中外數(shù)學(xué)史第5、6、7章

1、中外數(shù)學(xué)史房元霞聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院2013.10第五章 張丘建算經(jīng)和孫子算經(jīng) 第一節(jié)第一節(jié) 張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)和百雞問題和百雞問題 張丘建，山東臨清一帶人，生平不詳，著有張丘建，山東臨清一帶人，生平不詳，著有張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)三卷，三卷，包括測量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程、利息等各方面的計算包括測量、紡織、交換、納稅、冶煉、土木工程、利息等各方面的計算問題問題, ,約成書于公元約成書于公元466-485466-485年。年。張丘建算經(jīng)張丘建算經(jīng)全書現(xiàn)存全書現(xiàn)存9292題，突出貢題，突出貢獻(xiàn)是求最小公倍數(shù)的方法、計算等差數(shù)列各元素的公式、不定方程問題。獻(xiàn)是求最小公倍數(shù)的方法、計算等

2、差數(shù)列各元素的公式、不定方程問題。卷上第22題的術(shù)文給出了等差數(shù)列公差的公式：1221nanSdn卷上第23題的術(shù)文給出了等差數(shù)列前幾項和公式：naaSnn21卷下第36題的術(shù)文是上述公式的特例：2) 1(321nnn 卷下最后一題是著名的百雞問題（百雞問題幾乎成了不定方程的代名詞） 今有雞翁一直錢五，雞母一直錢三，雞雛三直錢一，凡百錢買雞百只，問雞翁、母、雛各幾何？ 書中給出三組解：書中給出三組解：(1)(1)雞翁雞翁4 4，雞母，雞母1818，雞雛，雞雛7878；(2)(2)雞翁雞翁8 8，雞母，雞母1111，雞雛雞雛8181；(3)(3)雞翁雞翁1212，雞母，雞母4 4，雞雛，雞雛84

3、84 至于解法，則只提到：至于解法，則只提到：“雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益雞翁每增四，雞母每減七，雞雛每益( (增加增加) )三，即得三，即得” 這是一個不定方程問題設(shè)雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)分別為這是一個不定方程問題設(shè)雞翁、雞母、雞雛的只數(shù)分別為 則可列出方程組則可列出方程組zyx,1003135100zyxzyxtztytx3757254得其通解：由于 不能取負(fù)值，從而得到適合條件的 的三個值，求出方程以上的三組解。zyx,t第二節(jié)第二節(jié) 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng) 約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚?，F(xiàn)在傳本的約成書于四、五世紀(jì)，作者生平和編寫年代都不清楚?，F(xiàn)在傳本的孫子算經(jīng)孫子算

4、經(jīng)共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法則，有中國歷史上第一次關(guān)于度量衡的記載，有大數(shù)計數(shù)法，九九乘法表，平有中國歷史上第一次關(guān)于度量衡的記載，有大數(shù)計數(shù)法，九九乘法表，平方表等知識；卷中、下有方表等知識；卷中、下有6464個應(yīng)用問題，都是分?jǐn)?shù)四則運算、比例算法、個應(yīng)用問題，都是分?jǐn)?shù)四則運算、比例算法、面積和體積、盈不足、開平方、線性方程組解法等。卷下第面積和體積、盈不足、開平方、線性方程組解法等。卷下第3131題題“雞兔同雞兔同籠籠”問題，在民間得到廣泛流出，卷下第問題，在民間得到廣泛流出，卷下第2626題的題的“物不知數(shù)物不

5、知數(shù)”問題開一次問題開一次同余之先河。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶則進一步開創(chuàng)了對一次同余式理論的研同余之先河。南宋大數(shù)學(xué)家秦九韶則進一步開創(chuàng)了對一次同余式理論的研究工作，推廣究工作，推廣“物不知數(shù)物不知數(shù)”的問題。德國數(shù)學(xué)家高斯的問題。德國數(shù)學(xué)家高斯K.F. Gauss.K.F. Gauss.公元公元1777-18551777-1855年于公元年于公元18001800年出版的年出版的算術(shù)探究算術(shù)探究中明確地寫出了上述定中明確地寫出了上述定理。公元理。公元18521852年，英國基督教士偉烈亞力年，英國基督教士偉烈亞力Alexander WylieAlexander Wylie公元公元1815-1815

