氣體動(dòng)力學(xué)講義(馮喜平編)(修改版)

1、I氣體動(dòng)力學(xué)氣體動(dòng)力學(xué)多維流動(dòng)基礎(chǔ)多維流動(dòng)基礎(chǔ)馮喜平編馮喜平編西北工業(yè)大學(xué)二一二年三月II氣體動(dòng)力學(xué)氣體動(dòng)力學(xué)多維流動(dòng)基礎(chǔ)多維流動(dòng)基礎(chǔ).I第一章第一章 基礎(chǔ)知識(shí)（場(chǎng)論概要）基礎(chǔ)知識(shí)（場(chǎng)論概要）.11.1 矢量代數(shù).1一、矢量概念1二、矢量的加法、減法2三、矢量與數(shù)量的乘法3四、矢量的數(shù)量級(jí)（矢量的點(diǎn)積ba）4五、矢量的矢量積（矢量的叉積ba）5六、三個(gè)矢量的混合積7七、三個(gè)矢量的混合積81.2 矢量分析.11一、矢性函數(shù)11二、矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分13三、矢性函數(shù)的積分181.3 場(chǎng)論.19一、 場(chǎng)的概念19二、數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度22三、矢量場(chǎng)的通量和散度25四、矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度291.

2、4 哈密頓算子的運(yùn)算規(guī)則.331.5 曲線坐標(biāo)系概念.401. 曲線坐標(biāo)的概念402. 坐標(biāo)曲線的弧微分433. 正交曲線坐標(biāo)系中的梯度、散度、旋度及調(diào)和量的表達(dá)式 444. 柱坐標(biāo)系中的梯度、散度、旋度及調(diào)和量的表達(dá)式 495. 球坐標(biāo)系中的梯度、散度、旋度及調(diào)和量的表達(dá)式 506.基矢量321e ,e ,e的導(dǎo)數(shù)公式51第二章第二章 可壓縮流體流動(dòng)的控制方程可壓縮流體流動(dòng)的控制方程.52III2.1 第二章的運(yùn)算符號(hào).522.2 引言 .532.3 連續(xù)介質(zhì)的數(shù)學(xué)描述.54一、系統(tǒng)，控制體和控制面54二、外延和內(nèi)涵參數(shù)56三、參數(shù)場(chǎng)56四、系統(tǒng)或拉格朗日法57五、控制體或歐拉法58六、實(shí)質(zhì)

3、導(dǎo)數(shù)592.4 加速度表達(dá)式.61一、加速度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式61二、流體加速度在圓柱坐標(biāo)系中的表達(dá)式642.5 流體微團(tuán)運(yùn)動(dòng)的分解定理.692.6 系統(tǒng)和控制體之間的關(guān)系.762.7 連續(xù)方程.812.8 動(dòng)量方程.862.9 動(dòng)量方程.922.10 熵方程.982.11 小結(jié) .99習(xí) 題 .100第三章第三章 無(wú)粘性可壓縮流體定常多維絕熱流動(dòng)的一般特征無(wú)粘性可壓縮流體定常多維絕熱流動(dòng)的一般特征.1023.1 第三章的運(yùn)算符號(hào).1023.2 引言.1023.3 關(guān)于可壓縮流體定常多維絕熱無(wú)粘性流動(dòng)的控制微分方程 .103一、笛卡爾坐標(biāo)系104IV二、圓柱坐標(biāo)系1053.4 流線、軌跡、

4、流體線和流管.1153.5 環(huán)量、旋轉(zhuǎn)和旋度.120一、環(huán)量120二、旋轉(zhuǎn)121三、旋度和渦管1243.6 對(duì)于可壓縮流體定常絕熱無(wú)粘性流動(dòng)的歐拉動(dòng)量方程.128一、沿流線的定常運(yùn)動(dòng)129二、定常無(wú)旋流動(dòng)1303.7 KELVIN定理.1303.8 CROCCO定理.1323.9 HELMHOLTZ定理.1363.10 可壓縮流體定常無(wú)粘性流動(dòng)的熱力學(xué) .139一、狀態(tài)方程140二、音速方程1413.11 速度勢(shì)函數(shù).142一、速度勢(shì)函數(shù)的定義142二、利用的運(yùn)動(dòng)方程1433.12 流函數(shù).148一、流函數(shù)的定義148二、流函數(shù)的物理解釋150三、速度勢(shì)函數(shù)與流函數(shù)的關(guān)系1513.13 幾種簡(jiǎn)

5、單的勢(shì)流及其疊加.154一、勻直流154二、點(diǎn)源155三、偶極子156四、點(diǎn)渦158五、勻直流加點(diǎn)源159六、勻直流加偶極子161V七、勻直流加偶極子加點(diǎn)渦1633.14 小結(jié).166習(xí) 題.171第四章第四章 固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的流動(dòng)方程固體火箭發(fā)動(dòng)機(jī)的流動(dòng)方程.1744.1 引言.1744.2 噴管純氣相流動(dòng)方程.1744.3 燃燒室純氣相流動(dòng)方程.1784.4 二相流的概念.1824.5 燃燒室和噴管中的二相流動(dòng)方程 .185一、燃燒室中的一維非定常二相流動(dòng)方程185二、噴管中軸對(duì)稱二相流動(dòng)方程1874.6 方程的守恒型式.1904.7 方程的張量表示式.193一、應(yīng)力張量與應(yīng)變率張量的關(guān)系

6、193二、關(guān)于張量的粗淺概念197三、方程的張量表示形式1991第一章第一章 基礎(chǔ)知識(shí)（場(chǎng)論概要）基礎(chǔ)知識(shí)（場(chǎng)論概要）矢量代數(shù)、矢量分析和場(chǎng)論是多維氣體力學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)也是研究其他許多學(xué)科的有用工具。本章根據(jù)多維氣體力學(xué)學(xué)習(xí)要求，簡(jiǎn)要地介紹矢量代數(shù)、矢量分析和場(chǎng)論方面的基礎(chǔ)知識(shí)，并且著眼于工程應(yīng)用，不拘泥于嚴(yán)格的數(shù)學(xué)推導(dǎo)。1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)一、一、 矢量概念矢量概念（1）矢量的定義在研究力學(xué)、物理學(xué)和其他應(yīng)用科學(xué)時(shí)，通常會(huì)遇到這樣一類量，它們既有大小，又有方向，這一類量稱為矢量矢量。例如：力、力矩、速度、加速度、動(dòng)量等等。（2）矢量的表達(dá)方法在數(shù)學(xué)上，用有向線段表示矢量。有向線段的長(zhǎng)

7、度表示矢量的大小，有向線段的方向表示矢量的方向。以1M為起點(diǎn)，2M為終點(diǎn)的的有向線段所表示的矢量矢量，記為21MM（圖 1-1） 。有時(shí)經(jīng)常用粗體字母或用加上箭頭的小寫字母表示矢量。例如：a，M，v，F(xiàn) 或，M，v，F(xiàn)等等。直角坐標(biāo)系中矢量的分解表達(dá)式為：k kj j)()()(12121221xxxxxxMMi。直角坐標(biāo)系中矢量的坐標(biāo)表達(dá)式為：zyxaaaMM,21。其中：),(111zyx，),(222zyx分別是直角坐標(biāo)系中起點(diǎn)1M和終點(diǎn)2M的坐標(biāo)。 zyxaaa,分別是直角坐標(biāo)系中矢量21MM在三個(gè)坐標(biāo)軸的投影（3）矢量的模矢量的大小稱為矢量的模模。矢量21MM，a a，a記為21MM

