數(shù)理方程第12講勒讓德多項式

1、第六章第六章 勒讓德多項式勒讓德多項式6.1 勒讓德方程及其解的表示勒讓德方程及其解的表示1 勒讓德方程勒讓德方程 勒讓德多項式勒讓德多項式在分離變量法一章中，我們已經(jīng)知道拉普拉斯方程在分離變量法一章中，我們已經(jīng)知道拉普拉斯方程0sin1)(sinsin1)(12222222ururrurrr222dd2(1)0ddRRrrl lRrr （1.1）在球坐標系下分離變量后得到歐拉型常微分方程在球坐標系下分離變量后得到歐拉型常微分方程和和球諧函數(shù)方程球諧函數(shù)方程22211sin(1)0sinsinYYl lY（.2）(1.2)式的解式的解( , )Y 與半徑與半徑r無關，故稱為無關，故稱為球諧函數(shù)

2、球諧函數(shù)或簡稱為或簡稱為球函數(shù)球函數(shù)球諧函數(shù)方程進一步分離變量，令球諧函數(shù)方程進一步分離變量，令( , )( )( )Y 得到關于得到關于的常微分方程的常微分方程 221ddsin(1)0sinddsinml l （1.3） 稱為稱為l階階連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程.令令cosx 和和( )( )y xx 把自變數(shù)從把自變數(shù)從換為換為x，則方程（，則方程（1.3）可以化為下列）可以化為下列l(wèi)階階連連帶勒讓德方程 形式的形式的l22222dd(1)2(1)0dd1yymxxl lyxxx（1.4） 若所討論的問題具有旋轉(zhuǎn)軸對稱性，即定解問題的解與若所討論的問題具有旋轉(zhuǎn)軸對稱性，即定解問題的解與

3、無關，則無關，則0m，即有，即有1dsin(1)0sinddl ld （1.5） 稱為稱為l階階勒讓德（勒讓德（legendre）方程）方程 同樣若記同樣若記 arc cosx，( )( )y xx 則上述方程也可寫為下列則上述方程也可寫為下列形式的形式的l階勒讓德方程階勒讓德方程2dd(1)(1)0ddyxl lyxx (1.6) 2 勒讓德多項式的表示勒讓德多項式的表示(1) 勒讓德多項式的級數(shù)表示勒讓德多項式的級數(shù)表示我們知道：在自然邊界條件下，勒讓德方程的解我們知道：在自然邊界條件下，勒讓德方程的解( )lP x為為 220(22 )!P ( )( 1)2!()!(2 )!lklkll

4、klkxxk lklk （1.7）式中式中 , 22 (0,1,2,)12, 212llnlnlln上式具有多項式的形式，故稱上式具有多項式的形式，故稱P ( )lx為為l階階勒讓德多項式勒讓德多項式勒讓德多項式也稱為勒讓德多項式也稱為第一類勒讓德函數(shù)第一類勒讓德函數(shù)式（式（1.7）即為）即為勒讓德多項式的級數(shù)表示勒讓德多項式的級數(shù)表示注意到注意到cosx, 故可方便地得出前幾個勒讓德多項式故可方便地得出前幾個勒讓德多項式: 0P ( )1x 1P ( )cosxx2211P ( )(31)(3cos 21)24xx3311P ( )(53 )(5cos33cos )28xxx42411P (

5、 )(35303)(35cos420cos29)864xxx53511P ( )(637015 )(63cos535cos330cos )8128xxxx642611P ( )(2313151055)(231cos6126cos4105cos250)16512xxxx勒讓德多項式的圖形可通過計算機仿真勒讓德多項式的圖形可通過計算機仿真(如如MATLAB仿真仿真)得到得到 圖 6.1 計算計算P (0)l，這應當?shù)扔诙囗検?，這應當?shù)扔诙囗検絇 ( )lx的常數(shù)項的常數(shù)項 如如l為為21n （即為奇數(shù)）時，則（即為奇數(shù)）時，則 21P( )nx只含奇只含奇 數(shù)次冪，不含常數(shù)項，所以數(shù)次冪，不含常數(shù)

6、項，所以21P(0)0n（.8） 2ln（即為偶數(shù)）時，（即為偶數(shù)）時， 則則2P ( )nx含有常數(shù)項，即含有常數(shù)項，即 （.7）中）中 2kln的那一項，所以的那一項，所以 2(2 )!(21)!P (0)( 1)( 1)2!2!(2 )!nnnnnnnnnn （.9） 式中記號式中記號 (2 )!(2 )(22)(24)6 4 2nnnn 而而(21)!(21)(23)(25)5 3 1nnnn 因此因此，(2 )!(2 )! (21)!nnn(2) 勒讓德多項式的微分表示勒讓德多項式的微分表示 21dP ( )(1)2! dlllllxxlx（1.10） 上式通常又稱為上式通常又稱為勒

