來說，有5個(gè)條件，可以確定一個(gè)4次的插值多項(xiàng)式，設(shè)為，將條件代入，建立一個(gè)5元的線性

16、方程組，求出各參數(shù)，就可以求出插值多項(xiàng)式。求插值問題的第二種方法是基函數(shù)法，即根據(jù)給定條件設(shè)定插值多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)和各基函數(shù)的結(jié)構(gòu)，根據(jù)條件確定基函數(shù)即可。具體方法與拉格朗日插值基函數(shù)構(gòu)造和埃爾米特插值基函數(shù)構(gòu)造相似。以標(biāo)準(zhǔn)插值為基礎(chǔ)的方法是一種更簡單的方法，本題中，首先利用4個(gè)條件構(gòu)造一個(gè)埃爾米特插值，在此基礎(chǔ)上設(shè)定所求插值多項(xiàng)式的一般形式，保證其滿足埃爾米特插值條件，代入未利用條件解方程（組），求出其中的未知參數(shù)，即可求出插值多項(xiàng)式。在構(gòu)造新的插值多項(xiàng)式中，要求新的插值多項(xiàng)式仍然以H(x)的插值節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)，則可以寫成的形式，因?yàn)椋员赜幸虼?，3是g(x)的兩個(gè)2次零點(diǎn)，則g(x)包含因子。

17、又因?yàn)槎囗?xiàng)式p(x)是4次的，g(x)也應(yīng)該是4次的，所以可以設(shè)g(x)為。本題也可以先利用構(gòu)造一個(gè)2次插值多項(xiàng)式，以此為基礎(chǔ)構(gòu)造4次插值多項(xiàng)式，的結(jié)構(gòu)是，滿足再根據(jù)列出兩個(gè)線性方程組成的方程組，求出a、b兩個(gè)參數(shù)，即可求出所求的插值多項(xiàng)式。求插值函數(shù)余項(xiàng)的常用方法是：應(yīng)具有如下形式（以本題為例）作輔助函數(shù)則在點(diǎn)處有6個(gè)零點(diǎn)（其中0，3是二重零點(diǎn)）。反復(fù)應(yīng)用羅爾定理，直到至少有一個(gè)，使得。此時(shí)即有代入余項(xiàng)表達(dá)式即可求出。這里，作輔助函數(shù)的方法和中值定理討論中作輔助函數(shù)方法一樣。指出：插值公式的構(gòu)造方法主要就是待定系數(shù)法和基函數(shù)法，埃爾米特插值這兩種方法的構(gòu)造與余項(xiàng)討論都非常充分，是重要內(nèi)容。不

18、僅應(yīng)該能構(gòu)造典型的插值公式，還要能構(gòu)造一般的具有特定條件的插值公式。用待定系數(shù)法構(gòu)造埃爾米特插值等各種插值的方法也是必須掌握的。(7)推廣的牛頓插值法埃爾米特插值（廣泛意義上的）也可以用構(gòu)造差商表的方法求出，尤其是插值條件中出現(xiàn)了高階導(dǎo)數(shù)的情況，利用構(gòu)造差商表的方法按牛頓插值多項(xiàng)式求埃爾米特插值很方便。具體做法如下：（1）把具有一階導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)看成2重節(jié)點(diǎn)（即2個(gè)數(shù)據(jù)節(jié)點(diǎn)），具有2階導(dǎo)數(shù)的節(jié)點(diǎn)看作3重節(jié)點(diǎn)，以此類推。（2）用公式計(jì)算(n+1）個(gè)相同節(jié)點(diǎn)的差商。（3）求出相同節(jié)點(diǎn)處的差商后按正常的差商表計(jì)算方法求差商表。（4）按牛頓插值多項(xiàng)式寫法求出埃爾米特插值。這種方法稱為推廣的牛頓插值法。例3