8、， a a，a。（4）單位矢量模等于 1 的矢量稱為單位矢量單位矢量。模等于 0 的矢量稱為零矢量零矢量。零矢量用 0 或0表示。（5）矢徑M1M2圖 1-12如果矢量的起點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)O，終點(diǎn)為M，則該矢量OM稱為點(diǎn)M對(duì)點(diǎn)O矢徑矢徑，常用粗體字 r r 表示。直角坐標(biāo)系中矢徑的分解表達(dá)式為：k kj jzyxMM i21。直角坐標(biāo)系中矢徑的坐標(biāo)表達(dá)式為：zyxOM,。由于矢徑的起點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，因此矢徑的坐標(biāo)和其終點(diǎn)坐標(biāo)一致。（6）矢量的模與方向余弦的坐標(biāo)表達(dá)式二、二、 矢量的加法、減法矢量的加法、減法定義和運(yùn)算法則定義和運(yùn)算法則根據(jù)力學(xué)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，兩力合力的計(jì)算按照平行四邊形法則。對(duì)于速度、

9、加速度也有相同的結(jié)果。對(duì)矢量的減法規(guī)定如下：設(shè)矢量OAa，OBb，以O(shè)A和OB為邊作一平行四邊形OACB，取對(duì)角線OC，它表示一矢量，記為OBc（圖 1-2） ，稱矢量c為矢量a和矢量b的和，記為：bac。這種用平行四邊形對(duì)角線矢量規(guī)定兩矢量和的方法稱為矢量加法的平行四邊形法則平行四邊形法則。和(或合成)是矢量c，它是把矢量b的起點(diǎn)放置在矢量a的終點(diǎn)處，再連接矢量a的起點(diǎn)到矢量b的終點(diǎn)而得到，這一方法稱為矢量加法的三角形形法則三角形形法則。CCBOc=a+bbcaA圖 1-2圖 1-3AOba3矢量b是和b矢量大小相等方向相反的矢量，矢量a與b的差可以看成矢量a與b的和。)( babac矢量的

10、加法、減法的運(yùn)算規(guī)律矢量的加法、減法的運(yùn)算規(guī)律矢量的加法、減法矢量符合下列運(yùn)算法則（1）交換律 abba（2）結(jié)合律 )()(cbacbacba利用矢量坐標(biāo)，可得矢量的加法、減法以及矢量與數(shù)量乘積的運(yùn)算法則。設(shè) zyxaaa,a，zyxbbb,b，即 zyxaaiaa，zyxbbbb，有 )()()(zzyyxxbabaibaba)()()(zzyyxxbabaibaba)()()(zyxaaiaa結(jié)論：矢量的加法、減法以及矢量與數(shù)量乘積，只需對(duì)矢量的各個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行運(yùn)算。結(jié)論：矢量的加法、減法以及矢量與數(shù)量乘積，只需對(duì)矢量的各個(gè)坐標(biāo)分別進(jìn)行運(yùn)算。三、三、 矢量與數(shù)量的乘法矢量與數(shù)量的乘法設(shè)是

11、一數(shù)量，a是一矢量。矢量a與數(shù)量乘積乘積a規(guī)定為：當(dāng)0時(shí)，a表示一個(gè)矢量，它的方向和a相同，模aa；Cc=a+bb圖 1-2圖 1-3AOba-b4當(dāng)0時(shí)，表示一個(gè)零矢量，0a；當(dāng)0時(shí)，a表示一個(gè)矢量，它的方向和a相反，模aa。運(yùn)算規(guī)律矢量與數(shù)量的乘法符合下列運(yùn)算法則(1) 結(jié)合律 )()()(aaa(2) 分配律 aaa)(圖 1-4例題四、四、 矢量的數(shù)量級(jí)（矢量的點(diǎn)積矢量的數(shù)量級(jí)（矢量的點(diǎn)積ba）1.1. 定義定義設(shè)有矢量a和矢量b，夾角為，其數(shù)量積c定義為這兩個(gè)矢量的模與其夾角余弦的乘積。即 cosbbacosbbcaaa,（1.1.1）2.2. 矢量點(diǎn)積的坐標(biāo)表示法矢量點(diǎn)積的坐標(biāo)表示

12、法在直角坐標(biāo)系中，設(shè)zyxaaa,a，zyxbbb,b，則 zzyyxxzyxzyxbabababbbaaabc,a（1.1.2）iizyxaaaaa222aa（1.1.3）3.3. 點(diǎn)積的運(yùn)算規(guī)則點(diǎn)積的運(yùn)算規(guī)則符合交換律 abba符合分配律 cabacba符合規(guī)則 mbabmabambam54.4. 應(yīng)用應(yīng)用（1） 求解某個(gè)方向分矢量已知一個(gè)方向動(dòng)量方程，計(jì)算另一個(gè)方向動(dòng)量方程時(shí)，可用前一個(gè)方向動(dòng)量方程和后一個(gè)方向矢量的數(shù)量積。（2） 計(jì)算通過(guò)一曲面的流體流率例例 1 1 設(shè)有一曲面，通過(guò)曲面的流體的速度為V，求通過(guò)曲面的流體流量？解： 在曲面上取微元面（如圖 1-4 所示）矢量ndAAd，

13、n為微元面法矢量，V和n夾角為，則通過(guò)微元面的流體體積流率為速度矢量和微元面法矢量的數(shù)量積，為cosVdAAdVmd 利用曲面積分概念，則通過(guò)曲面的流體流量為dAVAdVmdmcos五、五、 矢量的矢量積（矢量的叉積矢量的矢量積（矢量的叉積ba）1.1. 定義定義矢量a和b的叉積是一個(gè)矢量。所以又稱為矢量積，記為cba。叉積c的大小規(guī)定為矢量a與b的大小同它們的夾角正弦的乘積；方向垂直a與b所在的平面，且使cba、形成一個(gè)右手系（a至b以最短途徑繞矢量c） 。baba,absin（1.1.4）這是以ba,為鄰邊的平行四邊形的面積。見下圖所示。bacbabacba 2.2. 叉積的運(yùn)算規(guī)則叉積的

14、運(yùn)算規(guī)則6 交換律不成立 abba 而是 abba 符合分配律 cabacba 數(shù)乘兩矢量的叉積，具有如下的性質(zhì)： mmmmbabababa由叉積的定義及運(yùn)算規(guī)則可得如下的關(guān)系 0332211eeeeee或 0iiee ;213132321eeeeeeeee若a和b不是零矢量，且0ba，則a平行于b。兩矢量和的叉積ijjijiabbabaljkijikiljjiljjkiinmnmnm111111（1.1.5）3.3. 矢量叉積及其分量之間的關(guān)系矢量叉積及其分量之間的關(guān)系在給定的坐標(biāo)系中，設(shè),321321bbbaaaba則 321321321eeeeeeeeeba122131132332321

