高一數(shù)學(xué)競(jìng)賽課講義練習(xí)多項(xiàng)式的因式分解含答案

1、A5.多項(xiàng)式的因式分解一、基礎(chǔ)知識(shí)多項(xiàng)式的因式分解及唯一性定理：數(shù)域上每一個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式都可以唯一地分解成數(shù)域上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.所謂唯一性是說(shuō),如果有兩個(gè)分解式那么必有并且適當(dāng)排列因式的次序后有其中是一些非零常數(shù). 多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式：數(shù)域上多項(xiàng)式,其中是的首項(xiàng)系數(shù),是不同的首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,而是正整數(shù).多項(xiàng)式的根：對(duì)任意多項(xiàng)式,如果則稱(chēng)為的根.代數(shù)基本定理：每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一根.這個(gè)定理首先是由高斯于1797年首先證明的,由于當(dāng)時(shí)代數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象為多項(xiàng)式理論,這個(gè)定理是關(guān)于多項(xiàng)式理論的非常有用、非?；镜慕Y(jié)論,因而被命名成代數(shù)基本定理,它有多個(gè)證明,都

2、很復(fù)雜,并且或多或少地用到微積分等其他領(lǐng)域的結(jié)論,這里就不證明了.顯然我們可以利用代數(shù)基本定理得到每個(gè)次數(shù)大于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式.因此在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于1的多項(xiàng)式全是可約的.換句話(huà)說(shuō),不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式,于是多項(xiàng)式的因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以敘述成復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理：每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.因此復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：其中是不同的復(fù)數(shù),是正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式說(shuō)明每個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理：每個(gè)次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因

3、式的乘積.因此實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：其中全是實(shí)數(shù),是正整數(shù),并且是不可約的,也就是適合條件 二、典型例題與基本方法1.證明：中次多項(xiàng)式在數(shù)域中的根不可能多于個(gè),重根按重?cái)?shù)計(jì)算.2(多項(xiàng)式恒等定理)如果多項(xiàng)式的次數(shù)都不超過(guò)而它們對(duì)個(gè)不同的數(shù)有相同的值,即證明：3.求所有多項(xiàng)式使得對(duì)任意的有4.如果是一個(gè)次多項(xiàng)式,且對(duì)有,求.5.設(shè)復(fù)變量多項(xiàng)式其中系數(shù)若證明：存在實(shí)數(shù)使得且B5.練習(xí) 姓名： 1.如果是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根,證明：的共軛復(fù)數(shù)也是的根.2.證明：實(shí)系數(shù)奇數(shù)次多項(xiàng)式必有一實(shí)數(shù)根.3.已知多項(xiàng)式滿(mǎn)足且求A5.多項(xiàng)式的因式分解一、基礎(chǔ)知識(shí)多項(xiàng)式的因式分解及唯一性定理：數(shù)域上每一個(gè)次數(shù)的

4、多項(xiàng)式都可以唯一地分解成數(shù)域上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.所謂唯一性是說(shuō),如果有兩個(gè)分解式那么必有并且適當(dāng)排列因式的次序后有其中是一些非零常數(shù). 證明：先證明分解式的存在性,我們對(duì)的次數(shù)作數(shù)學(xué)歸納.因?yàn)橐淮味囗?xiàng)式都是不可約的,所以時(shí)結(jié)論成立.設(shè)假設(shè)結(jié)論對(duì)于次數(shù)低于的多項(xiàng)式成立,如果是不可約多項(xiàng)式,則結(jié)論成立,不妨設(shè)不是不可約的,即有其中的次數(shù)都低于,由歸納假設(shè)都可以分解成數(shù)域上一些不可約多項(xiàng)式的乘積.把的分解式合起來(lái)就得到的一個(gè)分解式.由歸納法原理,結(jié)論普遍成立.再證唯一性,設(shè)可以分解成不可約多項(xiàng)式的乘積如果還有另一個(gè)分解式其中都是不可約多項(xiàng)式,于是我們對(duì)作歸納法,當(dāng)是不可約多項(xiàng)式,于是且現(xiàn)在設(shè)不

5、可約因式的個(gè)數(shù)為時(shí)唯一性已證.因?yàn)樗砸虼吮啬艹M其中的一個(gè),不妨設(shè)因?yàn)橐彩遣豢杉s多項(xiàng)式,所以有于是中消去得.由歸納假設(shè)有即并且適當(dāng)排列次序之后有這就證明了分解的唯一性.多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式：數(shù)域上多項(xiàng)式,其中是的首項(xiàng)系數(shù),是不同的首項(xiàng)系數(shù)為1的不可約多項(xiàng)式,而是正整數(shù).多項(xiàng)式的根：對(duì)任意多項(xiàng)式,如果則稱(chēng)為的根.代數(shù)基本定理：每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中有一根.這個(gè)定理首先是由高斯于1797年首先證明的,由于當(dāng)時(shí)代數(shù)學(xué)研究的主要對(duì)象為多項(xiàng)式理論,這個(gè)定理是關(guān)于多項(xiàng)式理論的非常有用、非?；镜慕Y(jié)論,因而被命名成代數(shù)基本定理,它有多個(gè)證明,都很復(fù)雜,并且或多或少地用到微積分等其他領(lǐng)域的結(jié)論,這里

