2021-2022學年浙江省杭州高三第三次模擬考試數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知向量，是單位向量，若，則（ ）ABCD2已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）ABCD3已知函數(shù)，其中，記函數(shù)滿足條件：為事件，則事件發(fā)生的概率為ABCD4大衍數(shù)列，米源于我國古代文獻乾坤譜中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論，主要用于解

2、釋我國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中，曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量總和.已知該數(shù)列前10項是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，則大衍數(shù)列中奇數(shù)項的通項公式為（ ）ABCD5已知集合，若，則（ ）ABCD6若點是角的終邊上一點，則（ ）ABCD7設，則的值為（ ）ABCD8已知集合，則=( )ABCD9的展開式中，滿足的的系數(shù)之和為（ ）ABCD10如圖，在平面四邊形ABCD中，若點E為邊CD上的動點，則的最小值為 （ ）ABCD11博覽會安排了分別標有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機順序前往酒店接嘉賓某嘉賓突發(fā)奇想，設計兩種乘車方案方

3、案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（ ）AP1P2BP1P2CP1+P2DP1P2121777年，法國科學家蒲豐在宴請客人時，在地上鋪了一張白紙，上面畫著一條條等距離的平行線，而他給每個客人發(fā)許多等質量的，長度等于相鄰兩平行線距離的一半的針，讓他們隨意投放.事后，蒲豐對針落地的位置進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)共投針2212枚，與直線相交的有704枚.根據(jù)這次統(tǒng)計數(shù)據(jù)，若客人隨意向這張白紙上投放一根這樣的針，則針落地后與直線相交的概率約為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小

4、題，每小題5分，共20分。13若,則=_,=_.14若向量與向量垂直，則_.15已知，則滿足的的取值范圍為_16已知函數(shù)若關于的不等式的解集是，則的值為_三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）我國在貴州省平塘縣境內修建的500米口徑球面射電望遠鏡（FAST）是目前世界上最大單口徑射電望遠鏡.使用三年來，已發(fā)現(xiàn)132顆優(yōu)質的脈沖星候選體，其中有93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星，脈沖星是上世紀60年代天文學的四大發(fā)現(xiàn)之一，脈沖星就是正在快速自轉的中子星，每一顆脈沖星每兩脈沖間隔時間（脈沖星的自轉周期）是-定的，最小小到0.0014秒，最長的也不過11.76573

5、5秒.某-天文研究機構觀測并統(tǒng)計了93顆已被確認為新發(fā)現(xiàn)的脈沖星的自轉周期，繪制了如圖的頻率分布直方圖.（1）在93顆新發(fā)現(xiàn)的脈沖星中，自轉周期在2至10秒的大約有多少顆？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，求新發(fā)現(xiàn)脈沖星自轉周期的平均值.18（12分）在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.在以坐標原點為極點、軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線的極坐標方程為.（1）若點在直線上，求直線的極坐標方程；（2）已知，若點在直線上，點在曲線上，且的最小值為，求的值.19（12分）定義：若數(shù)列滿足所有的項均由構成且其中有個，有個，則稱為“數(shù)列”（1）為“數(shù)列”中的任意三項，則使得的取法有多少種？（2

6、）為“數(shù)列”中的任意三項，則存在多少正整數(shù)對使得且的概率為.20（12分）如圖，三棱柱的所有棱長均相等，在底面上的投影在棱上，且平面（）證明：平面平面；（）求直線與平面所成角的余弦值.21（12分）在平面直角坐標系中，以原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線：.過點的直線：（為參數(shù)）與曲線相交于，兩點.（1）求曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；（2）若，求實數(shù)的值.22（10分）若養(yǎng)殖場每個月生豬的死亡率不超過，則該養(yǎng)殖場考核為合格，該養(yǎng)殖場在2019年1月到8月養(yǎng)殖生豬的相關數(shù)據(jù)如下表所示：月份1月2月3月4月5月6月7月8月月養(yǎng)殖量/千只33456791012月利潤/十萬元3

7、.64.14.45.26.27.57.99.1生豬死亡數(shù)/只293749537798126145（1）從該養(yǎng)殖場2019年2月到6月這5個月中任意選取3個月，求恰好有2個月考核獲得合格的概率；（2）根據(jù)1月到8月的數(shù)據(jù)，求出月利潤y（十萬元）關于月養(yǎng)殖量x（千只）的線性回歸方程（精確到0.001）.（3）預計在今后的養(yǎng)殖中，月利潤與月養(yǎng)殖量仍然服從（2）中的關系，若9月份的養(yǎng)殖量為1.5萬只，試估計：該月利潤約為多少萬元？附：線性回歸方程中斜率和截距用最小二乘法估計計算公式如下：，參考數(shù)據(jù)：.參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