15、321bababababababbbaaa或321321bbbaaa321eeeba（1.1.6）4.4. 兩矢量共線（或平行）條件兩矢量共線（或平行）條件若,/ba則0ba，即ba的三個(gè)分量全為零。其式為7 221112213311311333222332000babababababababababababa所以332211bababa （對(duì)應(yīng)分量成正比例）（1.1.7）（2.8）式就是用分量表示的兩矢量共線或平行的條件。六、六、 三個(gè)矢量的混合積三個(gè)矢量的混合積三個(gè)矢量ba、和c的點(diǎn)乘和叉乘，可以組成三種形式的乘積：cbacba、和cba。因?yàn)閎a得一數(shù)量，cba為數(shù)乘矢量c，其性質(zhì)已在1

16、.2 中討論過(guò)。這里不再重述。下面討論其余兩種形式乘積的性質(zhì)。 cba因?yàn)閏b得一矢量，a與cb的點(diǎn)積為數(shù)量，因此乘積cba稱為數(shù)量三重積或框積，也稱為混合積。如右圖所示，n為以b和c為鄰邊的平行四邊形的法向單位矢量，方向與cb相同。cb的模bcsin等于該平行四邊形的面積。所以 、cbcbnacbah可見，三矢量的混合積是一個(gè)數(shù)量，其絕對(duì)值等于以ba,和c為棱的平行六面體的體積。若a與cb不在由b和c確定的平面的同一側(cè)，則cbana, 0，得到負(fù)值。但是以矢量cba、為棱的平行六面體的體積V本身不會(huì)是負(fù)值，因此 h c n b a cb 8Vcba（1.1.8）如果矢量cba、表示為 321

17、321321eeeceeebeeea321321321cccbbbaaa可得 321321321122133113223321321321cccbbbaaacbcbacbcbacbcbacccbbb321eeeacba（1.1.9）根據(jù)行列式的性質(zhì)，三矢量的混合積有下述性質(zhì)：按順序輪換三矢量混合積的三個(gè)因子，其積不變；對(duì)調(diào)兩個(gè)相鄰的因子，要改變乘積的符號(hào)。即abccabbcabacacbcba若0V表示cba、共面。因此三矢量共面的條件為 0cba（1.1.10）只要cba、中任意兩個(gè)矢量共線， （1.1.10）式都成立。七、七、 三個(gè)矢量的混合積三個(gè)矢量的混合積cba乘積cba為一矢量，故稱

18、它為矢量三重積。矢量cba垂直于cb，而cb又垂直于cb、確定的平面，因此矢量cba在cb、確定的平面上且垂 a c b cba c cb 9直于a（如右圖所示） 。因此根據(jù)（1.2）式，cba可以寫成b和c的線性組合：cbcbarq （1.1.11）此處rq、為兩個(gè)待定的實(shí)數(shù)。在cb、確定的平面內(nèi)作矢量c，使cc ，并使、cbcc組成一個(gè)右手系。對(duì)方程（1.1.11）的兩邊點(diǎn)乘矢量c，得 cbccbaq （1.1.12）根據(jù)三矢量混合積的輪換法，得 accbccba因?yàn)槭噶縞bcc、互相垂直，且組成右手系，所以乘積ccb的方向必須與矢量c同方向。矢量cb的大小為cb,bcsin，又因?yàn)槭噶縞

19、b與c垂直，所以乘積ccb的大小為 cbcbcbccb,90,cosccbsinccbsincbsinc 因此 cbccbcccb,coscb cbacaccb由三矢量混合積的輪換法，得cbcacbacccba代回（1.1.12）式，只要0cb，得 cbqcbca 所以 （1.1.13）Q=AC將（1.1.13）式代入（1.1.11）式，得rcbcacba10用矢量a點(diǎn)乘等號(hào)兩邊，因?yàn)槭噶縞ba與a是垂直的，所以0cbaa0carbacabar將上式代入（1.1.11）式，最后得 cbabcacba（1.1.14）同理 acbcabacb（1.1.15） bacabcbac（1.1.16）這些

20、都是矢量三重積的重要關(guān)系式。若將上述三式相加，則得到一恒等式 0bacacbcba（1.1.17）從（1.1.14）（1.1.16）式，可以明顯看出 cbacba 即，三個(gè)矢量的乘積不符合結(jié)合律。111.2 矢量分析矢量分析本節(jié)學(xué)習(xí)矢性函數(shù)及其微積分，其在工程數(shù)學(xué)中被稱為矢量分析，是矢量代數(shù)知識(shí)的深入和延續(xù)。一、矢性函數(shù)一、矢性函數(shù)1. 矢性函數(shù)的概念矢性函數(shù)的概念在矢量代數(shù)中，模和方向都保持不變的矢量稱為常矢量常矢量；模和方向或其中之一改變的矢量稱為變矢量變矢量。變矢量可以以函數(shù)形式出現(xiàn)，其應(yīng)具備函數(shù)具有的連續(xù)、極限、微分、積分等特征。定義：定義：設(shè)有變矢A和數(shù)性變量t，如果t在某個(gè)范圍G內(nèi)

21、取一定值，A總有一確定值和它對(duì)應(yīng)，則稱A為數(shù)性變量t的矢性函數(shù)矢性函數(shù)，記為 ( )AA t（1.2.1）并稱G為函數(shù)A的定義域定義域。表達(dá)形式：表達(dá)形式：矢性函數(shù)A(t)在Oxyz直角坐標(biāo)系中的表示式為 A=AAAxyzijk (1.2.2)顯然，三個(gè)坐標(biāo)系分量應(yīng)為t的函數(shù)：A ( )xt，A ( )yt，A ( )zt其中i,j,k為沿x,y,z三個(gè)坐標(biāo)軸正向的單位矢量?？梢?，一個(gè)矢性函數(shù)和三個(gè)有序的數(shù)性函數(shù)構(gòu)成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。2.2. 矢端曲線矢端曲線定義：定義：如圖所示，將A(t)的起點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)，此時(shí)，A(t)變?yōu)槭笍絩。當(dāng)t變化時(shí)，矢量A(t)的終點(diǎn)M就描繪出一條曲線l，稱此曲線

22、為矢性函數(shù)的矢端曲矢端曲線線，亦稱矢性函數(shù)A(t)的圖形圖形，同時(shí)稱（1.2.1）或（1.2.2）為此曲線的矢量方程矢量方程。矢徑: OM,用r表示：12lrOMxiyjzk對(duì)應(yīng)的曲線l的以t為參數(shù)的參數(shù)方程參數(shù)方程A ( ),A ( ),A ( )xyzxtytzt （1.2.3）容易看出，曲線l的矢量方程（1.2.2）和參數(shù)方程（1.2.3）之間有著明顯的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，知道其一，就可以計(jì)算出另一個(gè)。3.3. 矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性矢性函數(shù)的極限和連續(xù)性（1）矢性函數(shù)極限的定義：矢性函數(shù)極限的定義： 設(shè)矢性函數(shù)A(t)在點(diǎn)0t的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于給定的任意正數(shù)，總存在一個(gè)正數(shù)，使得滿足0

