重積分的應(yīng)用課件學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第一頁，共29頁。設(shè)設(shè) D 為可求面積的平面有界區(qū)域?yàn)榭汕竺娣e的平面有界區(qū)域, ( , )f x y在在 D 上上 具有具有(jyu)連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，( , ) ,( , )zf x yx yD 所表示所表示(biosh)的曲面的曲面 S 的面積的面積. (1) 對區(qū)域?qū)^(qū)域 D 作分割作分割 T，把，把 D 分成分成 n 個(gè)小區(qū)域個(gè)小區(qū)域 i (1,2, ).in 這個(gè)分割相應(yīng)這個(gè)分割相應(yīng)(xingyng)地將曲面地將曲面 S 也分成也分成 n 個(gè)個(gè) 小曲面片小曲面片(1,2, ).iS in iS,iM(2) 在每個(gè)在每個(gè) 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) 作曲面在這一點(diǎn)的

2、切作曲面在這一點(diǎn)的切 6重積分的應(yīng)用曲面的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量曲面的面積現(xiàn)討論由方程現(xiàn)討論由方程平面平面i , 并在并在i ,iA上取出一小塊上取出一小塊 iAiS使得使得 與與在在第1頁/共29頁第二頁，共29頁。近近用切平面用切平面iA代替代替小小 曲面片曲面片,iS從從而當(dāng)而當(dāng) T充分充分(chngfn)小時(shí)小時(shí), 11,nniiiiSSA,iiSSA 這里這里 分別分別 2138 圖圖xyz:( , )Szf x yDOiAi iMiSi 平面上的投影都是平面上的投影都是xy(見圖見圖 21-38).iM 在點(diǎn)在點(diǎn) 附附 6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的

3、面積的面積. ,iiS SA表示表示 1niiA0T (3) 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 定義和式定義和式的極限的極限 (若存在若存在) 作為作為 的面積的面積. S有有第2頁/共29頁第三頁，共29頁?，F(xiàn)在現(xiàn)在(xinzi)按照上述曲面面積的概念按照上述曲面面積的概念, 來建立曲面面積的來建立曲面面積的 計(jì)算公式計(jì)算公式. iA為此首先計(jì)算為此首先計(jì)算的面積的面積. 是曲是曲面面 S 在點(diǎn)在點(diǎn)(,)iiiiM 處的法向量處的法向量 n, 軸軸的夾角為的夾角為 ,i 則則 6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量|cos( , )|cos|in z ,iiAxy 因因?yàn)闉樵谠谄狡矫婷嫔?/p>

4、上的的投投影影為為所所以以221(,)(,).cosiixiiyiiiiAff 注意到和數(shù)注意到和數(shù) i的法向量就的法向量就 由于切平面由于切平面記它與記它與 z 221.1(,)(,)xiiyiiff 第3頁/共29頁第四頁，共29頁。22111(,)(,)nnixiiyiiiiiAff 是連續(xù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù) 221( , )( , )xyfx yfx y 在有界閉域在有界閉域 D 6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量上的積分和上的積分和, 而右邊而右邊趨于趨于 221( , )( , ) d d .xyDfx yfx yx y這就得這就得 到曲面到

5、曲面 S 的面積計(jì)算公式的面積計(jì)算公式: 221( , )( , ) d d ,(1)xyDSfx yfx yx y1d d .(2)|cos( , )|DSx yn z或另一形式或另一形式: 0T ;S 時(shí)時(shí), 上式左邊趨于上式左邊趨于 于是當(dāng)于是當(dāng) 第4頁/共29頁第五頁，共29頁。解解 據(jù)曲面據(jù)曲面(qmin)面積公式面積公式,221d d ,xyDSzzx y其中其中 D是是 222211,24xyxxy即即曲面曲面(qmin)方程方程 22zxy22xyx 例例1 求圓錐求圓錐 在圓柱體在圓柱體 內(nèi)內(nèi) 那一部分的面積那一部分的面積(min j).2222,xyxyzzxyxy故故 2

