必修5第二章《數(shù)列》

1、必修5第二章數(shù)列 (時(shí)間：120分鐘；滿分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1已知數(shù)列an滿足a13，anan110(nN)，則此數(shù)列中a10等于()A7B11C12 D6解析：選C.易知an為等差數(shù)列，且公差為1，a103(101)112.2數(shù)列an是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，Sna1a2an，則數(shù)列Sn中()A任一項(xiàng)均不為0B必有一項(xiàng)不為0C至多有有限項(xiàng)為0D或無一項(xiàng)為0，或有無窮多項(xiàng)為0解析：選D.如在數(shù)列2，2,2，2中，S12，S20，S32，S40，如果一項(xiàng)為0，那么就會(huì)有無限多項(xiàng)為0.3已知某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和

2、為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差為()A2 B3C4 D5解析：選B.由S偶S奇30155d得d3.4已知an是公比為q的等比數(shù)列，且a1、a3、a2成等差數(shù)列，則q()A1或eq f(1,2) B1Ceq f(1,2) D2解析：選A.an為等比數(shù)列且公比為q，且a1，a3，a2成等差數(shù)列，則2a1q2a1a1q，即2q2q10，q1或qeq f(1,2).5等差數(shù)列an的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，當(dāng)首項(xiàng)a1和d變化時(shí)，a2a8a11是一個(gè)定值，則下列各數(shù)也為定值的是()AS7 BS8CS13 DS15解析：選C.由a2a8a113a118d3(a16d)3a7，知a7為一個(gè)定值，S13e

3、q f(13a1a13,2)13 a7也為定值6計(jì)算機(jī)是將信息轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)進(jìn)行處理的，二進(jìn)制即“逢二進(jìn)一”，如(1101)2表示二進(jìn)制的數(shù)，將它轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制的形式是12312202112013，那么將二進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制數(shù)的形式是()A2172 B2161C2162 D2151解析：選B.題目雖然比較新，但是我們仔細(xì)分析題目中的條件，按照其規(guī)律有：2152142131eq f(1216,12)2161.7在RtABC中，已知abc，且a、b、c成等比數(shù)列，則ac等于()A34 B(eq r(5)1)2C1(eq r(5)1) D.eq r(2)1解析：選B.由a2b2c2及b2ac，即可推得

4、ac(eq r(5)1)2.8等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S22，S410，則S6等于()A12 B18C24 D42解析：選C.S2，S4S2，S6S4成等差數(shù)列，2(S4S2)S2(S6S4)，解得S624.9根據(jù)市場調(diào)查結(jié)果，預(yù)測某種家用商品從年初開始n個(gè)月內(nèi)累計(jì)的需求量Sn(萬件)近似地滿足Sneq f(n,90)(21nn25)(n1,2，12)，按此預(yù)測，在本年度內(nèi)，需求量超過1.5萬件的月份是()A5月、6月 B6月、7月C7月、8月 D8月、9月解析：選C.Sneq f(n,90)(21nn25)eq f(1,90)(21n2n35n)由anSnSn1，得anSnSn1eq

5、 f(1,90)(21n2n35n)eq f(1,90)21(n1)2(n1)35(n1)eq f(1,90)21(2n1)(n2n2nn22n1)5eq f(1,90)(3n245n27)eq f(3,90)(neq f(15,2)2eq f(63,40).當(dāng)n7或8時(shí)，超過1.5萬件10給定anlogn1(n2)(nN)，定義使a1a2a3ak為整數(shù)的數(shù)k(kN)叫企盼數(shù)，則區(qū)間(1,10000)內(nèi)所有企盼數(shù)之和為()A15356 B16356C17356 D16380解析：選B.a1a2a3aklog23log34log45logk1(k2)log2(k2)為整數(shù)，k2必是2的整數(shù)次冪k

