2023屆高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)與練 第二章　函數(shù)(必修第一冊) 第3節(jié)　函數(shù)的奇偶性與周期性 學(xué)案

1、第3節(jié)函數(shù)的奇偶性與周期性1.結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的概念和幾何意義.2.結(jié)合函數(shù)的周期性、最小正周期的含義,會判斷應(yīng)用函數(shù)的周期性.1.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果xI,都有-xI且f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)且f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)圖象特征關(guān)于y軸對稱關(guān)于原點對稱函數(shù)存在奇偶性的前提條件是定義域關(guān)于原點對稱.2.函數(shù)的周期性(1)周期函數(shù):一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D,如果存在一個非零常數(shù)T,使得對每一個xD,都有x+TD,且f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T

2、叫做這個函數(shù)的周期.(2)最小正周期:如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期.(1)若T是函數(shù)f(x)的一個周期,則nT(nZ,n0)也是函數(shù)f(x)的周期.(2)不是所有的周期函數(shù)都有最小正周期,如常函數(shù)f(x)=c(c是常數(shù))是周期函數(shù),但沒有最小正周期.1.奇偶性的四個重要結(jié)論(1)如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)=0.(2)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)=f(-x)=f(|x|).(3)若函數(shù)滿足f(x)=0或解析式可化簡為f(x)=0(xD),其中定義域D是關(guān)于原點對稱的非空數(shù)

3、集,則函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).(4)在公共定義域內(nèi)有:奇奇=奇,偶偶=偶,奇奇=偶,偶偶=偶,奇偶=奇.2.周期性的常用結(jié)論設(shè)函數(shù)y=f(x),xR,a0.(1)若f(x+a)=f(x-a),則函數(shù)的一個周期為2a.(2)若f(x+a)=-f(x),則函數(shù)的一個周期為2a.(3)若f(x+a)=1f(x),則函數(shù)的一個周期為2a.(4)若f(x+a)=-1f(x),則函數(shù)的一個周期為2a.3.對稱性的三個常用結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),即f(a-x)=f(a+x),則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(2)若對于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(

4、2a+x),則y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱.(3)若函數(shù)y=f(x+b)是奇函數(shù),即f(-x+b)+f(x+b)=0,則函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(b,0)中心對稱.1.(必修第一冊P84例6改編)下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是(B)A.y=x3B.y=x2C.y=|ln x|D.y=2-x解析:A為奇函數(shù),C,D為非奇非偶函數(shù),B為偶函數(shù).故選B.2.(必修第一冊P203練習(xí)T4改編)設(shè)f(x)是定義在R上周期為3的函數(shù),當(dāng)0 x1時,f(x)=x2-x,則f(72)等于(B)A.154B.-14C.14D.12解析:因為f(x)是定義在R上周期為3的函數(shù),所以f(72)=f(72-3)=

5、f(12).又當(dāng)0 x1時,f(x)=x2-x,則f(12)=14-12=-14.故選B.3.若函數(shù)f(x)=x2+(a+5)x+b是偶函數(shù),定義域為a,2b,則a+2b = .解析:因為f(x)是偶函數(shù),函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以a+2b=0.答案:04.(2020江蘇卷)已知y=f(x)是奇函數(shù),當(dāng)x0時,f(x)=x23,則f(-8)的值是.解析:由題意可得f(-8)=-f(8)=-823=-(23)23=-22=-4.答案:-45.(2021山東日照高三模擬)寫出一個滿足f(x)=f(2-x)的奇函數(shù):f(x)=.解析:取f(x)=sin 2x,下面為證明過程:顯然,其定義域為R;

6、由f(-x)=sin(-2x)=-sin(2x)=-f(x),故f(x)=sin 2x為奇函數(shù);又f(2-x)=sin2(2-x)=sin(-2x)=sin 2x=f(x).答案:sin2x(答案不唯一) 函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用1.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足當(dāng)x0時,f(x)=2x2-2,則f(f(-1)+f(2)=(B)A.-8B.-6C.4D.6解析:法一因為當(dāng)x0時,f(x)=2x2-2,所以f(-1)=0,又函數(shù)是奇函數(shù),則f(0)=0,f(-2)=2(-2)2-2=24-2=8-2=6=-f(2),即f(2)=-6,所以f(f(-1)+f(2)=-6.故選B.法二因為當(dāng)x0,

7、則-x0,x2+2x-1,x0,得-1x0時,-x0,f(-x)=x2-2x-1=-f(x),當(dāng)x0,f(-x)=-x2-2x+1=-f(x),所以f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).法二(圖象法)作出函數(shù)f(x)的圖象,由圖象關(guān)于原點對稱的特征知函數(shù)f(x)為奇函數(shù).解:(4)因為4-x20,|x+3|3-2x2且x0,所以函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱,所以f(x)=4-x2x+3-3=4-x2x,又f(-x)=4-(-x)2-x=-4-x2x,所以f(-x)=-f(x),即函數(shù)f(x)是奇函數(shù).1.判斷函數(shù)奇偶性的方法(1)首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若函數(shù)的定義域關(guān)于原