23、0tt的一切t，對(duì)應(yīng)的A(t)滿足 0tAA則稱0A為矢性函數(shù)A(t)當(dāng)0tt時(shí)代極限極限，記作 00limtttAA （1.2.4）矢性函數(shù)的一些運(yùn)算法則： 000limtlimlimtttttttu t Au tA （1.2.5） 000limttlimtlimtttttttABAB （1.2.6） 000limttlimtlimtttttttABAB （1.2.7） 000limttlimtlimtttttttABAB （1.2.8）其中 u t為數(shù)性函數(shù)， t ,tAB為矢性函數(shù)；且當(dāng)0tt時(shí)， ,t ,tu tAB均有極限存在。（2）矢性函數(shù)連續(xù)性的定義：矢性函數(shù)連續(xù)性的定義： 若矢

24、性函數(shù)A(t)在點(diǎn)0t的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，而且有13 00limttttAA （1.2.9）則稱A(t) 在0tt處連續(xù)。容易看出：矢性函數(shù)A(t)在點(diǎn)0t處連續(xù)的充要條件是它的三個(gè)坐標(biāo)函數(shù)A ( )xt，A ( )yt，A ( )zt都在0t處連續(xù)。若矢性函數(shù)A(t)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱它在該區(qū)間連續(xù)在該區(qū)間連續(xù)。二、二、矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和微分1.1. 矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如圖所示，設(shè)有起點(diǎn)在o點(diǎn)的矢性函數(shù) tA ，當(dāng)數(shù)性變量t在其定義域內(nèi)從t變到0ttt 時(shí)，對(duì)應(yīng)的矢量分別為 tAOM；A ttON 則 tA ttAMN 其叫做矢性函數(shù) tA的增量，

25、記作A，即 tAA ttA （1.2.10）定義定義 設(shè)矢性函數(shù) tA在點(diǎn)t的某一鄰域內(nèi)有定義， tA對(duì)應(yīng)于t的增量A與t之比為 tA ttAAtt 在0t 時(shí)，如果其極限存在，則稱此極限為矢性函數(shù) tA在點(diǎn)t處的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)（簡(jiǎn)14稱導(dǎo)矢導(dǎo)矢） ，記作dAdt或 A t ，即 00tlimlimttA ttAdAAdttt （1.2.11）若 tA由坐標(biāo)式給出： tA ( )A ( )A ( )xyzAt it jt k且函數(shù)A ( ),A ( ),A ( )xyzttt在點(diǎn)t可導(dǎo)，則有0000limlimlimlimyxzttttAAAdAAijkdttttt yxzdAdAdAijkdtdt

26、dt即 A ( )A ( )A ( )xyzA tt it jt k （1.2.12）可見，對(duì)矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)歸結(jié)為三個(gè)數(shù)性函數(shù)的求導(dǎo)。2.2. 導(dǎo)矢的幾何意義導(dǎo)矢的幾何意義如圖，l為 tA的矢端曲線，At是在l的割線MN上的一個(gè)矢量。當(dāng)0t 時(shí)，其指向與A一致，即指向?qū)?yīng)t值增大的一方；當(dāng)0t 時(shí)，其指向與A相反，如圖，但此時(shí)A指向?qū)?yīng)t值減少的一方，從而At仍指向?qū)?yīng)t值增大的一方。在0t 時(shí)，由于割線MN繞點(diǎn)M轉(zhuǎn)動(dòng)，且一點(diǎn)M處的切線為其極限位置。此15時(shí)，在割線上的矢量At的極限位置，自然也就在此切線上，這就是說(shuō)，導(dǎo)矢 0limtAA tt 當(dāng)其部位零時(shí)，是在點(diǎn)M處的切線上，且由上述可知，

27、其方向恒指向?qū)?yīng)t值增大的一方，故導(dǎo)矢在幾何上為一矢端曲線的切向矢量，指向?qū)?yīng)t值增大的一方。3.3. 矢性函數(shù)的微分矢性函數(shù)的微分（1）微分的概念與幾何意義設(shè)有矢性函數(shù) tA，我們把 dAA t dt dtt （1.2.13）稱為矢性函數(shù) tA在t處的微分。由于微分dA是導(dǎo)矢 A t與增量t的乘積，所以它是一個(gè)矢量，在點(diǎn)M處與 tA的矢端曲線l相切，但其指向：當(dāng)0dt時(shí)，與 A t的方向一致；而當(dāng)0dt時(shí)，則與 A t的方向相反。如圖，微分dA的坐標(biāo)表示式，可由（2.3）式求得，即 dAA t dtA ( )A ( )A ( )xyzt dtit dtjt dtk或XYZdAdA idA j

28、dA k （1.2.14）16（2）drds的幾何意義如果我們把矢性函數(shù) A tAtAtAtxyzijk看作其終點(diǎn)( , )M x y z的矢徑函數(shù)rxiyjzk這里 At ,At ,Atxyzxyz，則（2.5）式又可以寫為drdxidyjdzk （1.2.15）其模222drdxdydz（1.2.16）若在l上取定一點(diǎn)0M作為計(jì)算弧長(zhǎng)s的起點(diǎn)，并以l之正向（即t值增大的方向）作為s增大的方向，則在l上任一點(diǎn)M處，弧長(zhǎng)的微分是222dsdxdydz 按下述辦法取右端符號(hào)：以點(diǎn)M為界，當(dāng)ds位于s增大的一方時(shí)取正號(hào)；反之取負(fù)號(hào)，如圖由此可見drds（1.2.17）就是說(shuō)，矢性函數(shù)的微分的模等于

29、弧微分的絕對(duì)值，從而由drdrdrdsdsdsds有171drdrdsds（1.2.18）再結(jié)合導(dǎo)矢的幾何意義，便知：矢性函數(shù)對(duì)（其矢端曲線的）弧長(zhǎng)s的導(dǎo)數(shù)drds在幾何上為一切向單位矢量，恒指向s增大的一方。（3）矢性函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式設(shè)矢性函數(shù) ,AA tBB t及數(shù)性函數(shù) uu t在t的某個(gè)范圍內(nèi)可導(dǎo)，則下列公式在該范圍內(nèi)成立（1）0dCdt（C為常矢） ；（2）ddAdBABdtdtdt；（3）ddAkAkdtdt（k為常數(shù)） ；（4）()ddudAuAAudtdtdt；（5）ddBdAABABdtdtdt特例：22ddAAAdtdt（其中2AAA）（6）ddBdAABABdtdtdt（7

30、）復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式：若 ,AA u uu t，則dAdA dudtdu dt三、矢性函數(shù)的積分三、矢性函數(shù)的積分矢性函數(shù)的積分和數(shù)性函數(shù)的積分類似，也有不定積分和定積分兩種，現(xiàn)分述于下：1.1.矢性函數(shù)的不定積分矢性函數(shù)的不定積分18定義定義 若在t的某個(gè)區(qū)間I上，有 B tA t，則稱 B t為 A t在此區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)原函數(shù)，在區(qū)間I上， A t的原函數(shù)的全體，叫做 A t在I上的不定積分不定積分，記作 A t dt（1.2.19）這個(gè)定義和數(shù)性函數(shù)的不定積分定義完全類似，故和數(shù)性函數(shù)一樣，若已知 B t是 A t的一個(gè)原函數(shù)，則有 ,A t dtB tC（C為任意常矢）（1.2.20