6、-18871887年將年將孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)“物不知數(shù)物不知數(shù)”問題的解法傳到歐洲，公元問題的解法傳到歐洲，公元18741874年年馬蒂生馬蒂生L.MathiesenL.Mathiesen指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的指出孫子的解法符合高斯的定理，從而在西方的數(shù)學(xué)史里將這一個定理稱為數(shù)學(xué)史里將這一個定理稱為“中國的剩余定理中國的剩余定理”Chinese remainder Chinese remainder theoremtheorem。 一、一、“物不知數(shù)物不知數(shù)”問題問題“和中國剩余定理和中國剩余定理 今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五

7、五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？答曰：二十三七數(shù)之剩二，問物幾何？答曰：二十三”術(shù)曰：N=140+63+30-210=23.令各余數(shù)分別為 ，則的同余式組321,rrr)7(mod2)5(mod3)3(mod2NNN由于3，5，7兩兩互素，所以（3，5，7）=105.因為)7(mod115)5(mod1121)3(mod1235所以)7(mod15)5(mod21)3(mod70332211rrrrrr于是).7(mod152171),5(mod152170),3(mod152170332123211321rrrrrrrrrrrr).7(mod152171),5(mod152170),3(

8、mod152170321321321rrrNrrrNrrrN).105(mod152170321rrrN二、二、“雞兔同籠雞兔同籠”問問題題 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)卷下第卷下第31問：問：“今有稚兔同籠，上有三十今有稚兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問稚兔各幾何？五頭，下有九十四足，問稚兔各幾何？ 答曰：稚二十三；兔一十二。答曰：稚二十三；兔一十二。 練習(xí)： 1.大油瓶每瓶裝4千克，小油瓶2瓶裝1千克，現(xiàn)有100千克油裝了共60個瓶子。問大小油瓶各多少個？ 2.小毛參加數(shù)學(xué)競賽，共做20道題，得64分，已知做對一道得5分，不做得0分，錯一題扣1分，又知道他做錯的題和沒做的同樣多。問小毛做對幾道題

9、？ 3.有蜘蛛，蜻蜓，蟬三種動物共18只，共有腿118條，翅膀20對（蜘蛛8條腿；蜻蜓6條腿，2對翅膀；蟬6條腿，1對翅膀），三種動物各幾只？ 河上蕩杯問題河上蕩杯問題 今有婦人河上蕩杯（洗碗），津吏問曰：今有婦人河上蕩杯（洗碗），津吏問曰：“杯何杯何以多？以多？”（碗為何這么多）婦人曰：（碗為何這么多）婦人曰：“家有客。家有客。”津吏問：津吏問：“客幾客幾何？何？”婦人曰：婦人曰：“二人共飯（二人共用一個碗盛飯），三人共羹（三二人共飯（二人共用一個碗盛飯），三人共羹（三人共用一個碗盛湯），四人共肉，凡用杯（碗）六十五，不知客幾何？人共用一個碗盛湯），四人共肉，凡用杯（碗）六十五，不知客幾何？

10、“請你幫助津吏算一下，共有客人多少位？請你幫助津吏算一下，共有客人多少位？ 三、三、“三女回合三女回合”問題問題 孫子算經(jīng)孫子算經(jīng)卷下第卷下第3535問：今有三女，長女五日一歸，中女四日問：今有三女，長女五日一歸，中女四日一歸，少女三日一歸。問三女幾何日相會？一歸，少女三日一歸。問三女幾何日相會？ 答曰：六十日。（由于答曰：六十日。（由于3 3，4 4，5 5兩兩互素）兩兩互素）第六章第六章 祖氏數(shù)學(xué)世家祖氏數(shù)學(xué)世家 第一節(jié)第一節(jié) 祖沖之父子及其數(shù)學(xué)思想祖沖之父子及其數(shù)學(xué)思想一、祖沖之及其學(xué)術(shù)成就一、祖沖之及其學(xué)術(shù)成就 祖沖之（公元祖沖之（公元429-500429-500）字文遠(yuǎn)，祖籍河北淶源

11、縣。活）字文遠(yuǎn)，祖籍河北淶源縣?；钴S于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過南徐州躍于南朝宋、齊兩代，出生于歷法世家，本人做過南徐州（今鎮(zhèn)江）從事史和建康（南京）公府參軍等職，都是地位（今鎮(zhèn)江）從事史和建康（南京）公府參軍等職，都是地位不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家不高的小官，但他卻成為歷代為數(shù)很少能名列正史的數(shù)學(xué)家之一。之一。 祖沖之的主要數(shù)學(xué)成就：1.1.著著綴（綴（zhuizhui）術(shù)）術(shù)、九章算術(shù)注九章算術(shù)注、重差注重差注；2.2.關(guān)于關(guān)于圓周率圓周率的計算；的計算；世界上首次將圓周率精確到小數(shù)點后世界上首次將圓周率精確到小數(shù)點后7 7位。位。3.3.關(guān)于球體積

