第5章衍生金融工具的風(fēng)險(xiǎn)分析(2)歐式期權(quán)ppt課件

1、金融工程與風(fēng)險(xiǎn)管理第5章 衍生金融工具的風(fēng)險(xiǎn)分析2：歐式期權(quán).5.1B-S模型的實(shí)際根底 弱式有效市場與馬爾可夫過程 1965年，法瑪Fama提出了著名的效率市場假說EMH，該假說以為:前提：投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報(bào)酬。推論：證券價(jià)錢對(duì)新的市場信息的反響是迅速而準(zhǔn)確的，證券價(jià)錢能完全反響全部信息。只需新信息才干引起價(jià)錢的變動(dòng)，而新信息是不可預(yù)測的，故價(jià)錢的變化不可預(yù)測。價(jià)錢變化報(bào)答不可預(yù)測，等價(jià)于報(bào)答是相互獨(dú)立的。.EMH根據(jù)市場對(duì)信息集包含的信息進(jìn)展分類：弱式、半強(qiáng)式和強(qiáng)式弱式有效市場：市場價(jià)錢曾經(jīng)包含了歷史上一切的買賣信息價(jià)錢和買賣數(shù)量等。EMH與可用馬爾可夫過程Marko

2、v Stochastic Process假設(shè)證券價(jià)錢遵照馬爾可夫過程，該過程具有“無后效性，其未來價(jià)錢的概率分布與歷史無關(guān)。衍生資產(chǎn)的定價(jià)問題的關(guān)鍵：標(biāo)的資產(chǎn)的動(dòng)搖的假設(shè)。B-S模型假設(shè)：資產(chǎn)價(jià)錢的動(dòng)搖服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，它是一種特殊的馬爾可夫過程。.5.2 維納過程根據(jù)有效市場實(shí)際，股價(jià)、利率和匯率具有隨機(jī)游走性不可預(yù)測性，這種特性可以采用Wiener process，它是Markov stochastic process的一種。對(duì)于隨機(jī)變量w是Wiener process，必需具有兩個(gè)條件：在某一小段時(shí)間t內(nèi)，它的變動(dòng)w與時(shí)段t滿足.5.12. 在兩個(gè)不重疊的時(shí)段t和s, wt和ws是獨(dú)立的

3、，這個(gè)條件也是Markov過程的條件，即增量獨(dú)立！5.2有效市場.滿足上述兩個(gè)條件的隨機(jī)過程，稱為維納過程，其性質(zhì)有當(dāng)時(shí)段的長度放大到T時(shí)從如今的0時(shí)辰到未來的T時(shí)辰隨機(jī)變量wT的滿足.證明：.假設(shè)t0，由5.1和5.2得到5.35.4所以， 的分布性質(zhì)為以上得到的隨機(jī)過程，稱為維納過程。.程序：維納過程的模擬% 假設(shè)初始點(diǎn)為0，由規(guī)范正態(tài)分布產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)300個(gè)，這樣將1個(gè)單位時(shí)間等分為300個(gè)等分rnd=random(norm,0, 1,300,1);%建立初始的零向量，用來放置計(jì)算的結(jié)果w=zeros(1,300);for i=1:299 w(i+1)=w(i)+rnd(i+1)*(1/3

4、00)0.5;endx=1:1:300;wplot(x,w).B-S模型證明思緒ITO引理ITO過程B-S微分方程B-S買權(quán)定價(jià)公式.5.3 伊藤引理普通維納過程(Generalized Wiener process)可表示為5.5顯然，普通維納過程的性質(zhì)為.普通維納過程仍缺乏以代表隨機(jī)變量復(fù)雜的變動(dòng)特征。漂移率和方差率為常數(shù)不恰當(dāng)假設(shè)把變量xt的漂移率a和方差率b當(dāng)作變量x和時(shí)間t的函數(shù)，擴(kuò)展后得到的即為ITO過程.B-S 期權(quán)定價(jià)模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運(yùn)動(dòng)來代表股價(jià)的動(dòng)搖，無妨令省略下標(biāo)t，變換后得到幾何布朗運(yùn)動(dòng)方程5.6目的：證券的預(yù)期報(bào)答與其初始價(jià)錢無關(guān)。.思索：普通維納過

