第1章建立數(shù)學模型

1、數(shù)學模型第四版第第一一章章 建立數(shù)學模型建立數(shù)學模型1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型1.2 數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的重要意義1.3 數(shù)學建模示例數(shù)學建模示例1.4 數(shù)學建模的基本方法和步驟數(shù)學建模的基本方法和步驟1.5 數(shù)學模型的特點和分類數(shù)學模型的特點和分類1.6 數(shù)學建模數(shù)學建模能力的培養(yǎng)能力的培養(yǎng)玩具、照片、飛機、火箭模型玩具、照片、飛機、火箭模型 實物模型實物模型水箱中的艦艇、風洞中的飛機水箱中的艦艇、風洞中的飛機 物理模型物理模型地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖地圖、電路圖、分子結(jié)構(gòu)圖 符號模型符號模型模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分是為了一定目的，對客觀事物的

2、一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的進行簡縮、抽象、提煉出來的原型原型的替代物的替代物.模型模型集中反映了集中反映了原型原型中人們需要的那一部分特征中人們需要的那一部分特征.1.1 從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型從現(xiàn)實對象到數(shù)學模型我們常見的模型我們常見的模型你碰到過的數(shù)學模型你碰到過的數(shù)學模型“航行問題航行問題”用用 x 表示船速，表示船速，y 表示水速，列出方程：表示水速，列出方程：75050)(75030)(yxyx答：船速為答：船速為20km/h. .甲乙兩地相距甲乙兩地相距750km，船從甲到乙順水航行需，船從甲到乙順水航行需30h，從乙到甲逆水航行需從乙到甲逆水航行需50h，問船的速度是多少，問

3、船的速度是多少?x=20y =5求解求解航行問題航行問題建立數(shù)學模型的基本步驟建立數(shù)學模型的基本步驟 作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)）作出簡化假設(shè)（船速、水速為常數(shù)） 用符號表示有關(guān)量（用符號表示有關(guān)量（x, y分別表示船速和水速）分別表示船速和水速） 用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以 時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程）時間）列出數(shù)學式子（二元一次方程） 求解得到數(shù)學解答（求解得到數(shù)學解答（x=20, y=5） 回答原問題（船速回答原問題（船速為為20km/h）數(shù)學模型數(shù)學模型 (Mathematical Model) 和和數(shù)學建模（數(shù)學建模（Mat

4、hematical Modeling)對于一個對于一個現(xiàn)實對象現(xiàn)實對象，為了一個，為了一個特定目的特定目的，根據(jù)其根據(jù)其內(nèi)在規(guī)律內(nèi)在規(guī)律，作出必要的，作出必要的簡化假設(shè)簡化假設(shè)，運用適當?shù)倪\用適當?shù)臄?shù)學工具數(shù)學工具，得到的一個，得到的一個數(shù)學表述數(shù)學表述. .建立數(shù)學模型的全過程建立數(shù)學模型的全過程（包括表述、求解、解釋、檢驗等）（包括表述、求解、解釋、檢驗等）數(shù)學模型數(shù)學模型數(shù)學數(shù)學建模建模1.2 數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的重要意義 電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展電子計算機的出現(xiàn)及飛速發(fā)展. 數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透數(shù)學以空前的廣度和深度向一切領(lǐng)域滲透.數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實

5、際問題的第一步，數(shù)學建模作為用數(shù)學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視越來越受到人們的重視. 在一般工程技術(shù)領(lǐng)域在一般工程技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學建模仍然大有用武之地數(shù)學建模仍然大有用武之地. 在高新技術(shù)領(lǐng)域在高新技術(shù)領(lǐng)域, 數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具數(shù)學建模幾乎是必不可少的工具. 數(shù)學進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地數(shù)學進入一些新領(lǐng)域，為數(shù)學建模開辟了許多處女地.“數(shù)學是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的數(shù)學是一種關(guān)鍵的、普遍的、可以應(yīng)用的技術(shù)技術(shù)”. 數(shù)學數(shù)學“由研究到工業(yè)領(lǐng)域的由研究到工業(yè)領(lǐng)域的技術(shù)轉(zhuǎn)化技術(shù)轉(zhuǎn)化，對加強，對加強經(jīng)濟競爭力具有重要意義經(jīng)濟競爭力具有重要意義”. “