6、2.zxy是是 6重積分的應(yīng)用曲面的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2d dDSx y2212,xyzz22.4D第5頁/共29頁第六頁，共29頁。( , ),( , ),( , ),( , )(3)xx u vyy u vzz u vu vD 表示表示(biosh)，一階偏導(dǎo)數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)(do sh), 若空間曲面若空間曲面(qmin) S 由參數(shù)方程由參數(shù)方程 參數(shù)曲面的面積公式參數(shù)曲面的面積公式222( , )( , )( , )0,( , )( , )( , )y zz xx yu vu vu v6重積分的應(yīng)用曲面的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量( , ), ( , ), ( , )x u vy u vz

7、u v在在 D 上具有連續(xù)的上具有連續(xù)的 其中其中且且則曲面則曲面 S 在點(diǎn)在點(diǎn) ( , , )x y z的法的法線方向?yàn)榫€方向?yàn)?( , )( , )( , ),.( , )( , )( , )y zz xx ynu vu vu v 記記 第6頁/共29頁第七頁，共29頁。222( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )x yz xy zW u vu vu vu v2222222()()() ,uuuvvvuvuvu vxyzxyzx xy yz z 與與 z軸夾角的余弦為軸夾角的余弦為 n6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)

8、慣量其中其中 1( , )cos( , )( , )( , )x yn zW u vu v2( , )1,(4)( , )x yu vEGF 222,uuuExyz ,uvuvuvFx xy yz z222.vvvGxyz第7頁/共29頁第八頁，共29頁。則有則有 1d d|cos( , )|DSx yn z1( , )d d .|cos( , )|( , )Dx yu vn zx y由由(4),便得參數(shù)便得參數(shù)(cnsh)曲面曲面(3)的面積公式：的面積公式： ( , ),( , ),xx u vyy u v 2d d .(5)DSEGFu v6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重

9、心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量( , )0( , )x yu v 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí), 對公式對公式 (2) 作變換作變換: 第8頁/共29頁第九頁，共29頁。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例2 求球面上兩條緯線和兩條經(jīng)線之間曲面的面積求球面上兩條緯線和兩條經(jīng)線之間曲面的面積 （圖（圖21-39中陰影部分中陰影部分).解解 設(shè)球面的參數(shù)方程為設(shè)球面的參數(shù)方程為coscos ,cossin ,sin ,xRyRzR 其中其中 R 是是球面半徑球面半徑. 1212, 這里是求當(dāng)這里是求當(dāng) 時(shí)球面上的面積時(shí)球面上的面積. 2139 圖圖xyzO2 1 由于由于 第9頁/共29

10、頁第十頁，共29頁。2222,ExyzR 所以所以(suy) 由公式由公式(gngsh)(5)即得所求曲面的面積即得所求曲面的面積: 22cos .EGFR 22112dcosdSR 6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量22121()(sinsin).R0,F 22cos,GR 第10頁/共29頁第十一頁，共29頁。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求證此曲線繞求證此曲線繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面的面積為軸旋轉(zhuǎn)一周得到的旋轉(zhuǎn)面的面積為 22( ) 1( )d .baSf xfxx 證證 由于上半旋轉(zhuǎn)面的方程為由于上半旋轉(zhuǎn)面的方程為 2

11、2( ),zfxy22( )( ),( )xf x fxzfxy 2222222( )( )( )1.( )xyfxfx fxzzfxy ( ), , ( ( )0).yf xxa bf x*例例3 設(shè)平面光滑曲線的方程為設(shè)平面光滑曲線的方程為 因此因此222,( )yyzfxy 第11頁/共29頁第十二頁，共29頁。222()22()( )( )( )2dd( )bf xaf xfxfx fxSxyfxy 2()2021( )4d( )d( )1( )bfxafxyxf xyf xfx122014( ) 1( )dd1baf xfxxtt22( ) 1( ) d .baf xfxx 不妨設(shè)不

