反常積分?jǐn)可⑿缘呐袆e

1、中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)數(shù)學(xué)分析數(shù)學(xué)分析2 無窮積分的性質(zhì)及收斂判別一、無窮積分的性質(zhì) 本節(jié)討論無窮積分的性質(zhì), 并用這些性質(zhì)得到無窮積分的收斂判別法.二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法三、一般函數(shù)無窮積分的收斂判別法 ( )daf xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是: :0,Ga 1221( )d( )d( )d.uuuaauf xxf xxf xx 一、無窮積分的性質(zhì)12,u uG當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)證證( )( )d , ,),( )duaaF uf xx uaf xx設(shè)設(shè)則則lim( ) .uF u收收斂斂的的充充要要條條件件是是存存在在極極限限由由函函數(shù)數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則極限的柯西準(zhǔn)則, ,此等價(jià)于此等價(jià)

2、于(無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則) )無窮無窮積分積分 定理定理11.111.112120,()(),Gau uGF uF u1221( )d( )d( )d.uuuauaf xxf xxf xx 性質(zhì)性質(zhì)11212( )d( )d,aafxxfxxkk 若若與與都都收收斂斂為任意常數(shù)為任意常數(shù), ,則則 1122( )( ) dak fxk fxx即即根據(jù)反常積分定義根據(jù)反常積分定義, ,容易導(dǎo)出以下性質(zhì)容易導(dǎo)出以下性質(zhì)1 和性質(zhì)和性質(zhì)2. . ,也也收收斂斂 且且1122( )( ) dak fxk fxx( )d( )d(),abf xxf xxba 與與( )d( )d

3、( )d .baabf xxf xxf xx 同同時(shí)時(shí)收收斂斂或或同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散，且且性質(zhì)性質(zhì)2 , fa u若若在在任任何何有有限限區(qū)區(qū)間間上上可可積積, ,則則1122( )d( )d .aakfxxkfxx h(x) 在任意在任意 a, u上可積上可積, 且且( )d( )daaf xxg xx和和( )d.ah xx都都收收斂斂, ,則則收收斂斂證證 因?yàn)橐驗(yàn)? )d( )daaf xxg xx和和收斂收斂, ,由柯西準(zhǔn)則的必要性由柯西準(zhǔn)則的必要性,120,GauuG 例例1 1),),()()( axxgxhxf, f (x), g (x),若若1221( )d,( )d,uuuu

4、f xxg xx222111( )d( )d( )d,uuuuuug xxh xxg xx 再由柯西準(zhǔn)則的充分性再由柯西準(zhǔn)則的充分性,( )d.ah xx證證得得收收斂斂即即21( )d.uuh xx ( )( )( ),f xh xg x又又因因?yàn)闉樗砸?,),( )d.uauaf xxM二、非負(fù)函數(shù)無窮積分的收斂判別法lim( ).uF u條條件件是是存存在在12( )0,f xuu由由于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，2121( )d( )d( )d0,uuuaauf xxf xxf xx定理定理11.2( (非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法) ) 設(shè)定義在設(shè)定義在 上的非負(fù)函數(shù)上的非負(fù)

5、函數(shù) f 在任何在任何 ,)a , ,a u 上上可可積積 則則( )daf xx收斂的充要條件是收斂的充要條件是: :0,M使使證證( )( )d ,uaF uf xx( )daf xx則則收收斂斂的的充充要要設(shè)設(shè) ,),( )d.uauaf xxM有有( )( ), ,),f xg xxG非負(fù)函數(shù)非負(fù)函數(shù) f , g 在任何有限區(qū)在任何有限區(qū)間間 a, u 上可積上可積, , 且且定理定理11.3 (比較判別法比較判別法) ) 設(shè)定義在設(shè)定義在 上的兩個(gè)上的兩個(gè) ,)a 增增函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則函數(shù)的收斂判別準(zhǔn)則, lim( )uF u存存在在的的充充要要條條從而從而 F (u) 是單調(diào)遞增

