第二章地圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

1、l一、空間坐標(biāo)系l二、地圖比例尺l三、地圖定向u空間坐標(biāo)系u地圖比例尺u地圖定向 將橢球面上的客觀世界表現(xiàn)在有限的平面上,首先要實(shí)現(xiàn)由球面到平面的轉(zhuǎn)換.沿經(jīng)線直接展開?沿緯線直接展開?沿經(jīng)線直接展開?沿經(jīng)線直接展開? 可見，地球橢球面是不可展開的面。無論如何展開都會(huì)產(chǎn)生褶皺，拉伸或斷裂等無規(guī)律變形,無法繪制科學(xué)，準(zhǔn)確的地圖。因此應(yīng)采用地圖投影的方式。 垂直投影的概念 1.幾何投影（透視投影） 假想地球是一個(gè)透明體，光源位于球心，然后把球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上，就得到一張球面經(jīng)緯網(wǎng)投影。所不同的是，地圖投影面除了平面之外，還有可展成平面的圓柱面和圓錐面；光源除了位于球心之外，還可以在球面、球外

2、，或無窮遠(yuǎn)處等。象這樣利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到象這樣利用光源把地球面上的經(jīng)緯網(wǎng)投影到平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。平面上的方法叫做幾何投影或者幾何透視法。這是人們最早用來解決地球球面和地圖平面這一對(duì)矛盾的一種方法。2.解析法隨著科學(xué)生產(chǎn)的發(fā)展，幾何透視法遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能滿足編制各種類型地圖的需要，這樣推動(dòng)了地圖投影的發(fā)展，出現(xiàn)了解析法。所謂解析法就是不借助于幾何投影光源（而僅僅借助于幾何投影的方式），按照某些條件用數(shù)學(xué)分析法確定球面與平面之間點(diǎn)與點(diǎn)之間一一對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系。 X=f1(、) Y=f2(、)函數(shù)的f1f2具體形式，是由給定的投影條件確定的。有了這種對(duì)應(yīng)關(guān)系式，就可把球面上

3、的經(jīng)緯網(wǎng)交點(diǎn)表示到平面上了。一、變形的概念一、變形的概念 由于球面是一個(gè)不可直接展成平面的曲面，因此無論采用什么投影方法，投影后經(jīng)緯網(wǎng)的形狀與球面上的經(jīng)緯網(wǎng)形狀不完全相似。這表明地圖上的經(jīng)緯網(wǎng)發(fā)生了變形。因而根據(jù)地理坐標(biāo)展繪在地圖上的各種地面事物也必然發(fā)生了變形。為了正確使用地圖，必須了解投影后產(chǎn)生得變形，所以投影變形問題是地圖投影的重要組成所以投影變形問題是地圖投影的重要組成部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大部分。研究各種投影變形的大小和分布規(guī)律，具有重大的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。地圖投影的變形相關(guān)概念主比例尺和局部比例尺主比例尺和局部比例尺主方向主方向變形橢圓變形橢圓面

4、積變形面積變形角度變形角度變形長(zhǎng)度變形長(zhǎng)度變形等變形線等變形線 主比例尺和局部比例尺平常地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺平常地圖上注記的比例尺，稱之為主比例尺，它是運(yùn)用地圖投影方法繪制經(jīng)緯線網(wǎng)時(shí)，首先把地球橢球體按規(guī)定比例尺縮小，如制1：100萬地圖，首先將地球縮小100萬倍，而后將其投影到平面上，那么1：100萬就是地圖的主比例尺。由于投影后有變形，所以主比例尺僅能保留在投影后沒有變形的點(diǎn)或線上，而其他地方不是比主比例尺大，就是比主比例尺小。所以大于或小于主比例尺的叫局部比例大于或小于主比例尺的叫局部比例尺。尺。 abcdaoobcd主方向 由于投影要產(chǎn)生變形，所以球面上兩條相互垂直的微小

5、線段投影后一般不一定正交，例如設(shè)o是球面上一點(diǎn)，過o作兩條垂線ac和 bd，投影后為ac和bd。即地球面上角aob和角boc為直角，投影后分別為銳角aob和鈍角boc。設(shè)想ac、bd二垂線相對(duì)位置保持不便，并繞o點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)90度時(shí)，直角aob轉(zhuǎn)到原來boc的位置，這時(shí)投影由原來的銳角轉(zhuǎn)變成鈍角；同樣的，直角boc轉(zhuǎn)到了cod的位置，它的投影由原來的鈍角變?yōu)殇J角。由此可見，一個(gè)直角在不同的位置下的投影有著不同的的大小，可以由銳角變?yōu)殁g角，或者相反。那么那么在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持在變化的過程中，必然有一特殊位置，直角投影后仍保持直交，此二直交直線方向，稱之為主