5、程的缺陷假設(shè)將價(jià)錢變化表示為.伊藤引理：假設(shè)某隨機(jī)變量x的變動(dòng)過程可由ITO過程表示為省略下標(biāo)t令f(x,t)為隨機(jī)變量x以及時(shí)間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標(biāo)的資產(chǎn)x的衍生證券的價(jià)錢那么f(x,t)的變動(dòng)過程可以表示為5.7.證明：將5.7離散化由5.1知利用泰勒展開，忽略高階項(xiàng)，f(x,t)可以展開為5.8.因此，5.8可以改寫為5.9保管1階項(xiàng)，忽略1階以上的高階項(xiàng).即x2不呈現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)搖！5.10.由5.10可得5.11由5.11得到5.12. 由于x2不呈現(xiàn)隨機(jī)動(dòng)搖，所以，其期望值就收斂為真實(shí)值，即當(dāng)t0時(shí)，由5.9可得.命題：設(shè)當(dāng)前時(shí)辰為t，假設(shè)股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)那么T時(shí)

6、辰股票價(jià)錢滿足對(duì)數(shù)正態(tài)分布5.4 幾何布朗運(yùn)動(dòng)與對(duì)數(shù)正態(tài)分布.令那么這樣由ITO引理得到即.由5.1.那么稱ST服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，ST的期望值為所以.5.5 B-S模型的推導(dǎo)Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權(quán)定價(jià)公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)模型根本假設(shè)8個(gè)無風(fēng)險(xiǎn)利率知，且為一個(gè)常數(shù)，不隨時(shí)間變化。標(biāo)的股票不支付紅利期權(quán)為歐式期權(quán).無買賣費(fèi)用：股票市場、期權(quán)市場、資金借貸市場投資者可以自在借貸資金，且二者利率相等，均為無風(fēng)險(xiǎn)利率股票買賣無限細(xì)分，投資者可以購買恣意數(shù)量的標(biāo)的股票對(duì)賣空沒有任何限制標(biāo)的資產(chǎn)為股票，其價(jià)錢S的變化為幾何布朗

7、運(yùn)動(dòng).5.5.1 B-S微分方程假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)錢變動(dòng)過程滿足這里S為標(biāo)的資產(chǎn)當(dāng)前的價(jià)錢，令f(s,t)代表衍生證券的價(jià)錢，那么f(s,t)的價(jià)錢變動(dòng)過程可由ITO引理近似為.假設(shè)某投資者以1個(gè)單位的衍生證券空頭和份的標(biāo)的資產(chǎn)多頭來構(gòu)造一個(gè)組合，且滿足那么該組合的收益為.例： 無套利定價(jià)與期權(quán)的風(fēng)險(xiǎn)對(duì)沖假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)錢要么是11元，要么是9元。假設(shè)如今的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，問題：求一份3個(gè)月期執(zhí)行價(jià)錢為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 .為了找出該期權(quán)的價(jià)值， 可構(gòu)建一個(gè)由1單位看漲期權(quán)空頭和m單位的標(biāo)的股票多頭組成的組合。假

8、設(shè)股票價(jià)錢11，那么該期權(quán)執(zhí)行，那么組合收益為11m0.5假設(shè)股票價(jià)錢9，那么該期權(quán)不執(zhí)行，那么組合收益為9m為了使該組合在期權(quán)到期時(shí)無風(fēng)險(xiǎn)，m必需滿足下式： 11m0.59m，即m=0.25組合價(jià)值為2.25元.由于該組合中有一單位看漲期權(quán)空頭和0.25單位股票多頭，而目前股票市場價(jià)錢為10元，因此，從無套利出發(fā)，期權(quán)費(fèi)f期權(quán)的價(jià)值必需滿足根據(jù)無套利定價(jià)原理，無風(fēng)險(xiǎn)組合只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)利率，所以組合的現(xiàn)值為.下面將證明該組合為無風(fēng)險(xiǎn)組合，在t時(shí)間區(qū)間內(nèi)收益為.留意到此時(shí)不含有隨機(jī)項(xiàng)w，這意味著該組合是無風(fēng)險(xiǎn)的，設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)收益率為r，且由于t較小不采用延續(xù)復(fù)利，那么整理得到.B-S 微分方程的意義

