連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則PPT課件

1、定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則一、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運(yùn)算,結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如,例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第1頁(yè)/共14頁(yè)定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的的.xey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函

2、數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.證: 設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00ux,)(0連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)函數(shù)函數(shù)uufy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x又如, 且即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第2頁(yè)/共14頁(yè)例如例如,xy1sin是由連續(xù)函數(shù)鏈),(,sinuuy,1xu *Rx因此xy1sin在*Rx上連續(xù) .復(fù)合而成 ,xyoxy1sin機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第3頁(yè)/共14頁(yè)例例1 .設(shè))()(xgxf與均在,ba上連續(xù),證明函數(shù))(, )(max)(xg

3、xfx 也在,ba上連續(xù).證:21)(x)()(xgxf)()(xgxf)()()(21xgxfx)()(xgxf根據(jù)連續(xù)函數(shù)運(yùn)算法則 ,可知)(, )(xx也在,ba上連續(xù) .)(, )(min)(xgxfx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第4頁(yè)/共14頁(yè)二、初等函數(shù)的連續(xù)二、初等函數(shù)的連續(xù)性性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為Znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)閆nnx,2因此它無(wú)連續(xù)點(diǎn)而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

4、第5頁(yè)/共14頁(yè)例例2. 求求.)1 (loglim0 xxax解:原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例3. 求.1lim0 xaxx解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說(shuō)明: 當(dāng), ea 時(shí), 有0 x)1ln(x1xexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第6頁(yè)/共14頁(yè)20cos12lim.1xxxe 解: :所以運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小的代換, , 有20cos12 lim1xxxe 220()22 limxxx 2201 lim()8xxx18 例4. 求0, x 因?yàn)楫?dāng)時(shí)222cos1 ()2, 122xxxex 第7頁(yè)

5、/共14頁(yè)1,41,)(xxxxx例例5. 設(shè)設(shè),1,21,)(2xxxxxf解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時(shí)連續(xù);而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類(lèi)間斷點(diǎn) .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時(shí)xfx在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 第8頁(yè)/共14頁(yè)023lim( ),lim( ),lim( ).xxxf xf xf x 例6. 求函數(shù)32233( )6xxxf xxx 的連續(xù)區(qū)間, 并求2(3)(1)(3)(2)xxxx213

6、2xxx 32233( )6xxxf xxx因?yàn)?, 3)( 3,2)(2,) 所以函數(shù)f (x) 的連續(xù)區(qū)間為解:第9頁(yè)/共14頁(yè)3220033lim( )lim6xxxxxf xxx 而而 3222233lim( )lim6xxxxxf xxx 3223333lim( )lim6xxxxxf xxx 23(3)(1)lim(3)(2)xxxxx 2318lim25xxx 12 第10頁(yè)/共14頁(yè)limlnln(2).nnnn limln2nnnn 2limln(1)2nnn 2lim ln(1)2nnn 2lnlim(1)2nnn 解: limlnln(2)nnnn 2lim2lnnnne 2ln2e 例7. 求第11頁(yè)/共14頁(yè) 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說(shuō)明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作業(yè)P69 3 (5) , (6) , (7) ; 4 (4) , (5) ,(6) ; 5第12頁(yè)/共14頁(yè)思考與練習(xí)思考與練習(xí),)(0連續(xù)在點(diǎn)若xxf是否連在問(wèn)02)(, )(xxfxf續(xù)? 反例, 1,1)