6、的是單調(diào)遞增的( ,).ua由單調(diào)遞由單調(diào)遞( ) ,)F ua 件件是是在在上上有有界界, ,0,M即即使使存在存在 滿足滿足,Ga證證 ( )dag xx若若收收斂斂, ,0, ,),Mua則則( )d.uag xxM( )d( )d.uuaaf xxg xxM因因此此由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法由非負(fù)函數(shù)無窮積分的判別法,( )daf xx收收斂斂. .( )d,( )daaf xxg xx 當(dāng)當(dāng)發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)亦亦發(fā)發(fā)散散. .( )d,( )daag xxf xx 則則當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)亦亦收收斂斂; ;第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題第二個(gè)結(jié)論是第一個(gè)結(jié)論的逆否命題, ,因此也成立因此也成

7、立. . 516d1xx收收斂斂. .例例2 判別判別516d1xx 的收斂性的收斂性.22( )d( )daafxxgxx明明: :若若和和收收斂斂, ,則則( ) ( )d.af x g xx收收斂斂解解6 51dxx由由于于收收斂斂, ,因因此此6 56511.1xx顯然顯然設(shè)設(shè) f (x), g(x) 是是 上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)上的非負(fù)連續(xù)函數(shù). 證證 ,)a 例例3 3 2222( )( )11d( )d( )d222aaafxgxxfxxgxx( ) ( )d.af x g xx收收斂斂, ,因因此此收收斂斂推論推論1 1 設(shè)非負(fù)函數(shù)設(shè)非負(fù)函數(shù) f 和和 g 在任何在任何 a,u 上可

8、積上可積, 且且( )lim.( )xf xcg x) i (0( )d( )daacf xxg xx若若， 則則與與收收斂斂性性相相同同; ;證證22( )( )( ) ( ),2fxgxf x g x而而由于由于 (ii)0,( )d( )daacg xxf xx若若則則由由收收斂斂可可得得收收斂斂; ;(iii),( )d( )daacg xxf xx 若若則則由由發(fā)發(fā)散散可可得得發(fā)發(fā)散散. .證證 ( )(i)lim0,( )xf xcGaxGg x由由故故存存在在使使有有( ),( )2f xccg x即即 3( )( )( ).22ccg xf xg x( )d,( )d2aacf

9、 xxg xx若若收收斂斂 則則可可得得收收斂斂, ,從從而而( )d( )d,aag xxg xx收收斂斂. .反反之之, ,若若收收斂斂 可可得得3( )d( )d.2aacg xxf xx收收斂斂, ,從從而而收收斂斂( )(ii)lim0,( )xf xGaxGg x由由存存在在使使有有( )( ), ,),( )daf xg xxGg xx即即因因此此由由收收斂斂( )d.af xx可可推推得得收收斂斂( )1,( )f xg x( )(iii)lim,( )xf xGaxGg x由存在使有由存在使有 ( )( ), ,),( )daf xg xxGg xx即即因因此此由由發(fā)發(fā)散散(

10、 )d.af xx可可推推得得發(fā)發(fā)散散1(i)( )(1),( )dpaf xpf xxx若若則則收收斂斂; ;推論推論2 設(shè)設(shè) f 是定義在是定義在 上的非負(fù)函數(shù)上的非負(fù)函數(shù), 在任何在任何 ,)a , a u有有限限區(qū)區(qū)間間上上可可積積. .( )1,( )f xg x) i (1, 0,( )dapf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂; ;)ii(1, 0,( )d.apf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散lim( ),pxx f x 若若則則限區(qū)間限區(qū)間 a, u 上可積上可積.推論推論3設(shè)設(shè) f 是定義在是定義在 上的非負(fù)函數(shù)上的非負(fù)函數(shù),在任何有在任何有 ,)a 1(ii)( )(1),( )d.pa