9、衍生證券的價(jià)錢f，只與當(dāng)前的市價(jià)S，時(shí)間t，證券價(jià)錢動(dòng)搖率和無風(fēng)險(xiǎn)利率r有關(guān)，它們?nèi)际强陀^變量。因此，無論投資者的風(fēng)險(xiǎn)偏好如何，都不會(huì)對(duì)f的值產(chǎn)生影響。因此，B-S微分方程構(gòu)造了一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)中性世界。在對(duì)衍生證券定價(jià)時(shí)，可以采用風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)，即一切證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r。只需標(biāo)的資產(chǎn)服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，都可以采用B-S微分方程求出價(jià)錢f。.釋義：風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)假設(shè)一種不支付紅利的股票，目前的市價(jià)為10元，我們知道在3個(gè)月后，該股票價(jià)錢要么是11元，要么是9元。假設(shè)如今的無風(fēng)險(xiǎn)年利率等于10%，問題：求一份3個(gè)月期執(zhí)行價(jià)錢為10.5元的該股票歐式看漲期權(quán)的價(jià)值。 .了解：在我們這個(gè)世界上，

10、一共有3種人，風(fēng)險(xiǎn)躲避者、偏好者和風(fēng)險(xiǎn)中性者，但是證券的價(jià)錢只需一個(gè)。所以，證券的定價(jià)對(duì)風(fēng)險(xiǎn)中性者也是適用的，風(fēng)險(xiǎn)中性者也必需以同樣的價(jià)錢來購買證券。由于風(fēng)險(xiǎn)中性的投資者不需求額外的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，在由風(fēng)險(xiǎn)中性者構(gòu)成的子世界，一切證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率。風(fēng)險(xiǎn)中性者與風(fēng)險(xiǎn)躲避者最大的區(qū)別是：二者對(duì)證券價(jià)錢變化的概率不同。啟發(fā)：改動(dòng)各個(gè)形狀出現(xiàn)的概率，使風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的報(bào)答率等于無風(fēng)險(xiǎn)收益率超額收益率為0。.風(fēng)險(xiǎn)中性者與躲避者例如某個(gè)證券，風(fēng)險(xiǎn)躲避者是這樣定價(jià)的而在風(fēng)險(xiǎn)中性者是這樣定價(jià)的留意：證券的上漲概率添加，但同時(shí)貼現(xiàn)率也添加，所以定價(jià)不變。所以風(fēng)險(xiǎn)中性世界的定價(jià)仍可以用于現(xiàn)實(shí)的世界！.風(fēng)險(xiǎn)中

11、性定價(jià)原理風(fēng)險(xiǎn)中性定價(jià)原理：在這個(gè)改動(dòng)了概率的世界里，一切證券的預(yù)期收益率都等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，一切現(xiàn)金流量都可以經(jīng)過無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)展貼現(xiàn)求得現(xiàn)值。風(fēng)險(xiǎn)中性假定僅僅是為了定價(jià)方便而作出的人為假定風(fēng)險(xiǎn)中性概率僅僅是為方便定價(jià)給出的參數(shù)，它與我們概率論中所講的概率具有本質(zhì)的不同聯(lián)絡(luò)：數(shù)學(xué)中的坐標(biāo)變換、微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成效？.假定存在風(fēng)險(xiǎn)中性世界，股票上升的概率為p，下跌的概率為1-p。雖然有實(shí)踐的概率，但可以不論，由于風(fēng)險(xiǎn)中性，那么該股票無超額收益，其報(bào)答率只需無風(fēng)險(xiǎn)利率同樣，在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界里，可以賦予期權(quán)價(jià)值的概率，該期權(quán)同樣只能獲得無風(fēng)險(xiǎn)收益率，那么期權(quán)的現(xiàn)值為風(fēng)險(xiǎn)中性世界，一切證券都只能獲得無風(fēng)