6、方向。直交，此二直交直線方向，稱之為主方向。abcdaoobcd 在主方向上，具有極大和極小長(zhǎng)度比。在主方向上，具有極大和極小長(zhǎng)度比。例如高斯-克呂格投影，經(jīng)緯線投影后均保持垂直。所以該投影中，經(jīng)緯線方向就是主方向。經(jīng)緯線投影后為正交，經(jīng)緯線方向就是為主方向。但也有一些投影后經(jīng)緯線斜交，因此，主方向與經(jīng)緯線方向并不一致。在地球球面上取一微小圓，它在平面上的投影除在接觸點(diǎn)位置外，一般情況下為橢圓， 下面我們用數(shù)學(xué)方法驗(yàn)證一下。 設(shè)o為球面上一點(diǎn)，以它為圓心的微小圓的半徑是單位長(zhǎng)度（為1），M(x,y)是微小圓周上一點(diǎn)，圓心曲線方程為x2+y2=1 o為o的投影，以主方向作為坐標(biāo)軸，M（x,y）是

7、M（x,y）的投影，令主方向長(zhǎng)度比為a和b，則: x/x= a, y/y= b則:x =x/a, y =y/b(x,y)為圓上一點(diǎn)，將其代如圓的方程，得x2/a2+y2/b2=1 這是一個(gè)橢圓方程，這表明該微小圓投影后為長(zhǎng)半徑為a短半徑為b的橢圓，這種橢圓可以用來表示投影后的變形，故叫做變形橢圓。 在研究投影時(shí)，可借助變形橢圓與微小圓比較，來說說明變形的性質(zhì)和數(shù)量明變形的性質(zhì)和數(shù)量。橢圓半徑與小圓半徑之比，可以說明長(zhǎng)度變形。很明顯的看出長(zhǎng)度變形是隨方向的變化而變化，在長(zhǎng)短半徑方向上有極大和極小長(zhǎng)度比a和b，而長(zhǎng)短半徑方向之間，長(zhǎng)度比，為ba;橢圓面積與小圓面積之比，可以說明面積變形;橢圓上任意

8、兩條方向線的夾角與小圓上相應(yīng)的兩方向線夾角之差為角度變形。1、面積比與面積變形 投影平面上的微小面積與球面上相應(yīng)微小面積之比，稱為面積比。以投影面上變形橢圓的面積dF=ab,相應(yīng)球面上微小圓的面積dF=12為例，以P表示面積比，則:P=dF/dF=ab/12=ab 上式說明面積比等于主方向長(zhǎng)度比的乘積。若經(jīng)緯線方向上式說明面積比等于主方向長(zhǎng)度比的乘積。若經(jīng)緯線方向就是主方向時(shí)：就是主方向時(shí)：P=mn 若經(jīng)緯線方向不是主方向時(shí)，則面積比若經(jīng)緯線方向不是主方向時(shí)，則面積比:P=mnsin(為投影后經(jīng)緯線夾角為投影后經(jīng)緯線夾角)面積比是個(gè)變量，它隨點(diǎn)位置不同而變化。面積比是個(gè)變量，它隨點(diǎn)位置不同而變

9、化。面積變形就是面面積變形就是面積比與積比與1之差之差，以以Vp表示。表示。Vp=p-1 面積變形有正有負(fù)，面積變形為零，表示投影后面積無面積變形有正有負(fù)，面積變形為零，表示投影后面積無變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負(fù)，變形，面積變形為正，表示投影后面積增加；面積變形為負(fù)，表示投影后面積縮小。表示投影后面積縮小。2.長(zhǎng)度比和長(zhǎng)度變形 設(shè)地球球面上有一微小線段ds,投影到平面上為ds,如圖所示。 ds ds 平面上微小線段與球面上相應(yīng)微小線段之比，叫做長(zhǎng)度比。用公式表示為：=ds/ds 長(zhǎng)度比是一個(gè)變量，它不僅隨著點(diǎn)的位置不同而變化，還隨著方向的變化而變化。長(zhǎng)度比是指某點(diǎn)某方

