第三講第二節(jié)凸函數(shù)與凹函數(shù)

1、3.2 凸函數(shù)與凹函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)嚴格凸函數(shù)嚴格凸函數(shù)設(shè)設(shè) :,fxDR是非空凸集，是非空凸集，nRD 若對任意的若對任意的,(),x yD xy及任意的及任意的0,1都有：都有： 11fxyfxfy則稱函數(shù)則稱函數(shù) xf為為D上的嚴格凸函數(shù)。上的嚴格凸函數(shù)。注：注：將上述定義中的不等式反向，可以將上述定義中的不等式反向，可以得到得到嚴格凹函數(shù)嚴格凹函數(shù)的定義的定義凸函數(shù)l 對一元函數(shù)對一元函數(shù) ,xf在幾何上在幾何上 211xfxf 10 表示連接表示連接 2211,xfxxfx的線段的線段所以所以一元凸函數(shù)表示連接函數(shù)圖形上任意兩點一元凸函數(shù)表示連接函數(shù)圖形上任意兩點的線段總是位于曲線弧的

2、上方的線段總是位于曲線弧的上方 211xxf 表示在點表示在點 211xx 處的處的函數(shù)值函數(shù)值l 例例4.2.1(a) (a) 凸函數(shù)凸函數(shù) (b)(b)凹函數(shù)凹函數(shù)例：例：設(shè)設(shè) ,12 xxf試證明試證明 xf在在 ,上是嚴格凸函數(shù)上是嚴格凸函數(shù)證明證明: :設(shè)設(shè),Ryx 且且 1,0, yx都有：都有： yfxfyxf 11 22211111 yxyx 012 yx 因此因此, , xf在在 ,上是嚴格凸函數(shù)上是嚴格凸函數(shù)凸函數(shù)例：例：試證線性函數(shù)是試證線性函數(shù)是 nnTxcxcxcxcxf 2211nR上的凸函數(shù)上的凸函數(shù)證明證明: :設(shè)設(shè) ,1,0, Ryx則則 yxcyxfT 11

3、 yfxfycxcTT 11故故, ,xcT是凸函數(shù)是凸函數(shù)類似可以證明類似可以證明Tc x也是凹函數(shù)也是凹函數(shù).凸函數(shù)凸函數(shù)定理定理1 1 設(shè)設(shè) xf是凸集是凸集nRD 上的凸函數(shù)上的凸函數(shù)充要條件充要條件121ii11,.,0(1, 2,.,),1, fxf(x ).kkiiikkiiiixxxDik則)6()()(, 1),2 , 1( , 0,)(2111iniiiniiniiiixfxfnibax，bafJensen有任意則對上凸函數(shù)為若不等式例1),12 , 1(0,1,221111,21kiiikkkibaxxxx，knknn及設(shè)時當時命題成立設(shè)時由定義顯然成立當用數(shù)學歸納法證明

4、)6(,)()()()()()()(1 ()()11()1 ()1)1()(1,2 , 1,11111111111111111111111111111總有不等式凸函數(shù)由歸納法原理由假設(shè)則令fxfxfxfxfxfxfxfxxfxxxfxxxfkikkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkiikii凸函數(shù)定理定理2 2.)(max(x) ),.,2 , 1(0),(xf(x) ,.,ki11i21上上的的凸凸函函數(shù)數(shù)都都是是和和則則上上的的凸凸函函數(shù)數(shù)是是凸凸集集SxfkiSfffiikiik 正線性組合正線性組合下面的圖形給出了凸函數(shù)下面的圖形給出了凸函數(shù)xyy 2 4243,yxx

5、yxf 的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集的等值線的圖形，可以看出水平集是凸集. .凸函數(shù)凸函數(shù)凸函數(shù)定理定理1:1:設(shè)設(shè) xf是定義在凸集nRD 上，上，,Dyx 令令 ,1,0,1 tyttxft 則則: :(1)(1) xf是定義在凸集是定義在凸集是凸集是凸集D上的上的凸函數(shù)凸函數(shù)的充要條件是對的充要條件是對任意的任意的,Dyx一元函數(shù)一元函數(shù) t為為1,0上的凸函數(shù)上的凸函數(shù). .(2)(2)設(shè)設(shè),yxDyx 若若 t 在在 1,0上為上為嚴格嚴格凸函數(shù)凸函數(shù)， 則則 xf在在D上為嚴格凸函數(shù)上為嚴格凸函數(shù)該定理的該定理的幾何意義幾何意義是：凸函數(shù)上任意兩點之是：凸函數(shù)上任意兩點之間

6、的部分是一段向下凸的弧間的部分是一段向下凸的弧定理定理4 4設(shè)在凸集設(shè)在凸集nRD 上上 xf可微可微， 則：則： xf在D上為凸函數(shù)的充要條件是對任意的上為凸函數(shù)的充要條件是對任意的,Dyx 都有：都有： .xyxfxfyfT 嚴格凸函數(shù)嚴格凸函數(shù)( (充要條件充要條件)?)? ()Tfyf xf xyxxy 定理定理5:5:設(shè)在開凸集設(shè)在開凸集nRD 內(nèi)內(nèi) xf二階可微二階可微, ,則則 xf是D內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為內(nèi)的凸函數(shù)的充要條件為: :對任意對任意,Dx xf的的HesseHesse矩陣矩陣 xG半正定半正定, , 22221222222122122122122nnnnnxfxx

7、fxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxfxG其中：其中：例：例：.)2(.)1(,21)( :為為正正定定矩矩陣陣條條件件是是上上的的嚴嚴格格凸凸函函數(shù)數(shù)的的充充要要是是為為半半正正定定矩矩陣陣是是上上的的凸凸函函數(shù)數(shù)的的充充要要條條件件是是階階對對稱稱矩矩陣陣，則則是是其其中中為為二二次次函函數(shù)數(shù)，即即設(shè)設(shè)QRfQRfnQcxbQxxxfRRfnnTTn 凹函數(shù) 凸集的上等值集，或者直觀的說，凹函凸集的上等值集，或者直觀的說，凹函數(shù)就是凸集的邊界數(shù)就是凸集的邊界0)( f凹函數(shù)的經(jīng)濟意義消費者問題消費者問題邊際效用遞減邊際效用遞減生產(chǎn)者問題生產(chǎn)者問題邊際產(chǎn)量遞減邊際產(chǎn)量遞減N維問題維問題

8、邊際替代率遞減邊際替代率遞減凹函數(shù)的例子CD生產(chǎn)函數(shù)：生產(chǎn)函數(shù)：4 . 06 . 0LKy 投入組合投入組合1：)10,20(X15.1510204 . 06 . 0y投入組合投入組合2：)20,10(X19.1320104 . 06 . 0 y混合的投入：混合的投入：15)5 . 05 . 0(XXf平均為平均為14.17凹函數(shù)的例子n注意：只對要素價格注意：只對要素價格w是凹的。是凹的。時當5 . 0212wwyC n第一種要素價格上升，減少其投入量，增加第一種要素價格上升，減少其投入量，增加第二種要素投入，但它的價格維持不變，所第二種要素投入，但它的價格維持不變，所以總成本上升小于價格上升