現(xiàn)代通信原理、技術(shù)與仿真第9章 差錯控制編碼ppt課件

1、第9章 過失控制編碼9.1過失控制編碼原理9.2常用簡單過失控制編碼9.3線性分組碼9.4循環(huán)碼9.5卷積碼本章仿真實驗舉例習(xí)題9.1過失控制編碼原理9.1.1引起誤碼的緣由與降低誤碼的常用方法數(shù)字信號在實踐通訊過程中不可防止地會發(fā)生錯誤。這是由于，一方面通訊系統(tǒng)的特性并非完全理想，數(shù)字信號波形經(jīng)過這樣的通訊系統(tǒng)時會產(chǎn)生波形失真，因此在接納端判決時會產(chǎn)生判決錯誤，這種干擾稱為乘性干擾；另一方面，信道中的噪聲也會產(chǎn)生干擾，這種干擾隨機(jī)地與信號疊加，使信號波形產(chǎn)生失真，也會引起判決錯誤，這種干擾稱為加性干擾。 對于乘性干擾，可以經(jīng)過平衡器來消除碼間串?dāng)_的影響。隨機(jī)加性干擾通常由信道產(chǎn)生。根據(jù)隨機(jī)加

2、性干擾的不同特點，從過失控制角度看，相應(yīng)的信道可以分為三類：隨機(jī)信道、突發(fā)信道、混合信道。隨機(jī)信道：這種信道中錯碼的出現(xiàn)是互不相關(guān)、統(tǒng)計獨立的。比如，當(dāng)信道中的隨機(jī)加性干擾主要是高斯分布的白噪聲時，引起的錯碼就具有這種性質(zhì)。突發(fā)信道：錯碼的出現(xiàn)是前后相關(guān)的。當(dāng)錯碼出現(xiàn)時，會在短時間內(nèi)有一連串的大量錯碼，而該時間過后又有較長的時間無錯碼。呵斥突發(fā)錯碼的緣由是信道中存在隨機(jī)的強(qiáng)突發(fā)脈沖干擾，比如，閃電、電焊、電火花干擾等。當(dāng)信道中的隨機(jī)加性干擾主要是隨機(jī)的強(qiáng)突發(fā)脈沖干擾時，稱為突發(fā)信道。混合信道：以上兩種隨機(jī)干擾都存在，產(chǎn)生的錯碼既有隨機(jī)錯碼又有突發(fā)錯碼，這種信道稱為混合信道。在引見過失控制方式之

3、前，下面先了解一下降低誤碼、提高數(shù)字通訊可靠性的幾種途徑。根據(jù)實踐通訊系統(tǒng)對其可靠性的要求，可以用不同的方法提高通訊的可靠性。(1) 適當(dāng)添加發(fā)送信號功率。增大信號的功率，即提高輸入端的信噪比，可以減少信道中隨機(jī)加性干擾對信號的影響，降低誤碼率，提高數(shù)字通訊的可靠性。但是發(fā)送信號功率由于遭到設(shè)備和環(huán)境條件的影響而不能無限增大。比如，空間探測器上的發(fā)射機(jī)由于其體積和分量遭到限制，其發(fā)射功率不能夠無限增大。所以，此種方法在實踐中遭到了一定限制。(2) 選擇抗噪聲性能好的調(diào)制解調(diào)方式。比如，在數(shù)字調(diào)制中移相鍵控PSK比幅度鍵控ASK的誤碼率要小得多。所以在實踐中多采用移相鍵控PSK，而很少采用幅度鍵

4、控ASK。(3) 采用最正確接納。最正確接納可以使數(shù)字通訊的誤碼率到達(dá)最小。接納機(jī)中的濾波器可以是帶通濾波器，也可以是匹配濾波器。在數(shù)字通訊中可以采用匹配濾波接納，最大限制地抑制白噪聲，在判決時辰到達(dá)最大輸出信噪比，從而降低誤碼率。(4) 采用過失控制編碼。經(jīng)過一定的編碼和譯碼方法，采用前向糾錯或檢錯重傳技術(shù)，可以自動糾正傳輸錯誤。對于不同類型的信道，應(yīng)采用不同的過失控制方式。這是本章的主要內(nèi)容。9.1.2過失控制編碼的根本方法與過失控制方式對于不同類型的信道，要采用不同的過失控制方式。不同的過失控制編碼也要與相應(yīng)的過失控制方式配合運用。常用的過失控制方式可分為以下四類：檢錯重發(fā)(ARQ)、前

5、向糾錯(FEC)、混合糾錯檢錯(HEC)、信息反響(IRQ，也稱反響校驗)。圖9.1所示為過失類型和過失控制方式。圖9.1過失類型和過失控制方式1. 檢錯重發(fā)(ARQ)方式檢錯重發(fā)方式又稱為自動懇求重發(fā)方式。這種過失控制方式在發(fā)送端對數(shù)據(jù)序列進(jìn)展分組編碼，參與一定多余碼元使之具有一定的檢錯才干，成為可以發(fā)現(xiàn)錯誤的碼組。接納端收到碼組后，按一定規(guī)那么對其進(jìn)展有無錯誤的判別，并把判決結(jié)果(應(yīng)對信號)經(jīng)過反向信道送回發(fā)送端。假設(shè)有錯誤，那么發(fā)送端把前面發(fā)出的信息重新傳送一次，直到接納端以為已正確收到信息為止。在詳細(xì)實現(xiàn)檢錯重發(fā)系統(tǒng)時，通常有3種方式，即停發(fā)等候重發(fā)、前往重發(fā)和選擇重發(fā)。ARQ方式的組

6、成如圖9.2所示。圖9.2ARQ方式1) 停頓等待ARQ停頓等待ARQ是最簡單的ARQ系統(tǒng)，也稱為空閑RQ(idleRQ)。這種系統(tǒng)每發(fā)送一個分組就停頓發(fā)送等待接納端的應(yīng)對信號。收到接納端確實認(rèn)應(yīng)對后，再發(fā)送下一個分組。假設(shè)收到的能否認(rèn)應(yīng)對，那么重發(fā)原分組。圖9.3所示為停頓等待ARQ發(fā)送端和接納端信號的傳送過程表示圖。 圖9.3停頓等待ARQ2) 延續(xù)ARQ延續(xù)ARQ任務(wù)在全雙工方式，需求有一定的緩沖器容量。這種系統(tǒng)兩端同時發(fā)送信息，發(fā)送端延續(xù)發(fā)送數(shù)據(jù)，并接納應(yīng)對信號，接納端延續(xù)接納數(shù)據(jù)并發(fā)送應(yīng)對信號。延續(xù)ARQ的任務(wù)原理如圖9.4所示。與停頓等待ARQ不同，其發(fā)送端無停頓地送出一個個延續(xù)碼