10、向上微小線段之比。 通常研究長(zhǎng)度比時(shí)，不一一研究各個(gè)方向的長(zhǎng)度比，而只研究一些特定方向的長(zhǎng)度比，即研究最大長(zhǎng)度比（a）和最小長(zhǎng)度比（b）,經(jīng)線長(zhǎng)度比（m）和緯線長(zhǎng)度比（n）。投影后經(jīng)緯線成直交者，經(jīng)緯線長(zhǎng)度比就是最大和最小長(zhǎng)度比。投影后經(jīng)緯線不直交，其夾角為,則經(jīng)緯線長(zhǎng)度比 m、n和最大、最小長(zhǎng)度比a、b之間具有如下關(guān)系： m2+n2=a2+b2mnsin=ab 用長(zhǎng)度比可以說明長(zhǎng)度變形。所謂長(zhǎng)度變形就是長(zhǎng)度比（）與1之差，用v表示長(zhǎng)度變形則：v=-1 由此可知，長(zhǎng)度變形有正負(fù)之分，長(zhǎng)度變形為正，表示投影后長(zhǎng)度增加；長(zhǎng)度變形為負(fù)表示投影后長(zhǎng)度縮短；長(zhǎng)度變形為零，則長(zhǎng)度無變形。3、角度變形 投影

11、面上任意兩方向線所夾角與球面上相應(yīng)兩方向線夾角之差，稱為角度變形。過一點(diǎn)每?jī)蓷l方向線均可以組成一個(gè)角度，這些角度投影到平面上之后，往往與原來的大小不一樣，而且不同的方向線組成的角度產(chǎn)生的變形一般也不一樣。 4、等變形線 在各種投影圖上，都存在著誤差或變形。并且各不同點(diǎn)的變形數(shù)量常常是不一樣的，為了便于觀察和了解繪制區(qū)域變形的分布。常用等變形線來表示制圖區(qū)域的變形分布特征。等變形線就是變形值相等的各點(diǎn)的連線等變形線就是變形值相等的各點(diǎn)的連線，它是根據(jù)計(jì)算的各種變形的數(shù)值（如p,w）繪于經(jīng)緯線網(wǎng)格內(nèi)的，如面積等變形線。 等變形線在不同的投影圖上，具有不同的形狀，在方位投影中，因投影中心點(diǎn)無變形，從

12、投影中心向外變形逐漸增大，等變形線成同心圓狀分布。 等變形線通常是用點(diǎn)虛線來表示的。 u任何地圖都有投影變形任何地圖都有投影變形u地圖上存在沒有變形的點(diǎn)或線地圖上存在沒有變形的點(diǎn)或線u距沒有變形的點(diǎn)或線愈遠(yuǎn)，投影變形越大，反距沒有變形的點(diǎn)或線愈遠(yuǎn)，投影變形越大，反之越小之越小u地圖投影反映的實(shí)地面積越大，投影變形越大，地圖投影反映的實(shí)地面積越大，投影變形越大，反之越小反之越小 一、按變形性質(zhì)分類一、按變形性質(zhì)分類 地球球面投影到平面時(shí)，產(chǎn)生的變形有長(zhǎng)度、地球球面投影到平面時(shí)，產(chǎn)生的變形有長(zhǎng)度、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、角度和面積三種，根據(jù)變形特征可分為：等角投影、等積投影和

13、任意投影三種。等積投影和任意投影三種。1.等角投影（正形投影） 角度變形為0，地球面上的微小圓經(jīng)過投影后仍為相似的微小圓，其形狀保持不變，只有長(zhǎng)度和面積變形。等角投影的條件是：w=0sin(w/2)=(a-b)/（a+b)=0a=b， 等角投影在同一點(diǎn)任何方向的長(zhǎng)度比都相等，但在不同地點(diǎn)長(zhǎng)度比是不同的。 多用于編制航海圖、洋流圖、風(fēng)向圖等地形圖。等積投影的條件是：Vp=p p=1因?yàn)?p=ab所以a=1/b或b=1/a 由于這類投影可以保持面積沒有變形，故有利于在圖上進(jìn)行面積對(duì)比。一般用于繪制對(duì)面積精度要求較高的自然地圖和經(jīng)濟(jì)地圖。2.等積投影 投影后圖形保持面積大小相等，沒有面積誤差。也就是

