第五章大數(shù)定律與中心極限定理

1、第五章第五章 大數(shù)定理與中心極限定理大數(shù)定理與中心極限定理 “概率是頻率的穩(wěn)定值概率是頻率的穩(wěn)定值”。前面已經(jīng)提到，當。前面已經(jīng)提到，當隨機試驗的次數(shù)無限增大時，頻率總在其概隨機試驗的次數(shù)無限增大時，頻率總在其概率附近擺動，逼近某一定值。大數(shù)定理就是率附近擺動，逼近某一定值。大數(shù)定理就是從理論上說明這一結(jié)果。正態(tài)分布是概率論從理論上說明這一結(jié)果。正態(tài)分布是概率論中的一個重要分布，它有著非常廣泛的應用。中的一個重要分布，它有著非常廣泛的應用。中心極限定理闡明，原本不是正態(tài)分布的一中心極限定理闡明，原本不是正態(tài)分布的一般隨機變量總和的分布，在一定條件下可以般隨機變量總和的分布，在一定條件下可以漸近

2、服從正態(tài)分布。這兩類定理是概率統(tǒng)計漸近服從正態(tài)分布。這兩類定理是概率統(tǒng)計中的基本理論，在概率統(tǒng)計中具有重要地位。中的基本理論，在概率統(tǒng)計中具有重要地位。 1 大數(shù)定理大數(shù)定理22|XP 定理（契比雪夫定理（契比雪夫(Chebyshev)不等式）不等式）:設隨機變量X具有數(shù)學期望E(X)=,方差D(X)=2 ,則對于任意正數(shù),有221XP1.1 契比雪夫契比雪夫(Chebyshev)不等式不等式|)(|xdxxpXP|kxkxXPXP證明證明 (1)設X的概率密度為p(x),則有(2)設離散型隨機變量X的分布律為PX=xk=pk,則有|22)(|xdxxpx2222)()(1dxxpx|22kx

3、kkxXPx22221kkkpx41424|20|22XP 例例:在供暖的季節(jié),住房的平均溫度為20度,標準差為2度,試估計住房溫度與平均溫度的偏差的絕對值小于4度的概率的下界.解解4|20|XP4|20|1XP43411解解 時當2412222XP時當3913322XP1.2 大數(shù)定律大數(shù)定律1|)(11|lim11nkknkknXEnXnP 定義定義:設Xk是隨機變量序列，數(shù)學期望E(Xk)(k=1,2,.)存在，若對于任意 0，有則稱隨機變量序列Xn服從大數(shù)定律服從大數(shù)定律.1| )(11|lim11nkknkknXEnXnP,11nkknXnX記 定理（契比雪夫定理（契比雪夫(Cheb

4、yshev)大數(shù)定律）大數(shù)定律）:設Xk是兩兩不相關的隨機變量序列,具有數(shù)學期望E(Xk)和方差D(Xk)k=1,2,.若存在常數(shù)C,使得D(Xk) C(k=1,2,),則對于任意給定的0,恒有證明證明| )(11|lim11nkknkknXEnXnP所以nCXDnXnDXDnkknkkn11)(1)1()(1)1 (lim)(1 (lim22nCXDnnnnkknkknXEnXnEXE11)(1)1()(則| )(|limnnnXEXP1|1|1limnkknXnP 推論推論(契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況契比雪夫大數(shù)定律的特殊情況):設Xk是兩兩不相關的隨機變量序列,具有相同的數(shù)學期望E(Xk

5、)=和方差D(Xk)=2(k=1,2,),則對于任意給定的0,恒有注注:nkknkkXEnXnE11)(1)1(), 2 , 1( ni 解解 所以,滿足切比雪夫大數(shù)定理的條件,可使用大數(shù)定理. 伯努里伯努里大數(shù)定律大數(shù)定律: 設進行設進行n次獨立重復試驗，每次獨立重復試驗，每次試驗中事件次試驗中事件A發(fā)生的概率為發(fā)生的概率為p，記，記fn為為n次試驗中次試驗中事件事件A發(fā)生的頻率，則發(fā)生的頻率，則npfpn證明證明:設設01iX第第i次試驗事件次試驗事件A發(fā)生發(fā)生第第i次試驗事件次試驗事件A不發(fā)生不發(fā)生則則)1 ()(,)(ppXDpXEii由切由切比雪夫大數(shù)定律比雪夫大數(shù)定律pnXfPni