7、組，不再等候接納端前往的ACK信號，但一旦接納端發(fā)現(xiàn)錯誤并發(fā)回NAK信號，那么發(fā)送端從下一個碼組開場重發(fā)前一段N組信號，N的大小取決于信號傳送及處置所帶來的延時，圖9.4中N=5。 圖9.4延續(xù)ARQ的任務(wù)原理3) 選擇重發(fā)ARQ選擇重發(fā)ARQ是由延續(xù)ARQ開展而來的，任務(wù)在全雙工方式，需求有較大的緩沖器容量，其任務(wù)過程類似于延續(xù)ARQ。但在發(fā)送端重發(fā)時，不是將錯誤碼組及其以后的碼組全部重發(fā)，而是僅重發(fā)出錯的碼組。選擇重發(fā)ARQ的任務(wù)原理如圖9.5所示。圖9.5選擇重發(fā)ARQ2. 前向糾錯(FEC)方式在前向糾錯(FEC)方式中，發(fā)送端發(fā)出的碼字不僅可以發(fā)現(xiàn)錯誤，而且可以糾正錯誤。在接納端譯碼

8、后，假設(shè)沒有錯誤，那么直接輸出；假設(shè)有錯誤，那么在接納端自動糾正后再輸出。這種方式不需求反向信道，特別適宜于只能提供單向信道的場所。其優(yōu)點是：能自動糾錯，不要求檢錯重發(fā)，因此延時小，實時性好，傳輸效率高。其缺陷是：所選擇的糾錯碼必需與信道的錯誤特性親密配合，否那么很難到達(dá)降低錯碼率的要求；為了能糾正較多的錯碼，譯碼設(shè)備復(fù)雜，且要求附加的監(jiān)視碼元也較多，傳輸效果也會降低。前向糾錯(FEC)主要用于話音、廣播、TV等通訊中。3. 混合糾錯檢錯(HEC)方式混合糾錯檢錯(HEC)方式是將ARQ方式和FEC方式結(jié)合運用的一種方式。在混合糾錯檢錯系統(tǒng)中，發(fā)送端發(fā)出同時具有檢錯和糾錯才干的碼，接納端收到碼

9、后，檢查錯誤情況，假設(shè)錯誤少于糾錯才干，那么自行糾正，即FEC方式；假設(shè)干擾嚴(yán)重，錯誤很多，超出糾正才干，但能檢測出來，那么經(jīng)反向信道要求發(fā)送端重發(fā)，即ARQ方式。普通的糾錯編碼可以檢錯和糾錯的位數(shù)都是很有限的。比如，一種糾錯編碼能糾正一個碼字內(nèi)的兩位錯，檢出三位錯。當(dāng)碼組中出現(xiàn)兩位以下錯碼時，它能自動糾正錯碼；當(dāng)碼組中出現(xiàn)兩位以上錯碼時，它不能自動糾正。所以在傳輸錯碼較少時，采用前向糾錯方式自動糾正錯碼；在錯碼較多時，采用ARQ方式自動懇求重發(fā)。4. 反響校驗(IRQ)方式反響校驗(IRQ)方式也稱為信息反響方式或回程校驗方式。在該方式中，發(fā)送端一邊發(fā)送碼字，一邊將發(fā)送的碼字在發(fā)送端緩沖存儲

10、。當(dāng)接納端收到碼字后，立刻將接納到的碼字前往發(fā)送端。發(fā)送端將前往的碼字與發(fā)送端緩沖存儲器中相應(yīng)的碼字進(jìn)展比較，假設(shè)發(fā)現(xiàn)與發(fā)送碼不同，即以為產(chǎn)生了錯誤，就重發(fā)上一次的碼字，直到發(fā)送端校驗正確為止。利用這種方式進(jìn)展過失控制時設(shè)備簡單，但要求雙向信道，并且傳輸效率很低。9.1.3糾錯編碼的根本原理1. 有擾信道的編碼定理香農(nóng)有擾信道的編碼定理指出：在有擾信道中只需信息的傳輸速率R小于信道容量C，總可以找到一種編碼方法，使信息以恣意小的過失概率經(jīng)過信道傳送到接納端，即誤碼率Pe可以恣意小，而且傳輸速率R可以接近信道容量C。但假設(shè)RC，那么在傳輸過程中必定會帶來不可糾正錯誤，不存在使過失概率恣意小的編碼

11、。其中，誤碼率：Pe=e-nE(R) (9.1)式中, n為編碼的碼字長度(簡稱碼長)；E(R)為誤碼指數(shù)。E(R)與R、C有關(guān)，其關(guān)系可用曲線表示，如圖9.6所示。圖9.6E(R)與R的關(guān)系由式(9.1)及E(R)與R、C的關(guān)系曲線可以看出，要提高抗干擾才干，減小誤碼率Pe，有以下兩種途徑： (1) 在編碼長度n及信息的傳輸速率R一定時，為減小Pe，可以添加信道容量C。由圖9.6可見，E(R)隨信道容量C的添加而增大。由式(9.1)可見，誤碼率Pe隨E(R)的增大而指數(shù)減小，即添加信道容量可以減小誤碼率。由信道容量公式可見，要添加信道容量C，可以經(jīng)過添加信號功率P和系統(tǒng)帶寬B來實現(xiàn)，即經(jīng)過添

12、加信號功率P和系統(tǒng)帶寬B可以減小誤碼率。(2) 在信道容量C及信息的傳輸速率R一定的情況下，由式(9.1)可知，添加碼長n也可以使誤碼率Pe指數(shù)減小，即經(jīng)過添加信道中傳輸信息的碼長可以減小誤碼率。香農(nóng)有擾信道的編碼定理本身并未給出詳細(xì)的糾錯編碼方法，但它為信道編碼奠定了實際根底，從實際上指出了信道編碼的開展方向。2. 糾錯編碼原理糾錯編碼原理為：利用添加信息的編碼長度(附加監(jiān)視碼)來減小誤碼率。最大似然譯碼準(zhǔn)那么：在收到碼r的條件下，計算2k個(許用碼的個數(shù))條件概率，其中CL為許用碼字，假設(shè)條件概率為最大，那么以為收到的碼字r就是發(fā)送來的CL碼字。 可用下式計算： (9.2)式中: ri為接

13、納碼字的第i位元素；CLi為許用碼字CL的第i位元素。顯然，當(dāng)接納碼元出錯，即riCLi時，概率; 當(dāng)碼元接納正確，即ri=CLi時，概率。令d為接納的碼字與許用碼CL之間不同的位數(shù)(即出錯位的位數(shù))，那么式(9.2)可以寫成： (9.3)可見，由于，隨d單調(diào)下降，因此，d越小， 越大。 越大闡明接納到的碼字r越像碼字CL，而不像其他許用碼，由于傳輸中碼字錯的位數(shù)多比錯的位數(shù)少出現(xiàn)的概率更小。9.1.4碼間間隔d與檢錯糾錯才干1 碼間間隔d碼間間隔(code distances)是一個碼組中恣意兩個碼字之間對應(yīng)位上碼元取值不同的位數(shù)，用d表示。碼間間隔簡稱碼距，又稱為漢明(Hamming)間隔

14、。碼間間隔d可用下式計算: (9.4)即碼間間隔d等于兩個碼字對應(yīng)位模2相加后“1的個數(shù)。 普通兩個碼字的碼距計算方法為：設(shè)兩個碼字Ci、Cj分別為101110 和 101011，那么碼距可按下式計算:故d(Ci, Cj)=2。 在一個碼組中，各碼字之間的間隔不一定都相等，有的大，有的小。通常稱碼組中最小的碼距為最小碼間間隔，用d0表示。由上述反復(fù)編碼的例子可知，兩個碼字之間不同的位數(shù)越多，其檢錯糾錯才干越強(qiáng)，即碼間間隔越大，其檢錯糾錯才干越強(qiáng)。所以一個碼組的最小碼間間隔d0就決議了該碼組的檢錯糾錯才干。對于三位編碼的碼間間隔，可用三維幾何空間來闡明。三位編碼的碼字共有23=8個，用三維幾何空