14、球面上的不同地點(diǎn)微小圓投影后為面積相等的各個(gè)橢圓，但橢圓的形狀不一樣。因此有角度和長(zhǎng)度變形。3.任意投影 任意投影是既不等角也不等積的投影。這種投影的特點(diǎn)是面積變形小于等角投影，角度變形小于等積投影。 在任意投影中，有一種特殊的投影，叫做等距投等距投影影，其條件是，m=1。即誤差橢圓上的一個(gè)半徑和球面上相應(yīng)微小圓半徑相等。 等角投影 等積投影 等距投影 任意投影 如圖表示各種變形性質(zhì)不同的地圖投影中變形橢圓的形狀。通過比較可以看出：等積投影不能保持等角特性，等角投影不能保持等積特性。任意投影不能保持等積、等角特性。等積投影的形狀變化比較大，等角投影的面積變形比較大。 圓錐投影一、圓錐投影的概念

15、和種類一、圓錐投影的概念和種類二、等角圓錐投影二、等角圓錐投影三三 等積圓錐投影等積圓錐投影四四 等距圓錐投影等距圓錐投影 圓錐投影一、圓錐投影的概念和種類一、圓錐投影的概念和種類 圓錐投影是假定以圓錐面作為投影面，使圓錐面和地球體相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到圓錐面上，然后把圓錐面沿一條母線剪開展為平面而成，當(dāng)圓錐面與地球相切時(shí)，稱為切圓錐投影，當(dāng)圓錐面與地球相割時(shí)，稱為割圓錐投影。 按圓錐面與地球相對(duì)位置的不同，可分正軸、橫軸、斜軸圓錐投影，但橫軸、斜軸圓錐投影實(shí)際上很少應(yīng)用。所以凡在地圖上注明是圓錐投影的，一般都是正軸圓錐投影。 切圓錐投影，緯線投影到圓錐面上仍是圓，不同的緯線投影為

16、不同的圓，這些圓是互相平行的，經(jīng)線投影為相交于圓錐頂點(diǎn)的一束直線，如果將圓錐沿一條母線剪開展為平面，則呈扇形，其頂角小于360度。 在平面上緯線不再是圓，而是以圓錐頂點(diǎn)為圓心的同心圓弧，經(jīng)線成為由圓錐頂點(diǎn)向外放射的直線束，經(jīng)線間的夾角與相應(yīng)的經(jīng)差成正比，但比經(jīng)差小。 在切圓錐投影上，圓錐面與球面相切的一條緯線投影后是不變形的線。叫做標(biāo)準(zhǔn)緯線。它符合主比例尺，這條緯線通常位于制圖區(qū)域的中間部位。從切線向南向北，變形逐漸增大。 在割圓錐投影上，兩條緯線投影后沒有變形，是雙標(biāo)準(zhǔn)緯線，兩條割線符合主比例尺，離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外投影變形逐漸增大，離離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外投影變形逐漸增大，離開這兩條標(biāo)準(zhǔn)

17、緯線向里投影變形逐漸減小開這兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向里投影變形逐漸減小，凡是距標(biāo)準(zhǔn)緯線相等距離的地方，變形數(shù)量相等，因此圓錐投影上等變形線與緯線平行。 圓錐投影按變形性質(zhì)分為等角等積和等距圓錐投影三種， 構(gòu)成圓錐投影需確定畫緯線的半徑和經(jīng)線間的夾角，是緯度的函數(shù)用公式表示為=f()=f()。 是經(jīng)差的函數(shù)。用公式表示為=.=.對(duì)于不同的圓錐投影它是不同的。但對(duì)于某一具體的圓錐投影，它的值是相同的。(見P49)當(dāng)=1=1時(shí)（圓錐頂角為180180 度），為方位投影；當(dāng)=0=0 時(shí)（圓錐體的頂角小到0度），為圓柱投影。方位投影和圓柱投影都可看成是圓錐投影的特例。 二、等角圓錐投影二、等角圓錐投影 等角圓錐投

18、影的條件是在地圖上沒有角度變形，w=0w=0。為了保持等角條件，每一點(diǎn)上經(jīng)線長(zhǎng)度比與緯線長(zhǎng)度比相等，m = nm = n。 1.在等角切圓錐投影上，相切的緯線沒有變形，長(zhǎng)度比為1。其他緯線投影后為擴(kuò)大的同心圓弧并且離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，這種擴(kuò)大的變形程度也就越大，標(biāo)準(zhǔn)線以北變形增加的要比以南快些。經(jīng)線為過緯線圓心的一束直線。由于m=n所以在緯線方向上擴(kuò)大多少，就在經(jīng)線上擴(kuò)大多少。這樣才能使經(jīng)緯線方向上的長(zhǎng)度比相等。所以在等角圓錐投影上緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北是逐漸增大的。 2.等角割圓錐投影的經(jīng)緯線變化? 在等角割圓錐投影上，相割的兩條緯線為標(biāo)準(zhǔn)緯線。長(zhǎng)度比為1，沒有變形。兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間緯線長(zhǎng)