6、計算和建模計算和建模重新成為中心課題，它們是數(shù)學重新成為中心課題，它們是數(shù)學科學技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑科學技術(shù)轉(zhuǎn)化的主要途徑” .數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的重要意義數(shù)學建模的具體應(yīng)用數(shù)學建模的具體應(yīng)用 分析與設(shè)計分析與設(shè)計 預(yù)報與決策預(yù)報與決策 控制與優(yōu)化控制與優(yōu)化 規(guī)劃與管理規(guī)劃與管理數(shù)學建模計算機技術(shù)知識經(jīng)濟知識經(jīng)濟如虎添翼如虎添翼1.3 數(shù)學建模示例數(shù)學建模示例1.3.1 椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎問題分析問題分析模模型型假假設(shè)設(shè)通常通常 三只腳著地三只腳著地放穩(wěn)放穩(wěn) 四只腳著地四只腳著地 四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連

7、線呈正方形連線呈正方形. 地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)地面高度連續(xù)變化，可視為數(shù)學上的連續(xù)曲面曲面. 地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地只腳同時著地.模型構(gòu)成模型構(gòu)成用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來. 椅子位置椅子位置利用正方形利用正方形(椅腳連線椅腳連線)的對稱性的對稱性.xBADCOD C B A 用用 (對角線與對角線與x軸的夾角軸的夾角)表示椅子位置表示椅子位置. 四只腳著地四只腳著地距離是距離是 的函數(shù)的函數(shù).四個距離四個距離(四只腳四只腳)A,C 兩腳與地面距離之和

8、兩腳與地面距離之和 f( )B,D 兩腳與地面距離之和兩腳與地面距離之和 g( )兩個距離兩個距離 椅腳與地面距離為零椅腳與地面距離為零正方形正方形ABCD繞繞O點旋轉(zhuǎn)點旋轉(zhuǎn)正方形正方形對稱性對稱性用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來用數(shù)學語言把椅子位置和四只腳著地的關(guān)系表示出來.f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)對任意對任意 , f( ), g( )至少一個為至少一個為0數(shù)學數(shù)學問題問題已知：已知： f( ) , g( )是是連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) ; 對任意對任意 ， f( ) g( )=0 ; 且且 g(0)=0， f(0) 0. 證明：存在證明：存在 0，使，使f( 0)

9、= g( 0) = 0.模型構(gòu)成模型構(gòu)成地面為連續(xù)曲面地面為連續(xù)曲面 椅子在任意位置椅子在任意位置至少三只腳著地至少三只腳著地模型求解模型求解給出一種簡單、粗糙的證明方法給出一種簡單、粗糙的證明方法3）由）由 f, g 的連續(xù)性知的連續(xù)性知 h為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù), 據(jù)連續(xù)函數(shù)據(jù)連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)的基本性質(zhì), 必存在必存在 0 ( 0 0 0，知，知 f( /2)=0, g( /2)0.2）令）令 h( )= f( )g( ), 則則 h(0)0 和和 h( /2)0)，總劑量，總劑量1100 mg藥物在藥物在t=0瞬間進入胃腸道瞬間進入胃腸道.2. 血液系統(tǒng)中藥物的排除率與血液系統(tǒng)中藥物的排

10、除率與y(t) 成正比，比例系數(shù)成正比，比例系數(shù)(0)，t=0時血液中無藥物時血液中無藥物.3. 氨茶堿被吸收的半衰期為氨茶堿被吸收的半衰期為5 h，排除的半衰期為，排除的半衰期為6 h. 4. 孩子的血液總量為孩子的血液總量為2000 ml. 胃腸道中藥量胃腸道中藥量x(t), 血液系統(tǒng)中藥量血液系統(tǒng)中藥量y(t)，時間，時間t以以孩子誤服藥的時刻為起點（孩子誤服藥的時刻為起點（t=0）. 模型建立模型建立x(t)下降速度與下降速度與x(t)成正比成正比(比例系數(shù)比例系數(shù)), 總劑量總劑量1100mg藥藥物在物在t=0瞬間進入胃腸道瞬間進入胃腸道.轉(zhuǎn)移率轉(zhuǎn)移率正比于正比于x排除率排除率正比于

11、正比于y胃腸道胃腸道血液系統(tǒng)血液系統(tǒng)口服藥物口服藥物體外體外藥量藥量x(t)藥量藥量y(t)y(t)由吸收而增長的速度是由吸收而增長的速度是x，由排除而減少的速度，由排除而減少的速度與與y(t) 成正比成正比(比例系數(shù)比例系數(shù)) , t=0時血液中無藥物時血液中無藥物.d,(0)0dyxyytd,(0)1100dxxxt 模型模型求解求解 d,(0)1100dxxxt 藥物吸收的半衰期為藥物吸收的半衰期為5 h ( )1100etx t(ln2)/50.1386(1/h)51100e1100/22/ )0()5(xxddyxyt1100 ety 0)0(y藥物排除的半衰期為藥物排除的半衰期為6