19、.5：已知函數(shù)y=f(x)的函數(shù)值、導(dǎo)數(shù)值如下表：100406125利用所給條件構(gòu)造f(x)的埃爾米特插值多項(xiàng)式。解：由公式得得差商表為一階差商二階差商三階差商四階差商五階差商104044010430011042221123512所以，5次埃爾米特插值多項(xiàng)式為。2、擬合方法最小二乘法是重要的數(shù)據(jù)擬合方法。其求解過程為：1分析數(shù)據(jù)，將已知數(shù)據(jù)描畫在坐標(biāo)紙上，得到一個(gè)散點(diǎn)圖，從圖上可以直觀地看出數(shù)據(jù)的變化趨勢。2建立數(shù)學(xué)模型。根據(jù)上述分析，確定擬合函數(shù)的類型。3應(yīng)用最小二乘法，確定擬合函數(shù)中的未知參數(shù)。4寫出擬合函數(shù)。例36：給定一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表x2468y1.12.84.97.2求x、y的函數(shù)

20、關(guān)系。解：先做出草圖，從圖上可以看出，這些點(diǎn)的分布接近于一條直線。設(shè)y=a+bx，則對(duì)a、b分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得將數(shù)據(jù)代入得化簡得解之得則x與y的函數(shù)關(guān)系是y=-1.1+1.02x。例3.7：給定數(shù)據(jù)表x21012y01用兩種方法求其二次擬合曲線。解一：設(shè)所求的擬合函數(shù)為，則。對(duì)a、b、c分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得將各數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)值代入，得方程組為 解之得a=0.4086，b=0.42，c=0.0857，所以數(shù)據(jù)點(diǎn)所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為解二：設(shè)所求的擬合函數(shù)為，將數(shù)據(jù)代入方程得方程組的系數(shù)矩陣和右端向量為因?yàn)樗越庵胊=0.4086，b=0。42，c=0.0857，所以數(shù)據(jù)

21、點(diǎn)所反映的函數(shù)的近似關(guān)系為指出：解二依據(jù)的結(jié)論是：定理：是超定方程組Ax=b的最小二乘解的充分必要條件是是方程組的解。即。例38：已知試驗(yàn)數(shù)據(jù)x1925313844y190323490733978用最小二乘法求形如的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方誤差。解：設(shè)則對(duì)a、b分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得將數(shù)據(jù)代入得化簡得第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以1065進(jìn)一步化簡得解之得則x與y的函數(shù)關(guān)系是y=1.01+0.05x2。此時(shí)，平方逼近誤差為所以,均方誤差為。指出：均方誤差實(shí)際上就是按最小二乘法則確定的殘差。例39：用最小二乘法求方程組的近似解。分析：這是方程個(gè)數(shù)多于未知數(shù)個(gè)數(shù)的超定方程組，是矛盾方程組，用最

22、小二乘法求解。解：設(shè)方程組中各個(gè)方程的一般形式為，則對(duì)x、y分別求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得將數(shù)據(jù)代入得解之得指出：最小二乘法需要記住的是基本原理。第一，殘差表達(dá)式第二，對(duì)殘差求偏導(dǎo)數(shù)，使每一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都等于0，列方程組第三，解方程組，求出a,b,第四，寫出擬合函數(shù)。（二）解非線性方程的方法非線性方程的數(shù)值求解問題包括如下基本問題：判斷方程根的個(gè)數(shù)，求隔根區(qū)間判斷方程f(x)0有幾個(gè)根并求隔根區(qū)間的方法過程是：(a)求函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)y=f(x)。(b)令f(x)0，用零點(diǎn)將函數(shù)定義域分成幾個(gè)不同的區(qū)間，確定函數(shù)在各區(qū)間上的單調(diào)性。(c)求出函數(shù)在區(qū)間端點(diǎn)上的值，判斷函數(shù)值是否發(fā)生變號(hào)，

23、排除不存在根的區(qū)間。(d)確定根的個(gè)數(shù)和隔根區(qū)間。例310：判斷方程2x3-3x2-12x+25=0有幾個(gè)實(shí)根，并求出其隔根區(qū)間。解：令y=2x3-3x2-12x+25，y=6x2-6x-12=6(x2-x-2)=6(x+1)(x-2)當(dāng)y=0時(shí)，有x=-1，x=2，而且函數(shù)沒有不可導(dǎo)點(diǎn)。顯然，當(dāng)x-1時(shí)，x+10，x-20，所以，y=6(x+1)(x-2)0，同理可以判斷出在其他幾個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)的符號(hào)。進(jìn)一步可以得導(dǎo)函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性。列表如下：x(-,-1)-1(-1,2)2(2,+)y+00+y325y(-1)=320，y(2)=50，在區(qū)間（-1,2）上方程無根。又 y(2)=5