8、要求的。1C【解析】設，根據(jù)題意求出的值，代入向量夾角公式，即可得答案；【詳解】設，是單位向量，,，聯(lián)立方程解得：或當時，；當時，；綜上所述：.故選：C.【點睛】本題考查向量的模、夾角計算，考查函數(shù)與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力，求解時注意的兩種情況.2A【解析】先化簡求出，即可求得答案.【詳解】因為，所以所以故選：A【點睛】此題考查復數(shù)的基本運算，注意計算的準確度，屬于簡單題目.3D【解析】由得，分別以為橫縱坐標建立如圖所示平面直角坐標系，由圖可知，.4B【解析】直接代入檢驗，排除其中三個即可【詳解】由題意，排除D，排除A，C同時B也滿足，故選：B【點睛】本題考查

9、由數(shù)列的項選擇通項公式，解題時可代入檢驗，利用排除法求解5A【解析】由，得，代入集合B即可得.【詳解】，即：，故選：A【點睛】本題考查了集合交集的含義，也考查了元素與集合的關系，屬于基礎題.6A【解析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，求得，再由正弦的倍角公式，即可求解.【詳解】由題意，點是角的終邊上一點，根據(jù)三角函數(shù)的定義，可得，則，故選A.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式的化簡、求值，其中解答中根據(jù)三角函數(shù)的定義和正弦的倍角公式，準確化簡、計算是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.7D【解析】利用倍角公式求得的值，利用誘導公式求得的值，利用同角三角函數(shù)關系式求得的值，進

10、而求得的值，最后利用正切差角公式求得結果.【詳解】，故選：D.【點睛】該題考查的是有關三角函數(shù)求值問題，涉及到的知識點有誘導公式，正切倍角公式，同角三角函數(shù)關系式，正切差角公式，屬于基礎題目.8C【解析】計算，再計算交集得到答案.【詳解】，故.故選：.【點睛】本題考查了交集運算，意在考查學生的計算能力.9B【解析】，有，三種情形，用中的系數(shù)乘以中的系數(shù)，然后相加可得【詳解】當時，的展開式中的系數(shù)為當，時，系數(shù)為；當，時，系數(shù)為；當，時，系數(shù)為；故滿足的的系數(shù)之和為故選：B【點睛】本題考查二項式定理，掌握二項式定理和多項式乘法是解題關鍵10A【解析】分析：由題意可得為等腰三角形，為等邊三角形，把

11、數(shù)量積分拆，設，數(shù)量積轉化為關于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而，所以為等邊三角形，。設=所以當時，上式取最小值 ，選A.點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉化為函數(shù)求最值。11C【解析】將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1；方案二坐車可能：312、321，所以，P1；所以P1+P2故選C.【點睛】本題考查了古典概型的概率的求法

12、，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個數(shù)，屬于基礎題.12D【解析】根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求出頻率，用以估計概率.【詳解】.故選:D.【點睛】本題以數(shù)學文化為背景，考查利用頻率估計概率，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131 0 【解析】根據(jù)換底公式計算即可得解；根據(jù)同底對數(shù)加法法則，結合的結果即可求解.【詳解】由題：,則；由可得：.故答案為：1，0【點睛】此題考查對數(shù)的基本運算，涉及換底公式和同底對數(shù)加法運算，屬于基礎題目.140【解析】直接根據(jù)向量垂直計算得到答案.【詳解】向量與向量垂直，則，故.故答案為：.【點睛】本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，意在考查學生的計算能力.

13、15【解析】將f（x）寫成分段函數(shù)形式，分析得f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，利用奇偶性和單調性解不等式即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，f（x）x|x|，則f（x）為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，則f（2x1）+f（x）0f（2x1）f（x）f（2x1）f（x）2x1x，解可得x，即x的取值范圍為，+）；故答案為：，+）【點睛】本題考查分段函數(shù)的奇偶性與單調性的判定以及應用，注意分析f（x）的奇偶性與單調性16【解析】根據(jù)題意可知的兩根為,再根據(jù)解集的區(qū)間端點得出參數(shù)的關系,再求解即可.【詳解】解：因為函數(shù),關于的不等式的解集是 的兩根為：和；所以有：且；且；故答案為：【點睛】本題主要考查了不等式