11、f xpf xxx若若則則發(fā)發(fā)散散說明說明: : 推論推論3 3是推論是推論2 2的極限形式，讀者應(yīng)不難寫的極限形式，讀者應(yīng)不難寫出出它的證明它的證明. .例例4 討論討論1lndkpxxx的收斂性的收斂性 ( k 0 ).解解 (i),1時(shí)時(shí)p12lnlimpkpxxxx12lnlim0.pkxxx 1lnd.kpxxx因因此此由由推推論論3 3知知道道收收斂斂)ii(1ln1, limlimln.kpkpxxxpxxxx 時(shí)時(shí)1lnd.kpxxx因因此此同同理理知知道道發(fā)發(fā)散散若無窮積分若無窮積分( ) d,( )daaf xxf xx收收斂斂 則則稱稱以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的

12、收斂性以下定理可用來判別一般函數(shù)無窮積分的收斂性. 三、一般函數(shù)無窮積分的判別法何何有限區(qū)間有限區(qū)間 a, u上可積上可積,( ) d, af xx且且收收斂斂 則則( )daf xx 亦必收斂,并且亦必收斂,并且( )d( ) d .aaf xxf xx定理定理11.411.4 ( (絕對(duì)收斂的無窮積分必收斂絕對(duì)收斂的無窮積分必收斂) )若若 f 在任在任絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. .210,GauuG 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)21( ) d,uuf xx 因此因此2211( )d( ) d.uuuuf xxf xx 再由柯西準(zhǔn)則的充分性再由柯西準(zhǔn)則的充分性, ( )daf xx推推知知收收斂斂. .( )dlim

13、( )d( ) d .uaaauf xxf xxf xx又對(duì)任意又對(duì)任意 ( )d( ) d ,uuaaf xxf xx于于是是,ua證證( ) d,af xx收收斂斂由柯西準(zhǔn)則的必要性由柯西準(zhǔn)則的必要性, 對(duì)對(duì)因因1sind()xxx ax因因此此絕絕對(duì)對(duì)收收斂斂. .收斂的無窮積分收斂的無窮積分( )daf xx不一定是絕對(duì)收斂的不一定是絕對(duì)收斂的.( )d|( )|d,aaf xxf xx若若收收斂斂而而發(fā)發(fā)散散 則則稱稱( )daf xx條條件件收收斂斂. .例例51sind(0)()xxax ax的收斂性的收斂性.判別判別解解sin1,()xx axx x而而3 211dxx收收斂斂

14、, ,由于由于瑕積分的性質(zhì)與收斂判別, 與無窮積3 瑕積分的性質(zhì)與收斂判別內(nèi)容大都是羅列出一些基本結(jié)論, 并舉 分的性質(zhì)與收斂判別相類似. 因此本節(jié) 例加以應(yīng)用, 而不再進(jìn)行重復(fù)論證.定理定理11.7 （瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則）（瑕積分收斂的柯西準(zhǔn)則）2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx ( )d ()baf xxa瑕瑕積積分分瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為收收斂斂的的充充要要條條件件是是證證( )( )d ,( , ),( )dbbuaF uf xx ua bf xx設(shè)設(shè)則則lim( ).uaF u收收斂斂的的充充要要條條件件是是存存在在 由由函函數(shù)數(shù)收收斂斂的的1212,(

15、,)()(),u ua aF uF u，120,0,( ,)u ua a任任給給存存在在當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于柯西準(zhǔn)則，此等價(jià)于0,0,2121( )d( )d( )d.bbuuuuf xxf xxf xx 即即性質(zhì)性質(zhì)11212,ffxa kk設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)與與的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)同同為為1122( )( )d,bak fxk fxx也也收收斂斂 且且12,( )d( )d,bbaafxxfxx為為任任意意常常數(shù)數(shù) 若若和和都都收收斂斂 則則1122( )( )dbak fxk fxx1122( )d( )d .bbaakf xxkf xx性質(zhì)性質(zhì)2 ,( , ),fxaca b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的