6、就不證明了.顯然我們可以利用代數(shù)基本定理得到每個(gè)次數(shù)大于1的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式,在復(fù)數(shù)域上一定有一個(gè)一次因式.因此在復(fù)數(shù)域上所有次數(shù)大于1的多項(xiàng)式全是可約的.換句話(huà)說(shuō),不可約多項(xiàng)式只有一次多項(xiàng)式,于是多項(xiàng)式的因式分解定理在復(fù)數(shù)域上可以敘述成復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理：每個(gè)次數(shù)的復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式的乘積.因此復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：其中是不同的復(fù)數(shù),是正整數(shù).標(biāo)準(zhǔn)分解式說(shuō)明每個(gè)次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式恰有個(gè)復(fù)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算).實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式因式分解定理：每個(gè)次數(shù)的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域上都可以唯一地分解成一次因式與二次不可約因式的乘積.因此實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式具有標(biāo)準(zhǔn)分解式：其中全是實(shí)數(shù)

7、,是正整數(shù),并且是不可約的,也就是適合條件 證明：定理對(duì)一次多項(xiàng)式顯然成立.假設(shè)定理對(duì)次數(shù)的多項(xiàng)式成立,設(shè)是次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,由代數(shù)基本定理,有一復(fù)根如果是實(shí)數(shù),那么其中是次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.如果不是實(shí)數(shù),那么也是的根且于是顯然是一實(shí)系數(shù)二次不可約多項(xiàng)式.從而是次實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式.由歸納假設(shè),或可以分解成一次與二次不可約多項(xiàng)式的乘積,因此也可以如此分解.二、典型例題與基本方法1.證明：中次多項(xiàng)式在數(shù)域中的根不可能多于個(gè),重根按重?cái)?shù)計(jì)算.證明：對(duì)零多項(xiàng)式結(jié)論成立.設(shè)是一個(gè)次數(shù)的多項(xiàng)式,把分解成不可約多項(xiàng)式的乘積若存在注意到是不可約多項(xiàng)式,于是不能分解成兩個(gè)次數(shù)低于的兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積,于是自然不能分解出一次

8、多項(xiàng)式,所以對(duì)任意的由余數(shù)定理知道所以的根只能是的分解式中的一次不可約因式,于是在數(shù)域中根的個(gè)數(shù)等于分解式中一次因式的個(gè)數(shù),這個(gè)一次因式的個(gè)數(shù)顯然不超過(guò)所以中次多項(xiàng)式在數(shù)域中的根不可能多于個(gè).2(多項(xiàng)式恒等定理)如果多項(xiàng)式的次數(shù)都不超過(guò)而它們對(duì)個(gè)不同的數(shù)有相同的值,即證明：證明：由條件這就是說(shuō),多項(xiàng)式有個(gè)不同的根.如果那么是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式,于是它不可能有個(gè)根.因此3.求所有多項(xiàng)式使得對(duì)任意的有解：分別令得即多項(xiàng)式有根所以多項(xiàng)式必有因式所以于是于是所以由多項(xiàng)式恒等定理知道所以4.如果是一個(gè)次多項(xiàng)式,且對(duì)有,求.解：因?yàn)閷?duì)有,所以令因?yàn)槭且粋€(gè)次多項(xiàng)式,于是是一個(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式,且有個(gè)根.由多項(xiàng)式的因式分解定理知道因?yàn)槭且粋€(gè)次數(shù)不超過(guò)的多項(xiàng)式所以于是所以從而令則故所以所以5.設(shè)復(fù)變量多項(xiàng)式其中系數(shù)若證明：存在實(shí)數(shù)使得且證明：設(shè)多項(xiàng)式的根是則因?yàn)樗杂谑亲⒁獾綄?duì)任意的實(shí)數(shù)所以若均為實(shí)數(shù),則矛盾.所以一定存在某些的根不是實(shí)數(shù),且因?yàn)槎囗?xiàng)式是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式,其非實(shí)數(shù)的復(fù)數(shù)根成對(duì)出現(xiàn),所以設(shè)則且 所以B5.練習(xí) 姓名： 1.如果是實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式的復(fù)根,證明：的共軛復(fù)數(shù)也是的根.證明：設(shè)其中都是實(shí)數(shù).因?yàn)槭堑膹?fù)根,所以即于是這就是說(shuō)所以也是的根.2.證