12、妨設(shè) ( )0, , ,f xxa b 則則 6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第12頁/共29頁第十三頁，共29頁。( , , )x y z 設(shè)密度函數(shù)為設(shè)密度函數(shù)為 的空間物體的空間物體 V， ( , , )x y z 在在 V 上連續(xù)上連續(xù)(linx).iV(,)iiiiV 于于是小塊是小塊 的質(zhì)量可用的質(zhì)量可用近似代替近似代替, 把每一塊看作質(zhì)量集中在把每一塊看作質(zhì)量集中在 (,)iii 的質(zhì)點(diǎn)時(shí)的質(zhì)點(diǎn)時(shí), 物體就可用這物體就可用這 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)(zhdin)系來近似代替系來近似代替.由于由于(yuy)質(zhì)點(diǎn)系的重

13、心坐標(biāo)公式為質(zhì)點(diǎn)系的重心坐標(biāo)公式為iV(,),iii 在屬于在屬于 T 的每一小塊的每一小塊 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)6重積分的應(yīng)用曲面的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量重心為求得為求得 V 的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo), 先對先對 V 作分割作分割 T, 若若整個(gè)整個(gè)第13頁/共29頁第十四頁，共29頁。11(,),(,)niiiiiinniiiiiVxV 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVyV 11(,),(,)niiiiiinniiiiiVzV 6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量第14頁/共29頁第十五頁，共29頁。的重心坐標(biāo)的重心坐標(biāo): ( , , )

14、d,( , , )dVVxx y zVxx y zV ( , , )d,( , , )dVVyx y zVyx y zV ( , , )d.( , , )dVVzx y zVzx y zV 當(dāng)物體當(dāng)物體 V 的密度均勻分布時(shí)的密度均勻分布時(shí), 即即 為常數(shù)時(shí)，為常數(shù)時(shí)， 0T 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)自然地可把它們的極限定義作為自然地可把它們的極限定義作為 V 6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量則有則有第15頁/共29頁第十六頁，共29頁。111d,d,d.VVVxx Vyy Vzz VVVV同樣可以得到同樣可以得到, 密度函數(shù)為密度函數(shù)為( , )x y 的平

15、面薄板的平面薄板 D 的的 重心坐標(biāo)重心坐標(biāo): ( , )d,( , )dDDxx yxx y當(dāng)當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，則有為常數(shù)時(shí)，則有6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量1d ,DxxD 1d .DyyD ( , )d.( , )dDDyx yyx y第16頁/共29頁第十七頁，共29頁。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例4 求密度均勻的上半橢球體的重心求密度均勻的上半橢球體的重心. 解解 設(shè)橢球體由設(shè)橢球體由 2222221,0 xyzzabc 表示表示. 又由又由 為常數(shù)為常數(shù), 所以所以 0,0.xy 稱

16、性知道稱性知道ddVVzVzV由由5 例例5 已知已知 2d d d,4Vz x y zabc d d d.23Vzx y zabc借助對借助對 即求得上半橢球體的重心坐標(biāo)為即求得上半橢球體的重心坐標(biāo)為 3( 0, 0,).8c第17頁/共29頁第十八頁，共29頁。 A 的質(zhì)量的質(zhì)量(zhling), r 是是 A 與與 l 的距離的距離. 現(xiàn)在討論空間物體現(xiàn)在討論空間物體 V 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問題的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量問題,我們我們(w men)仍然采仍然采 用前面用前面(qin mian)的辦法的辦法, 然后用取極限的方法求得然后用取極限的方法求得 V 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 設(shè)設(shè)( , , )x y z

17、為為 V 的密度函數(shù)的密度函數(shù), 它在它在 V 上連上連續(xù)續(xù).對對 V 作分割作分割 T, 在屬于在屬于 T 的每一小塊的每一小塊 iV上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) A 對于軸對于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為2,Jmr 6重積分的應(yīng)用曲面的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 其中其中 m 是是把把 V 看作由看作由 n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系， 照例照例(,),iii iV(,)iiiiV 以以近似替代近似替代 的質(zhì)量的質(zhì)量. 當(dāng)以質(zhì)點(diǎn)系當(dāng)以質(zhì)點(diǎn)系 (,),1,2,iiiin 近似替代近似替代 V 時(shí)時(shí), 第18頁/共29頁第十九頁，共29頁。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qm