15、間立方體的8個頂點來表示，如圖9.7所示。碼字之間的間隔可用對應(yīng)兩頂點間沿立方體各棱行走的最短幾何間隔來表示。由圖9.7可見，對上述反復(fù)編碼的例子，其碼組只需“111、“000兩個許用碼，從“111到“000要經(jīng)過三條邊，顯然它們之間的間隔為d=3。同樣，對于多位編碼的碼間間隔，可用多維空間來闡明。圖9.7碼間間隔的幾何意義2. 最小間隔d0與檢錯糾錯才干的關(guān)系(1) 當(dāng)碼組僅用于檢測錯誤時，假設(shè)要求檢測e個錯誤，那么最小碼距為d0=e+1 (9.5)這可由圖9.8(a)來闡明。圖中，A為一個碼字，B為另一個碼字。假設(shè)碼字A有兩位錯，A變?yōu)橐?為半徑的圓上某點，那么只需最小碼距不小于3，在半徑

16、為2的圓上及圓內(nèi)就不會有其他許用碼，因此能檢測錯碼的位數(shù)等于2，即最小碼距為d0，能檢測d01個錯碼。假設(shè)要檢測e個錯碼，那么必需滿足d0e+1的要求。圖9.8碼間間隔與檢錯糾錯才干的關(guān)系(2) 當(dāng)碼組僅用于糾正錯誤時，為糾正t個錯誤，要求最小碼距為d0e+t (9.6)這可用圖9.8(b)來闡明。碼字A發(fā)生兩位錯，落在以A為圓心、以2為半徑的圓上某點。碼字B有兩位錯，落在以B為圓心、以2為半徑的圓上某點。只需這兩個圓不重疊、不相交，就能區(qū)分判別出左邊圓上的為碼字A，右邊圓上的為碼字B。可見，能糾正兩位錯碼，要求的最小碼距為5。所以糾正t個錯誤，必需滿足d02t+1的要求。(3) 當(dāng)碼組既要檢

17、錯，又要糾錯時，為糾正t個錯誤，同時檢測e個錯誤，要求的最小碼距為d0e+t+1et (9.7)這可用圖9.4(c)來闡明。當(dāng)碼字A出現(xiàn)e個錯誤時，將落在以A為圓心、以e為半徑的圓上某點。碼字B出現(xiàn)t個錯誤，將落在以B為圓心、以t為半徑的圓上某點。要糾正碼字B的錯誤，同時又能檢出碼字A的錯誤，就要求A的大圓和B的小圓不相交、不重疊， 即A和B之間的間隔要大于e+t，也即最小碼距d0e+t+1。3 過失控制編碼的效果對于隨機(jī)錯誤的情況，假設(shè)誤碼率為P， 且Pk，那么這2k個碼組的集合就稱做分組碼。簡單地講，將信息碼進(jìn)展分組，然后為每組信息碼附加假設(shè)干位監(jiān)視碼元的編碼方法所得到的編碼集合稱為分組碼

18、。所謂線性分組碼，就是一種長度為n，其中2k個許用碼組(代表信息的碼組)中的恣意兩個碼組的模2和仍為一個許用碼組的分組碼。這種長度為n，有2k個碼組的線性分組碼稱為線性(n，k)碼(或(n，k)線性碼)。線性分組碼有兩個重要性質(zhì)：其一是封鎖性，即恣意兩個許用碼組之模2和仍為一許用碼組；其二是碼組的最小碼距等于非零碼的最小碼重。線性分組碼的構(gòu)成方法是：將信息序列分為每k位一組的信息序列段，每一信息序列段按照一定規(guī)律添加r個監(jiān)視碼元，構(gòu)成總碼長為n=k+r的分組碼，記為(n, k)。在分組碼中，監(jiān)視碼元僅與本分組中的信息碼元有關(guān)，監(jiān)視碼元只監(jiān)視本碼字中的信息碼元。當(dāng)監(jiān)視碼元與信息碼元之間的關(guān)系為線

19、性關(guān)系，即監(jiān)視碼元與信息碼元之間的關(guān)系可用模2加代數(shù)方程描畫時，稱其為線性分組碼。線性碼是建立在代數(shù)學(xué)中群論的根底上的。線性碼的各許用碼的集合構(gòu)成代數(shù)學(xué)中的群，又稱為群碼。表9.2示出了線性分組碼的一種構(gòu)造。碼字的前一部分是延續(xù)k個信息碼元，后一部分是延續(xù)r個監(jiān)視碼元，具有這種構(gòu)造的線性分組碼稱為系統(tǒng)碼。不按這種構(gòu)造順序陳列的線性分組碼稱為非系統(tǒng)碼。9.3.2線性分組碼的監(jiān)視矩陣假定監(jiān)視碼元與信息碼元的關(guān)系由以下線性方程組決議: (9.16)對式(9.16)移項后可得三個監(jiān)視關(guān)系式(該方程組在二元有限域上求解，系數(shù)取值為“0或“1): (9.17)按照監(jiān)視關(guān)系式(9.16)或式(9.17)可以

20、確定(7，4)碼的許用碼共有24=16種，這是從27=128種組合中選出的，如表9.3所示。該(7，4)碼的全部許用碼字都必需受上述監(jiān)視方程組的監(jiān)視和檢驗，因此又稱為一致監(jiān)視方程。將式(9.17)中的零系數(shù)項補(bǔ)上，寫出系數(shù)可得： (9.18)把式(9.18)寫成矩陣方式如下: (9.19)將式(9.16)寫成矩陣方式: (9.20)式中, 令式(9.19)的系數(shù)矩陣為 (9.21)式(9.19)可簡寫為 HCT=0T或CHT=0 (9.22)其中，行矩陣C=c6c5c4c3c2c1c0為碼字矢量; 0=000; CT、0T、HT分別為C、0、H的轉(zhuǎn)置矩陣。進(jìn)一步分析H，利用矩陣分塊的方法，H可

21、寫為 (9.23)其中, P見式(9.20)，I3為3階單位矩陣，即 (9.24)對于(n，k)分組碼，r=nk， H 可寫為 (9.25)其中, P為rk階矩陣，Ir為r階單位矩陣。具有這種方式的H矩陣稱為典型監(jiān)視矩陣。典型監(jiān)視矩陣H中的每一行都是彼此獨立的，即線性不相關(guān)，不能從幾個方程的組合推出方程組的另一個方程。該當(dāng)留意，各種碼的H矩陣不一定是典型陣，只需系統(tǒng)碼才符合。9.3.3線性分組碼的生成矩陣生成矩陣是在知信息碼元時確定相應(yīng)的許用碼字C=c6c5c4c3c2c1c0的矩陣。由式(9.16)曾經(jīng)可以產(chǎn)生監(jiān)視碼元c2c1c0，只需在其中添上信息碼元的方程即可得出許用碼字，即 (9.26