19、度比小于1，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外，緯線長(zhǎng)度比大于1，即離開標(biāo)準(zhǔn)緯線長(zhǎng)度變形逐漸增大。經(jīng)線的變形長(zhǎng)度也是如此。 所以在等角割圓錐投影上從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外，緯線間距是逐漸增大的。從兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線逐漸向里，緯線距離是縮小的。等角圓錐投影面積變形大 雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等角圓錐投影，廣泛應(yīng)用于中緯度地區(qū)的分國(guó)地圖和地區(qū)圖。例如“中國(guó)地圖集”各分省圖就是用的這種投影?！笆澜绲貓D集”大部分分國(guó)地圖采用該投影。世界上有些國(guó)家如法國(guó)、比利時(shí)、西班牙也都采用此投影作為地形圖的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。三三 等積圓錐投影等積圓錐投影等積圓錐投影的條件是投影后面積沒有變形。 1 在等積切圓錐投影上，相切的緯線沒有變形，長(zhǎng)度比為1，其他緯線投影后均

20、擴(kuò)大并且離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)，這種變形也就越大。所以投影后要保持面積相等，在緯線方向上變形擴(kuò)大多少倍，那么在經(jīng)線方向上就得縮小多少倍。所以在等積切圓錐投影圖上，緯線間隔從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北是逐漸縮小的。 2 等積割圓錐投影中，其經(jīng)緯線的變化是怎樣的? 兩條緯線為標(biāo)準(zhǔn)緯線，其長(zhǎng)度比等于1，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間，緯線長(zhǎng)度比小于1,要保持面積不變，因此經(jīng)線長(zhǎng)度比要相應(yīng)擴(kuò)大，所以在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之間，緯線間隔愈向中間就越大。在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外緯線長(zhǎng)度比大于1。要保持等積，經(jīng)線長(zhǎng)度比要相應(yīng)的縮小,因此在兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線向外，緯線間是逐漸縮小的。 等積圓錐投影常用以編制行政區(qū)劃圖，人口密度圖。及社會(huì)經(jīng)濟(jì)地圖或某些自然圖。

21、當(dāng)制圖區(qū)域所跨緯度較大時(shí)，常采用雙標(biāo)準(zhǔn)緯線等積圓錐投影。如它是繪制我國(guó)地圖時(shí)常采用投影之一，其他國(guó)家出版的許多圖集也采用該投影。 四四 等距圓錐投影等距圓錐投影 等距圓錐投影的條件是經(jīng)線投影后保持正長(zhǎng)，即經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比是1。沒有變形。在標(biāo)準(zhǔn)緯線上也均無變形。除此以外其他緯線均有變形。 1 等距切圓錐投影，從標(biāo)準(zhǔn)緯線向南向北緯線長(zhǎng)度比大于1，離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)緯線長(zhǎng)度變形、面積變形、角度變形也越大。 2 等距割圓錐投影上，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線內(nèi)緯線長(zhǎng)度比小于1，面積變形向負(fù)方向增大，兩條標(biāo)準(zhǔn)緯線之外，緯線長(zhǎng)度比大于1，面積變形向正方向增加。角度變形離標(biāo)準(zhǔn)線越遠(yuǎn)變形越大。等距圓錐投影，在面積變形方面比等

22、角圓錐投影要小，在角度變形上比等積圓錐投影要小，這種投影圖上最明顯的特點(diǎn)是：緯線間隔相等。這種投影變形均勻常用于編制各種教學(xué)用圖和中國(guó)大陸交通圖。 總 結(jié) 圓錐投影的特點(diǎn)：緯線是同心圓弧，經(jīng)線是放射狀直線束，經(jīng)緯線互相垂直，經(jīng)緯線方向是主方向。等變形線是平行與緯線的同心圓弧，離開標(biāo)準(zhǔn)緯線越遠(yuǎn)變形越大。 該投影適合繪制中緯度沿東西方向延伸地區(qū)的地圖。方位投影一、方位投影的概念和種類一、方位投影的概念和種類二、正軸方位投影二、正軸方位投影二、橫軸方位投影二、橫軸方位投影四、斜軸方位投影四、斜軸方位投影五、方位投影的判別五、方位投影的判別 方位投影一、方位投影的概念和種類一、方位投影的概念和種類 方