24、0，函數(shù)在（2，）上又是單調(diào)增的，函數(shù)值不可能再變號(hào)，在區(qū)間(2，)上方程也沒有根。函數(shù)在（，1）上單調(diào)，方程在該區(qū)間上最多有一個(gè)根。而y(2)210，y(-3)=-200，方程在區(qū)間(3，2)內(nèi)有一個(gè)根，區(qū)間(3，2)是方程的隔根區(qū)間。所以方程2x3-3x2-12x+25=0有一個(gè)根，隔根區(qū)間為（3，2）。用二分法求根的初始近似值用二分法求根的初始近似值要注意兩個(gè)問題，第一是要進(jìn)行確定二分的次數(shù)。在二分法中， 。如果 這里為預(yù)定的已知精確度，知道了就可以求出n來。而第二個(gè)問題就是每一步都要進(jìn)行函數(shù)值符號(hào)的判定。例311：用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0在區(qū)間（1，1.5）內(nèi)的實(shí)根，要

25、求誤差不超過0.005。解：因?yàn)閒(1)0，f(1.5)0，所以，方程在區(qū)間（1，1.5）上有根。由有，2n+1200，2n100。又因?yàn)?7128100所以n7，即只需要二分7次即可。列表討論如下：nanbnxnf(xn)的符號(hào)11.01.51.2521.251.51.37531.251.3751.31341.3131.3751.34451.3131.3441.32961.3131.3291.32171.3211.3291.325x*x7=1.325。用切線法（Newton法）解方程求解方程f(x)=0的切線法迭代格式為 例312：用切線法求方程x=e-x 在x=0.5附近的根。解：首先將方

26、程x=e-x 改寫為xex 10，于是有f(x)=xex 1，相應(yīng)的迭代公式為取x0=0.5為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：k0123xk0.50.571020.567160.56714所以，方程的近似根為。指出：一般地，當(dāng)滿足預(yù)定精度的有效數(shù)字全都相同時(shí)，就可以終止計(jì)算過程，輸出結(jié)果。用切線法求算術(shù)根對(duì)于給定的正數(shù)c，應(yīng)用切線法解二次方程 x2-c0可以導(dǎo)出求開方值的計(jì)算程序 可以證明，這種迭代公式對(duì)于任意的初值都是收斂的。例313：計(jì)算115的算術(shù)平方根。解：取初值x0=10，對(duì)于c=115利用迭代3次，得k01234xk1010.75000010.72383710.7238051

27、0.723805所以，115的算術(shù)平方根的近似值為用割線法解方程割線法的迭代公式為：例314：用割線法求方程在初始值鄰近的實(shí)根（取，要求精確到）。解: 因?yàn)樗杂校鄳?yīng)的迭代公式為取x0=2為迭代的初始近似值。迭代的結(jié)果列表如下：kxk xk-xk-1f(xk)f(xk)- f(xk-1)021119-0.10.159-0.841218811-0.01890.0130-0.146318794-0.00170.0001-0.0129418794因?yàn)?符合計(jì)算的精度要求,所以。（三）解線性方程組的方法解線性方程組的數(shù)值方法包括兩大類。第一大類是直接解法，包括高斯消元法、高斯列選主元素消元法、高斯全

28、選主元素消元法、矩陣分解方法。第二類是迭代方法，包括雅可比迭代法、高斯賽德爾消元法、超松弛法。1、消元法用消元法解方程組要注意：1消元的過程要規(guī)范完整。2要明確寫出選主元素的過程。3消元后的方程組寫成階梯形。4注意解的格式，要寫成的形式，注意解向量的各個(gè)分量的次序。例315：用高斯消元法求解線性方程組：。解：，消去第二、三個(gè)方程的，得：再由消去此方程組的第三個(gè)方程的，得到三角方程組：回代，得：，所以方程組的解為例316：用高斯列選主元素消元法解線性方程組解：先選第一列主元為，將第一個(gè)方程與第二個(gè)方程交換，消去得：再選第二列主元為，交換第二行與第三行，消去得三角形方程組：回代求得方程組的解，所以