22、)將式(9.26)寫成矩陣方式: (9.27)對式(9.27)取轉(zhuǎn)置得： (9.28)式中： (9.29)其中: (9.30)矩陣G稱為線性分組碼的生成矩陣。G為kn階矩陣，行數(shù)為信息位的個數(shù)，列數(shù)為碼字的長度。知矩陣G和信息碼，由式(9.28)可生成許用碼字C。由式(9.29)得，G=IkQ ，其中Ik為k階單位矩陣。這種方式的生成矩陣G是典型生成矩陣。同樣，典型生成矩陣的各行也是線性無關(guān)的。由典型生成矩陣得出的碼字C是信息位在前、監(jiān)視位在后的系統(tǒng)碼。實踐上G中的每一行都是一個許用碼字。G中的第一行、第二行、第三行、第四行分別是信息位為1000、0100、0010 、0001 時計算出的許用

23、碼字。由式(9.29)可知，Q=PT(或P=QT)，而H=PIr ， G=IkQ，所以假設(shè)H和G知其中一個，那么另一個確定，其監(jiān)視關(guān)系和它所對應(yīng)的碼也就確定了。 在線性分組碼中，恣意兩個許用碼字對應(yīng)位模2相加還是此碼組中的一個碼字，所以線性分組碼具有封鎖性。對(n，k)線性分組碼來說，其信息位長為k，共有2k個不同組合的信息碼。設(shè)Cix、Cjx為其中兩個信息碼，由式(9.28)可算出它們所對應(yīng)的許用碼字Ci=CixG， Cj=CjxG, 所以 (9.31)式中，Cl是一個k位的二元序列，它必然是2k個不同組合的信息碼中的一個，所以Ci Cj必然是生成矩陣為G 的線性分組碼中的一個許用碼字。 (

24、n，k)線性分組碼A的生成矩陣G的每一行都是碼組A的一個許用碼字，它一定滿足H矩陣所確定的r個監(jiān)視關(guān)系。假設(shè)把G當(dāng)作另一個碼組B的監(jiān)視矩陣，把H當(dāng)作碼組B的生成矩陣，那么碼組B為(n，nk)線性分組碼，H的每一行一定滿足G矩陣所確定的k個監(jiān)視關(guān)系。這樣的碼組A和碼組B稱為對偶碼。線性分組碼的最小間隔dmin等于該碼的最小分量(除全“0碼字外)，即 (9.32)由于線性分組碼具有封鎖性，因此由碼距的定義可知，恣意兩個許用碼字之間的間隔必然是另一個許用碼字的分量。所以，該碼的最小分量(除全“0碼字外)必然是該線性分組碼的最小間隔。對線性分組碼，由監(jiān)視矩陣H中線性不相關(guān)的列數(shù)可以得到線性分組碼中最小

25、碼距的上界，即 (9.33)由CHT=0可見，當(dāng)C取最小分量的碼字，即C中“1的個數(shù)為Wmin時，得到H中最小相關(guān)的列的數(shù)目，即H中小于或等于Wmin1 列是線性獨立的、不相關(guān)的。H為 nk行的矩陣，其最大的秩為nk。根據(jù)矩陣的性質(zhì)，H中最大不相關(guān)的列數(shù)小于或等于H的秩，那么Wmin1nk ，即dmin1nk，或?qū)憺閐minnk+1=r+1。當(dāng)上式取等號時， dmin=nk+1=r+1， 稱為最大可辨間隔。9.3.4線性分組碼的伴隨式和檢錯糾錯才干設(shè)發(fā)送端發(fā)出的許用碼為C=cn-1cn-2c1c0，它符合CHT=0 。假設(shè)經(jīng)過信道傳輸后接納端收到的碼字為R=rn-1rn-2 r1r0。假設(shè)R=

26、C ，把R代入式(9.22)中計算，那么RHT=0, 判別為正確。由于傳輸誤差R與C不一定一樣，因此其誤差為 (9.34)E稱為過失序列或錯誤圖樣。由于E表示R中詳細(xì)哪一位發(fā)生錯誤，即把R代入式(9.22)得：或 (9.35)其中，S=sn-1sn-2s1s0，為1r階行矢量。由式(9.35)可見，S只與錯誤圖樣E有關(guān)，而與發(fā)送的碼字C無關(guān)，這意味著S與E有線性變換關(guān)系，能與E一一對應(yīng)，可指示錯碼位置，所以S稱為監(jiān)視矩陣為H的(n，k)線性分組碼的伴隨式。當(dāng)E=000001n時，S=000001r；當(dāng)E不為零時，S不為零。譯碼器可經(jīng)過伴隨式S進(jìn)展檢錯糾錯。假設(shè)S為零，那么譯碼器判別接納碼字正確

27、，并從該碼字中除去監(jiān)視位，然后輸出信息位; 假設(shè)S不為零，那么必定有錯，由S可判別出錯碼的位置。下面以(7，4)碼為例進(jìn)展闡明。設(shè)C=0001011,假設(shè)傳輸中c3發(fā)生誤碼,即發(fā)生一位錯,E=0001000,R=0000011,那么由式(9.35)可得： (9.36)可見, ST剛好是錯誤圖樣E中“1所對應(yīng)的H中的一列，即R的第i位有錯，那么E的第i位為“1，ST與H中的第i列一樣。判別出錯誤后，可利用R E=C糾錯。對于前面所引見的偶校驗碼，當(dāng)總碼長為n時即為(n，n-1)線性分組碼。它只需一位監(jiān)視碼元c0，其構(gòu)成的監(jiān)視關(guān)系式見式(9.11)。在接納端進(jìn)展解碼校驗時，要判別接納到的碼能否滿足

28、監(jiān)視關(guān)系式(9.11)，實踐上就是計算線性分組碼的伴隨式S，即當(dāng)S=0時，符合監(jiān)視關(guān)系式，判別接納到的碼無錯；當(dāng)S=1時，不符合監(jiān)視關(guān)系式，就以為有錯。S的取值只需兩個，它只能表示無錯、有錯兩種形狀，而無法指出錯在哪一位，因此，它只能檢錯，不能糾錯。假設(shè)再添加一位監(jiān)視位，相應(yīng)地再添加一個監(jiān)視關(guān)系式，那么S就有4種情況00、01、10、11。用其中一種00表示無錯，剩余的3種可以用來指示一位錯碼的三種不同位置，即具有糾錯功能。同理，假設(shè)有r個監(jiān)視位，即有r個監(jiān)視關(guān)系式，那么它可以指示出一位錯碼的2r1個能夠的位置。由以上分析可知，對(n，k)線性分組碼，有r=nk個監(jiān)視關(guān)系式，有2r個不同的S。

29、全0矢量表示無錯，所以S最多可指出2r1種錯誤。要糾正一切小于或等于t個錯，必需滿足: (9.37)其中, Cin為組合數(shù), 即 (9.38)式(9.38)闡明了監(jiān)視位數(shù)r與糾錯才干的關(guān)系。當(dāng)式(9.38)取等號時， 2r最小，即r到達(dá)滿足要求時的最小值，此時監(jiān)視位利用得最充分，稱為完備碼。線性分組碼的主要性質(zhì)如下： (1) 封鎖性。封鎖性是指碼中恣意兩個許用碼組之和(逐位模2和)仍為一個許用碼組。也就是說，假設(shè)C1和C2為分組碼中的兩個許用碼組，那么C1 C2仍為其中的一個許用碼組。 (2) 碼的最小間隔等于非零碼的最小分量。由于線性分組碼具有封鎖性，所以兩個碼組之間的間隔必是另一碼組的分量