18、in)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系對于對于x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是 22,1() (,).nx niiiiiiiJV 令令 0,T 上述和式的極限就是上述和式的極限就是 V 對于對于 x 軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 22() ( , , )d.xVJyzx y zV 動(dòng)慣量動(dòng)慣量: 類似可得類似可得 V 對于對于 y 軸與軸與 z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 22() ( , , )d,yVJzxx y zV 22() ( , , )d.zVJxyx y zV 第19頁/共29頁第二十頁，共29頁。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力

19、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量同理同理, 物體物體 V 對于坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為對于坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為 2( , , )d,xyVJzx y zV 2( , , )d,yzVJxx y zV 同樣地同樣地, 平面薄板平面薄板 D 對于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為對于坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 22( , )d ,( , )d ;xyDDJyx yJxx y2( , ) ( , )d ,lDJrx yx y( , )r x y( , )x y其中其中為為 D 中點(diǎn)中點(diǎn) 到到 l 的距離的距離. 2( , , )d.zxVJyx y zV 平面薄板平面薄板 D 對于軸對于軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 第20頁/共29頁第二

20、十一頁，共29頁。例例5 求密度均勻求密度均勻(jnyn)的圓環(huán)的圓環(huán) D 對于垂直于圓環(huán)面中心對于垂直于圓環(huán)面中心 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ( 圖圖21-40 ). 解解 設(shè)圓環(huán)設(shè)圓環(huán) D 為為 222212,RxyR密度為密度為 , 則則 D 中任一點(diǎn)中任一點(diǎn)(y din)( , )x y與與 z 軸的距離平方軸的距離平方22()dDJxy2140 圖圖xyzO于是于是(ysh)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為22.xy 為為 6重積分的應(yīng)用曲面的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量4421()2RR 其中其中 為圓環(huán)的質(zhì)量為圓環(huán)的質(zhì)量. 2221()mRR 21230ddRRrr2221(),2mRR第21頁/共

21、29頁第二十二頁，共29頁。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例6 求均勻圓盤求均勻圓盤 D 對其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量(圖圖21-41).解解 設(shè)圓盤設(shè)圓盤 D 為為222,xyR 密度為密度為 , 求對于求對于 y 軸的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn) 動(dòng)慣量動(dòng)慣量.( , )x y,x與與 y 軸的距離為軸的距離為 故故 xy2141 圖圖RDO2dDJx22300cosdddRrr r r 其中其中 m 為圓盤的質(zhì)量為圓盤的質(zhì)量. 由于由于 D 內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn) 2200d( cos )dRrrr421,44RmR 第22頁/共29頁第二十三頁，共29頁

22、。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量例例7 設(shè)某球體的密度與各點(diǎn)到球心的距離成正比，設(shè)某球體的密度與各點(diǎn)到球心的距離成正比， 試求它對于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量試求它對于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量. 解解 設(shè)球體由不等式設(shè)球體由不等式 2222xyzR 表示表示; 為為222,kxyz k 為比例常數(shù)為比例常數(shù); .xR 則球體對于此平面則球體對于此平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2222() d d dVJkxyzRxx y z223000dd(sincos )sin dRkRrrr密度函數(shù)密度函數(shù) 取切平面方程為取切平面方程為 第23頁/共29頁第二十四頁，共29頁

23、。223000ddsindRkRrr 2253000cosddsind ,Rkrr 611.9Jk R經(jīng)詳細(xì)經(jīng)詳細(xì)(xingx)計(jì)算計(jì)算, 可得可得6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量2420002cos ddsindRkRrr 第24頁/共29頁第二十五頁，共29頁。6重積分(jfn)的應(yīng)用曲面(qmin)的面積重心(zhngxn)引力轉(zhuǎn)動(dòng)慣量求密度為求密度為 ( , , )x y z 的立體的立體 V 對立體外單位質(zhì)點(diǎn)對立體外單位質(zhì)點(diǎn) A 的引力的引力.( , ,), ( , , )x y z設(shè)設(shè) A 的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為 V 中點(diǎn)的坐標(biāo)用中點(diǎn)的坐標(biāo)用 表表 示示,V 中質(zhì)量微元