31、）而且，數(shù)性函數(shù)不定積分的基本性質(zhì)對(duì)矢性函數(shù)來(lái)說(shuō)也仍然成立。例如 kA t dtk A t dt （1.2.21） A tB tA t dtB t dt （1.2.22） =u t adt a u t dt （1.2.23） a A t dtaA t dt（1.2.24） a A t dtaA t dt （1.2.25）其中k為非零常數(shù)，a為非零常矢。據(jù)此，若已知xyzAA iA jA k，則由（3.4）與（3.5）式有 xyzA t dti At dtjAt dtk At dt （1.2.26）此式把求一個(gè)矢性函數(shù)的不定積分，歸結(jié)為求三個(gè)數(shù)性函數(shù)的不定積分。此外，數(shù)性函數(shù)的換元積分法與分部積

32、分法亦適用于矢性函數(shù)，但由于兩個(gè)矢量的矢量積服從于負(fù)交換律，即ABBA ，故其分部積分公式的右端應(yīng)為兩項(xiàng)相加AB dtABBAdt（1.2.27）2.2.矢性函數(shù)的定積分矢性函數(shù)的定積分定義 設(shè)矢性函數(shù) A t在區(qū)間12,T T上連續(xù)，則 A t在12,T T上的定積分是指下面形式的極限： 2100limnTiiTiA t dtAt（1.2.28）19其中101.nTttt；i為區(qū)間1,iitt上的一點(diǎn)；1,maxiiiitttt，1,2,.in 可以看出，矢性函數(shù)的定積分概念也和數(shù)性函數(shù)的定積分完全類似。因此，也具有和數(shù)性函數(shù)定積分相應(yīng)的基本性質(zhì)。例如:若 B t是連續(xù)矢性函數(shù) A t在區(qū)間

33、12,T T上的一個(gè)原函數(shù)，則有 2121TTA t dtB TB T（1.2.29）其他的性質(zhì)就不一一列舉了。此外，類似于（1.2.26）式，求矢性函數(shù)的定積分也可歸結(jié)為求三個(gè)數(shù)性函數(shù)的定積分，即有 22221111TTTTxyzTTTTA t dtiAt dtjAt dtkAt dt1.3 場(chǎng)論場(chǎng)論一、一、 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念1. 場(chǎng)的概念場(chǎng)的概念設(shè)有一空間(有限或無(wú)限)，對(duì)于這個(gè)空間內(nèi)的每一點(diǎn)，如果都對(duì)應(yīng)著某物理量確定值，即該物理量在空間作一定的分布，這時(shí)我們就說(shuō)在這空間內(nèi)確定了該物理量的一個(gè)場(chǎng)，若所確定的物理量是數(shù)量，則稱確定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)數(shù)量場(chǎng)，如溫度場(chǎng)、濃度場(chǎng)等。若所確定的量是矢量，則

34、稱確定了一個(gè)矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)，如速度場(chǎng)、力場(chǎng)等。若空間內(nèi)每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)確定的張量，則稱確定了一個(gè)張量場(chǎng)張量場(chǎng)，如應(yīng)力場(chǎng)、變形率場(chǎng)等。若場(chǎng)中各點(diǎn)的物理量的值不隨時(shí)間而改變，則稱為穩(wěn)定場(chǎng)，否則，稱為不穩(wěn)定場(chǎng)。本節(jié)只討論穩(wěn)定場(chǎng)。所謂給定了一個(gè)數(shù)量場(chǎng)，在數(shù)學(xué)上相當(dāng)于給定了一個(gè)數(shù)量函數(shù))(M，M代表空間中的點(diǎn)。如果給定了一個(gè)矢量場(chǎng)，就相當(dāng)于給定了一個(gè)矢量函數(shù))(Ma，因此場(chǎng)中的每一點(diǎn)的位置都可以由矢徑?jīng)Q定，故當(dāng)討論一個(gè)數(shù)量場(chǎng)或矢量場(chǎng)時(shí)，就意味著對(duì)于每一個(gè)矢r徑都有一個(gè)確定的數(shù)量函數(shù)或矢量函數(shù) 的量，此時(shí)自變量是矢徑r。r)(ra(r)在直角坐標(biāo)系中，M點(diǎn)的位置可用坐標(biāo)321,xxx表示，所以數(shù)量場(chǎng)還可以表示

35、為：),()(321xxxM20同樣，矢量場(chǎng)可表示為：),()(321xxxMaa2. 數(shù)量場(chǎng)的等位面數(shù)量場(chǎng)的等位面 物理概念：在同一瞬時(shí)把具有相同函數(shù)值的諸點(diǎn)聯(lián)成的面，稱為等值面等值面或等位面等位面。數(shù)學(xué)概念：在給定瞬時(shí)，在直角坐標(biāo)系中等位面的方程顯然為cxxx),(321式中c為常數(shù)。不同的常數(shù)將形成不同的等位面(總稱等位面族)，在等位面上不同的函數(shù)值是相等的。這些等位面的充滿了整個(gè)數(shù)量場(chǎng)所在的空間，且互不相交。通過(guò)數(shù)量場(chǎng)的每一點(diǎn)都有一個(gè)等位面；一個(gè)點(diǎn)只在一個(gè)等位面上。有了等位面的概念，使得函數(shù)在空間的變化率問(wèn)題就轉(zhuǎn)換為從一個(gè)等位面到另一個(gè)等位面變化率的問(wèn)題，這樣在分析問(wèn)題時(shí)將帶來(lái)許多方便

36、。3. 矢量場(chǎng)的矢線矢量場(chǎng)的矢線前面我們引進(jìn)的等位面的概念形象的描繪了數(shù)量場(chǎng)，對(duì)于矢量場(chǎng))(Ma，則引入矢線的概念，以直觀的表示他的分布情況。所謂矢線，就是這樣的曲線，在給定瞬時(shí)它的每一點(diǎn)的切線方向和對(duì)應(yīng)于該點(diǎn)的矢量a的方向重合。對(duì)于流體的速度矢量場(chǎng)，矢線就是流線。所以矢量場(chǎng)中的每一點(diǎn)均有一條矢線通過(guò)，矢線族充滿了整個(gè)矢量場(chǎng)所在的空間。靜電場(chǎng)中的電力線，磁場(chǎng)中的磁力線都是矢線的例子。若已知矢量場(chǎng)),(321xxxaa ，怎樣求出矢線方程呢？設(shè)),(321xxxM為矢線上的任一點(diǎn)，其矢徑為 321eeer321xxx其微分 321eeer321dxdxdxd在點(diǎn)M處與矢線相切，按矢線定義，rd必

37、定在M點(diǎn)與矢量321eeea321aaa共線。由于矢量adr、共線，其對(duì)應(yīng)分量必成比例，因此有21332211adxadxadx 這就是矢線的微分方程。若利用共線條件，也可得到它的矢量形式的方程 0ard 例例 已知流體的運(yùn)動(dòng)速度的速度分量為, 0,31221VcxVcxV其中c是正的常數(shù)，試求該速度場(chǎng)的流線族。解解：這是一個(gè)定常流動(dòng)。因?yàn)榱骶€的微分方程是 2211VdxVdx所以 1221cxdxcxdx即 02211dxxdxx積分后得 Cxx2221所以流線族是以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的同心圓，如圖所示。為了進(jìn)一步確定流體運(yùn)動(dòng)的方向，求出速度V與21,xx軸夾角的余旋： 若M點(diǎn)處于第一象限，1x

