講解：矩陣的對角化

1、.wd.wd4/4.wd第四講 矩陣的對角化 基元素坐標向量加法元素加法坐標向量的加法數(shù)乘數(shù)與元素“乘數(shù)與坐標向量相乘線性變換及其作用對應關系矩陣與坐標列向量的乘積對任何線性空間，給定基后，我們對元素進展線性變換或線性運算時，只需用元素的坐標向量以及線性變換的矩陣即可，因此，在后面的內(nèi)容中著重研究矩陣和向量。對角矩陣的形式對比簡單，處理起來較方便，比方求解矩陣方程時，將矩陣對角化后很容易得到方程的解。對角化的過程實際上是一個去耦的過程。以前我們學習過相似變化對角化。那么，一個方陣是否總可以通過相似變化將其對角化呢或者對角化需要什么樣的條件呢如果不能對角化，我們還可以做哪些處理使問題變得簡單呢特

2、征征值與特征向量1. 定義：對階方陣，假設存在數(shù)，及非零向量列向量，使得,那么稱為的特征值，為的屬于特征值的特征向量。特征值不唯一特征向量非零有非零解，那么，稱為的多項式。例1，求其特征值和特征向量。解 屬于特征值的特征向量 可取根基解系為 屬于的特征向量 可取根基解系為 2. 矩陣的跡與行列式 所有對角元素之和3. 兩個定理設、分別為和階矩陣，那么2sylvster定理：設、分別為和階矩陣，那么 即：AB與BA的特征值只差零特征值的個數(shù)，非零特征值一樣。矩陣對角化的充要條件定理：階方陣可通過相似變換對角化的充要條件是它具有個線性無關的特征向量。證明 充分性：具有個線性無關的特征向量，那么線性

3、無關，故為滿秩矩陣，令，那么有必要性：存在可逆方陣，使將寫成列向量，為維列向量可見，為的特征值，為的特征向量，具有個線性無關的特征向量。推論：階方陣有個互異的特征值，那么必可對角化。充分條件內(nèi)積空間1. Euclid空間設是實線性空間，對于中任何兩個元素、均按某一規(guī)那么存在一個實數(shù)與之對應，記為，假設它滿足1交換律 2分配律 3齊次律 4非負性 ，當且僅當時，那么稱為與的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的實線性空間稱為Euclid空間。對于一個給定的線性空間，可以定義多種內(nèi)積，較典型的如三維向量空間的數(shù)量積就滿足以上四條性質(zhì)，構成內(nèi)積。以維向量空間為例：，可定義內(nèi)積，它滿足內(nèi)積的四條性質(zhì)：1234 當且僅當時

4、，該內(nèi)積可寫為：，其中更一般的，對實對稱正定矩陣，也滿足內(nèi)積的定義。正定：1特征值全為正2各階順序主子式大于02. 酉空間：設是復線性空間，對于中任何兩個元素、均按某一規(guī)那么存在一個復數(shù)與之對應，記為，假設它滿足1交換律 2分配律 3齊次律 or 4非負性 ，當且僅當時，那么稱為與的內(nèi)積，定義了內(nèi)積的復線性空間稱為酉空間。以維向量空間為例，為厄米正定矩陣，較常見的比方，最簡單：實 復 3. 正交性：假設，那么稱與正交。與的夾角：，稱為與的夾角。4. Gram-Schmidt正交化手續(xù)設為一組線性無關的元素或向量，可以進展如下正交歸一化操作正交標準化或正交單位化： 選擇適宜的使與正交， 選擇、使與和均正交一般