8、點對稱,則判斷f(-x)與f(x)之間的關(guān)系.(2)判斷分段函數(shù)的奇偶性應(yīng)分段分別證明f(-x)與f(x)的關(guān)系,只有各段上的x都滿足相同的關(guān)系時,才能判斷其奇偶性.2.利用函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值的方法:將待求函數(shù)值或不等式利用奇偶性轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解.3.根據(jù)函數(shù)的奇偶性求解析式中參數(shù)的方法:根據(jù)f(x)f(-x)=0得到關(guān)于待求參數(shù)的恒等式,由系數(shù)的對等性得參數(shù)的方程(組),進(jìn)而得出參數(shù)的值.4.涉及兩個奇偶函數(shù)的和或差的解析式求奇偶函數(shù)的解析式需要用-x代替x后利用奇偶函數(shù)的性質(zhì)構(gòu)造方程組求解.注意:根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)奇偶性時,若函數(shù)解析式不是最簡形式,需要先化簡函數(shù)解析式

9、,化簡時要注意等價變形. 函數(shù)的周期性及其應(yīng)用 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)= -f(x).當(dāng)x0,2時,f(x)=2x-x2,則x2,4時函數(shù)f(x)的解析式為 .解析:當(dāng)x-2,0時,-x0,2,由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,又f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,所以當(dāng)x-2,0)時,f(x)=x2+2x.又當(dāng)x2,4時,x-4-2,0,所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).又f(x)是周期為4的周期函數(shù),所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,故當(dāng)x2,4時,f

10、(x)=x2-6x+8.答案:f(x)=x2-6x+8(x2,4)典例遷移1 設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意實數(shù)x,恒有f(x+2)=-f(x)且f(1)=2,則f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023) =.解析:依題意函數(shù)的一個周期是4,且f(1)=2,所以f(3)=f(3-4)=f(-1) =-f(1)=-2.又f(2)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.由奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),則f(0)=0,因此f(4)=0.故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0-2+0=0,結(jié)合2 0

11、23=4505+3,可知f(0)+f(1)+f(2)+f(2 022)+f(2 023)=505f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(1)+f(2)+f(3)=2+0+(-2)=0.答案:0典例遷移2 設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù),且恒有f(x+2)=-1f(x),你認(rèn)為函數(shù)f(x)可以是奇函數(shù)嗎?解:因為對任意xR,都有f(x+2)=-1f(x),所以f(x+4)=f(x+2+2)= -1f(x+2)=-1-1f(x)=f(x),所以f(x)的一個周期為4.假設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則由奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x),可知f(0)=-f(-0)=-f(0),則f(0)=0,且f(2

12、)=f(2-4)=f(-2)=-f(2),故f(2)=0.結(jié)合f(2)=f(0+2)=-1f(0),因此函數(shù)f(x)不可能是奇函數(shù).1.根據(jù)函數(shù)在給定區(qū)間上的解析式,結(jié)合函數(shù)周期性與奇偶性的求值問題,應(yīng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)將待求的自變量的值轉(zhuǎn)化到已知的函數(shù)解析式上后,結(jié)合函數(shù)解析式求值.2.若函數(shù)具有奇偶性以及關(guān)于直線(或點)對稱時,函數(shù)也具有周期性,求解時首先利用周期性的定義確定出函數(shù)的周期.3.若函數(shù)y=f(x)是奇函數(shù)且T為其一個周期,則f(T2)=0.針對訓(xùn)練 1.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且滿足f(x)=f(1-x),則f(2 020) +f(2 021)+f(2 022)=()A

13、.-1B.0C.1D.2解析:因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x)=f(1-x),所以f(x+1)=f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=f(x),所以f(x)的周期為2,所以f(2 020)=f(0+21 010)=f(0)=0,f(2 021)+f(2 022)=f(2 021)+f(1-2 022)=f(2 021)-f(2 021)=0,所以f(2 020)+f(2 021)+f(2 022)=0.故選B.2.(2021安徽皖江名校高三模擬)偶函數(shù)f(x)滿足f(12-x)=f(x+12),且在x72,4時,f(x)=log2x-1,則f(-2-1)=()A.log27-2