12、的計算；關(guān)于球體積的計算；4.“4.“開差冪開差冪”和和“開差立開差立”；5.5.在天文歷法上成就卓著；在天文歷法上成就卓著；6.6.在機械制造上多有貢獻(xiàn)。在機械制造上多有貢獻(xiàn)。二、二、祖祖暅暅之之及其學(xué)術(shù)成就及其學(xué)術(shù)成就1.1.修補編輯修補編輯綴術(shù)綴術(shù)；2.2.祖祖暅暅原理原理 ；3.3.天文學(xué)上的貢獻(xiàn)。天文學(xué)上的貢獻(xiàn)。第二節(jié)第二節(jié) 祖沖之父子對球體積的研究祖沖之父子對球體積的研究 1. 1.劉徽的研究基礎(chǔ)劉徽的研究基礎(chǔ) 首先證明了首先證明了九章算術(shù)九章算術(shù)中的球體中的球體積公式是不正確的，并在積公式是不正確的，并在九章算術(shù)九章算術(shù)“開立圓術(shù)開立圓術(shù)”注文中指出了一條推算球注文中指出了一條推

13、算球體積公式的正確途徑。體積公式的正確途徑。 劉徽創(chuàng)造了一個新的立體圖形，他劉徽創(chuàng)造了一個新的立體圖形，他稱之為稱之為“牟合方蓋牟合方蓋”，并指出：球的體積與牟合方蓋的體積之比為，并指出：球的體積與牟合方蓋的體積之比為：4。一旦。一旦算出算出牟合方蓋的體積，球體積公式也就唾手可得。在一立方體內(nèi)作兩個互相垂直牟合方蓋的體積，球體積公式也就唾手可得。在一立方體內(nèi)作兩個互相垂直的內(nèi)切圓柱。這兩個圓柱體相交的部分，就是劉徽所說的的內(nèi)切圓柱。這兩個圓柱體相交的部分，就是劉徽所說的“牟合方蓋牟合方蓋”。牟。牟合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在內(nèi)并且同它相切。如果用同一個水平面合方蓋恰好把立方體的內(nèi)切球包含在

14、內(nèi)并且同它相切。如果用同一個水平面去截它們，就得到一個圓（球的截面），和它的外切正方形（牟合方蓋的截去截它們，就得到一個圓（球的截面），和它的外切正方形（牟合方蓋的截面）。劉徽開辟了通向球體積公式的正確道路卻沒有達(dá)到目標(biāo)，但它的思路面）。劉徽開辟了通向球體積公式的正確道路卻沒有達(dá)到目標(biāo)，但它的思路為祖氏父子解決這一問題打下了基礎(chǔ)。為祖氏父子解決這一問題打下了基礎(chǔ)。4422rrSS正方形圓4牟球VV2.祖氏父子的研究 祖暅的方法是先研究“牟合方蓋”的八分之一，如左圖，設(shè)=h ，過P點作平面PQRS平行于OABC。又設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則OS=OQ= r，故此，PS= ，正方形PQRS的面積是 。

15、從而中圖中陰影部分的面積是 根據(jù)祖暅原理很容易得到外棋與倒立的正四棱錐體積相等的結(jié)論。22hr 22hr 祖暅稱牟合方蓋的八分之一為內(nèi)棋，棋中除去牟合方蓋的部分為外棋，如果算出外棋的體積，也就能算出內(nèi)棋的體積。第七章第七章 中國數(shù)學(xué)專科教育制度的確立中國數(shù)學(xué)?？平逃贫鹊拇_立 形成于周代的數(shù)學(xué)教育經(jīng)過秦、漢、三國、兩晉、南北朝幾代沒有發(fā)生根本形成于周代的數(shù)學(xué)教育經(jīng)過秦、漢、三國、兩晉、南北朝幾代沒有發(fā)生根本的變化。隋朝開創(chuàng)了科舉制度，國子寺設(shè)的變化。隋朝開創(chuàng)了科舉制度，國子寺設(shè)“算學(xué)算學(xué)”科，將算學(xué)列為基本國學(xué)之一，科，將算學(xué)列為基本國學(xué)之一，是我國最早開設(shè)是我國最早開設(shè)數(shù)學(xué)?？茖W(xué)校數(shù)學(xué)?？茖W(xué)