16、瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)若若則則( )d( )d,bcaaf xxf xx與與同同時(shí)時(shí)收收斂斂或或同同時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散 且且( )d( )d( )d .bcbaacf xxf xxf xx性質(zhì)性質(zhì)3,( , fxa fa b設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)的的瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為在在的的任任一一,(),( ) d,bau buaf xx閉閉區(qū)區(qū)間間上上可可積積 則則收收斂斂時(shí)時(shí)( )d,( )d( ) d .bbbaaaf xxf xxf xx也也收收斂斂 且且定理定理11.8 (非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法非負(fù)函數(shù)瑕積分的判別法)( , ( ),a bf x若若定定義義在在上上的的非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)在在任任意意閉閉區(qū)區(qū)間間 , (),( )dba

17、u buaf xx上上可可積積 則則收收斂斂的的充充要要條條件件( , ,( )d.buMua bf xxM是是: :存存在在，對(duì)對(duì)任任意意定理定理11.9 (比較法則比較法則)( , ,a bfg設(shè)設(shè)定定義義在在上上的的兩兩個(gè)個(gè)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)與與瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)同同, , ( , xau ba b為為在在任任何何上上都都可可積積, ,且且滿滿足足( )( ),( , .f xg xxa b( )d,( )d;bbaag xxf xx則則當(dāng)當(dāng)收收斂斂時(shí)時(shí)必必定定收收斂斂( )d,( )d.bbaaf xxg xx發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)必必定定發(fā)發(fā)散散 , ()fgu baub若若非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)和和在在任任何

18、何推論推論1 則則且且上上可可積積,lim,cxgxfax (i) 0( )d( )d;bbaacf xxg xx 時(shí)時(shí)，與與收收斂斂性性相相同同(ii)0( )d( )d;bbaacg xxf xx時(shí)時(shí)，收收斂斂可可推推得得收收斂斂(iii)( )d( )d.bbaacf xxg xx 時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散可可推推得得發(fā)發(fā)散散 , ( , u ba b在在任任何何上上可可積積. .則則有有1(i)( ),01,( )d()bpaf xpf xxxa當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)收收斂斂; ;1(ii)( ),1,( )d.()bpaf xpf xxxa當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散推論推論2( , ,fa ba設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)定

19、定義義在在上上為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn) 且且推論推論3( , ,fa ba設(shè)設(shè)非非負(fù)負(fù)函函數(shù)數(shù)定定義義于于為為瑕瑕點(diǎn)點(diǎn) 且且在在任任 , ( , lim()( ),pxau ba bxaf x 何何上上可可積積. .若若則則(i)01,0( )dbapf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，收收斂斂; ;(ii)1,0( )d.bapf xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，發(fā)發(fā)散散 sin tan arcsin arctanxxxxx利用利用可以判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分的收斂性可以判別一些非負(fù)函數(shù)瑕積分的收斂性. ln(1) e1 (0),xxx例例12313sind.1lnxxxx判判別別瑕瑕積積分分的的收收斂斂性性1,x 解解 瑕瑕點(diǎn)點(diǎn)為為1

20、 321 333sin1sin.ln(1)(1)ln(11)1xxxxxxxx由于由于21 33sinsin10(1),(1)3xxxx而而1 31 34 3111,(1)ln(11)(1)(1)(1)xxxxx224 33311dsind.(1)1lnxxxxxx因因此此由由發(fā)發(fā)散散知知發(fā)發(fā)散散例例210lnd.xxx判判別別瑕瑕積積分分的的收收斂斂性性解解0ln0(0,1).xxx是是瑕瑕點(diǎn)點(diǎn), ,由由于于3/ 41 400lnlimlimln0,xxxxxxx 1100lnln3dd.xxxxxx因因此此由由推推論論 知知收收即即, ,收收斂斂斂斂10( )d1axaxx 的的收收斂斂性

21、性. .11101( )dd11aaxxaxxxx (i)( ).10,1;I aaa先討論當(dāng)即時(shí)它是定積分先討論當(dāng)即時(shí)它是定積分討論反常積分討論反常積分例例3( )a 把把反反常常積積分分寫寫成成解解( )( ).I aJ a110lim1,1aaxxxx10.ax當(dāng)時(shí)它是瑕積分,瑕點(diǎn)為由于當(dāng)時(shí)它是瑕積分,瑕點(diǎn)為由于11.9011,pa因因此此由由定定理理的的推推論論 3,3,當(dāng)當(dāng)即即, ( )I a時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散. .(ii)( ),J a再再討討論論它它是是無無窮窮積積分分. .由由于于0,( )11,0aI apaa時(shí)時(shí) 瑕瑕積積分分收收斂斂; ;當(dāng)當(dāng)即即12limlim1,11aaxx