23、位投影是以平面作為投影面，使平面與地球表面相切或相割，將球面上的經(jīng)緯線投影到平面上所得到的圖形。本節(jié)只介紹常用的切方位投影，將地球半徑視為R的球體。 方位投影可分為透視方位投影和非透視方位投影兩類。1.透視方位投影 利用透視法把地球表面投影到平面上的方法稱為透視投影。 透視方位投影的點(diǎn)光源或視點(diǎn)位于垂直于投影面的地球直徑及其延長(zhǎng)線上，由于視點(diǎn)位置不同，因而有不同的透視方位投影。 當(dāng)視點(diǎn)（光源）位于地球球心時(shí)，即視點(diǎn)距投影面距離為R時(shí)，稱為中心射方位投影或球心投影。當(dāng)視點(diǎn)或光源位于地球表面時(shí)，即視點(diǎn)到投影面距離為2R時(shí)，稱為平射方位投影或球面投影。當(dāng)視點(diǎn)或光源位于無限遠(yuǎn)時(shí)，投影線（光線）成為平行

24、線，稱為正射投影。 根據(jù)投影面和地球球面相切位置的不同，透視投影可分為三類： 當(dāng)投影面切于地球極點(diǎn)時(shí)，稱為正軸方位投影。 當(dāng)投影面切于赤道時(shí)，稱為橫軸方位投影。 當(dāng)投影面切于既不在極點(diǎn)也不在赤道時(shí)，稱為斜軸方位投影。2.非透視方位投影 非透視方位投影是借助于透視投影的方式，而附加上一定的條件，如加上等積、等距等條件所構(gòu)成的投影。在這類投影中有等距方位投影和等積方位投影。(方位投影的坐標(biāo)公式見P56)二、正軸方位投影 投影中心為極點(diǎn)，緯線為同心圓，經(jīng)線為同心圓的半徑，兩條經(jīng)線間的夾角與實(shí)地相等。等變形線都是以投影中心為圓心的同心圓。 包括等角、等積、等距三種變形性質(zhì)，主要用于制作兩極地區(qū)圖。1、

25、正軸等角方位投影2、正軸等距方位投影1.1.正軸等角方位投影正軸等角方位投影 平射正軸方位投影又叫等角方位投影或球面投影。 投影條件：視點(diǎn)位于球面上，投影面切于極點(diǎn)。 特點(diǎn)： 緯線投影為以極點(diǎn)為圓心的同心圓，緯線方向上的長(zhǎng)度比大于1。 赤道上的長(zhǎng)度變形比原來擴(kuò)大1倍。 經(jīng)線投影為以極點(diǎn)為圓心的放射性直線束，經(jīng)線夾角等于相應(yīng)的經(jīng)差，沿經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比大于1，赤道上各點(diǎn)沿經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度變形比原來擴(kuò)大1倍。 這種投影的誤差分布規(guī)律是，由投影中心向外逐漸增大。 經(jīng)緯線投影后，仍保持正交，所以經(jīng)緯線方向就是主方向，又因?yàn)閙 = n，即主方向長(zhǎng)度比相等， 沒有角度變形，但面積變形較大，在投影邊緣面積變

26、形是中心的四倍。 2. 2.正軸等距方位投影正軸等距方位投影 等距方位投影屬于任意投影，它既不等積也不等角。投影后經(jīng)線保持正長(zhǎng)，經(jīng)線上緯距保持相等。 經(jīng)緯網(wǎng)的構(gòu)成： 緯線投影后為同心圓，經(jīng)線投影為交于緯線同心的直線束，經(jīng)線投影后保持正長(zhǎng)，所以投影后的緯線間距相等。經(jīng)緯線投影后正交，經(jīng)緯線方向?yàn)橹鞣较颉?角度、面積等變形線為以投影中心為圓心的同心圓。 在此投影中，球面上的微圓投影為橢圓，且誤差橢圓的長(zhǎng)半徑和緯線方向一致，短半徑與經(jīng)線方向一致，并且等于微圓半徑r 又由于自投影中心，緯線擴(kuò)大的程度越來越大，所以變形橢圓的長(zhǎng)半徑也越來越長(zhǎng)，橢圓就越來越扁了。 等距正軸方位投影常用來做兩極的投影。三、橫