16、校的具有世界歷史意義。的具有世界歷史意義。第一節(jié)第一節(jié) 算學(xué)館與算學(xué)館與“算經(jīng)十書算經(jīng)十書” 公元公元656年唐朝在國子監(jiān)設(shè)算學(xué)館，數(shù)學(xué)是國子監(jiān)設(shè)立的六個專業(yè)之一，王年唐朝在國子監(jiān)設(shè)算學(xué)館，數(shù)學(xué)是國子監(jiān)設(shè)立的六個專業(yè)之一，王孝通、劉孝孫都做個算學(xué)博士，共招收學(xué)生孝通、劉孝孫都做個算學(xué)博士，共招收學(xué)生30人，根據(jù)學(xué)生的不同程度進行教學(xué)，人，根據(jù)學(xué)生的不同程度進行教學(xué)，教材是李淳風(fēng)、梁述、王真儒等人注釋的十部算經(jīng)教材是李淳風(fēng)、梁述、王真儒等人注釋的十部算經(jīng)（抄寫使用）（抄寫使用）。 第一組：第一組：15人，課程有九章算術(shù)、海島算經(jīng)共人，課程有九章算術(shù)、海島算經(jīng)共3年，孫子算經(jīng)、年，孫子算經(jīng)、五曹算

17、經(jīng)共五曹算經(jīng)共1年，張丘建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)共年，張丘建算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)共1年，周髀算經(jīng)、年，周髀算經(jīng)、五經(jīng)算術(shù)共五經(jīng)算術(shù)共1年；年； 第二組：第二組：15人，課程有綴術(shù)人，課程有綴術(shù)4年、緝古算經(jīng)年、緝古算經(jīng)3年，并兼習(xí)數(shù)術(shù)記年，并兼習(xí)數(shù)術(shù)記遺、三等數(shù)。遺、三等數(shù)。 兩組共出兩組共出10道題進行考試，通過的學(xué)生送到全國各有關(guān)部門任道題進行考試，通過的學(xué)生送到全國各有關(guān)部門任9品以下的低品以下的低級官吏。級官吏。 公元公元1084年，秘書省翻刻了算學(xué)科的年，秘書省翻刻了算學(xué)科的9部教材（綴術(shù)失傳），據(jù)考證部教材（綴術(shù)失傳），據(jù)考證夏侯陽算經(jīng)也非原著。到夏侯陽算經(jīng)也非原著。到1200年年1213年

18、間，鮑瀚之收集刊行時，補入年間，鮑瀚之收集刊行時，補入數(shù)術(shù)記遺，明代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)衰弱，緝古算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)又散佚，只數(shù)術(shù)記遺，明代傳統(tǒng)數(shù)學(xué)衰弱，緝古算經(jīng)、夏侯陽算經(jīng)又散佚，只剩下的剩下的5部半于部半于1980年由文物出版社影印成宋刻算經(jīng)六種。年由文物出版社影印成宋刻算經(jīng)六種。第二節(jié)第二節(jié) 隋唐時期的數(shù)學(xué)隋唐時期的數(shù)學(xué) 中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展相對沉悶，一些理論成就主要體現(xiàn)在與歷法研究的結(jié)合。中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展相對沉悶，一些理論成就主要體現(xiàn)在與歷法研究的結(jié)合。一、王孝通與緝古算經(jīng)一、王孝通與緝古算經(jīng) 王孝通王孝通的生卒年代不詳，生平事跡世人所知也不多。他大約生于北周武的生卒年代不詳，生平事跡世人所知也不多。他

19、大約生于北周武帝年間（帝年間（561年年579年）。王孝通在隋朝做過官，唐初奉敕?？边^傅仁均歷。年）。王孝通在隋朝做過官，唐初奉敕?？边^傅仁均歷。他是唐初的算歷博士，官至通直郎太史丞。嘗于武德六年他是唐初的算歷博士，官至通直郎太史丞。嘗于武德六年(623)、九年、九年(625)兩次校勘傅仁鈞所編兩次?？备等殊x所編“戊寅元歷戊寅元歷”，駁正錯誤三十余條。，駁正錯誤三十余條。著緝古算經(jīng)著緝古算經(jīng)。 緝古算經(jīng)，包括緝古算經(jīng)，包括20個問題，除第個問題，除第1題是計算月亮方位的天文歷法方面題是計算月亮方位的天文歷法方面的問題外，第的問題外，第25題是修筑臺、堤、河道等計算問題，第題是修筑臺、堤、河道等