14、的解集與參數(shù)之間的關系,屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）79顆；（2）5.5秒.【解析】（1）利用各小矩形的面積和為1可得，進而得到脈沖星自轉周期在2至10秒的頻率，從而得到頻數(shù)；（2）平均值的估計值為各小矩形組中值與頻率的乘積的和得到.【詳解】（1）第一到第六組的頻率依次為0.1，0.2，0.3，0.2，0.05，其和為1所以，所以，自轉周期在2至10秒的大約有（顆）.（2）新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為（秒）.故新發(fā)現(xiàn)的脈沖星自轉周期平均值為5.5秒.【點睛】本題考查頻率分布直方圖的應用，涉及到平均數(shù)的估計值等知識，是一道容易題.18（1

15、）（2）【解析】（1）利用消參法以及點求解出的普通方程，根據(jù)極坐標與直角坐標的轉化求解出直線的極坐標方程；（2）將的坐標設為，利用點到直線的距離公式結合三角函數(shù)的有界性，求解出取最小值時對應的值.【詳解】（1）消去參數(shù)得普通方程為，將代入，可得，即所以的極坐標方程為（2）的直角坐標方程為直線的直角坐標方程設的直角坐標為在直線上，的最小值為到直線的距離的最小值，當，時取得最小值即，【點睛】本題考查直線的參數(shù)方程、普通方程、極坐標方程的互化以及根據(jù)曲線上一點到直線距離的最值求參數(shù)，難度一般.（1）直角坐標和極坐標的互化公式：；（2）求解曲線上一點到直線的距離的最值，可優(yōu)先考慮將點的坐標設為參數(shù)方程

16、的形式，然后再去求解.19（1）16；（2）115.【解析】(1)易得使得的情況只有“”,“”兩種,再根據(jù)組合的方法求解兩種情況分別的情況數(shù)再求和即可.(2)易得“”共有種,“”共有種.再根據(jù)古典概型的方法可知,利用組合數(shù)的計算公式可得,當時根據(jù)題意有,共個；當時求得,再根據(jù)換元根據(jù)整除的方法求解滿足的正整數(shù)對即可.【詳解】解：（1）三個數(shù)乘積為有兩種情況：“”,“”,其中“”共有：種,“”共有：種,利用分類計數(shù)原理得：為“數(shù)列”中的任意三項,則使得的取法有：種（2）與(1)同理,“”共有種,“”共有種,而在“數(shù)列”中任取三項共有種,根據(jù)古典概型有：,再根據(jù)組合數(shù)的計算公式能得到：,時,應滿足

17、,共個,時,應滿足,視為常數(shù),可解得, ,根據(jù)可知,根據(jù)可知,（否則）,下設,則由于為正整數(shù)知必為正整數(shù),化簡上式關系式可以知道：,均為偶數(shù),設,則,由于中必存在偶數(shù),只需中存在數(shù)為的倍數(shù)即可,檢驗： 符合題意,共有個, 綜上所述：共有個數(shù)對符合題意【點睛】本題主要考查了排列組合的基本方法,同時也考查了組合數(shù)的運算以及整數(shù)的分析方法等,需要根據(jù)題意20（）見解析（）【解析】（）連接交于點，連接，由于平面，得出，根據(jù)線線位置關系得出，利用線面垂直的判定和性質得出，結合條件以及面面垂直的判定，即可證出平面平面；（）根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，利用空間向量法分別求出和平面的法向量，利用空間向量線面

18、角公式，即可求出直線與平面所成角的余弦值.【詳解】解：（）證明：連接交于點，連接，則平面平面，平面，為的中點，為的中點，平面，平面，平面，平面平面（）建立如圖所示空間直角坐標系，設則，設平面的法向量為，則，取得，設直線與平面所成角為，直線與平面所成角的余弦值為.【點睛】本題考查面面垂直的判定以及利用空間向量法求線面角的余弦值，考查空間想象能力和推理能力.21（1），；（2）.【解析】（1）將代入求解，由（為參數(shù)）消去即可.（2）將（為參數(shù)）與聯(lián)立得，設，兩點對應的參數(shù)為，則，再根據(jù)，即，利用韋達定理求解.【詳解】（1）把代入，得，由（為參數(shù)），消去得，曲線的直角坐標方程和直線的普通方程分別是，.（2）將（為參數(shù)）代入得，設，兩點對應的參數(shù)為，則，由得，所以，即，所以，而，解得.【點睛】本題主要考查參數(shù)方程、極坐標方程、直角坐標方程的轉化和直線參數(shù)方程的應用，還考查了運算求解的能力，屬于中檔