30、。為此，碼的最小間隔也就是碼的最小分量，當(dāng)然，除全“0碼組外。在通訊傳輸過程中假設(shè)錯碼較多，已超越這種編碼的檢錯才干，即R變?yōu)榱硪辉S用碼組，那么式(9.22)仍成立。由于線性分組碼具有封鎖性質(zhì)，因此由式(9.34)中R=C E可知，只需當(dāng)E=C，即錯誤碼組剛好等于恣意許用碼組時， S=0，即不能檢測錯碼。設(shè)(n，k)線性分組碼最大檢錯的個數(shù)為D，信道的誤碼率為Pe，那么不能檢錯的概率為 (9.39)其中， Wi是分量為i的許用碼組數(shù)目。9.3.5漢明碼漢明碼是一種可以糾正單個隨機(jī)錯誤的線性分組碼，它是一種完備碼，編碼效率很高。在式(9.37)中，令t=1(即糾正一位錯)，并取等號得:2r1=n

31、 (9.40)此時構(gòu)成(2r1， 2r1r)漢明碼。漢明碼具有以下特點(m為恣意正整數(shù)，m3)：監(jiān)視位長 r=m，碼長n=2r1=2m1，信息位長k=nr=2r1r=2m1m，最小碼距d0=3，糾錯才干t=1, 編碼效率， n越大，越高。(7，4)漢明碼的典型監(jiān)視矩陣H和生成矩陣G如下:(9.42) (9.41) 漢明碼只能糾正一位錯，其最小碼距d0=3。當(dāng)碼字中出現(xiàn)兩位錯時，它檢測不出來，必然會呵斥錯判。假設(shè)在漢明碼的根底上添加一位對一切碼元都進(jìn)展校驗的監(jiān)視碼元，那么監(jiān)視碼元的位數(shù)由原來的m變?yōu)閙+1。碼長由原來的2m1變?yōu)?m，信息位長度不變，構(gòu)成(2m， 2m1m)的線性碼，這種碼稱為增

32、余漢明碼或擴(kuò)展?jié)h明碼。增余漢明碼的最小碼距在漢明碼的根底上添加了一位，變?yōu)?。所以，增余漢明碼不僅能糾正一位錯，同時也能檢測2位錯。增余漢明碼的構(gòu)成是添加一位監(jiān)視碼元，使原漢明碼的最小碼重由奇數(shù)變?yōu)榕紨?shù)。其監(jiān)視矩陣可以由原漢明碼的監(jiān)視矩陣H得到： (9.43)He即為增余漢明碼的監(jiān)視矩陣，它是在H的右邊添加一列全0，再在最后一行添加一行全1構(gòu)成的。假設(shè)把上述(7，4)漢明碼變?yōu)閷?yīng)的(8，4)增余漢明碼，那么其監(jiān)視矩陣為(9.44)9.4循環(huán)碼9.4.1循環(huán)碼的循環(huán)特性與碼多項式循環(huán)碼是線性分組碼的一個重要分支。循環(huán)碼除了具有線性碼的普通性質(zhì)外，還具有循環(huán)性，即任一碼字循環(huán)一位(將最右端的碼元

33、移至左端，或反之)以后，仍為該碼中的一個碼字。循環(huán)碼有許多特殊的代數(shù)性質(zhì)，基于這些性質(zhì)，循環(huán)碼有較強(qiáng)的糾錯才干，而且其編碼和譯碼電路很容易用移位存放器實現(xiàn)，因此在前向糾錯(FEC)系統(tǒng)中得到了廣泛的運用。對于一個(n，k)線性碼C，假設(shè)其中的任一碼組向左或向右循環(huán)挪動恣意位后仍是C中的一個碼組，那么稱C是一個循環(huán)碼。循環(huán)碼是一種線性分組碼，它除了具有線性分組碼的封鎖性之外，還具有循環(huán)性。通常其前k位是信息碼元，后r位為監(jiān)視碼元，具有系統(tǒng)碼的方式。循環(huán)性是指循環(huán)碼集中的任一許用碼字(全“0碼除外)循環(huán)左移(或循環(huán)右移)后所得到的碼字仍為該循環(huán)碼中的一個許用碼字。設(shè)碼字矢量C=cn-1cn-2c1

34、c0是碼長為n的循環(huán)碼中的一個碼字。對其進(jìn)展循環(huán)左移、右移，無論循環(huán)左移、右移多少位，得到的結(jié)果均為該循環(huán)碼中的一個碼字。 下式所示的碼字均為該循環(huán)碼中的一個碼字: (9.45)表9.4列出了一種(7，3)循環(huán)碼的全部許用碼字。為了便于用代數(shù)學(xué)的實際分析計算循環(huán)碼，可把循環(huán)碼中的碼字用多項式來表示，稱為碼多項式，也就是把碼字中各碼元的取值作為碼多項式的系數(shù)。對于碼字矢量C=cn-1cn-2c1c0, 可以用碼多項式表示為T(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+c1x1+c0 (9.46)其中, xi是碼元位置的標(biāo)志，它表示由其系數(shù)所決議的碼元取值所處的對應(yīng)位置，其系數(shù)只能取0或1，運算時

35、其系數(shù)的運算為模2運算。例如，碼字1001110、0011101可用碼多項式表示為T1(x)=1x6+0 x5+0 x4+1x3+1x2+1x1+0 x0=x6+x3+x2+xT2(x)=0 x6+0 x5+1x4+1x3+1x2+0 x1+1x0=x4+x3+x2+1那么T1(x)+T2(x)=x6+x4+x1+1即1001110 0011101=1010011 在整數(shù)的按模運算中，最熟習(xí)的是模2運算，如1+10(模2)，1+21(模2)等。對于模n運算，假設(shè)一個整數(shù)m可以表示為 (9.47)其中, Q為整數(shù)，p為m被n除后所得的余數(shù), 那么mp(模n) (9.48)稱m與p是同余的。在多項

36、式中同樣可以進(jìn)展類似的按模運算，如 (9.49)其中: F(x)是冪次為n的多項式; Q(x)為商; R(x)為冪次低于n的余式; 多項式的系數(shù)在二元域上。式(9.49)可寫為 F(x)=Q(x)N(x)+R(x) (9.50)所以 F(x)R(x)(模N(x) (9.51)即F(x)與R(x)是同余的。碼多項式系數(shù)仍按模2運算，即只取值0和1。比如, x3被x3+1除可得余式為1， 于是有：x31(模x3+1) (9.52)由此可見，為了使xn=1，只需做模xn+1的運算即可。同理有: x4+x2+1x2+x+1(模x3+1) (9.53)循環(huán)碼的碼多項式符合如下定理。定理9.4.1假設(shè)T(