12、 h 1100( )(ee)tty t只考慮血液對藥物的排除只考慮血液對藥物的排除2/)6(,)(ayay()( )ety taddyyt (ln2)/60.1155(1/h)0.1386( )1100etx t0.11550.1386( )6600(ee)tty t0510152025020040060080010001200t(h)x,y(mg)x(t)y(t)血液總量血液總量2000ml血藥濃度血藥濃度200g/ml結(jié)果及分析結(jié)果及分析 胃腸道藥量胃腸道藥量血液系統(tǒng)藥量血液系統(tǒng)藥量血藥濃度血藥濃度100g/mly(t) =200mg嚴重中毒嚴重中毒y(t) =400mg致命致命t=1.6

13、2t=4.87t=7.89y=442孩子到達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救，孩子到達醫(yī)院前已嚴重中毒，如不及時施救，約約3h3h后將致命！后將致命！y(2)=236.5 施救方案施救方案 口服活性炭使藥物排除率口服活性炭使藥物排除率增至原來的增至原來的2倍倍. d,2,1100e,(2)236.5dtzxztxzt孩子到達醫(yī)院孩子到達醫(yī)院(t=2)就開始施救，血液中藥量記作就開始施救，血液中藥量記作z(t) 0.13860.2310( )1650e1609.5e,2ttz tt=0.1386 (不變)， =0.11552=0.2310 施救方案施救方案 05101520250200400600

14、80010001200t(h)x,y,z(mg)x(t)y(t)z(t)t=5.26z=318 施救后血液中藥量施救后血液中藥量z (t)顯著低于顯著低于y(t). z (t)最大值低于最大值低于致命水平致命水平. 要使要使z (t)在施救后在施救后立即下降，可算出立即下降，可算出至少應(yīng)為至少應(yīng)為0.4885. 若采用體外血液透析，若采用體外血液透析，可增至可增至0.11556=0.693，血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦血液中藥量下降更快；臨床上是否需要采取這種辦法，當由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定法，當由醫(yī)生綜合考慮并征求病人家屬意見后確定. 數(shù)學建模的基本方法數(shù)學建模

15、的基本方法機理分析機理分析測試分析測試分析根據(jù)對客觀事物特性的認識，根據(jù)對客觀事物特性的認識，找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律找出反映內(nèi)部機理的數(shù)量規(guī)律.將對象看作將對象看作“黑箱黑箱”,通過對量測數(shù)據(jù)的通過對量測數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型統(tǒng)計分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型.機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過機理分析沒有統(tǒng)一的方法，主要通過實例研究實例研究 (Case Studies)來學習來學習. .以下建模主要指機理分析以下建模主要指機理分析. .二者結(jié)合二者結(jié)合用機理分析建立模型結(jié)構(gòu)用機理分析建立模型結(jié)構(gòu),用測試分析確定模型參數(shù)用測試分析確定模型參數(shù).1.4 數(shù)學建模的基本方法和步

16、驟數(shù)學建模的基本方法和步驟 數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的一般步驟模型準備模型準備模型假設(shè)模型假設(shè)模型構(gòu)成模型構(gòu)成模型求解模型求解模型分析模型分析模型檢驗?zāi)Ｐ蜋z驗?zāi)Ｐ蛻?yīng)用模型應(yīng)用模模型型準準備備了解實際背景了解實際背景明確建模目的明確建模目的搜集有關(guān)信息搜集有關(guān)信息掌握對象特征掌握對象特征形成一個形成一個比較清晰比較清晰的的“問題問題”模模型型假假設(shè)設(shè)針對問題特點和建模目的針對問題特點和建模目的作出作出合理合理的、的、簡化簡化的假設(shè)的假設(shè)在合理與簡化之間作出折中在合理與簡化之間作出折中模模型型構(gòu)構(gòu)成成用數(shù)學的語言、符號描述問題用數(shù)學的語言、符號描述問題發(fā)揮發(fā)揮想像力想像力使用使用類比法類比法盡量

17、采用簡單的數(shù)學工具盡量采用簡單的數(shù)學工具 數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的一般步驟模型模型求解求解各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù)各種數(shù)學方法、軟件和計算機技術(shù).如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、如結(jié)果的誤差分析、統(tǒng)計分析、模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析模型對數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性分析.模型模型分析分析模型模型檢驗檢驗與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，與實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)比較，檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性檢驗?zāi)Ｐ偷暮侠硇?、適用性.模型應(yīng)用模型應(yīng)用 數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的一般步驟數(shù)學建模的全過程數(shù)學建模的全過程現(xiàn)實對象的信息現(xiàn)實對象的信息數(shù)學模型數(shù)學模型現(xiàn)實對象的解答現(xiàn)實對象的解答數(shù)學模型的解答數(shù)學模型的解答表述表述求解求解解釋解釋驗證驗