14、B.1C.log23-2D.log27-1解析:因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)以及f(12-x)=f(x+12),所以f(-x)=f(x+12+12)=f(x+1)=f(x),所以函數(shù)的周期為1,所以f(-2-1)=f(-12)=f(12)=f(72)=log272-1=log27-2.故選A.3.若函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x),且x-1,1時,f(x)=x2,則x7,9時的函數(shù)解析式是.解析:由函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=-f(x)可知f(x+1+1)=-f(x+1)=f(x),因此函數(shù)的周期是2.設(shè)x7,9,則-1x-81,因此f(x-8)=(x-8)2,根據(jù)函數(shù)的周期是2可知f(

15、x-8)=f(x),因此f(x)=(x-8)2.答案:f(x)=(x-8)2(x7,9) 函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的應(yīng)用 (1)函數(shù)f(x)在(-,+)上單調(diào)遞減,且為奇函數(shù),若f(1)=-1,則滿足-1f(x-2)1的x的取值范圍是()A.-2,2B.-1,1C.0,4D.1,3(2)已知函數(shù)f(x)=x2+log2|x|,則不等式f(x+1)-f(2)0時,f(x)=x2+log2x,故其在(0,+)上單調(diào)遞增,又因為函數(shù)的定義域為x|x0,f(-x)=(-x)2+log2|-x|=x2+log2|x|=f(x),故其為偶函數(shù),綜上可得f(x)在(-,0)上單調(diào)遞減,在(0,

16、+)上單調(diào)遞增且圖象關(guān)于y軸對稱,f(x+1)-f(2)0即f(x+1)f(2)等價于|x+1|2,x+10-3x1且x-1,即不等式的解集為(-3,-1)(-1, 1).故選C.1.求解與奇偶函數(shù)有關(guān)的不等式問題要考慮奇偶函數(shù)關(guān)于原點對稱的定義域兩側(cè)的單調(diào)性;利用奇、偶函數(shù)的圖象特征或根據(jù)奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反,轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上求解.2.求解與偶函數(shù)有關(guān)的不等式問題,為避免出現(xiàn)錯誤以及分類討論,可利用偶函數(shù)的性質(zhì)f(x)=f(-x)=f(|x|)將問題轉(zhuǎn)化為偶函數(shù)在0,+)上的單調(diào)性求解.函數(shù)的奇偶性(對稱性)與周期性 (2021黑龍江佳木斯一中高

17、三三模)已知y=f(x)為奇函數(shù),若f(x+1)是偶函數(shù),且當(dāng)x0,1時,f(x)=log2(x+a),則f(2 021)= ()A.-1B.0C.1D.2解析:由函數(shù)f(x+1)是偶函數(shù)以及y=f(x)為奇函數(shù)可知f(x+1)= f(-x+1),即f(x+2)=f(-x)=-f(x),所以對任意xR,f(x+4)=f(x).當(dāng)x0,1時,f(x)=log2(x+a),所以f(0)=log2a=0,所以a=1,則f(2 021)=f(5054+1)=f(1)=log22=1.故選C.1.若函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù),則函數(shù)y=f(x)關(guān)于直線x=a對稱,若y=f(x+a)是奇函數(shù),則函數(shù)y=

18、f(x)關(guān)于點(a,0)對稱.2.函數(shù)圖象的對稱與周期關(guān)系常見結(jié)論(1)若函數(shù)y=f(x)的兩條對稱軸方程分別為x=a,x=b,則函數(shù)的一個周期為T=2|a-b|;(2)若函數(shù)y=f(x)的兩個對稱中心分別為(a,0), (b,0),則函數(shù)的一個周期為T =2|a-b|;(3)若函數(shù)y=f(x)的一條對稱軸方程為x=a,一個對稱中心為點(b,0),則函數(shù)的一個周期為T=4|a-b|.單調(diào)性、奇偶性與周期性的綜合問題 (多選題)已知函數(shù)y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù),xR,f(x- 1)=f(x+1)成立,當(dāng)x(0,1)且x1x2時,有f(x2)-f(x1)x2-x10,則下列命題中正確的是(

19、)A.f(1)=0B.f(x)在-2,2上有5個零點C.直線x=2 022是函數(shù)y=f(x)圖象的一條對稱軸D.點(2 022,0)是函數(shù)y=f(x)圖象的一個對稱中心解析:令f(x-1)=f(x+1)中x=0,得f(-1)=f(1),又f(-1)=-f(1),所以2f(1)=0,所以f(1)=0,故A正確;由f(x-1)=f(x+1),得f(x)=f(x+2),所以f(x)是周期為2的周期函數(shù),所以f(2)=f(0)=0,又當(dāng)x(0,1)且x1x2時,有f(x2)-f(x1)x2-x10的解集是()A.(-4,0)(4,+)B.(-,-4)(0,4)C.(-4,0)(0,4)D.(-,-4)