37、x)是長為n的循環(huán)碼中某個許用碼組的碼多項式，那么xiT(x)在按模xn+1運算下也是該循環(huán)碼中一個許用碼組的碼多項式。例如, (7，3)循環(huán)碼中許用碼組0011101的碼多項式為T(x)=x4+x3+x2+1，那么x3T(x)x6+x5+x3+1(模x7+1)x6+x5+x3+1對應(yīng)的碼字為1101001，它是該(7，3)循環(huán)碼中的一個許用碼組，而且它是上述循環(huán)碼0011101左移3次后構(gòu)成的。定理9.4.1證明如下：設(shè)T(x)=cn-1xn-1+cn-2xn-2+c1x1+c0，那么有即xiT(x)R(x)(模xn+1) (9.54)其中, Ri(x)=cn-1-ixn-1+cn-2-ix

38、n-2+c0 xi+cn-1xi-1+cn-i是T(x)左移i位后構(gòu)成的碼字。假設(shè)把i取不同的值反復(fù)做上述運算，那么可得到該循環(huán)碼的其他許用碼字。所以，碼長為n的循環(huán)碼的每一個許用碼字都是按模xn+1運算的余式。假設(shè)知碼多項式T(x)，那么相應(yīng)的循環(huán)碼就可以由xiT(x)按模xn+1運算的余式求得。9.4.2循環(huán)碼的生成多項式與生成矩陣定理9.4.2在循環(huán)碼(n, k)中， nk次冪的碼多項式有一個，且僅有一個, 用g(x)表示, 稱為循環(huán)碼的生成多項式。 g(x)的常數(shù)項不為零。一旦g(x)確定，該(n, k)循環(huán)碼就被確定了。 g(x)是循環(huán)碼中冪次最低的碼多項式。由它左移就可產(chǎn)生其他碼多

39、項式，比如xg(x)、 x2g(x)、 x3g(x)等。用k個相互獨立的碼多項式g(x)、 xg(x)、 x2g(x)、 x3g(x)、 xk-1g(x)可以構(gòu)造出循環(huán)碼的生成矩陣G(x): (9.55)例如，有一個(7，3)循環(huán)碼(其最高次冪為(n, k)次)的碼字為0010111，其生成多項式g(x)=x4+x2+x+1，那么利用式(9.55)可得其生成矩陣G(x)： (9.56)將此生成矩陣用系數(shù)表示，寫為生成矩陣G: (9.57)式(9.57)不符合典型生成矩陣的方式，所以它不是典型生成矩陣，由它編出的碼字不是系統(tǒng)碼，但是對此矩陣作線性變換(行變換)可以變換成典型生成矩陣的方式。例如，

40、對于(7，3)循環(huán)碼，設(shè)信息碼為c6c5c4，由生成矩陣多項式可以寫出該循環(huán)碼的碼字: (9.58)式中, u(x)為信息碼c6c5c4的多項式。因此，知信息碼U=uk-1uk-2u1u0和g(x)就可求得循環(huán)碼的一切碼多項式:T(x)=uk-1uk-2u1u0G(x)=u(x)g(x) (9.59)其中, u(x)為信息位所對應(yīng)的多項式。信息位有k位，所以u(x)的最高階數(shù)為k1次冪。此種方法求得的碼多項式為非系統(tǒng)碼。由式(9.59)還可見，一切的碼多項式都可以被g(x)整除。定理9.4.3循環(huán)碼(n, k)的生成多項式g(x)是xn+1的一個因式。定理分析： g(x)是最高次冪為nk次的碼

41、多項式。 xkg(x)是最高次冪為n的多項式。利用定理9.4.1對xkg(x)作模xn+1運算，那么 (9.60)R(x)也是該循環(huán)碼的一個碼多項式，它可以被g(x)整除，即R(x)=I(x)g(x), 代入式(9.60)得： xkg(x)=(xn+1)+R(x)=(xn+1)+I(x)g(x)對上式移項得:xn+1=xkg(x)+I(x)g(x)=xk+I(x)g(x)=h(x)g(x) (9.61)即g(x)是xn+1的因式。式中為循環(huán)碼的一致校驗多項式。由式(9.61)可見, g(x)是xn+1的一個因式。利用這一特點就可以產(chǎn)生g(x)，即可以經(jīng)過對xn+1的因式分解得到g(x)。其方法

42、是對(xn+1)進(jìn)展因式分解，從中找出一個最高次冪為nk次且常數(shù)項不為零的因式作為生成多項式g(x)。例如, 對于(7，3)循環(huán)碼， g(x)的最高次冪為4, 可以從x7+1中分解得到g(x)。x7+1 可分解為x7+1=(x+1)(x3+x2+1)(x3+x+1) (9.62)生成多項式可選為g1(x)=(x+1)(x3+x2+1)=x4+x2+x+1 (9.63)或者g2(x)=(x+1)(x3+x+1)=x4+x3+x2+1 (9.64)兩種生成多項式g1(x)或g2(x)可以產(chǎn)生兩種(7，3)循環(huán)碼。9.4.3循環(huán)碼的編碼與解碼1 循環(huán)碼的編碼在編碼時，首先要根據(jù)給定的(n, k)值選

43、定生成多項式g(x)，即應(yīng)在xn+1的因式中選一個nk次多項式作為g(x)。對(n, k)循環(huán)碼，經(jīng)過對xn+1進(jìn)展因式分解選擇出生成多項式g(x)，就可由信息碼編出相應(yīng)的循環(huán)碼字。下面討論如何從g(x)和信息碼直接編出相應(yīng)的系統(tǒng)碼。設(shè)信息碼多項式為m(x)=mk-1xk-1+mk-2xk-2+m1x1+m0 (9.65)信息碼多項式m(x)的最高次冪為k1。將m(x)左移nk位成為xn-km(x)，其最高次冪為n-1。xn-km(x)的前一部分為延續(xù)k位信息碼，后一部分為r=nk位“0， r正好是監(jiān)視碼的位數(shù), 所以在它的后一部分添上監(jiān)視碼，就編出了相應(yīng)的系統(tǒng)碼。監(jiān)視碼由監(jiān)視關(guān)系確定，循環(huán)碼

44、的生成多項式g(x)確定循環(huán)碼，因此g(x)也確定監(jiān)視關(guān)系。由上述分析可知，循環(huán)碼的任何碼多項式都可以被g(x)整除，即T(x)=I(x)g(x)。用xn-km(x)除以g(x)得： (9.66)所得的余式r(x)的最高次冪為nk1，即r(x)=rn-k-1xn-k-1+rn-k-2xn-k-2+r1x1+r0將r(x)作為監(jiān)視位的多項式，與xn-km(x)模2相加，構(gòu)成新的多項式:T(x)=xn-km(x)+r(x)(9.67)由式(9.66)可見:xn-km(x)+r(x)=g(x)q(x)(9.68)所以T(x)能被g(x)整除，其最高次冪為n1。 T(x)的前一部分為延續(xù)k位信息碼，后