29、方程組的解為。例317：用高斯全選主元素消元法解線性方程組解：選全主元為，交換第一個(gè)方程與第二個(gè)方程，消去，得：再在此方程組的后兩個(gè)方程中選主元，交換第二與第三個(gè)未知數(shù)，消去得三角形方程組：回代得方程組的解，即原方程組的解為：指出：全選主元素交換兩個(gè)未知數(shù)時(shí)，方程組里所有方程中的兩個(gè)未知數(shù)都要交換，同時(shí)要交換相應(yīng)的系數(shù)和符號(hào)。注意是方程組到方程組的變形。2、矩陣分解法(1)LU分解法解線性方程組(2)喬累斯基分解法解線性方程組3、迭代法用迭代法解方程組的一般格式是（以三元為例）：1從3個(gè)方程中分離出未知變量，將方程組改寫成便于迭代的形式得:2據(jù)此建立迭代格式得3取迭代初值進(jìn)行迭代得kx(k)1

30、x(k)2x(k)300001234所以方程組的解為。注意：1分離變量時(shí)，一定要使得右邊不再含有要求解的相應(yīng)分量。和證明與理論分析不同，不要追求式子的對(duì)稱。2迭代表格就的是有格的，要?jiǎng)澇霰砀駚怼?迭代終止的條件，一般是要達(dá)到規(guī)定的精度水平。通常是兩次迭代的結(jié)果一樣時(shí)終止，也可完成規(guī)定的迭代次數(shù)終止。4注意迭代格式中的上標(biāo)要加小括號(hào)。雅可比迭代法的迭代格式是：高斯賽德爾迭代法的迭代格式是：例318：用雅可比迭代法求解線性方程組（取初值為）。解：從三個(gè)方程中分離出未知變量，將方程組改寫成便于迭代的形式得，據(jù)此建立迭代格式得，取迭代初值進(jìn)行迭代得kx(k)1x(k)2x(k)300001135253

31、331114111所以方程組的解為。4、特殊線性方程組的解法求解三對(duì)角矩陣方程組的追趕法（四）數(shù)值積分與數(shù)值微分1、數(shù)值積分1經(jīng)典方法和牛頓科特斯方法本質(zhì)上來說，數(shù)值積分方法基本上是插值型積分方法。插值型積分方法主要是牛頓柯特斯積分公式，來之于幾何直觀的經(jīng)典方法主要是牛頓柯特斯積分公式，求數(shù)值積分時(shí)，這些方法都是直接套用公式。求數(shù)值積分的經(jīng)典方法包括矩形法、梯形法、拋物線法。實(shí)際求積分應(yīng)用的都是復(fù)合求積公式。（1）矩形法左矩形公式右矩形公式（2）梯形法（3）拋物線法（辛普森法）。例319：用三種基本積分公式計(jì)算（四等分積分區(qū)間）。解：將區(qū)間4等分，5個(gè)分點(diǎn)上的函數(shù)值為（取2位小數(shù)）x11.25

32、1.5y0.500.390.31x1.752y0.250.20（1）矩形法用矩形法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）或者 (2)梯形法用梯形法公式計(jì)算（取2位小數(shù)） (3)拋物線法用拋物線法公式計(jì)算（取2位小數(shù)）2變步長積分和龍貝格積分變步長梯形公式是復(fù)合梯形公式的重要發(fā)展，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行遞推化改造，則又成為龍貝格積分的基礎(chǔ)。所謂龍貝格積分實(shí)際上是一個(gè)逐次分半，逐步加速的數(shù)值積分方法。龍貝格積分需要依次應(yīng)用相應(yīng)的四個(gè)公式：。具體的計(jì)算過程列表如下：i01233代數(shù)精度方法以代數(shù)精度為標(biāo)準(zhǔn)獲得的設(shè)計(jì)構(gòu)造求積公式的方法，稱為代數(shù)精度法。代數(shù)精度法用待定系數(shù)法通過解方程組構(gòu)造數(shù)值積分公式。而代數(shù)精度方法應(yīng)用待定