7、讓德多項式的羅德里格斯（勒讓德多項式的羅德里格斯（Rodrigues）表示式表示式下面證明表達式下面證明表達式(1.10)和（和（1.7）是相同的）是相同的【證明證明】(略）略）6.2 勒讓德多項式的性質(zhì)勒讓德多項式的性質(zhì)1 勒讓德多項式的性質(zhì)勒讓德多項式的性質(zhì) (1) 勒讓德多項式的零點勒讓德多項式的零點對于勒讓德多項式的零點，有如下結(jié)論：對于勒讓德多項式的零點，有如下結(jié)論：（i）P ( )nx的的n個零點都是實的，且在個零點都是實的，且在) 1 , 1(內(nèi)；內(nèi)；（ii）P ( )nx的零點與的零點與1P( )nx的零點互相分離的零點互相分離 (2) 奇偶性奇偶性根據(jù)勒讓德多項式的定義式，作

8、代換根據(jù)勒讓德多項式的定義式，作代換(),xx 容易得到容易得到P ()( 1) P ( )lllxx （2.1） 即當即當l為偶數(shù)時，勒讓德多項式為偶數(shù)時，勒讓德多項式P ( )lx為偶函數(shù)，為偶函數(shù)，為奇數(shù)時為奇數(shù)時為奇函數(shù)為奇函數(shù) lP ( )lx(3) 勒讓德多項式的正交性及其模勒讓德多項式的正交性及其模不同階的勒讓德多項式在區(qū)間不同階的勒讓德多項式在區(qū)間 1,1上滿足上滿足12,1P ( )P ( )dnlln lxxxN(2.2) 其中其中,1 ()0 ()n lnlnl當當nl時滿足時滿足11P ( )P ( )0nlxx dx， (2.3)稱為正交性稱為正交性 相等時可求出其模

9、相等時可求出其模1212P ( ) (0,1,2,)21llNx dxll (2.4)下面給出公式（下面給出公式（2.2），及其模），及其模(2.4)的證明的證明 【證明證明】 （1）正交性）正交性 勒讓德多項式必然滿足勒讓德方程，故有勒讓德多項式必然滿足勒讓德方程，故有 22d(1)P ( )(1)P ( )0dd(1)P ( )(1)P ( )0dllnnxxl lxxxxn nxx兩式相減，并在兩式相減，并在-1,1 區(qū)間上對區(qū)間上對x積分，得積分，得122111ddP ( )(1)P ( )P ( )(1)P ( )ddd (1)(1)P ( )P ( )dnllnlnxxxxxxxx

10、xn nl lxxx因為上面等式左邊的積分值為因為上面等式左邊的積分值為 211(1)P ( )P ( )P ( )P ( ) |0nllnxxxxx所以當所以當nl時，必然有時，必然有 11P ( )P ( )d0lnxxx根據(jù)根據(jù) 成立成立 （2）模）模 （利用分部積分法證明）（利用分部積分法證明） 1221P ( ) dllNxx為了分部積分的方便，把上式的為了分部積分的方便，把上式的)(xPl用微分表示給出，則有用微分表示給出，則有21212221112121221221221111d (1)dd(1)d2 ( !)ddd1d (1)d(1)1d(1)dd (1)d2 ( !)dd2

11、( !)dddllllllllllllllllllllllxxNxlxxxxxxxxlxxlxxx注意到注意到lllxxx) 1() 1() 1(2以以1x為為l級零點，級零點， 故其故其(1)l 階導數(shù)階導數(shù) 121d(1)dlllxx必然以必然以1x為一級零點，從而上式已積出部分的值為零為一級零點，從而上式已積出部分的值為零 112121222111( 1)d(1) d(1)d2 ( !)ddllllllllxxNxlxx再進行再進行l(wèi)次分部積分，即得次分部積分，即得 221222221( 1)d (1)(1)d2 ( !)dlllllllxNxxlxlx) 1(2是是l 2次多項式，其次

12、多項式，其l 2階導數(shù)也就是最高冪項階導數(shù)也就是最高冪項lx2的的l 2階導數(shù)為階導數(shù)為)!2( l故故 12221(2 )!( 1)(1) (1) d2 ( !)llllllNxxxl 再對上式分部積分一次再對上式分部積分一次112112211111221(2 )!1( 1)(1) (1)(1)(1)d2 ( !)1(2 )!( 1)( 1)(1)(1)d2 ( !)1llllllllllllNxxlxxxllllxxxll 容易看出已積出部分以容易看出已積出部分以1x為零點為零點 至此，分部積分的結(jié)果是使至此，分部積分的結(jié)果是使) 1( x的冪次降低一次，的冪次降低一次，) 1( x的冪次