20、計算問題，第614題是各種糧題是各種糧倉、糧窖的修筑問題，第倉、糧窖的修筑問題，第1520題都是和直角三角形有關(guān)的所謂勾股問題。題都是和直角三角形有關(guān)的所謂勾股問題?，F(xiàn)傳本中現(xiàn)傳本中(明毛晉汲古閣影抄南宋本明毛晉汲古閣影抄南宋本)，第，第17，18，19，20等四問題已殘缺不等四問題已殘缺不全。緝古算經(jīng)的編撰年代不詳，據(jù)專家考證應(yīng)在武德九年之前。全。緝古算經(jīng)的編撰年代不詳，據(jù)專家考證應(yīng)在武德九年之前。 緝古算經(jīng)最重要的內(nèi)容，是關(guān)于修筑兩端寬狹不一，且高低不同的緝古算經(jīng)最重要的內(nèi)容，是關(guān)于修筑兩端寬狹不一，且高低不同的堤壩之類的問題。孝通從對幾何圖形的認(rèn)識列出系數(shù)一元三次方程式，并完堤壩之類的問

21、題。孝通從對幾何圖形的認(rèn)識列出系數(shù)一元三次方程式，并完成所謂成所謂“帶從開立方帶從開立方”解法。全書二十個問題中，列出的三次方程式多達(dá)二解法。全書二十個問題中，列出的三次方程式多達(dá)二十八個。惟所列方程的系數(shù)和解出的根，都限于正數(shù)。十八個。惟所列方程的系數(shù)和解出的根，都限于正數(shù)。 堤壩型體積公式九章算術(shù)商功章雖有許多體積公式，但都比較規(guī)則，對于上下寬窄不一，前后高低不同的堤壩型體積計算則無能為力。王孝通研究了筑壩、挖河等工程建設(shè)中提出的這類問題，在緝古算經(jīng)第3題中建立了新的公式原題為：“假令筑堤，西頭上、下廣差六丈八尺二寸，東頭上、下廣差六尺二寸，東頭高少于西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸，

22、正袤多于東頭高四百七十六尺九寸?！蓖跣⑼ㄓ梦淖?jǐn)⑹龅姆椒ńo出了求這類堤壩體積的一般公式。 設(shè)東頭上寬a，下寬b，西頭上寬a，下寬b，東頭高h(yuǎn)，西頭高h(yuǎn)，東西水平長l，則王孝通的公式相當(dāng)于 題中a與a等長，即使不等長，這一公式也適用凡是有兩個面平行的六面體體積都可用這一公式求出來。 王孝通創(chuàng)立的堤壩型體積公式，在土木工程中有重要意義，遺憾的是他沒有留下公式的推導(dǎo)過程。 三次方程緝古算經(jīng)20道題 “假令太史造仰觀臺，上廣袤少，下廣袤多上下廣差二丈，上下袤差四丈，上廣袤差三丈，高多上廣一十一丈。甲縣差一千四百一十八人，乙縣差三千二百二十二人，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢”所求為臺的長、寬、高。

23、仰觀臺實際是一個長方臺，即芻童王孝通先求上寬，相當(dāng)于以上寬為x，于是下寬為x2，上長為x+3，下長為x+7，高為x11。若以V表示臺的體積，則根據(jù)王孝通的術(shù)文，有V(14183222)0.07551740(丈3)代入九章算術(shù)中的芻童體積公式，得化簡，得不過，題中并無設(shè)未知數(shù)的明確步驟，也沒有數(shù)學(xué)符號。王孝通是通過幾何方法，以文字形式建立方程的。至于方程解法，王孝通只說“開立方除之”，估計是用九章算術(shù)開立方法中求方根第二位及以后各位的方法來求三次方程正根的。為了簡化開方程序，王孝通把所有三次方程的最高項系數(shù)化為1。經(jīng)驗證，其解答都是正確的。503321551523xxx二、劉焯與二次等間距內(nèi)插法二、劉焯與二次等間距內(nèi)插法 劉焯（zhuo）（544年610年），字士元，隋朝經(jīng)學(xué)家、天文學(xué)家，今河北冀縣人。劉焯自幼聰慧，是個博學(xué)之士，天下名儒有了疑問、學(xué)子求學(xué)，常千里慕名而至。著述有著述有稽極稽極十卷、十卷、歷書歷書十卷、十卷、五經(jīng)述議五經(jīng)述議等書，后散失。清馬國翰玉函山房輯佚書中輯有尚書劉氏義疏1卷。唐魏征隋書“儒林”中介紹劉焯時說：“論者以為數(shù)百年以來，博學(xué)通儒，無能出其右者?！?劉焯精通天文學(xué)，他發(fā)現(xiàn)隋朝的歷法多存謬誤，多次建議修改。公元600年，他創(chuàng)皇極歷皇極歷，首次考慮到太陽視運動的不均性