大一下高數(shù)10一元函數(shù)積分學(xué)

1、第十章 重積分一元函數(shù)積分學(xué)重積分曲線積分曲面積分多元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)二重積分的概念與性質(zhì)一、引例二、二重積分的定義與可積性三、二重積分的性質(zhì)四、體體積的計(jì)算一、引例z (fx, y)1.給定體的體積體:底： xoy 面上的閉區(qū)域 DD頂:連續(xù)曲面 z ( f,x y ) 0側(cè)面：以 D 的邊界為準(zhǔn)線 , 母線平行于 z 軸的柱面求其體積.解法:求 極”類似定積分解決問題的“大化小, 常代變, 近似和,限1)“大化小”用任意曲線網(wǎng)分D為 n 個(gè)區(qū)域z (fx, y)1, 2, 以它們?yōu)榈装? n體分為 n 個(gè)k , k(f)小體D kk,()2,3)“常代變”在每個(gè) k 中任取一點(diǎn)(kk, k

2、) 則,k) k k(Vk, fk 1,2n,)4)“近似和”nnk 1Vk (fk 1k, kV)k5)“取極限”定義k 的直徑為 ) kPmax1 P2,P k (令P1)2 max (kz (fx, y)1 knnfk(k, V lim)k(f k , k) 0 k 1( k,) kk2. 平面薄片的質(zhì)量有一個(gè)平面薄片, 在 xoy 平面上占有區(qū)域 D , 其面密度為(x, y ) C計(jì),算該薄片的質(zhì)量 M .若( ,x)y M 設(shè)),D 的面積為 ,y常(數(shù)則若 ( x,y非)常數(shù) , 仍可用D“大化小, 常代變,近似和,限解決.1)“大化小”求 極”x,2 , n,1,用任意曲線網(wǎng)分

3、D 為 n 個(gè)小區(qū)域相應(yīng)把薄片也分為小區(qū)域 .2)“常代變”在每個(gè) k k, k中任取一點(diǎn)()則,第 k 小塊的質(zhì)量,k) k k(M(k 12yn,)k3)“近似和”nn Mk (kk 1,M )kkk 14)“取極限”xk ,k) k(令 max (k)1 knnM limk ( k, )k 0 k 1兩個(gè)問題的共性：解決問題的步驟相同“大化小, 常代變, 近似和,取極限”所求量的結(jié)構(gòu)式相同體體積:nfk(k, V lim)k 0 k 1平面薄片的質(zhì)量:nM limk ( k, )k 0 k 1二、二重積分的定義及可積性設(shè)(f x,y是)定義:定義在有界區(qū)域 D上的有界函數(shù) ,將區(qū)域 D

4、任意分成 n 個(gè)小區(qū)域 ( k1k ,2 ,n ,),k, k) k任取一點(diǎn)(若, 存在一個(gè)常數(shù) I , 使n記作 f k(k, yd f ( x,)limI)k 0 k 1DD上的二重積分.y)可積稱, I則稱f(x ,f為(x,在y)Dx,y稱為積分變量積分域面積元素被積函數(shù)yd f ( x,)積分和積分表達(dá)式如果 (f x,y在)D上可積,可用平行坐標(biāo)軸的直線來劃分區(qū)域D , 這時(shí) kyk , 因此面積元素d xk 也常記作dxdy, 二重積分記作f(D x,)ydxdy .引例1中體體積:V f()y d f( x,x,y)dxdyDD引例2中平面薄板的質(zhì)量:M (x,d ( x,y)

5、y)d xd yDD二重積分存在定理：若函數(shù) (fx, y在)有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則 (fx, y在)D 上可積.二重積分的幾何意義：當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，二重積分是柱體的體積當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積的負(fù)值因此，二重積分是在這些部分區(qū)域上的體積的代數(shù)和體三、二重積分的性質(zhì)kD (fy)kd) ydd1.f (x,xy)( k 為常數(shù))Dx,x)f (x) 2., yg (D(f,dy g, y )(xdDy ) d D ff()y d f()y d3.( x,x,x,DD1D 2無2公D共內(nèi)點(diǎn))D1上( fD4(D在 D2 ,1,D1 為,x ) y若.,D 的面積, 則1

