拉普拉斯變換及反變換PPT通用通用課件

1、補(bǔ)充：拉普拉斯變換及反變換拉氏變換對是求解常系數(shù)線性微分方程的工具。把線性時(shí)不變系統(tǒng)的時(shí)域模型簡便地進(jìn)行變換，經(jīng)求解再還原為時(shí)間函數(shù)。概述一、 拉普拉斯變換 （2）常用函數(shù)的拉普拉斯變換（3）拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 二、 拉普拉斯反變換 內(nèi)容（1）定義定義 當(dāng)f(t)含有沖激函數(shù)項(xiàng)時(shí)，此項(xiàng) 0拉氏變換積分上限說明：一、拉普拉斯變換 F(s)=f(t)f(t)= -1F(s)表示為：0 f(t) ，t 0,)稱為原函數(shù)，屬時(shí)域。 原函數(shù) 用小寫字母表示，如 f(t) ，i(t)，u(t) F(s) 稱為象函數(shù)，屬復(fù)頻域 。 象函數(shù)F(s) 用大寫字母表示 ,如F(s) ，I(s)，U(s)。稱為

2、復(fù)頻率 。 f(t)F(S)LL_拉普拉斯變換對，記為： 2.2 常用函數(shù)的拉普拉斯變換 （單位階躍函數(shù)）tu(t)F(s)= (指數(shù)函數(shù))F(s)= 1 （單位脈沖函數(shù)）(t)t0（單位斜坡函數(shù)） f(t)t0F(s)=Lf(t)=（冪函數(shù)） 常用函數(shù)的拉普拉斯變換表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)(t)n(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw1f1(t) e-t t0例題 求圖示兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式 1f2(t) e-t t 0解 由于定義的拉氏變換積分上限是0，兩個(gè)函數(shù)的拉氏變換式相同當(dāng)取上式的反變換時(shí)，只能表示出

3、區(qū)間的函數(shù)式 -12.3 拉普拉斯變換的基本性質(zhì) 一、線性性質(zhì) 例1 例2 二、微分定理 例1 初態(tài)為r(0-)及r/(0-)，原始值為e(0-)=0，求r(t)的象函數(shù)。解：設(shè)r(t)，e(t)均可進(jìn)行拉氏變換即有E(S)=Le(t) , R(S)=Lr(t)對方程兩端進(jìn)行拉氏變換，應(yīng)用線性組合與微分定理可得S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)+a1SR(s)-r(0-)+a0R(s)=b1SE(s)-e(0-)+b0E(s)整理合并得（S2+a1S+a0）R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b10例3 某動態(tài)電路的輸入輸出方程為三、積分定理 例 四

4、、時(shí)域平移f(t)f(t-t0)平移 例1 例2 五、 復(fù)頻域平移 例3 六、初值定理和終值定理 初值定理 若 f(t)=F(s)，且 f(t)在t = 0處無沖激， 則終值定理 f(t)及其導(dǎo)數(shù)f (t)可進(jìn)行拉氏變換，且 例1 例2 例3 例4：已知F(s)= 解：由初值定理得，求f(0)和f()由終值定理得例 右圖所示電路中，電壓源為 ，試用時(shí)域卷積定理求零狀態(tài)響應(yīng)電流i(t)。七、時(shí)域卷積性i(t)RL解（1）寫出系統(tǒng)動力學(xué)方程（2）作Laplace變換得系統(tǒng)方框圖h(t)Ui(s)H(s)I(s)零狀態(tài)響應(yīng)電流I(s)=Ui(s)H(s)= ui(t) H(s) =-1I(s)i(t

5、)=（4）應(yīng)用時(shí)域卷積定理（3）求系統(tǒng)傳遞函數(shù)h(t)Ui(s)H(s)I(s)（5）作Laplace反變換得八、S域卷積性九、尺度變換性拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表拉普拉斯變換的基本性質(zhì)表本講小結(jié)：拉普拉斯變換定義常用函數(shù)的拉普拉斯變換拉普拉斯變換的基本性質(zhì)(1)利用作業(yè)1、寫出拉普拉斯變換定義式2、1(s-1)2_二、拉普拉斯反變換 1、由象函數(shù)求原函數(shù) （2）經(jīng)數(shù)學(xué)處理后查拉普拉斯變換表 f(t)=L-1F(s)（1）利用公式 較麻煩 象函數(shù)的一般形式： 2、將F(s)進(jìn)行部分分式展開等式兩邊同乘(s-s1) =0例1 解： F(S) 例2 （m = n，用長除法）解： F(S) （k1 , k2也是一對共軛復(fù)數(shù)） 假設(shè)只有兩個(gè)根設(shè) 解： 則 歐拉公式 例1 法一： 部分分式法展開，求系數(shù)。 法二： 將F2(s)改寫為(s )2 + 2 F(S) = 等式兩邊同乘例1 等式兩邊乘 得 例2 等式兩邊乘 （4）一般多重根