18、證(歸納)(演繹)表述表述求解求解解釋解釋驗證驗證根據(jù)建模目的和信息將實際問題根據(jù)建模目的和信息將實際問題“翻譯翻譯”成數(shù)學問成數(shù)學問題題.選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答選擇適當?shù)臄?shù)學方法求得數(shù)學模型的解答.將數(shù)學語言表述的解答將數(shù)學語言表述的解答“翻譯翻譯”回實際對回實際對象象.用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答用現(xiàn)實對象的信息檢驗得到的解答.實踐現(xiàn)現(xiàn)實實世世界界數(shù)數(shù)學學世世界界理論實踐1.5 數(shù)學模型的特點和分類數(shù)學模型的特點和分類模型的逼真性和可行性模型的逼真性和可行性模型的漸進性模型的漸進性模型的強健性模型的強健性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的可轉(zhuǎn)移性模型的非預(yù)制性模型的非預(yù)制性模型的條理性模

19、型的條理性模型的技藝性模型的技藝性模型的局限性模型的局限性 數(shù)學模型的特點數(shù)學模型的特點數(shù)學模型的分類數(shù)學模型的分類應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用領(lǐng)域人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、人口、交通、經(jīng)濟、生態(tài)、數(shù)學方法數(shù)學方法初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、初等數(shù)學、微分方程、規(guī)劃、統(tǒng)計、表現(xiàn)特性表現(xiàn)特性描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、描述、優(yōu)化、預(yù)報、決策、建模目的建模目的了解程度了解程度白箱白箱灰箱灰箱黑箱黑箱確定和隨機確定和隨機靜態(tài)和動態(tài)靜態(tài)和動態(tài)線性和非線性線性和非線性離散和連續(xù)離散和連續(xù)1.6 數(shù)學建模能力的培養(yǎng)數(shù)學建模能力的培養(yǎng)數(shù)學建模與其說是一門數(shù)學建模與其說是一門技術(shù)技術(shù)，不如說是一門，不如說是一門藝術(shù)藝術(shù)技術(shù)大致

20、有章可循技術(shù)大致有章可循藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準則藝術(shù)無法歸納成普遍適用的準則想像力想像力洞察力洞察力判斷力判斷力 學習、分析、評價、改進別人做過的模型學習、分析、評價、改進別人做過的模型. . 親自動手，認真作幾個實際題目親自動手，認真作幾個實際題目. .參加參加全國大學生數(shù)學建模競賽全國大學生數(shù)學建模競賽的意義和作用的意義和作用 1992年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學學會年中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學學會(CSIAM)開始組織開始組織 1994年起教育部高教司和年起教育部高教司和CSIAM共同舉辦共同舉辦(每年每年9月月)2010年年33省省/市市/區(qū)區(qū)(含港澳含港澳)的的1197校校17317隊隊內(nèi)容內(nèi)容

21、 賽題：工程技術(shù)、管理科學中簡化的實際問題賽題：工程技術(shù)、管理科學中簡化的實際問題. 答卷：包含模型假設(shè)、建立、求解計算方法設(shè)計和計答卷：包含模型假設(shè)、建立、求解計算方法設(shè)計和計算機實現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗、模型改進等方面的論文算機實現(xiàn)、結(jié)果分析和檢驗、模型改進等方面的論文.形式形式 3名大學生組隊，在名大學生組隊，在3天內(nèi)完成的通訊比賽天內(nèi)完成的通訊比賽. 可使用任何可使用任何“死死”材料（圖書、計算機、軟材料（圖書、計算機、軟件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊外任何人討論件、互聯(lián)網(wǎng)等），但不得與隊外任何人討論.宗旨宗旨創(chuàng)新意識創(chuàng)新意識 團隊精神團隊精神 重在參與重在參與 公平競爭公平競爭標準標準假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，假設(shè)的合理性，建模的創(chuàng)造性，結(jié)果的正確性，表述的清晰性結(jié)果的正確性，表述的清晰性.全國大學生數(shù)學建模競賽全國大學生數(shù)學建模競賽 http:/競賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì)競賽培養(yǎng)創(chuàng)新精神和綜合素質(zhì) 賽題緊密結(jié)合科技和社會熱點問題，培養(yǎng)理論聯(lián)系實賽