20、(4,+)解析:因為函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(-x)=-f(x).若x0等價于f(x)0,因為f(-4)=0,f(x)在(0,+)上為增函數(shù),則f(x)在(-,0)上為增函數(shù),所以由f(x)0得-4x0,則f(-x)-f(x)x=-2f(x)x0等價于f(x)0,由題知f(x)在(0,+)上為增函數(shù),所以由f(x)0得0 x0的解集為(-4,0)(0,4).故選C.3.黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù),由德國著名的數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼發(fā)現(xiàn)提出,在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用,其定義為:R(x)=1p,當(dāng)x=qp(p,q都是正整數(shù),qp是既約真分?jǐn)?shù)),0,當(dāng)x=0,1或0,1上的無理數(shù),若函數(shù)f(x)是定義

21、在R上的奇函數(shù),且對任意x都有f(2-x)+f(x)=0,當(dāng)x0,1時,f(x)=R(x),則f(ln 2)-f(73)=.解析:因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且對任意x都有f(2-x)+f(x)=0,所以f(2-x)=f(-x),所以f(x+2)=f(x),即f(x)的周期為2,因為當(dāng)x0,1時,f(x)=R(x),故f(ln 2)-f(73)=f(ln 2)-f(13)=0-13=-13.答案:-13 (2021廣東揭陽高三一模)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,滿足f(x)=f(2-x),且對任意1x1x2均有(x1-x2)f(x1)-f(x2)0成立,則滿足f(2x-1)-f(3-x)

22、0的x的取值范圍是()A.(-,-223,+)B.(-,043,+)C.-2,23D.0,43解析:因為函數(shù)f(x)滿足f(x)=f(2-x),所以函數(shù)f(x)關(guān)于直線x=1對稱,因為對任意1x1x2均有(x1-x2)f(x1)-f(x2)-6,f(2 021)=3-a2a-4,則實數(shù)a的取值范圍是(C)A.(-,2111)B.(2,+)C.(-,2111)(2,+)D.(2111,2)解析:因為f(x)是定義在R上的以5為周期的偶函數(shù),所以f(2 021)=f(5404+1)=f(1)=f(-1),因為f(2 021)=3-a2a-4, f(-1)-6,所以3-a2a-4-6,整理得11a-

23、212a-40,解得a2,所以實數(shù)a的取值范圍是(-,2111)(2,+).故選C.7.(多選題)已知y=f(x+1)是定義在R上的奇函數(shù),且f(x+4)=f(2-x),當(dāng)x-1,1)時,f(x)=2x,則下列說法正確的是(ABD)A.y=f(x)圖象的對稱中心為(1,0)B.y=f(x)圖象的對稱軸方程為x=3C.4是函數(shù)的周期D.f(2 021)+f(2 022)=1解析:因為f(x+1)是定義在R上的奇函數(shù),所以y=f(x)圖象的對稱中心為(1,0),且f(1)=0.因為f(x+4)=f(2-x),所以y=f(x)圖象的對稱軸方程為x=3,故f(x)的周期T=8,f(2 021)=f(5

24、)=f(1)=0,f(2 022)= f(6)=f(0)=1,從而f(2 021)+f(2 022)=1.故選ABD.8.(2020新高考卷)若定義在R的奇函數(shù)f(x)在(-,0)單調(diào)遞減,且f(2)=0,則滿足xf(x-1)0的x的取值范圍是(D)A.-1,13,+)B.-3,-10,1C.-1,01,+)D.-1,01,3解析:由題意知f(x)在(-,0),(0,+)上單調(diào)遞減,且f(-2)=-f(2) =f(0)=0.當(dāng)x0時,令f(x-1)0,得0 x-12,所以1x3;當(dāng)x0時,令f(x-1)0,得-2x-10,所以-1x1,又x0,所以-1x0,則下列不等關(guān)系成立的是(C)A.m+

25、n1B.m+n-1D.m-n0得,f(2m-n)f(n-2),所以2m-nn-2,所以m-n-1.故選C.13.(多選題)已知函數(shù)f(x)=ln(x+2)+ln(4-x),則下列說法正確的是(ABC)A.f(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增B.f(x)在(1,4)上單調(diào)遞減C.f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱D.f(x)的圖象關(guān)于點(1,0)對稱解析:由f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)可得x+20,4-x0,解得-2x4.因為f(x)=ln(x+2)+ln(4-x)=ln(-x2+2x+8),令u(x)=-x2+2x+8,則函數(shù)u(x)的圖象開口向下,對稱軸方程為x=1.所以函數(shù)u(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增,在(1,4)上單調(diào)遞減,根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得f(x)在(-2,1)上單調(diào)遞增,在(1,4)上單調(diào)遞減,因為f(1-x)=ln(3-x)+ln(3+x)=f(1+x),所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,因