函數(shù)的定義域和求法講解

1、. .PAGE13 / NUMPAGES13函數(shù) 一、 函數(shù)的定義域與求法 1、 分式的分母0；偶次方根的被開方數(shù)0； 2、 對數(shù)函數(shù)的真數(shù)0；對數(shù)函數(shù)的底數(shù)0且1； 3、 正切函數(shù)：x k + /2 ,kZ；余切函數(shù)：x k ,kZ ； 4、 一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的定義域為R； 5、 定義域的相關(guān)求法：利用函數(shù)的圖象（或數(shù)軸）法；利用其反函數(shù)的值域法； 6、 復(fù)合函數(shù)定義域的求法：推理、取交集與分類討論例題：1、 求下列函數(shù)的定義域3、已知函數(shù)y=lg(mx2-4mx+m+3)的定義域為R，數(shù)m的取值圍解析：利用復(fù)合函數(shù)的定義域進行分類討論 當(dāng)m=0時，則mx2-4mx+m+3=3，

2、 原函數(shù)的定義域為R； 當(dāng)m0時，則 mx2-4mx+m+30， m0時，顯然原函數(shù)定義域不為R； m0，且(-4m)2-4m(m+3)1或y-1 5、利用零點討論法 由題意可知函數(shù)有3個零點-3，1，2， 當(dāng)x9 當(dāng)-3x1 時，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 5y9 當(dāng)1x2 時，y=(x-1)+(x+3)-(x-2)=x+4 5y6 當(dāng)x 2時，y=(x-1)+(x+3)+(x-2)=3x y6 綜合前面四種情況可得，原函數(shù)的值域是5,+) 6、利用函數(shù)的有界性三、 函數(shù)的單調(diào)性與應(yīng)用1、 A為函數(shù)f(x)定義域某一區(qū)間，2、 單調(diào)性的判定：作差f(x1)-f(x2)

3、判定；根據(jù)函數(shù)圖象判定；3、 復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定：f(x),g(x) 同增、同減，f(g(x) 為增函數(shù)，f(x),g(x)一增、一減，f(g(x) 為減函數(shù)例題：2、設(shè)a0且a1，試求函數(shù)y=loga(4+3x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間解析：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定 由題意可得原函數(shù)的定義域是（，）， 設(shè)u=4+3x-x2 ，其對稱軸是 x=3/2 ， 所以函數(shù)u=4+3x-x2 ，在區(qū)間（，3/2 上單調(diào)遞增；在區(qū)間3/2 ，4）上單調(diào)遞減 a時，y=logau 在其定義域為增函數(shù)，由 xuy ，得函數(shù)u=4+3x-x2 的單調(diào)遞增區(qū)間（，3/2 ，即為函數(shù)y=loga(4+3x-x2)

4、 的單調(diào)遞增區(qū)間 a時，y=logau 在其定義域為減函數(shù)，由 xuy ，得函數(shù)u=4+3x-x2 的單調(diào)遞減區(qū)間3/2 ，4），即為函數(shù)y=loga(4+3x-x2)的單調(diào)遞增區(qū)間3、已知y=loga(2-ax) 在0，1上是x 的減函數(shù)，求a的取值圍。解析：利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定 由題意可知，a設(shè)ug(x)=2ax，則g(x)在，上是減函數(shù)，且x=時，g(x)有最小值umin=2-a 又因為ug(x)2ax，所以， 只要 umin=2-a則可，得a又y=loga(2-ax) 在0，1上是x 減函數(shù)，ug(x)在，上是減函數(shù)，即xuy ，所以y=logau是增函數(shù)，故a綜上所述，得a2、

5、已知f(x)的定義域為（，），且在其上為增函數(shù)，滿足f(xy)=f(x)+f(y)，f(2)=1 ，試解不等式f(x)+f(x-2)3 解析：此題的關(guān)鍵是求函數(shù)值所對應(yīng)的自變量的值 由題意可得，f(4)=f(2)+f(2)=2 ，3=2+1=f(4)+f(2)=f(42)=f(8) 又f(x)+f(x-2)=f(x2-2x) 所以原不等式可化成f(x2-2x)f(8) 所以原不等式的解集為x|2x4四、函數(shù)的奇偶性與應(yīng)用1、 函數(shù)f(x)的定義域為D，xD ，f(-x)=f(x) f(x)是偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)是奇函數(shù) 2、 奇偶性的判定：作和差f(-x) f(x)=0 判定；作商f

6、(x)/f(-x)= 1,f(x)0 判定3、 奇、偶函數(shù)的必要條件是：函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；4、 函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 奇函數(shù)； 函數(shù)的圖象關(guān)y軸對稱 偶函數(shù)5、 函數(shù)既為奇函數(shù)又為偶函數(shù) f(x)=0,且定義域關(guān)于原點對稱;6、 復(fù)合函數(shù)的奇偶性：奇奇=奇，偶偶=偶，奇奇=偶，偶偶=偶，奇偶=奇例題：解析：利用作和差判斷由題意可知，函數(shù)的定義域是R，設(shè)x為R任意實數(shù)， 即，f(x) = -f(x) ，原函數(shù)是奇函數(shù)利用作商法判斷 由題意可知，函數(shù)的定義域是R，設(shè)x為R任意實數(shù)，（）f(x) 的圖象關(guān)于直線x=1對稱， f1-(1-x)f1+(1-x) ，xR ，即f(x) f(2-x

7、) ， 又 f(x)在R上為偶函數(shù)， f(-x)f(x)f(2-x)f(2+x) f(x)是周期的函數(shù)，且2是它的一個周期五、 函數(shù)的周期性與應(yīng)用1、設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為D，xD,存在非0常數(shù)T，有f(x+T)=f(x) f(x)為周期函數(shù)，T為f(x)的一個周期；2、 正弦、余弦函數(shù)的最小正周期為2，函數(shù)y=Asin(x+)和y=Acos(x+)的最小正周期是T = 2/| ；3、 正切、余切函數(shù)的最小正周期為，函數(shù)y=Atan(x+)和y=Acot(x+)的周期是T=/| ； 4、 周期的求法：定義域法；公式法；最小公倍數(shù)法；利用函數(shù)的圖象法； 5、 一般地，sinx 和cosx類

8、函數(shù)加絕對值或平方后周期減半，tanx 和cotx類函數(shù)加絕對值或平方后周期不變（如：y=|cos2x| 的周期是/2 ，y=|cotx|的周期是例題：1、 求函數(shù) y = |sinx|+|cosx|的最小正周期解析：利用周期函數(shù)的定義 y = |sinx|+|cosx|=|-sinx|+|cosx| =|cos(x + /2)|+|sin(x + /2)| 即對于定義域的每一個x，當(dāng)x增加到(x + /2)時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此函數(shù)的最小正周期是/2 3、 求函數(shù)y=sin3x+tan(2x/5) 的最小正周期解析：最小公倍數(shù)法和公式法， （設(shè)f(x)、g(x) 是定義在公共集合上的兩上三角周期函數(shù)，T1、T2分別是它們的周期，且T1T2，則f(x) g(x) 的最小正周期等于T1、T2的最小公倍數(shù)）（注：分數(shù)的最小公倍數(shù) = 分子的最小公倍數(shù)/分母的最大公約數(shù)）由題意可知，sin3x的周期是T1= 2/3，tan(2x/5)的周期是T2=5/2，原函數(shù)的周期是T=10/1 =10 4、 求函數(shù)y=|tanx|的最小正周期解析：利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的周期 函數(shù)y=|tanx|的簡圖如