6、in 12 中心極限定理中心極限定理 在一定條件下,許多隨機變量的極限分布是正態(tài)分布:“若一個隨機變量X可以看著許多微小而獨立的隨機因素作用的總后果,每一種因素的影響都很小,都有不起壓倒一切的主導作用,則X一般都可以認為近似地服從正態(tài)分布.” 例如對某物的長度進行測量,在測量時有許多隨機因素影響測量的結(jié)果.如溫度和濕度等因素對測量儀器的影響,使測量產(chǎn)生誤差X1;測量者觀察時視線所產(chǎn)生的誤差X1;測量者心理和生理上的變化產(chǎn)生的測量誤差X3;顯然這些誤差是微小的、隨機的,而且相互沒有影響.測量的總誤差是上述各個因素產(chǎn)生的誤差之和,即Xi. 一般地,在研究許多隨機因素產(chǎn)生的總影響時,很多可以歸結(jié)為研

7、究相互獨立的隨機變量之和的分布問題,而通常這種和的項數(shù)都很大.因此,需要構(gòu)造一個項數(shù)越來越多的隨機變量和的序列:,.2 , 1,1nXnii 我們關心的是當n時,隨機變量和Xi的極限分布是什么?由于直接研究Xi的極限分布不方便,故先將其標準化為:)()(111niiniiniinXDXEXY再來研究隨機變量序列Yn的極限分布.nknkknkknknkkknnkknBXXDXEXYXDB111112)()()(dtexYPtnn2221lim 定義：定義：設Xk為相互獨立的隨機變量序列,有有限的數(shù)學期望E(Xk)=k和方差D(Xk)=k2,令若對于一切實數(shù)x,有則稱隨機變量序列Xk服從中心極限定

8、理中心極限定理.nkknkknkknknkkknnXnnXXDXEXY11111)()()(21)(22limlimxdtexYPxFtnnnn 定理定理(林德貝爾格林德貝爾格-勒維勒維(Lindeberg-Levy)定理定理):設Xk為相互獨立的隨機變量序列,服從同一分布,且具有數(shù)學期望E(Xk)=和方差D(Xk)=2 ,則隨機變量的分布函數(shù)Fn(x),對于任意x,滿足例例: : 將一顆骰子連擲將一顆骰子連擲100100次，則點數(shù)之和不少于次，則點數(shù)之和不少于500500的概率是多少？的概率是多少？解解 設設Xk為第為第k 次擲出的點數(shù)次擲出的點數(shù),k=1,2,100,則則X1,X100獨立

9、同分布獨立同分布.123544961)(,27)(61211ikXDXE由中心極限定理由中心極限定理1235102710050015001001iiXP0)78. 8(1210190100YP21020019021020021052. 01707. 02dtexpnpnpYPtnn2221)1 (lim 定理定理(De Moivre-Laplace中心極限定理中心極限定理):設隨機變量Yn服從二項分布Yn B(n,p), (op105的近似值. 解解:易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由獨立同分布的中心極限定理知近似服從標準正態(tài)分布N(0,1),于是 例例: : 在一家保險公司里有10000個人參加壽命保險，每人每年付12元保險費。在一年內(nèi)一個人死亡的概率為0.6%，死亡時其家屬可向保險公司領得1000元，問： (1)保險公司虧本的概率有多大？ (2)其他條件不變，為使保險公司一年的利潤不少于60000元，賠償金至多可設為多少？解解 設設X表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則表示一年內(nèi)死亡的人數(shù)，則XB(n, p), 其中其中n= 10000，p=0.6%，設設Y表示保險公司一年的利潤，表示保險公司一年的利潤， Y=10000 12-1000X于是于是由中心極限定理由中心極限定理