45、一部分為r=nk位監(jiān)視碼。 T(x)為循環(huán)碼的碼多項式，而且是系統(tǒng)碼。對(7，3)循環(huán)碼選擇生成多項式g(x)=x4+x3+x2+1，設(shè)知信息碼為111, 那么信息碼多項式為m(x)=x2+x+1。編碼如下:(1) 將信息位m(x)左移nk位成為xn-km(x)。在本例中，信息碼111左移4位成為1110000，即xn-km(x)=x7-3(x2+x+1)=x6+x5+x4(2) 利用式(9.66)所示的做除法，求出余式r(x)。本例中為得余式r(x)=x2，即監(jiān)視碼的多項式。把此碼多項式的方式用其系數(shù)替代，寫成碼字的方式為余式的碼字為0100。(3) 構(gòu)成系統(tǒng)碼T(x)=xn-km(x)+r

46、(x)。本例中為 1110000+0100=1110100。上述編碼過程可以用模2除法電路完成。它可由移位存放器和模2加法電路實現(xiàn)。對(7，3)循環(huán)碼， g(x)=x4+x3+x2+1時的編碼器如圖9.11所示。圖9.11(7，3)循環(huán)碼的編碼器在編碼器任務(wù)之前先清零，使存放器的初態(tài)為零，使轉(zhuǎn)換開關(guān)S1、S2均向下，S1使反響線接通，S2使輸入直接加到輸出。開場輸入三位信息碼。輸入的信息碼m(x)一路直接送到輸出端，作為系統(tǒng)碼的前面一部分(即信息碼部分)，另一路送入除法器作為被除數(shù)。三位信息碼送完之后，使開關(guān)S1、S2均向上，S1使反響線斷開，S2使輸出與除法器的輸出相連，輸入端輸入的為全零。

47、此種開關(guān)形狀下，輸出的是除法器的余數(shù)，即監(jiān)視位。經(jīng)過這兩個階段，輸出端得到前面為信息碼、后面為監(jiān)視碼的系統(tǒng)碼。表9.5所示為上述編碼過程中各點的形狀變化過程。通常對于一個(n, k)循環(huán)碼，假設(shè)設(shè)生成多項式為g(x)=xn-k+gn-k-1xn-k-1+g1x+1 (9.69)其編碼器如圖9.12所示。圖9.12(n，k)循環(huán)碼的編碼器2. 循環(huán)碼的解碼循環(huán)碼的解碼分為檢錯和糾錯兩種情況。只進(jìn)展檢錯的解碼其原理較簡單，它是利用任何碼多項式都可以被生成多項式g(x)整除的原理實現(xiàn)的。設(shè)發(fā)送碼字為T(x)，接納到的碼多項式為R(x)，做除法有: (9.70)其中, r(x)為余式。假設(shè)余式r(x)

48、為零，接納碼字R(x)能被整除，那么R(x)=T(x)，判別無錯碼; 假設(shè)余式r(x)不為零，即接納碼字R(x)不能被整除，那么R(x)T(x)，判別有錯碼?？梢越?jīng)過ARQ過失控制方式使發(fā)送端重發(fā)，得到正確的碼字。假設(shè)要糾正錯誤， 那么需求知道錯誤圖樣E(x)，以便糾正錯誤。原那么上糾錯解碼可按以下步驟進(jìn)展：(1) 用生成多項式g(x)除接納碼字R(x)=T(x)+E(x)，得到余式r(x)。(2) 按余式r(x)用查表的方法或經(jīng)過某種運算得到錯誤圖樣E(x)。(3) 從R(x)中減去E(x)，得到糾錯后的原發(fā)送碼字T(x)。第(1)步與檢錯解碼一樣，用除法器等就可實現(xiàn)。第(3)步做減法也較簡

49、單。第(2)步能夠需求較復(fù)雜的設(shè)備，并且在計算余式和決議錯誤圖樣E(x)時，需求把接納碼組R(x)暫時存儲起來。下面經(jīng)過(7，3)循環(huán)碼的糾錯解碼器來闡明其任務(wù)原理。(7，3)糾錯解碼器如圖9.13所示。它包含除法器、緩沖器、門電路及輸出前作模2運算的異或門。接納到的碼字R(x)輸入后分為兩路：一路送入緩沖器暫存，另一路送入除法器作除法。當(dāng)碼字全部進(jìn)入除法器后，假設(shè)R(x)能被g(x)整除，那么除法器中移位存放器的形狀全為零，闡明接納碼字為許用碼字，判別為無錯，直接將緩沖器暫存的R(x)輸出; 假設(shè)R(x)不能被g(x)整除，那么除法器中的存數(shù)指出錯誤位置。經(jīng)移位(碼字全部進(jìn)入除法器后再移位，

50、那么輸入為零)，與門輸出, 在相應(yīng)的出錯碼位上輸出“1。該“1與緩沖器輸出的錯碼模2相加，糾正錯誤，使輸出碼字正確；另一方面反響回除法器，使各級移位存放器清零。圖9.13(7，3)循環(huán)碼糾單個錯的解碼器實踐中接納的碼字是延續(xù)不斷輸入的，中間沒有停頓。為了使解碼器在移位糾錯時不喪失輸入的接納碼字，需求兩套除法電路及與門和一個緩沖存放器配合運用。這種解碼方法稱為捕錯解碼，又稱為梅吉特(Meggitt)解碼法。9.4.4BCH碼BCH碼的最小碼距dmin2t+1，能糾t個錯誤。BCH碼是循環(huán)碼中重要的一類子碼，它的生成多項式g(x)與最小碼距dmin之間有親密的關(guān)系，可根據(jù)所要求的糾錯才干t很容易地

51、構(gòu)造出來。BCH碼的譯碼也比較容易實現(xiàn)，是線性分組碼中運用最為普遍的一類碼。BCH碼建立在近代數(shù)論的根底上，有嚴(yán)密的數(shù)學(xué)構(gòu)造，這里只作簡單的引見。 BCH碼的特點是能糾正多個隨機(jī)錯誤，可以根據(jù)給定的糾錯才干找出生成多項式。 BCH碼分為兩類：本原BCH碼和非本原BCH碼。本原BCH碼的碼長n=2m1， m3, 生成多項式g(x)中含有最高次數(shù)為m的本原多項式；非本原BCH碼的碼長n是2m1的一個因子，它的生成多項式中不含有最高次數(shù)為m的本原多項式。BCH碼的碼長n與監(jiān)視位r和糾錯個數(shù)t之間的關(guān)系如下：對于正整數(shù)m(m3)和t(t2)，必存在滿足以下參數(shù)的二進(jìn)制BCH碼, 即碼長n=2m1，監(jiān)視

52、位數(shù)rmt，能糾正一切的小于或等于t個隨機(jī)錯誤的BCH碼。因此，這類碼的長度n=2m1，信息位k2mmt1。BCH碼生成多項式：g(x)=LCMm1(x), m2(x), , m2t-1(x) (9.71)式中: t為可糾正的錯誤個數(shù)；mi(x)為最小多項式；LCM()是指取括號內(nèi)一切多項式的最小公倍式。BCH碼的生成多項式普通用查表法確定(碼長和生成多項式表可參看相關(guān)書籍)。查表法得到的生成多項式普通用八進(jìn)制數(shù)表示。 例如，當(dāng)n=7， k=4， t=1時， g=(13)8=(001011)2，即g(x)=x3+x+1?！纠?.1】構(gòu)造一個能糾正3個錯誤、 碼長為15的BCH碼。解： 由碼長與