27、軸方位投影 平面與球面相切，其切點(diǎn)位于赤道上的任意點(diǎn)。特點(diǎn)：通過投影中心的中央經(jīng)線和赤道投影為直線，其他經(jīng)緯線投影后都是對(duì)稱于中央經(jīng)線和赤道的曲線。1、橫軸等距方位投影、橫軸等距方位投影2、橫軸等積方位投影、橫軸等積方位投影 1.1.橫軸等距方位投影橫軸等距方位投影 其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上從中心向南向北，緯線間隔相等；在赤道上，自投影中心向西，向東，經(jīng)線間隔是逐漸擴(kuò)大的。2.2.橫軸等積方位投影橫軸等積方位投影 其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上從中心向南向北，緯線間隔是逐漸縮小的；在赤道上，自投影中心向西，向東，經(jīng)線間隔也是逐漸縮小的。 四、斜軸方位投影四、斜軸方位投影 投影面切于兩極和赤道間的任意一點(diǎn)上。

28、在這種投影中，中央經(jīng)線投影為直線，其他經(jīng)線投影為對(duì)稱于中央經(jīng)線的曲線，緯線投影為曲線。 1.1.斜軸等距方位投影斜軸等距方位投影 其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上自投影中心向上、向上自投影中心向上、向下緯線間隔是相等的。下緯線間隔是相等的。 2. 2.等積斜軸方位投影等積斜軸方位投影 其特點(diǎn)是在中央經(jīng)線上自投影中心向上、向下自投影中心向上、向下的的緯線間隔逐漸減小。 若間隔是逐漸增大的，是等角斜軸方位投影等角斜軸方位投影。 五、幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別五、幾種方位投影變形性質(zhì)的圖形判別 正軸投影，正軸投影，其緯線為以投影中心為圓心的同心圓，經(jīng)線為交于投其緯線為以投影中心為圓心的同心

29、圓，經(jīng)線為交于投影中心的放射狀直線，夾角相等。影中心的放射狀直線，夾角相等。 橫軸投影，橫軸投影，赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。赤道與中央經(jīng)線為垂直的直線，其他經(jīng)緯線為曲線。 斜軸投影，斜軸投影，除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。除中央經(jīng)線為直線外，其余的經(jīng)緯線均為曲線。 然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)然后根據(jù)中央經(jīng)線上經(jīng)緯線間隔的變化，判別變形性質(zhì)。 等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐等角方位投影，在中央經(jīng)線上，緯線間隔從投影中心向外逐漸增大；漸增大； 等積方位投影，逐漸縮??；等積方位投影，逐漸縮??； 等距方位投影，間隔相等。等距方

30、位投影，間隔相等。 如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出投影的名稱。如上可判斷方位投影的變形性質(zhì)及推斷出投影的名稱?？?結(jié) 方位投影的特點(diǎn)是：在投影平面上，由投影中心（平面與球面的切點(diǎn)）向各方向的方位角與實(shí)地相等，其等變形線是以投影中心為圓心的同心圓。 繪制地圖時(shí)，總是希望地圖上的變形盡可能小，而且分布比較均勻。一般要求等變形線最好與制圖區(qū)域輪廓一致。因此，方位投影適合繪制區(qū)域輪廓大致為圓形的地圖。 從區(qū)域所在的地理位置來說，兩極地區(qū)和南、北半球圖采用正軸方位投影；赤道附近地區(qū)和東、西半球圖采用橫軸方位投影；其他地區(qū)和水、陸半球圖采用斜軸方位投影。一、圓柱投影的概念和種類一、圓柱投影的概念和種

31、類二、等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）二、等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）三、等距正軸切圓柱投影三、等距正軸切圓柱投影 一、圓柱投影的概念和種類一、圓柱投影的概念和種類 假定以圓柱面作為投影面，把地球面上的經(jīng)緯線網(wǎng)投影到圓柱面上，然后沿圓柱面的母線把圓柱切開展成平面，就得到圓柱投影。 當(dāng)圓柱面和地球體相切時(shí)，稱為切圓柱投影，和地球體相割時(shí)稱為割圓柱投影。 由于圓柱和地球體相切相割的位置不同，圓柱投影又分為正軸、橫軸和斜軸圓柱投影三種。 正軸圓柱投影正軸圓柱投影圓柱的軸和地球的地軸一致；圓柱的軸和地球的地軸一致；橫軸圓柱投影橫軸圓柱投影圓柱的軸和地軸垂直并通過地心；圓柱的軸和地軸垂直并通過地心；