6、ddDDy) ( x ,5. 若在D上 (f x,x,y) 則,f()y d (x,y)dDDx ,于(x ,fy)x,特別, 由f6m. 設(shè)ax M yx,)(f(dx,)yf( f()y dy),)yDDm面, 積為), ,(Dxf,mf xinyD 的(D f ()y d 則有mx,MD6m. 設(shè)ax M mD 的(面, 積為), ,(Dxf,y),mf xinyD f ()y d 則有mx,MD7.(二重積分的中值定理) 設(shè)函數(shù) (f x,y 在)閉區(qū)域D上連續(xù), 為D 的面積 , 則至少存在一點(diǎn)(, ) D使,f(x,y)d(f ,D例1.比較下列積分的大小:yx )yd2 ,(y3

7、)2x ( (dDDD221y) 其:中(D2x)1ox312xy 1例1.比較下列積分的大小:yx )yd2 ,(y3)2x ( (dDDD221y) 其: 中(D2x)1解: 積分域 D 的邊界為圓周ox312xy 12(y 12x2()2y1它與 x 軸交于點(diǎn) (1,0) , 與直線x.而域 D 位相切y1于直線的上方, 故在 D 上x,從而23 y)x()(xy )( x ( y2dy3 ) xdDD例2. 判斷積分2y d21x3x d 的y正負(fù)號(hào).yx 2y24D2 ,y d2解: 分積分域D為1 ,3D則,x dD3D21原式 =21x3oyx3 2D1D1 2 y12dx3xd

8、yD2舍去此項(xiàng)D3yx2dx21yd3猜想結(jié)果為負(fù)但不好估計(jì) . d xdy1 xd3yd3D1 2 3D3(3 1)4 3)20例3.估計(jì)下列積分之值dxdyI xy10y10DD:cos2x2100ycosDox 1010 10例3.估計(jì)下列積分之值dxdyI xy10y10DoD:cos2x22100ycosD)2D 的面積(為 10解:由于200 x 1011011110002 100cos2x2ycos 10積分性質(zhì)5200200即:1.96 I 2I1021008. 設(shè)函數(shù) (f x,y在)閉區(qū)域上連續(xù), 域D 關(guān)于x 軸對(duì)稱,yD 位于 x 軸上方的部分為D1 , 在 D 上(f

9、 x ,y ) f x(1)( y則,),D1f()y d2 fy) d) y d x,y )(x , xo D0 xDD1()f,(f x ,f x(2)( y 則,D當(dāng)區(qū)域關(guān)于 y 軸對(duì)稱, 函數(shù)關(guān)于變量 x 有奇偶性時(shí), 仍有類似結(jié)果.如, D1 為圓域D2xdd2y 1在第一象限部分, 則有:x 4dy x(x2)22y ) 2y)ydxdyDD1(xd y0 xD四、設(shè)體體積的計(jì)算的底為z 2(y(bx)( x1) y 2 x )yD(x,)y axDa0 a,任取xb平, 面x0 x截柱體的x0b xoy 1(x)( x 0 )2截面積為 A (x )f (x,0y)d y01 (

10、 x 0 )z 2(yx)故體體積為yb)y d A(V x)dxf(x,DaaDx0b xo2( x )b f (x ,y)d y xdy 1(x)a1( x )同樣,(x ,y的底為y1(y) x 2( y),ycD)d則其體積可按如下兩次積分計(jì)算dV f()y dx, (xy) 1(yd2Dxy) 2( y )d cf ( x ,y)d x y ( y )c1o 2( y )dxd yf (x ,y)d x ( y )c11. 二重積分的定義nff(i (i ,)y d lim(d dx)ix,dy) 0 i1D(與定積分性質(zhì)相似)2. 二重積分的性質(zhì)3.體體積的計(jì)算二次積分法內(nèi)容小結(jié)1. 比較下列積分值的大小關(guān)系:xx1 x 2Iy d1xd1Iyy dxdy2x y 1yy2I1y1xy dxd31 1解: 1I ,I2 ,I積函數(shù)相同, 且非負(fù),被31x由它們的積分域范圍可知2I I1 I3o思考與練習(xí)2. 設(shè)D 是第二象限的一個(gè)有界閉域 , 且 0 y 1, 則1y2DDy2xd33xd3xd I ,I,Iy321D的大小順序?yàn)?(D)( A 1)I I2 I; I1 I( B 2I);333) II;D3) I.2C(I(yI 1I21y122因 0 y