38、和2x都為正值，則0,cos1xV，故V與1x軸成鈍角，因而流體運(yùn)動(dòng)的方向是逆時(shí)針方向的。二、數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度二、數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)和梯度1. 數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)數(shù)量場(chǎng)的方向?qū)?shù)在數(shù)量場(chǎng)中除了解物理量在場(chǎng)中的分布情況，更要了解物理量在 場(chǎng)中各點(diǎn)的 沿每一22211222221211,cos,cosxxxVVxxxxVVxVV22方向的變化情況，例如變化率即導(dǎo)數(shù)。一般來(lái)說(shuō)，這個(gè)導(dǎo)數(shù)的大小在不同方向上是不同的。為此，需要引進(jìn)方向?qū)?shù)的定義。在數(shù)量場(chǎng)中取一點(diǎn))(rM，該點(diǎn)的函數(shù)值為。經(jīng)過(guò)此點(diǎn)引一任意射線l，并用l表示沿射線)(r的單位矢量，如上圖所示。然后在此射線上取與M相鄰的一點(diǎn))(rrM.當(dāng)M

39、點(diǎn)移到M點(diǎn)時(shí)，函數(shù)得一增量)()()(rrrr 由導(dǎo)數(shù)概念得lrrrrrrr00lim)()(lim (1.3.1)我們稱l 為函數(shù)沿l方向的導(dǎo)數(shù)。由(1.3.1)我們可見，力向?qū)?shù)l 是一數(shù)量，它代表了函數(shù)沿方向l對(duì)空間距離的變化率。在直角坐標(biāo)系中，方向?qū)?shù)有以下定理：定理定理 1 若函數(shù)( , , )x y z在000(,)M xyz點(diǎn)可微，cos，cos，cos為l方向的方向余弦，則函數(shù)( , , )x y z在000(,)M xyz沿方向的方向?qū)?shù)必存在：coscoscosllxyz (1.3.2)x，y，z是函數(shù)在點(diǎn) M 處得偏導(dǎo)數(shù)。定理定理 2 函數(shù))(M在M點(diǎn)沿給定曲線c(正向)

40、對(duì)弧長(zhǎng)s的導(dǎo)數(shù)等于該函數(shù)在點(diǎn)M處沿切線方向(指向c 的正向一側(cè))的方向?qū)?shù)。曲線c的正向規(guī)定為弧長(zhǎng)增大的方向。函數(shù)沿給定曲線對(duì)弧長(zhǎng)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)在M點(diǎn)沿曲線切線方向的方向?qū)?shù)相等。dsd代表沿曲線正向單位長(zhǎng)度弧長(zhǎng)上函數(shù)的變化量。232. 數(shù)量場(chǎng)的梯度數(shù)量場(chǎng)的梯度函數(shù))(M在同一點(diǎn)M處，沿不同方向的變化率是不同的。然而，從一給定點(diǎn)出發(fā)有無(wú)窮多個(gè)方向，因此函數(shù)沿哪個(gè)方向變化率最大呢？最大的變化率是多少呢？為了回答這些問(wèn)題，現(xiàn)作如下分析：在直角坐標(biāo)系中，由式coscoscosllxyz可得：l方向上單位矢量(cos ,cos,cos )l，而令 G=(,)xyz，則(1.3.2)式可寫為cos( ,

41、)lG lGG ll，即 G 在給定點(diǎn)為固定矢量，且 G 在l方向上的投影等于函數(shù)在該方向上的方向?qū)?dǎo)數(shù)。當(dāng)方向l與矢量 G 的方向一致時(shí)，即cos( , )1g l 時(shí)，方向?qū)?shù)有最大值。其最大值為maxlGl。梯度就是數(shù)性函數(shù)增加的最快的矢量。其定義為：數(shù)量場(chǎng))(M在點(diǎn) M 的梯度是過(guò)該點(diǎn)的一個(gè)矢量 G，沿著該矢量的方向，函數(shù)在該點(diǎn)的變化率最大，而且最大變化率的值正好等于該矢量的模。則矢量 G 為函數(shù))(M在點(diǎn)M 處得梯度，記為grad。(,)gradGxyz (1.3.3)則maxlgradsl ，為曲線 S 的單位切矢。3.梯度的幾何意義：梯度的幾何意義：數(shù)量場(chǎng)中)(M每一點(diǎn)的梯度垂直

42、于該點(diǎn)的等位面，且指向的增大的方向。過(guò)M點(diǎn)作函數(shù)的等位面C（如圖） ，再過(guò)點(diǎn)作M等位面的切平面A，于是曲面C上過(guò)點(diǎn)M的所有曲線的切數(shù)都在此切平面上。根據(jù)等位面的性質(zhì)，在等位面C上，函數(shù)24保持同一數(shù)值，故函數(shù)在等位面上沿任一方向的導(dǎo)數(shù)都為零，即0ldsd因此 cos(, )0gradgradl，則，梯度矢量grad與切平面A在M正交，也就是說(shuō)數(shù)量場(chǎng)中每一點(diǎn)的梯度矢量垂直于該點(diǎn)的等位面。于是函數(shù)沿著梯度矢量方向增加量最快，可知梯度矢量指向增大的方向，即梯度指向等量面的法向，其模為沿n方向的方向?qū)?shù)n，表示為gradnn梯度是數(shù)量場(chǎng)的一個(gè)重要性質(zhì)，如果把數(shù)量場(chǎng)中每一點(diǎn)的梯度與場(chǎng)中之點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，就可

43、得到一個(gè)由梯度矢量形成的場(chǎng)梯度矢量場(chǎng)。在流體力學(xué)中，無(wú)旋流速度位的梯度矢量場(chǎng)就是它的速度矢量場(chǎng)。數(shù)性函數(shù)的微分等于其梯度點(diǎn)乘矢徑的微分。數(shù)性函數(shù)的微分等于其梯度點(diǎn)乘矢徑的微分。dgraddr (1.3.4)證明：dxdydzxyz,dx dy dzgraddrxyz公式：矢徑模的梯度等于單位矢徑。公式：矢徑模的梯度等于單位矢徑。即0rgrad rrr (1.3.4)證明: ,rrrgradrxyz而 222rxyz222,rxxryrzxryrzrxyz因此0, ,x y zlrgrad rx y zrr r rrr25例例 1.設(shè)222rxyz為點(diǎn)( , , )M x y z的矢徑 r 的模

44、，試證0rgradrrr證明：222rxxxrxyz同樣 ryyr，rzzr則0rrrxyzrgradrijkijkrxyzrrrr例例 2.求數(shù)量場(chǎng)23uxyyz在點(diǎn)( , 1,1)M z 處得梯度及在矢量(2,2, 1)l 方向的方向?qū)?shù)。解：uuugraduijkxyz232(2)3y ixyzjyz k33mgrad uijk又l方向的單位矢量022133333mlgrad uijklijkl于是有0lmMMugrad ugradu ll2213331( 3)( 3) () 三、矢量場(chǎng)的通量和散度三、矢量場(chǎng)的通量和散度1. 矢量場(chǎng)的通量矢量場(chǎng)的通量通量的定義：通量的定義：設(shè)有矢量場(chǎng)a，