22、xxxxx11.3321,1paa因因此此由由定定理理的的推推論論 , ,當(dāng)當(dāng)即即aa 00 a 1a 1I (a)發(fā)散發(fā)散收斂收斂定積分定積分J (a)收斂收斂收斂收斂發(fā)散發(fā)散 (a)發(fā)散發(fā)散收斂收斂發(fā)散發(fā)散1, ( ),:J a 時(shí)時(shí)發(fā)發(fā)散散. .綜綜上上所所述述 總總結(jié)結(jié)如如下下1, ( );21,1J apaa 且且時(shí)時(shí)收收斂斂 而而當(dāng)當(dāng)即即且且( )01.aa 所所以以, ,只只有有當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)才才是是收收斂斂的的*一般函數(shù)的無窮積分的狄利克雷一般函數(shù)的無窮積分的狄利克雷判判定理定理11.5( (狄利克雷判別法）狄利克雷判別法）( )( )duaF uf xx若若0( ) ( )d.af

23、 x g xx單單調(diào)調(diào)趨趨于于 ，則則收收斂斂 ,)( ) ,)ag xax 在在上上有有界界，在在上上當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)lim( )0,xg x ,),( )d.0,uauaf xxM 設(shè)設(shè)由由于于證證,( ).4Ga xGg xM 存存在在時(shí)時(shí)故故別法和阿貝爾判別法判別其收斂性別法和阿貝爾判別法判別其收斂性. .,g因因?yàn)闉閱螁握{(diào)調(diào)函函數(shù)數(shù) 由由積積分分第第二二中中值值定定理理 對(duì)對(duì)任任意意的的221112( ) ( )d()( )d()( )d ,uuuuf x g xxg uf xxg uf xx 22.44MMMM 22()( )d( )duaag uf xxf xx 11()( )d( )d

24、uaag uf xxf xx 2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx2112,uuGu u 使得使得于于是是因此因此, 由柯西準(zhǔn)則，由柯西準(zhǔn)則，( ) ( )d.af x g xx收收斂斂 ,)( ) ( )d.aaf x g xx在在上上單單調(diào)調(diào)有有界界，則則收收斂斂證證 證法證法1( ), ,),g xM xa設(shè)設(shè)由由于于( )d,af xx收收斂斂210,GauuG 則則當(dāng)當(dāng)21( )d.4uuf xxM 定理定理11.6 (阿貝爾判別法阿貝爾判別法)( )d, ( )afxxg x若若收收斂斂由由 g 的單調(diào)性的單調(diào)性

25、, ,用積分第二中值定理，對(duì)于任意的用積分第二中值定理，對(duì)于任意的 2112,uuGu u 使得使得 21duuf x g xx2112()( )d()( )d .uug uf xxg uf xx 21( ) ( )duuf x g xx2112()( )d()( )duug uf xxg uf xx .442MMMM由柯西準(zhǔn)則由柯西準(zhǔn)則,( ) ( )d.af x g xx收收斂斂證法證法2( ) ,),g xaA因因在在上上單單調(diào)調(diào)有有界界 故故存存在在使使lim( ).xg xA11( )( ),( ) ,)0.g xg xAg xa令令則則在在上上單單調(diào)調(diào)趨趨于于因因此此( )d,( )( )duaaf xxF uf xx又又因因收收斂斂 故故在在 ,),a 上上有有界界由狄利克雷判別法由狄利克雷判別法1( )( )daf x g xx( ) ( )daf x g xx1( )( )d( )d.aaf x g xxAf xx收收斂斂例例611sincosdd (0)ppxxxx pxx討討論論與