12、險(xiǎn)收益率！.5.5.2 B-S買權(quán)定價(jià)公式 對(duì)于歐式不支付紅利的股票期權(quán)，其看漲期權(quán)買權(quán)的在定價(jià)日t的定價(jià)公式為.1設(shè)當(dāng)前時(shí)辰為t，到期時(shí)辰T，假設(shè)股票價(jià)錢服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)，假設(shè)曾經(jīng)當(dāng)前時(shí)辰t的股票價(jià)錢為st=S,那么T時(shí)辰的股票價(jià)錢的期望值為B-S買權(quán)定價(jià)公式推導(dǎo)5.13.5.14由5.13和5.14得到5.15根據(jù)B-S微分方程可知，定價(jià)是在風(fēng)險(xiǎn)中性條件下，那么資產(chǎn)的期望報(bào)答為無風(fēng)險(xiǎn)報(bào)答，那么這闡明：在風(fēng)險(xiǎn)中性的世界中，任何可買賣的金融資產(chǎn)的報(bào)答率均為無風(fēng)險(xiǎn)利率。.2在風(fēng)險(xiǎn)中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風(fēng)險(xiǎn)利率r，故買權(quán)期望值的現(xiàn)值為第1項(xiàng)第2項(xiàng).推導(dǎo)第1項(xiàng).令 由此得到.被積函數(shù)為：

13、.y的積分下限為y的積分上限為.這樣就完成了第1項(xiàng)的證明。.推導(dǎo)第2項(xiàng)首先進(jìn)展變量代換，令.那么z的積分下限z的積分上限.將z和dz代入.由兩個(gè)部分的推導(dǎo)得到.pr0dN(d)例如:當(dāng)d1.96時(shí),N(d)95.5%.5.5.3 B-S模型的含義由Z的積分下限可知，N(d2)是在風(fēng)險(xiǎn)中性世界中ST大于X的概率，或者說式歐式看漲期權(quán)被執(zhí)行的概率。X e-r(T-t)N(d2)是X的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。 StN(d1)= e-r(T-t)ST N(d1)是ST的風(fēng)險(xiǎn)中性期望值的現(xiàn)值。.S=100，X=95，r=0.10,T=0.25 (quarter)，=0.50，那么d1=ln(100/95)

14、 + (0.10+(05 2/2) / (050.251/2)= 0.43 N(d1)=N (0.43)=0.6664d2=0.43+(050.251/2)=0.18， N(d2)=N(0.18)=0.5714Call Option Example期權(quán)的價(jià)值關(guān)于標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)錢及其方差，以及到期時(shí)間等5個(gè)變量的非線性函數(shù)Ct=f(St,X,r)的函數(shù)。.5.6 歐式看跌期權(quán)的定價(jià)利用金融工程技術(shù)來對(duì)待期權(quán)平價(jià)關(guān)系思索恣意t時(shí)辰，如下兩個(gè)組合：組合A：一份歐式看漲期權(quán)加上金額為 的現(xiàn)金組合B：一份有效期和執(zhí)行價(jià)錢與上述看漲期權(quán)一樣的歐式看跌期權(quán)，加上一單位標(biāo)的資產(chǎn).組合A到期時(shí)辰T的收益組合B到期時(shí)辰T的收益兩個(gè)組合在T時(shí)辰具有一樣的價(jià)錢，且由于歐式期權(quán)不能提早執(zhí)行，那么在t時(shí)辰兩個(gè)組合價(jià)值也必然相等無套利原理即此為看漲看跌期權(quán)平價(jià)公式。.從幾何圖性上看，二者對(duì)影