13、升高一次，的冪次升高一次， 且積分乘上一個相應的常數(shù)因子且積分乘上一個相應的常數(shù)因子繼續(xù)分部積分（計繼續(xù)分部積分（計l次），即得次），即得 120222112121(2 )!11( 1)( 1)(1) (1) d2 ( !)122112(1)22121llllllllllNxxxllllxll 故勒讓德多項式的模為故勒讓德多項式的模為 122lNl ), 2 , 1 , 0(l且有且有112P ( )P ( )d21llxxxl (4) 廣義傅里葉級數(shù)廣義傅里葉級數(shù)定理定理2.1 在區(qū)間 -1,1上的任一連續(xù)函數(shù)( ),f x可展開為勒讓德多項式的級數(shù)可展開為勒讓德多項式的級數(shù) 0( )P (

14、 )nnnf xCx （2.5） 其中系數(shù)其中系數(shù) 1121( )P ( )d2nnnCfxxx (2.6)在實際應用中在實際應用中,經(jīng)常要作代換經(jīng)常要作代換cosx,此時勒讓德方程的解為此時勒讓德方程的解為P (cos )n，這時有，這時有 0(cos )P (cos )nnnfC (2.7) 其中系數(shù)為其中系數(shù)為021(cos )P (cos )sin d2nnnCf （2.8）2. 勒讓德多項式的應用（廣義傅氏級數(shù)展開）勒讓德多項式的應用（廣義傅氏級數(shù)展開） 例例2.1 將函數(shù)函數(shù) 3( )f xx按勒讓德多項式形式展開按勒讓德多項式形式展開.【解解】 根據(jù)根據(jù) （2.5）設）設3001

15、 12233P ( )P ( )P ( )P ( )xCxCxCxCx考慮到考慮到 P ()( 1) P ( )nnnxx ，由由(2.6)顯然有顯然有 020CC11331111333P ( )dd225Cxxxxx x1133333117712P ( )d(5-3 )d2225Cxxxxxxx所以所以31332P ()P ()55xxx例例2.2 將函數(shù)將函數(shù) cos2 (0)展開為勒讓德多項式展開為勒讓德多項式P (cos )n形式形式 【解】【解】 用直接展開法用直接展開法令令 cosx，則由，則由22cos22cos121x 我們知道：我們知道：20121P ( )1, P ( ),

16、 P ( )(31)2xxxxx可設可設2001 12221P ( )P ( )P ( )xCxCxCx 考慮到勒讓德函數(shù)的奇偶性，顯然考慮到勒讓德函數(shù)的奇偶性，顯然10C 2202121(31)2xCCx由由20,xx項的系數(shù)，顯然得出項的系數(shù)，顯然得出2041, 33CC 故有故有 02021414cos(2 )P( )P( )P(cos )P(cos )3333xx下面我們給出一般性結(jié)論：下面我們給出一般性結(jié)論：結(jié)論結(jié)論1：設：設 k為正整數(shù)，可以證明：為正整數(shù)，可以證明：22222220021212123231 1P ( )P( )P ( )P( )P( )P ( )kkkkkkkkk

17、kxCxCxCxxCxCxCx結(jié)論結(jié)論2 ：根據(jù)勒讓德函數(shù)的奇偶性，若需展開的函數(shù)：根據(jù)勒讓德函數(shù)的奇偶性，若需展開的函數(shù)( )f x為奇函數(shù)，為奇函數(shù)， 則展開式（則展開式（2.5）系數(shù)）系數(shù)20nC若需展開的函數(shù)若需展開的函數(shù)( )f x為偶函數(shù)，則展開式（為偶函數(shù)，則展開式（2.5）系數(shù)）系數(shù)210nC 0,1,2,3,n 例例2.3 以勒讓德多項式為基，在-1,1區(qū)間上把3( )234f xxx展開為廣義傅里葉級數(shù)展開為廣義傅里葉級數(shù)【解解】 本例不必應用一般公式本例不必應用一般公式 ，事實上，事實上，( )f x是三次多項式（注意是三次多項式（注意( )f x既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)）

18、，既非奇函數(shù)，也非偶函數(shù)），設它表示為設它表示為33023012323021323234P ( )111(31)(53 )221335()()2222nnnxxCxCCxCxCxxCCCC xC xC x 比較同次冪即得到比較同次冪即得到3210421, 0, , 455CCCC由此得到由此得到30132142344P ( )P ( )P ( )55xxxxx例例3.1 求求0P (cos )sin(2 )dn 【解【解】 00P (cos )sin(2 )d2P (cos )cos d(cos )nn 11111 2P ( ) d2P ( )P ( )d4 (1) 30 (1)nnx x xxxxnn 11(1)P( )(21) P ( )P( )kkkkxkxxkx勒讓德多項式的遞推公式勒讓德多項式的遞推公式 證明（略）證明（略） 例例 3.2 求積分求積分 11P ( )P ( )dlnIxxxx【解【解】利用遞推公式（利用遞推公式（3.11） 11(1)P( )(21) P ( )P( )kkkkxkxxkx(1)k 故有故有1111111111111P ( )P ( )d(1)P ( )P ( )P ( )d211 P ( )P ( )dP ( )P ( )d2121lnllnlnlnIxxxxlxlxxxlllxxxxxxll