6、(1,10000)，k可取222,232，2132，所求企盼數(shù)之和為(222)(232)(2132)(2223213)212eq f(42121,21)2416356.11已知數(shù)列an的前n項(xiàng)的和Sn3nn2，則當(dāng)n2時(shí)，下列不等式中成立的是()ASnna1nan BSnnanna1Cna1Snnan DnanSnna1解析：選C.利用SnSn1an求出an，再進(jìn)行作差比較三者的關(guān)系12數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq f(1,r(n1)r(n)，已知它的前n項(xiàng)和Sn6，則項(xiàng)數(shù)n等于()A6 B7C48 D49解析：選C.將通項(xiàng)公式變形得：aneq f(1,r(n1)r(n)eq f(r(n1)r

7、(n),r(n1)r(n)r(n1)r(n)eq r(n1)eq r(n)，則Sn(eq r(2)eq r(1)(eq r(3)eq r(2)(eq r(4)eq r(3)(eq r(n1)eq r(n)eq r(n1)1，由Sn6，則有eq r(n1)16，n48.二、填空題(本大題共4小題，把答案填在題中橫線上)13等比數(shù)列an中，a1512，公比qeq f(1,2)，用n表示它的n項(xiàng)之積：na1a2a3an，n取得最大值時(shí)n_.解析：法一：令ylog2nlog2(a1a2a3an)log2a1log2a2log2a3log2an，而log2an構(gòu)成公差為log2qlog2eq f(1,2

8、)1的等差數(shù)列，則我們可以用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式得：y9neq f(n1n,2)eq f(1,2)(neq f(19,2)2eq f(361,2)，又a101，當(dāng)n9或10時(shí)，n最大法二：an512(eq f(1,2)n1，當(dāng)n10時(shí)，an1，n9時(shí)，an1，n10時(shí)，0an1，n最大時(shí)，n取9或10.答案：9或1014數(shù)列an中，a1a，aneq f(an1,nan11)(n2)(a0)，則an_.解析：由aneq f(an1,nan11)，可得eq f(1,an)neq f(1,an1)(n2)，令bneq f(1,an)，則b22b1，b33b2，bnnbn1，各式相加，得bnb1(23

9、n)eq f(1,a)eq f(n1n2,2)，aneq f(1,bn)eq f(2a,n1n2a2).答案：eq f(2a,n1n2a2)15一個(gè)數(shù)列an，其中a13，a26，an2an1an，那么這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)是_解析：a3a2a13，a4a3a23，a5a4a36.答案：616蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù)，則f(4)_；f(n)_.解析：11,7116,1911626，則f(4)116263637.f(n)116

10、26(n1)616(12n1)13n(n1)答案：3713n(n1)三、解答題(本大題共6小題，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)17在等差數(shù)列an中，a1030，a2050.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)an；(2)令bn2an10，證明數(shù)列bn為等比數(shù)列解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則eq blcrc (avs4alco1(a19d30，,a119d50，)解得eq blcrc (avs4alco1(a112，,d2.)an122(n1)2n10.(2)證明：由(1)得bn2an1022n4n，eq f(bn1,bn)eq f(4n1,4n)4.bn是首項(xiàng)是4，公比q4的等比數(shù)列18(

11、2011年濟(jì)南高二檢測)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a11，an1eq f(1,3)Sn，n1，nN.求(1)數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)a2a4a6a2n的值解：(1)由a11，an1eq f(1,3)Sn，n1,2,3，得a2eq f(1,3)S1eq f(1,3)a1eq f(1,3)，由an1aneq f(1,3)(SnSn1)eq f(1,3)an(n2)，得an1eq f(4,3)an(n2)，又a2eq f(1,3)，所以aneq f(1,3)(eq f(4,3)n2(n2)，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為aneq blcrc (avs4alco1(1n1,f(1,3)f(4,3)n2 n2

12、).(2)由(1)可知a2，a4，a2n是首項(xiàng)為eq f(1,3)，公比為(eq f(4,3)2，且項(xiàng)數(shù)為n的等比數(shù)列，所以a2a4a6a2neq f(1,3)eq f(1f(4,3)2n,1f(4,3)2)eq f(3,7)(eq f(4,3)2n119在等差數(shù)列an中，a11，前n項(xiàng)和Sn滿足條件eq f(S2n,Sn)eq f(4n2,n1)，n1,2，.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)記bnanpan(p0)，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解：(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，由eq f(S2n,Sn)eq f(4n2,n1)，得eq f(a1a2,a1)3，所以a22，即da2a11.又