33、系數(shù)法，其中包括了高斯積分方法。用代數(shù)精度法，一般是先求出待定系數(shù)，然后再繼續(xù)驗(yàn)證構(gòu)造出的公式的代數(shù)精度。所以求解過程分為兩步，第一步確定待定系數(shù)，第二步驗(yàn)證代數(shù)精度。當(dāng)需要確定m個(gè)系數(shù)時(shí)，需要m個(gè)方程組成的方程組，因此，就需要對(duì)f(x)=xk(k=0,1,2,m-1)進(jìn)行討論。例320：試確定一個(gè)具有三次代數(shù)精度的公式。解：分別取f(x)1，x，x2，x3，使求積公式準(zhǔn)確成立，則得下面的方程組。解之得A038，A198，A298，A338。由此得求積公式為當(dāng)將f(x)=x4，代入時(shí)，上式不能精確成立，故所得公式具有3次代數(shù)精度。指出：注意驗(yàn)證。不僅要能用待定系數(shù)法求積分公式，還要會(huì)用待定系數(shù)

34、法求微分公式，方法是一樣的。在本課程中，待定系數(shù)法作為一種基本的方法用于求拉格朗日插值、埃爾米特插值、一般條件差值、數(shù)值積分公式、數(shù)值微分公式，應(yīng)用廣泛。2、數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分的方法包括差商方法、拉格朗日插值方法、樣條插值方法、泰勒展開方法、待定系數(shù)法。數(shù)值微分的基本方法是中點(diǎn)法。中點(diǎn)公式為：例3.21：用中點(diǎn)公式求函數(shù)在x=2處的一階導(dǎo)數(shù)，結(jié)果取4位數(shù)字。解：對(duì)于函數(shù)來說，在x=2處數(shù)值微分的中點(diǎn)公式是取不同的步長，求出的導(dǎo)數(shù)近似值為h210.10.50.00010.50.36600.35640.35350.3000數(shù)值微分的待定系數(shù)法與數(shù)值積分的待定系數(shù)方法本質(zhì)上和實(shí)際應(yīng)用上都是一致的。例3

35、22：確定如下數(shù)值微分公式的系數(shù)使它具有盡可能高的代數(shù)精度。解：為了計(jì)算方便，令，把依次代入使其成為等式，得解之得所以此公式對(duì)于不成立，故其代數(shù)精度為2。（五）微分方程數(shù)值解法求解常微分方程初值問題的包括歐拉法、預(yù)測校正法、龍格庫塔法、亞當(dāng)姆斯方法?；A(chǔ)是歐拉法。用歐拉公式 求常微分方程的初值問題 的數(shù)值解的方法叫做歐拉法。例323：用歐拉法求初值問題的數(shù)值解。解：本初值問題的歐拉公式具體形式為yn+1=yn+h(xnyn) (n=0,1,2,3,)若取h=0.25，由初值y0=y(0)=0出發(fā)計(jì)算，所得數(shù)值結(jié)果如下：x0=0，y0=0；x1=0.25，y1=y0+0.25(x0y0)=0+0

36、.25(0-0)=0；x2=0.5，y2=y1+0.25(x1y1)=0+0.25(0.25-0)=0.0625；x3=0.75，y3=y2+0.25(x2y2)=0.0625+0.25(0.5-0.0625)=0.1719x4=1，y4=y3+0.25(x3y3)=0.1719+0.25(0.75-0.1719)=0.3164。例324：用歐拉公式求解初值問題當(dāng)x取步長為h=0.02，用歐拉公式解初值問題0,0.02,0.04,0.10時(shí)的解。 解：將代入歐拉公式，得本初值問題的歐拉公式的具體形式為：，（）取由初值y0=y(0)=0出發(fā)計(jì)算，所得數(shù)值結(jié)果如下：001.000010.020.9