45、沿其中有向曲面 S 某一側(cè)的曲面積分，即nssa ndsa ds (1.3.4)稱之為矢量場(chǎng)a向曲面所沿一側(cè)穿過(guò)曲面 S 的通量。n為曲面 S 的單位法矢。通量就是矢量場(chǎng)a在曲面上的有效通過(guò)量。通量是可以疊加的。在直角坐標(biāo)系中，設(shè), ,( , , ), ( , , )Ap x y zQ x y z R x y z，又0cos( , )cos( , )cos( , )dSn dSdSn x idSn y jdSn z kdydzidxdzjdxdyk(1.3.5)26則通量可寫成ssA dsPdydzQdxdzRdxdy (1.3.6)例例 1 在由矢徑321eeer321xxx構(gòu)成的矢量場(chǎng)中，

46、有一由圓錐面232221xxx及平面、03hhx所圍成的封閉曲面S，如圖所示，試求矢量從內(nèi)向外穿出曲面S的通量。解解：把曲面S分為兩部分，一是平面1S它是錐面232221xxx被平面、03hhx所截成。顯然1S是一個(gè)圓，其方程為22221hxx；另一部分是錐面2S。則通量為SdSddSSSS21nrnrnr其中11111213213312321SSSSSdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxSdnr將面積積分1213Sdxdxx轉(zhuǎn)換為二重積分，即1112121213SSSdxdxhdxhdxdxdxx其中1S為1S在21oxx坐標(biāo)面上的投影，就是圓22221hxx的面積，所以通過(guò)1S的通量為

47、322111hhhdxdxhSdSSnr因?yàn)樵?S錐面上，矢量r與n垂直，所以02SSdnr最后得3h通量為正，為負(fù)，為零時(shí)的物理意義：通量為正，為負(fù)，為零時(shí)的物理意義：對(duì)于封閉曲面。sa ds 表示從內(nèi)穿出 S 的正流量與從外穿入 S 的負(fù)流量的代數(shù)和。當(dāng)通量大于零，表示流出多于流入，S 內(nèi)有源，小于零，表示流出量小于流入量，S內(nèi)有匯。272. 矢量場(chǎng)的散度矢量場(chǎng)的散度在矢量場(chǎng)中)(Ma中，僅知道通量為正或負(fù)不能說(shuō)明該源源(或匯匯)的強(qiáng)弱程度。為此，用表示封閉曲面所包圍的空間的體積，用平均單位體積中所穿出的通量SdSVna1表示V中源的平均強(qiáng)度。為了進(jìn)一步分析場(chǎng)中各點(diǎn)處源的強(qiáng)度及其分布，下面

48、引進(jìn)矢量場(chǎng)散度的概念。散度的定義散度的定義 設(shè)有矢量場(chǎng))(Ma，在場(chǎng)中任一點(diǎn)M處作包含M點(diǎn)在內(nèi)的任意封閉曲面S，其所包圍的空間區(qū)域的體積為V，從體積V內(nèi)穿出S的通量。當(dāng)0V時(shí)，曲面S向M點(diǎn)無(wú)限收縮，若此式SdSVVna1的極限存在，則稱此極限為矢量場(chǎng))(Ma在M點(diǎn)的散度，并記為adiv，即 (1.3.7)VdSdivSVnaa0lim由此可見，矢量場(chǎng)的散度為一數(shù)量，它表示場(chǎng)中一點(diǎn)處單位體積中所穿出的通量。當(dāng)0adiv時(shí)，表示該點(diǎn)有發(fā)散通量的源存在；當(dāng)0adiv時(shí)，則有吸收通量的匯存在。散度的絕對(duì)值adiv表示該源或匯的強(qiáng)度。當(dāng)0adiv時(shí)，表示該點(diǎn)處既無(wú)源也無(wú)匯，稱為無(wú)源(匯)場(chǎng)。3. 散度在

49、直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式散度在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式散度的上述定義與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。它在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)式，由下列定理給出。定理定理 在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)123112321233()( ,)( ,)( ,)xyza Max x x eax x x ea x x x e在任一點(diǎn)),(321xxxM處的散度為 yxzaaadivaxyz (1.3.8) 28例例 2 求矢徑的散度解 xyzdivrxyz=3例例 3 設(shè)為數(shù)性函數(shù)，a為矢性函數(shù)，試求()diva()yxzaaadivaxyzyxzxyzaaaaaaxxyyzz()yxzxyzaaaaaaxyzxyz= divaagrad例例 4 在

50、流體力學(xué)中速度矢量V的散度代表微團(tuán)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的體積膨脹率。證證： 取一簡(jiǎn)單矩形六面體，如圖所示。在瞬時(shí)t，六面體三邊長(zhǎng)度為1x、2x、3x，體積為321xxx，經(jīng)過(guò)t時(shí)間后，1x向的長(zhǎng)度變?yōu)?111xtxV，2x向的長(zhǎng)度變?yōu)?221xtxV，3x向的長(zhǎng)度變?yōu)?331xtxV。當(dāng)t很小時(shí)，變形后微團(tuán)的體積近似地仍按三邊乘積計(jì)算。所以單位時(shí)間內(nèi)單位體積的膨脹，即體膨脹率為332211321332211321111111xVxVxVxxxtxVtxVtxVxxxt高斯公式（散度原理）：封閉曲面的通量等于散度的體積分。 ccsVandSdivadV(1.3.8)29它常被用來(lái)作體積分和面積分之間的變

51、換。四、矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度四、矢量場(chǎng)的環(huán)量和旋度1. 環(huán)環(huán) 量的定義量的定義設(shè)有矢量場(chǎng) A（M） ，則沿場(chǎng)中某一封閉的有向曲線l的曲線積分lA dl (1.3.8)稱為矢量場(chǎng)按積分所取方向沿曲線l的環(huán)量。在直角坐標(biāo)系中，設(shè)( , , ),( , , ), ( , , )AP x y z Q x y z R x y z又cos( , )cos( , )cos( , )dldll x idll y jdll z kdxidyjdzk其中cos( , )l x，cos( , )l ycos( , )l z為l的切線矢量的方向余弦，則環(huán)量可以寫成：llA dlPdxQdyRdz (1.3.9)2. 環(huán)

52、量面密度環(huán)量面密度定義定義 在矢量場(chǎng))(Ma中任取一點(diǎn)M，作微元面積S，如圖所示。其法向單位矢量為n，圍線為C，按與n成右螺旋關(guān)系作為圍線C的正向，那么矢量場(chǎng))(Ma沿圍線C正向的環(huán)量為 Cdra(1.3.10)當(dāng)曲面S在M點(diǎn)處保持以n為法向單位矢量的條件下，該環(huán)量與面積S之比以任意方式縮向M點(diǎn)時(shí)，若極限 (1.3.10)SdSCSSra00limlim存在，則稱該極限為矢量場(chǎng))(Ma在M點(diǎn)沿方向n的環(huán)量面密度。由此可見，環(huán)量面密度是環(huán)量對(duì)面積的變化率。303. 環(huán)量面密度在直角坐標(biāo)系的表達(dá)式環(huán)量面密度在直角坐標(biāo)系的表達(dá)式在直角坐標(biāo)系中設(shè)123()xyza Ma ea ea e由(1.3.10