13、eq f(4n2,n1)eq f(S2n,Sn)eq f(f(annda1,2)2n,f(ana1,2)n)eq f(2annda1,ana1)eq f(2ann1,an1)，所以ann.(2)由bnanpan，得bnnpn，所以Tnp2p23p3(n1)pn1npn，當(dāng)p1時(shí)，Tneq f(nn1,2)；當(dāng)p1時(shí)，pTnp22p33p4(n1)pnnpn1，得(1p)Tnpp2p3pn1pnnpn1eq f(p1pn,1p)npn1.所以Tneq blcrc (avs4alco1(f(nn1,2)，p1，,f(p1pn,1p2)f(npn1,1p)，p1.)20等比數(shù)列an中，已知a12，a

14、416.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若a3，a5分別為等差數(shù)列bn的第3項(xiàng)和第5項(xiàng)，試求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和Sn.解：(1)設(shè)an的公比為q.由已知得162q3，解得q2. ana1qn12n.(2)由(1)得a38，a532，則b38，b532.設(shè)bn的公差為d，則有eq blcrc (avs4alco1(b12d8，,b14d32，)解得eq blcrc (avs4alco1(b116，,d12.)從而bn1612(n1)12n28.所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sneq f(n1612n28,2)6n222n.21某國采用養(yǎng)老儲(chǔ)備金制度公民在就業(yè)的第一年就交納養(yǎng)老儲(chǔ)備金，數(shù)目為a1

15、，以后每年交納的數(shù)目均比上一年增加d(d0)，因此，歷年所交納的儲(chǔ)備金數(shù)目a1，a2，是一個(gè)公差為d的等差數(shù)列與此同時(shí)，國家給予優(yōu)惠的計(jì)息政策，不僅采用固定利率，而且計(jì)算復(fù)利這就是說，如果固定年利率為r(r0)，那么，在第n年末，第一年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍1(1r)n1，第二年所交納的儲(chǔ)備金就變?yōu)閍2(1r)n2，以Tn表示到第n年末所累計(jì)的儲(chǔ)備金總額(1)寫出Tn與Tn1(n2)的遞推關(guān)系式；(2)求證：TnAnBn，其中An是一個(gè)等比數(shù)列，Bn是一個(gè)等差數(shù)列解：(1)由題意知TnTn1(1r)an(n2)(2)證明：T1a1，對(duì)n2反復(fù)使用(1)中的關(guān)系式，得TnTn1(1r)anTn2

16、(1r)2an1(1r)ana1(1r)n1a2(1r)n2an1(1r)an. 在式兩端同乘1r，得(1r)Tna1(1r)na2(1r)n1an1(1r)2an(1r)，得rTna1(1r)nd(1r)n1(1r)n2(1r)aneq f(d,r)(1r)n1ra1(1r)nan，即Tneq f(a1rd,r2)(1r)neq f(d,r)neq f(a1rd,r2).如果記Aneq f(a1rd,r2)(1r)n，Bneq f(a1rd,r2)eq f(d,r)n，則TnAnBn，其中An是以eq f(a1rd,r2)(1r)為首項(xiàng)，以1r(r0)為公比的等比數(shù)列；Bn是以eq f(a1rd,r2)eq f(d,r)為首項(xiàng)，以eq f(d,r)為公差的等差數(shù)列22已知數(shù)列an滿足a11，a22，an2eq f(anan1,2)，nN.(1)令bnan1an，證明：bn是等比數(shù)列；(2)求an的通項(xiàng)公式解：(1)證明：b1a2a11，當(dāng)n2時(shí)，bnan1aneq f(an1an,2)aneq f(1,2)(anan1)eq f(1,2)b