解析幾何與曲面方程

1、第一節(jié)、第一節(jié)、空間解析幾何空間解析幾何 與曲面方程與曲面方程 1. 空間解析幾何簡介空間解析幾何簡介一、空間點的直角坐標一、空間點的直角坐標二、空間兩點間的距離二、空間兩點間的距離 第六章第六章 x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o空間直角坐標系空間直角坐標系 三個坐標軸的正方向三個坐標軸的正方向符合符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當右手的四個手指當右手的四個手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時，大拇指的指向時，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.一、空間點的直角坐標一、空間點的直角坐標機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyozxoy

2、面面yoz面面zox面面空間直角坐標系共有空間直角坐標系共有八個卦限八個卦限機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11特殊點特殊點(及對稱點及對稱點)的表示：的表示：)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標軸上的點坐標軸上的點,P,Q,R坐標面上的點坐標面上的點,A,B,C機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 坐標軸 : 軸x00zy00 xz軸y軸z00yx坐標面 :面yox0 z面zoy0 x面xoz0 y機動 目錄 上頁 下頁

3、返回 結(jié)束 xyzo設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,222212NMPNPMd 二、空間兩點間的距離二、空間兩點間的距離機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式特殊地：若兩點分別為特殊地：若兩點分別為,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPN

4、QR 2M機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 四、二次曲面四、二次曲面五、平面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 三、柱面三、柱面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 曲面及其方程 難點 一、曲面方程的概念求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得即說明說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面.引例引例: :顯然在此平面上的點的坐標都滿足此方程, 不在此平面上的點的坐標不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設軌跡上的動點為, ),(zyxM,BMAM 則軌跡方程. 機動 目

5、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義1. 0),(zyxFSzyxo如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關系:(1) 曲面 S 上的任意點的坐標都滿足此方程;則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 S 的的方程方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個基本問題兩個基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2) 不在曲面 S 上的點的坐標不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時需作圖 ). 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 故所求方程為例1. 求動點到定點求動點到定點)

6、,(zyxM),(0000zyxM方程. 特別,當M0在原點時,球面方程為解解: 設軌跡上動點為RMM0即依題意距離為 R 的軌跡xyzoM0M222yxRz表示上(下)球面 .Rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx2222Rzyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例2. 研究方程研究方程042222yxzyx解解: : 配方得5, )0, 2, 1(0M此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222GFzEyDxzyxA球心為 一個球面球面, 或

7、點點 , 或虛軌跡虛軌跡.5)2() 1(222zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 定義定義2. . 一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 建立建立yoz面上曲線面上曲線C 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的的方程方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxM當繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,0),(11zyf,), 0(111CzyM若點給定 yoz 面上曲線 C: ), 0(111zyM),(zyxM1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點轉(zhuǎn)到0),(

8、zyfozyxC機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考：當曲線當曲線 C 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？0),(:zyfCoyxz0),(22zxyf機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例3. 試建立頂點在原點試建立頂點在原點, 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z 軸軸, 半頂角為半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線L 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方L), 0(zyM機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xy例4. 求坐標面求坐標面 xoz 上的雙曲線上的雙曲線12222czax分別繞 x軸和 z

9、軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 x 軸旋轉(zhuǎn)122222czyax繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222czayx這兩種曲面都叫做旋轉(zhuǎn)雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為z機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz三、柱面引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標也滿足方程222Ryx解解: :在 xoy 面上，表示圓C, 222Ryx222Ryx沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間中222Ryx過此點作柱面柱面. .對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面oC在圓C上任取一點 , )0 ,(1yxMlM1M),(zyxM點其上所有點的坐標都滿足此方

10、程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyzxyzol定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行于 C(且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準線準線, l 叫做母線母線.xyzoo機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準線 xoy 面上的曲線 l1

11、.母線準線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxF表示方程0),(zyG表示方程0),(xzHxyz3l機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyz1l四、二次曲面三元二次方程 適當選取直角坐標系可得它們的標準方程,下面僅 就幾種常見標準型的特點進行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. FzxEyxDxyCzByAx2220JIzHyGx(二次項系數(shù)不全為 0 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 zyx1. 橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)

12、與坐標面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xczby 012222yczax機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當 ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當abc 時為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 z2. 拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當 p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.

13、( p , q 同號)zyx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3. 雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時, 截痕為0czax)(bby或by 1)3時, 截痕為22122221byczax(實軸平行于z 軸;1yy zxyzxy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面),(

14、1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面P18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 圖形圖形4. 橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點與原點的連線均在曲面上.(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng) x 或 y 方向的伸縮變換得到)xyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、平面

15、的一般方程設有三元一次方程 以上兩式相減 , 得平面的點法式方程此方程稱為平面的一般平面的一般0DzCyBxA任取一組滿足上述方程的數(shù),000zyx則0)()()(000zzCyyBxxA0000DzCyBxA顯然方程與此點法式方程等價, )0(222CBA),(CBAn 的平面, 因此方程的圖形是法向量為 方程方程.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 特殊情形 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示 通過原點通過原點的平面; 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量平面平行于 x 軸;當 B= 0 時, A x+C z+D = 0 表示當 C= 0 時, A x+B y+D = 0 表示當 A=B= 0 時, C z + D = 0 表示當 B=C= 0 時, A x + D =0 表示當 A=C= 0 時, B y + D =0 表示0DCzByAx)0(222CBA平行于 y 軸的平面平行于 z 軸的平面平行于 xoy 面 的平面平行于 yoz 面 的平面平行于 zox 面 的平面,), 0(iCBn機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程0),(zyxF 球面2202020)()()(Rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如,