53、)式可得 12300()limlimxyyCSSa dxa dxa dxSS (1.3.11)則最終有計(jì)算M點(diǎn)的環(huán)量密度的關(guān)系式1230233112limcos( ,)cos( ,)cos( ,)yyxxzzSaaaaaan xn xn xSxxxxxx (1.3.12)4. 矢量場(chǎng)的旋度矢量場(chǎng)的旋度由環(huán)量面密度的定義可知，它是一個(gè)與方向有關(guān)的量。參照方向?qū)?shù)和梯度的關(guān)系，可以將環(huán)量面密度看成是兩個(gè)矢量的點(diǎn)積1230233112limyyxxzzSaaaaaaeeeSxxxxxx n (1.3.13)式中123233112yyxxzzaaaaaaeeexxxxxx為矢量，記為R，它僅與矢量函數(shù)

54、a在M點(diǎn)的三個(gè)偏導(dǎo)數(shù)有關(guān)。當(dāng)矢量函數(shù))(Ma確定后，在給定點(diǎn)處矢量R就是一個(gè)確定的矢量。上式第二個(gè)矢量321enenen),cos(),cos(),cos(321xxxn代表S的方向，因此(1.3.13)式可以寫為 (),cos(lim0nRnRRSs1.3.14)上式表明，在給定點(diǎn)處矢量在方向上的投影，即為該方向上的環(huán)量面密度。則旋度定義為：則旋度定義為：若在矢量場(chǎng))(Ma中一點(diǎn)M處，存在這樣的一個(gè)矢量R，沿其方向矢量場(chǎng))(Ma在點(diǎn)31M的環(huán)量面密度為最大，且值正好等于R，則稱矢量R為矢量場(chǎng))(Ma在點(diǎn)M處的旋度，記為，即Ra rot (1.3.15)旋度的上述定義與坐標(biāo)系的選擇無(wú)關(guān)。在直角

55、坐標(biāo)系中的表達(dá)式為123233112yyxxzzaaaaaarotaeeexxxxxx (1.3.16)式中1arot，2arot，3arot是矢量arot在三軸上的分量。(1.3.16)式也可以寫為123123233112,yyxxzzxyzeeeaaaaaarotaxxxxxxxxxaaa (1.3.17)由(1.3.12)式可以看出 nSrotrotS)(lim0ana (1.3.18)此式指出旋度的一個(gè)重要性質(zhì)；旋度矢量在任一方向上的投影，等于該方向上的環(huán)量面密度，即單位面積環(huán)量的極限。式(1.3.16)中的1arot，2arot，3arot就是在321e ,e ,e方向上的環(huán)量面密度

56、。S 是有向曲線C包圍的面積，n為 S 的單位矢量。則環(huán)量是標(biāo)量但有正負(fù)，沿逆時(shí)針積分為正，旋度表示單位面積環(huán)量，即環(huán)量的強(qiáng)度，旋度表示矢量在場(chǎng)中的旋轉(zhuǎn)程度。0rota 的矢量場(chǎng)a稱為無(wú)旋場(chǎng)，反之為有旋場(chǎng)。斯托克斯公式：矢量a沿一封閉曲線C的環(huán)量，等于此矢量的旋度通過(guò)該閉曲線所圍成的曲面上的通量，即 (1.3.19)SCdrotdSara即環(huán)量等于rota法向投影的積分，常用作面積分和線積分間的變換。若利用算符，則矢量場(chǎng))(Ma的旋度可寫為 aarot (1.3.20)例例 1 求電場(chǎng)強(qiáng)度矢量2qErr沿著任一圓周的換兩，該圓周的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為任一不為零的正實(shí)數(shù)。32解： 根據(jù)環(huán)量的定

57、義，E的環(huán)量為：llE drEds式中為圓周l上的單位切矢。由于l指向，與垂直。因此環(huán)量為零。例例 2 設(shè)為數(shù)性函數(shù)，為矢性函數(shù)，試求()rota解：(),xyzaaaa()yyzzxzyaaaarotaaayzyyzz()()yzzyaaaayzyz 33 （a a）xyzijkgradaxyzaaa （b b）（a）式等號(hào)右邊第一個(gè)括號(hào)中為xrot a，第二個(gè)括號(hào)中與（b）對(duì)比為()xgrada。因此： ()()xxxrotarot agrada同理：()()yyyrotarot agrada()()zzzrotarot agrada因此 ()()rotarotagrada1.4 哈密頓算

58、子的運(yùn)算規(guī)則哈密頓算子的運(yùn)算規(guī)則哈密頓（W .R .Hamilton)引進(jìn)了一個(gè)矢性微分算子： （1.4.1）kjixxx稱為哈密頓算子或算子。記號(hào)可讀作“那勃勒（Nabla)”或“代爾（del)” ，算子本身并沒無(wú)意義同，而是一種微分運(yùn)算符號(hào)，同時(shí)又被看作是矢量。就是說(shuō)，它在運(yùn)算中具有矢量和微分的雙重性質(zhì)。其運(yùn)算規(guī)則是：kzjyixuzkyjxi)(u34,)()()(,)()(AkyAxAjxAzAizAyAAAAzyxkjiAxAyAxAkAjAiAzkyjxixyzxyzzyxxyxjyx由此可見，數(shù)量場(chǎng) u 的梯度與矢量場(chǎng)的散度和旋度正好可用算子表示為Agrad u = u ,div

59、 = ,rot =.AAAA從而，與此相關(guān)的一些公式，也就可通過(guò)算子來(lái)表示。此外，為了在某些公式中使用方便，我們還引進(jìn)如下的一個(gè)數(shù)性微分算子：,)(AzAyAxAzkyjxikAjAiAzyxzyx（它既可作用在數(shù)性函數(shù) u（M）上，又可作用在矢性函數(shù)（M）上。如B,BBBB)A(,)A(zAyAxAzuAyuAxuAuzyxzyx應(yīng)當(dāng)注意：這里的和上述的是完全不同的。AA現(xiàn)在我們把用表示的一些常見公式列在下面，以便于查用，其中 u 與 v 為數(shù)性函數(shù)，為矢性函數(shù)。BA和35，）（為常矢為常矢為常數(shù)為常數(shù)為常數(shù))()()()()()14(),()()(13)()()()()()12(,)()1

60、1(,)()10(,)()9(),()()8(),()()7(,)()6(,)()5(,)()4(),()()3(),()()2(),()() 1 (BAABBAABBABAABBAABABBABABAAuAuAuAuAuAuvuuvuvccucuccucuBABABABAvuvucAcAccAcAccuccuAAAAuuuuu)()()18(, 0)()17(, 0)()16(),()()15(2為調(diào)和量 （其中） ，kAjAiAAzyx在下面的公式中，rrkzj yi xr,),()23(,)( )()22(, 0)21(, 3)20(,)19(0vvfuufvufuufufrrrrrr)