53、生成多項式的關(guān)系可知， n=15， t=3， m為4，由于nkmt=43=12所以選用n=15、 k=5、 t=3的BCH碼，對應(yīng)的生成多項式標(biāo)號為g=(2467)8=(10100110111)2因此，所求的生成多項式為g(x)=x10+x8+x5+x4+x2+x+1【例9.2】非本原BCH碼為(23，12)，試求其生成多項式。解： 對非本原BCH碼(23，12)， n=23， t=3， m=11，其對應(yīng)的生成多項式標(biāo)號為g=(5343)8=(101011100011)2。因此，所對應(yīng)的生成多項式為 g(x)=x11+x9+x7+x6+x5+x+1下面引見幾種常見的BCH碼。 (1) 格雷(G

54、olay)碼。BCH碼(23，12)是一個特殊的非本原BCH碼，稱為戈雷碼，它的最小碼距dmin=2t+1=7，能糾正t=3個錯誤，其生成多項式為g(x)=x11+x9+x7+x6+x5+x+1。它是目前為止發(fā)現(xiàn)的獨一能糾正多個錯誤的完備碼。 (2) 擴(kuò)展方式。 實踐運用中，為了得到偶數(shù)碼長，并提高檢錯才干，可以在BCH碼的生成多項式中乘x+1，從而得到(n+1, k+1)擴(kuò)展BCH碼。擴(kuò)展BCH碼相當(dāng)于將原有BCH碼再加上一位偶校驗，它不再具有循環(huán)性。 (3) 縮短方式。幾乎一切的循環(huán)碼都存在其另一種縮短方式(ns, ks)。實踐運用中，能夠需求的碼長不是2m1或它的因子，我們可以從(2m1

55、, k)碼中挑出前s位為0的碼組構(gòu)成新的碼，這種碼的監(jiān)視位數(shù)不變，因此糾錯才干堅持不變，但是沒有了循環(huán)性。(4) RS碼。RS碼是Reed-Solomon碼(理德-所羅門碼)的簡稱，是一類具有很強(qiáng)糾錯才干的多進(jìn)制BCH碼。在(n, k)RS碼中，輸入信號碼被分成km比特一組，每組包括k個符號，每個符號由m個比特組成，而不是前面所述的二進(jìn)制碼由一個比特組成。一個可糾正t個錯誤的RS碼，其參數(shù)為：碼長n=2m1或m(2m1)比特；信息位k或mk比特；監(jiān)視位r=n-k=2t或mr=m(nk)比特；最小碼距d=2t+1或m(2t+1)比特。RS碼非常適宜于糾正突發(fā)錯誤。它可以糾正的錯誤圖樣為：總長度q

56、i=(t2i1)m+2i1的i個突發(fā)錯誤。 對于一個長度為2m1符號的RS碼，每個符號都可以看成是有限域GF(2m)中的一個元素。最小碼距為d的RS碼的生成多項式具有如下方式：g(x)=(x+)(x+2)(x+d-1) (9.72)式中, i是GF(m)中的一個元素。 GF(m)的一切元素為 。例如，構(gòu)造一個能糾錯誤t=3個，碼長為n=15， m=4的RS碼。由RS碼的參數(shù)可知，該碼的碼距d=2t+1=7，監(jiān)視位r=nk=2t=6。因此該碼為(15，9)RS碼, 生成的多項式為 g(x)=(x+)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)(x+6) =x6+10 x5+14x4+4x3+6x2+

57、9x+6所以從二進(jìn)制角度看，這是一個(60，36)碼。 9.5卷積碼9.5.1卷積碼編碼原理1. 卷積碼的概念卷積碼是一種延續(xù)處置信息序列的編碼方式。碼字的監(jiān)視位不僅和本段的信息位有關(guān)，而且與其他段落的信息位有關(guān)。整個編碼過程前后相互關(guān)聯(lián)，延續(xù)進(jìn)展，所以又稱為連環(huán)碼。 2 卷積碼的構(gòu)造及原理1) 卷積碼的構(gòu)造圖9.14示出了卷積碼編碼器的普通構(gòu)造。它由輸入移位存放器、模2加法器、輸出移位存放器三部分構(gòu)成。輸入移位存放器共有N段，每段有k級，共Nk位存放器，信息序列由此不斷輸入。當(dāng)信息序列進(jìn)入這種構(gòu)造的輸入移位存放器時即被自動劃分為N段，每段k位，它使輸出的n個比特的卷積碼與N段每段有k位的信息

58、位相關(guān)聯(lián)。通常把N稱為約束長度(有些文獻(xiàn)中把N1稱為約束長度)。由于該N段信息共Nk個信息比特，所以也有人將Nk稱為約束長度。模2加法器共n個，用于實現(xiàn)卷積碼的編碼算法。輸出移位存放器共有n級。 輸入移位存放器每移入k位，那么輸出n個比特的編碼。所以，卷積碼編碼效率為 (9.73)此n比特的編碼不僅與當(dāng)前輸入的k個信息位有關(guān)，而且與之前的(N1)k個信息位有關(guān)。普通來說，對于卷積碼， k和n是較小的整數(shù)， 通常把具有上述構(gòu)造的卷積碼記做(n, k, N)卷積碼。圖9.14卷積碼編碼器的普通構(gòu)造圖9.15所示是一個最簡單的(2，1，2)卷積碼編碼器，它由兩個移位存放器D1、 D2和模2相加電路組

59、成。編碼器的輸入信息碼位一方面可以直接輸出，另一方面可暫存在移位器中。每當(dāng)輸入編碼的一個信息位，就立刻計算出一個監(jiān)視位，并且此監(jiān)視位緊跟此信息位之后發(fā)送出去。為便于了解，把各信息位用mi表示，監(jiān)視位用ci表示，那么該編碼器的輸入、輸出關(guān)系如圖9.16所示。圖9.15簡單的卷積碼編碼器圖9.16編碼器的輸入、輸出關(guān)系編碼器的任務(wù)過程是：移位存放器按信息位的節(jié)拍任務(wù)，輸入一位信息，電子開關(guān)倒換一次，即前半拍(半個輸入碼元寬)接通m端，后半拍接通c端。因此，假設(shè)輸入信息為m1, m2, m3, ，那么輸出卷積碼為m1, c1, m2, c2, m3, c3, ，其中ci為監(jiān)視碼元。由圖9.16可知:

60、 (9.74)可見，卷積碼的構(gòu)造是：“信息元，監(jiān)視元，信息元，監(jiān)視元，, 一個信息元與一個監(jiān)視元組成一組，但每組中的監(jiān)視元除了與本組信息元有關(guān)外，還跟上一組信息元有關(guān)，或者說，每個信息元除受本組監(jiān)視元監(jiān)視外，還受下一組監(jiān)視元的監(jiān)視。本例中，n=2，k=1，nk=1，N=2，可記做(2，1，2)卷積。圖9.17所示為(2，1，3)卷積碼編碼器，它由三個移位存放器D1、 D2、D3和模2相加電路組成。本例中，n=2, k=1, N=3，編碼效率。圖9.17中輸出移位存放器用開關(guān)替代。 圖9.17(2, 1, 3)卷積碼編碼器編碼輸出的卷積碼各碼元的信息位用x1j表示，監(jiān)視位用x2j表示。輸入k=1