37、82020.040.965530.060.948940.080.933650.100.9100指出：本例采用表格方式求解，解題過程更加清晰。四、數(shù)值分析基本方法總結(jié)數(shù)值分析中所采用的具體的基礎(chǔ)方法，主要包括泰勒展開、遞推與迭代、待定系數(shù)法、基函數(shù)法等。1、泰勒展開泰勒展開的本質(zhì)是用函數(shù)的泰勒展開式取代函數(shù)，以此獲得計(jì)算或比較上的便利。泰勒展開主要用于：（1）截?cái)嗾`差的計(jì)算（2）函數(shù)誤差的討論（3）改變算法，減少計(jì)算誤差（4）構(gòu)造牛頓迭代法（5）數(shù)值微分（6）求解常微分方程初值問題（7）構(gòu)造龍格庫塔法（8）構(gòu)造亞當(dāng)姆斯方法2、遞推與迭代遞推是從某一個(gè)位置向前推進(jìn)的策略。 如帶初值的遞推關(guān)系式是從

38、的值這個(gè)位置開始向前遞推。這里，每一個(gè)是不同的。又如是從的值這個(gè)位置遞推，每一個(gè)是不同的。迭代則是對(duì)某一個(gè)結(jié)果的反復(fù)加工，每一加工得到一個(gè)近似值，對(duì)于收斂的迭代，近似值序列以精確值為極限。3、待定系數(shù)法待定系數(shù)法是基本的數(shù)學(xué)方法，在數(shù)值分析中具有重要價(jià)值。（1）求拉格朗日插值多項(xiàng)式（2）求埃爾米特插值多項(xiàng)式（3）求非標(biāo)準(zhǔn)插值多項(xiàng)式（4）最小二乘法也可以認(rèn)為是一種待定系數(shù)法（5）代數(shù)精度法求數(shù)值積分（6）求數(shù)值微分（7）構(gòu)造龍格庫塔法（8）構(gòu)造亞當(dāng)姆斯方法4、基函數(shù)法基函數(shù)法構(gòu)造插值多項(xiàng)式的基礎(chǔ)方法。五、答題要點(diǎn)（一）、考試答卷基本要求（1）看清題目要求，按要求回答問題。如精確到哪一位、幾等分、

39、用什么方法等。超過精度要求也是錯(cuò)的。（2）沒有要求得按常規(guī)作，采用常規(guī)方法、簡單方法、自己熟練的方法。（3）注意規(guī)定的解題規(guī)范。（4）注意各類問題基本的解答格式和要素。如消元法是方程組到方程組的變形，迭代法上標(biāo)要有小括號(hào)等。（5）注意解題中所用到的基本公式。（6）有難度的問題，背過公式，能答成什么樣答成什么樣。（7）能記住公式但不會(huì)做，抄上公式也比空著或胡說好，至少說明你明白了，知道用哪個(gè)公式。（8）計(jì)算器。自己一個(gè)人用，基本的考試用計(jì)算器，沒有編程和存儲(chǔ)功能。（二）各種問題回答要求1、程序設(shè)計(jì)主要是編寫m函數(shù)文件，記住基本的數(shù)據(jù)、函數(shù)，記住課程中的基本算法、用到的函數(shù)，如解方程組的方法，LU

40、分解函數(shù)等，注意矩陣運(yùn)算和數(shù)組運(yùn)算。特別注意函數(shù)文件規(guī)范：（1）文件頭。第一句必須是：function <因變量>=<函數(shù)名>(<自變量>)（2）定義變量。（3）循環(huán)體（有時(shí)不止一個(gè)）for end（4）計(jì)算公式2、誤差分析與基本計(jì)算（1）截?cái)嗾`差用泰勒展開計(jì)算。（2）和差的相對(duì)誤差采用先求和差的絕對(duì)誤差和和差的近似值，用定義計(jì)算的方法。積商的相對(duì)誤差也可以先求出每一個(gè)因子的相對(duì)誤差再求它們的和（差）的方法作。在多數(shù)題目中，所謂求誤差實(shí)際上是求誤差限，此時(shí)商的相對(duì)誤差也是各個(gè)數(shù)的相對(duì)誤差的和。（3）絕對(duì)誤差、相對(duì)誤差、有效數(shù)字的關(guān)系討論嚴(yán)格按定理進(jìn)行，注意不同情況，誰決定誰。（4）迭代法收斂性分析，如果明確是雅可比迭代法、高斯賽德爾迭代法就用簡單方法。（5）穩(wěn)定性分析是理論分析，不能用特例說明，要