32、斜軸圓柱投影斜軸圓柱投影圓柱的軸通過地心，和地軸不垂直不圓柱的軸通過地心，和地軸不垂直不重合。重合。 在上述三種投影方式中，最常用的是正軸圓柱投影，假定視點(diǎn)在球心，正軸圓柱投影中，經(jīng)緯線網(wǎng)的特點(diǎn)是： 1、經(jīng)線投影為平行直線，平行線間的距離和經(jīng)差成正比。 2、緯線投影成為一組與經(jīng)線正交的平行直線，平行線間的距離視投影條件而異。 3、和圓柱面相切的赤道弧長(zhǎng)或相割的兩條緯線的弧長(zhǎng)為正長(zhǎng)無變形。 圓柱投影按變形性質(zhì)可分為等角圓柱投影、等積圓柱投影和任意圓柱投影。 二、等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影）二、等角正軸切圓柱投影（墨卡托投影） 等角正軸切圓柱投影是荷蘭地圖學(xué)家墨卡托于等角正軸切圓柱投影是荷蘭地

33、圖學(xué)家墨卡托于1569年所創(chuàng)，所以又稱年所創(chuàng)，所以又稱墨卡托投影。墨卡托投影。 在墨卡托投影中，赤道在墨卡托投影中，赤道投影為正長(zhǎng)，緯線投影成和投影為正長(zhǎng)，緯線投影成和赤道等長(zhǎng)的平行線段，即離赤道等長(zhǎng)的平行線段，即離赤道越遠(yuǎn)，緯線投影的長(zhǎng)度赤道越遠(yuǎn)，緯線投影的長(zhǎng)度比也越大，比也越大， 為了保持等角條件，必須為了保持等角條件，必須把地圖上的每一點(diǎn)的經(jīng)線方把地圖上的每一點(diǎn)的經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比和緯線方向上向上的長(zhǎng)度比和緯線方向上的長(zhǎng)度比相等。的長(zhǎng)度比相等。 所以隨著緯線長(zhǎng)度比的所以隨著緯線長(zhǎng)度比的增加，相應(yīng)經(jīng)線方向上的長(zhǎng)增加，相應(yīng)經(jīng)線方向上的長(zhǎng)度比也得增加，并且增加的度比也得增加，并且增加的程度相等

34、。所以在墨卡托投程度相等。所以在墨卡托投影中，從影中，從赤道向兩極，緯線赤道向兩極，緯線間隔越來越大間隔越來越大。 在墨卡托投影中，在墨卡托投影中，面積變形最大面積變形最大，如在緯度如在緯度6060度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴(kuò)大了度地區(qū)，經(jīng)線和緯線比都擴(kuò)大了2 2倍，面積比倍，面積比P=mP=m* *n=2n=2* *2=42=4，擴(kuò)大了，擴(kuò)大了4 4倍，愈接倍，愈接近兩極，經(jīng)緯線擴(kuò)大的越多，在近兩極，經(jīng)緯線擴(kuò)大的越多，在=80=80度時(shí)，度時(shí)，經(jīng)緯線都擴(kuò)大了近經(jīng)緯線都擴(kuò)大了近6 6倍，面積比擴(kuò)大了倍，面積比擴(kuò)大了3333倍，倍，所以墨卡托投影在所以墨卡托投影在8080度以上高緯地區(qū)通常就度以上高緯地區(qū)通常就不繪出來了。不繪出來了。 墨卡托投影被廣泛應(yīng)用于航海和航墨卡托投影被廣泛應(yīng)用于航海和航空方面，這是因?yàn)榈冉呛骄€（或稱斜航線），空方面，這是因?yàn)榈冉呛骄€（或稱斜航線），在此投影中表現(xiàn)為直線，在此投影中表現(xiàn)為直線，所謂等角航線，就所謂等角航線，就是地球表面上與經(jīng)線交角都相同的曲線，或是地球表面上與經(jīng)線交角都相同的曲線，或者說是地球上兩點(diǎn)間的一條等方位線者說是地球上兩點(diǎn)間的一條等方位線。就是。就是說船只要按照等角航向航行，不用改變方位說船只要按照等角航向航行，不用改變方位角就能從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)。角就能從起點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)。